phương pháp phần tử hữu hạn 209 trang

NGUYỄN XUÂN LỰU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI HÀ NỘI - 2007 Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ LỜI NÓI ðẦU Trong phương pháp tính toán kết cấu nay, phương pháp số, ñặc biệt phương pháp phần tử hữu hạn ngày ñược ứng dụng rộng rãi Ở trường ñại học kỹ thuật, môn học Phương pháp phần tử hữu hạn ñã ñược ñưa vào chương trình giảng dạy ðể ñáp ứng yêu cầu học tập nghiên cứu sinh viên, biên soạn sách nhằm cung cấp cho người ñọc kiến thức môn học, biết sử dụng phương pháp ñể giải dạng toán ñiển hình ñơn giản, từ ñó có sở ñể vận dụng vào công tác tính toán, thiết kế công trình thực tế Sách làm tài liệu tham khảo cho học viên cao học, kỹ sư thiết kế khí công trình ðể nắm vững môn học người ñọc cần ôn lại bổ túc thêm kiến thức Cơ học vật rắn, Lý thuyết ñàn hồi, Lý thuyết ma trận, Phương trình ñạo hàm riêng Vì cuối sách giới thiệu thêm ðại cương Lý thuyết ñàn hồi Phần phụ lục sách Trong trình biên soạn sách, tác giả ñã nhận ñược nhiều ý kién ñóng góp quí báu bạn ñồng nghiệp, nhân ñây xin tỏ lòng cám ơn chân thành Tác giả PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Chương KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu Trong chục năm gần ñây, kỹ thuật tính toán kết cấu ñã có bước phát triển việc ứng dụng rộng rãi máy tính ñiện tử Một phương pháp tính toán ñang ñược sử dụng ngày nhiều có hiệu phương pháp phần tử hữu hạn (sau ñây viết tắt PTHH) Phương pháp PTHH tính toán kết cấu tổng hợp nhiều môn, liên quan ñến kiến thức ba lĩnh vực sau ñây: - Cơ học kết cấu: sức bền vật liệu, lý thuyết ñàn hồi, lý thuyết dẻo, ñộng lực học… - Giải tích số: phương pháp gần ñúng, giải hệ phương trình tuyến tính, toán trị riêng… - Tin học ứng dụng Ý tưởng phương pháp PTHH tính toán kết cấu coi vật thể liên tục tổ hợp nhiều phần nhỏ liên kết với số hữu hạn ñiểm, gọi nút Các phần nhỏ ñược hình thành gọi phần tử hữu hạn (gọi tắt phần tử) Hình dạng kích thước phần tử khác nhau, tạo thành mạng lưới khác Trên hình 1.1 giới thiệu số sơ ñồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới PTHH Dĩ nhiên, quan niệm rời rạc hóa gần ñúng Khi thay kết cấu thực (hệ liên tục) tổ hợp phần tử trên, người ta thừa nhận rằng, lượng bên mô hình thay phải lượng kết cấu thực Trong phần tử, ñại lượng cần tìm (thí dụ chuyển vị, ứng suất) ñược lấy xấp xỉ theo dạng hàm ñơn giản gọi hàm xấp xỉ Các hàm xấp xỉ, thí dụ hàm xấp xỉ chuyển vị, phải thỏa mãn ñiều kiện liên tục biên phần tử tiếp xúc với Trong số trường hợp, ñiều kiện tương thích thỏa mãn cách gần ñúng Người ta vào hình dạng tình hình chịu lực kết cấu ñể chọn loại phần tử thích hợp ðối với hệ thanh, lấy ñoạn dầm làm PTHH Với kết cấu phẳng thường sử dụng phần tử hình tam giác, phần tử hình chữ nhật, phần tử hình tứ giác có cạnh thẳng cong ðối với kết cấu vỏ, loại phần tử phẳng sử dụng phần tử vỏ ðối với vật thể khối, thường dùng loại phần tử hình tứ diện, hình lập phương, hình lục diện Còn ñối với vật thể ñối xứng trục, thường dùng phần tử hình vành khăn Hình 1.2a giới thiệu số loại phần tử thường dùng Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Hình 1.1 Tùy theo số lượng nút cách bố trí nút PTHH, người ta phân biệt loại phần tử tuyến tính phần tử bậc cao, tương ứng với dạng hàm chuyển vị tuyến tính dạng hàm chuyển vị bậc cao Hình 1.2b giới thiệu loại phần tử bậc cao a) b) Hình 1.2 Khi phân tích kết cấu sử dụng mô hình tính sau: Mô hình chuyển vị chọn chuyển vị nút làm ẩn Các ẩn ñược xác ñịnh từ hệ phương trình cân thành lập sở nguyên lý toàn phần dừng Nguyên lý phát biểu sau: PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Trong tất trường chuyển vị thỏa mãn ñiều kiện tương thích ñiều kiện biên ñộng học, trường chuyển vị tương ứng với cân vật thể làm cho toàn phần π ñạt giá trị dừng (ñạt giá trị cực tiểu) δπ = δ U + δ V = ñó: (1.1) π = U + V hàm chuyển vị U – biến dạng ñàn hồi vật thể, biểu diễn phần diện tích vẽ hình 1.3 V – công ngoại lực sinh dịch chuyển ngoại lực vật thể bị biến dạng Nếu hệ trạng thái ổn ñịnh, toàn phần có giá trị cực tiểu Như sau giả thiết dạng hàm chuyển vị phần tử, từ ñiều kiện dừng phiếm hàm π ta nhận ñược hệ phương trình cân ñiều kiện liên tục ñã ñược thỏa mãn Hình 1.3 Mô hình cân chọn ứng suất hay nội lực nút làm ẩn Các ẩn ñược xác ñịnh từ hệ phương trình tương thích thành lập sở nguyên lý cực tiểu bù toàn phần Nguyên lý phát biểu sau: Trong tất trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện cân ñiều kiện biên tĩnh học, trường ứng suất thỏa mãn ñiều kiện tương thích làm cho bù toàn phần π ∗ ñạt giá trị dừng δπ ∗ = δ U ∗ + δ V ∗ = ñó: (1.2) π ∗ = U ∗ + V ∗ hàm ứng suất U ∗ - bù biến dạng, biểu diễn phần diện tích phía vẽ hình 1.3 V ∗ - công bù ngoại lực Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị thuận lợi cho việc tự ñộng hóa tính toán máy tính Do ñó tài liệu ñề cập ñến mô hình chuyển vị phương pháp PTHH 1.2 Hàm chuyển vị Hàm dạng 1.2.1 ða thức xấp xỉ Hàm chuyển vị Nếu sử dụng mô hình chuyển vị phương pháp PTHH hàm xấp xỉ ñại lượng cần tìm hàm chuyển vị Hàm mô tả gần ñúng chuyển vị ñiểm phần tử Thông thường người ta chọn hàm chuyển vị dạng ña thức, dạng ña thức dễ ñạo hàm, tích phân, dễ thiết lập công thức xây dựng phương trình phương pháp PTHH Bậc ña thức số lượng số hạng ña thức phụ thuộc vào bậc tự phần tử, tức số chuyển nút phần tử ðiều nói kỹ phân tích kết cấu cụ thể phần sau Các ña thức xấp xỉ phải thỏa mãn ñiều kiện hội tụ, tức kích thước phần tử nhỏ dần kết hội tụ ñến lời giải xác Muốn ña thức ñược chọn phải tồn số hạng tự (hằng số) tồn ñạo hàm riêng ñến bậc cao phiếm hàm lượng Thí dụ, ñối với toán chiều chọn: f ( x ) = α1 + α x (xấp xỉ tuyến tính) f ( x ) = α1 + α x + α x (xấp xỉ bậc hai) n +1 f ( x) = ∑ α i xi −1 (xấp xỉ bậc n) ðối với toán hai chiều chọn: f ( x , y ) = α1 + α x + α y (xấp xỉ tuyến tính) f ( x, y ) = α1 + α x + α y + α x + α xy + α y (xấp xỉ bậc hai) 1.2.2 Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút Hàm dạng Hình 1.4 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Ta xem xét PTHH hình tam giác toán phẳng Lý thuyết ñàn hồi Phần tử có nút ñỉnh tam giác, nối khớp với phần tử khác (hình 1.4) Mỗi nút có bậc tự do, tức chuyển dịch theo phương x y Như phần tử có bậc tự do, chúng ñược biểu diễn chuyển vị nút ui , vi , u j , v j , um , vm Ta gọi ñó chuyển vị nút Chúng hợp thành vectơ chuyển vị nút phần tử:  ui  v   i u  {δ } =  j  vj  um     vm  (1.3) Các chuyển vị nút ẩn toán tính kết cấu theo mô hình chuyển vị phương pháp PTHH Trong nhiều trường hợp, thành phần vectơ chuyển vị nút không bao gồm giá trị hàm chuyển vị nút, mà có giá trị ñạo hàm hàm chuyển vị (thí dụ toán uốn thanh, toán tấm…) Như ñã thấy, hàm chuyển vị (ña thức xấp xỉ) hàm tọa ñộ, cho phép xác ñịnh chuyển vị ñiểm phần tử Bây ta tìm cách biểu diễn hàm chuyển vị theo chuyển vị nút Thí dụ hàm chuyển vị phần tử tam giác có dạng: u ( x , y ) = α1 + α x + α y (1.4) v ( x, y ) = α + α x + α y u ( x, y )  1 x y 0  =  v ( x, y )   0 x y  { f } =  hay ñó: α1  α   2 α    α  α    α  { f } = [Q]{α } { f } vectơ chuyển vị [Q ] ma trận ñơn thức {α } vectơ tham số (1.5) (1.6) Chuyển vị nút, theo (1.6) ta có ñó: {δ } = [C ]{α } [C ] giá trị [Q ] nút, tức ma trận tọa ñộ nút (1.7) Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Có thể xác ñịnh {α } theo [C ] , ta có từ (1.7) {α } = [C ] {δ } −1 (1.8) Do ñó theo (1.6): { f } = [Q ][C ] −1 {δ } (1.9) { f } = [ N ]{δ } hay (1.10) (1.11) [ N ] = [Q ][C ] Ma trận [ N ] gọi ma trận hàm dạng, gọi ma trận hàm nội suy, −1 ñó: từ chuyển vị nút nội suy chuyển vị ñiểm Các hàm dạng có ý nghĩa quan trọng phân tích kết cấu theo phương pháp PTHH 1.2.3 Lực nút Khi vật thể chịu lực, phần tử sinh nội lực Phương pháp PTHH giả thiết nội lực ñều truyền qua nút Các lực tác dụng lên nút gọi lực nút, ñó lực tương tác phần tử liên kết với nút chuyển vị nút sinh ðương nhiên nút có ngoại lực (tải trọng) Nếu tải trọng không ñặt nút phải dời nút theo phép biến ñổi tương ñương Trong phần tử lực nút hợp thành vectơ lực nút { F } Vectơ có số thành phần số thành phần vectơ chuyển vị nút, ñược xếp tương ứng với vectơ chuyển vị nút Thí dụ ñối với phần tử tam giác phẳng hình 1.4, ta có vectơ lực nút (hình 1.5a) là: e {F } e = U i Vi U j V j U m Vm  T Hay thí dụ ñối với phần tử chịu uốn (hình 1.5b), tương ứng với vectơ chuyển vị nút (gồm chuyển vị thẳng góc quay) {δ } = vi θi v j θ j  T vectơ lực nút {F } e = Vi Mi Vj M j  T a) b) Hình 1.5 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 1.3 Phương trình phương pháp PTHH 1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất phần tử Theo mô hình chuyển vị phương pháp PTHH, ñại lượng cần tìm ñầu tiên chuyển vị nút Sau chọn hàm xấp xỉ chuyển vị, ta xác ñịnh ñược trường chuyển vị theo chuyển vị nút: { f } = [ N ]{δ } (1.12) Sử dụng phương trình biến dạng Cauchy Lý thuyết ñàn hồi {ε } = [∂ ]{ f } ñó: (1.13) [∂ ] toán tử vi phân ∂  ∂x  0   0  [∂ ] =  ∂   ∂x  0  ∂   ∂z ∂ ∂y ∂ ∂x ∂ ∂y  0  0   ∂ ∂z   0  ∂  ∂y  ∂  ∂z  (1.14) ta có vectơ biến dạng: {ε } = [∂ ][ N ]{δ } hay {ε } = [B ]{δ } (1.15) ñó: [ B ] = [ ∂ ][ N ] (1.16) gọi ma trận tính biến dạng Ứng suất ñiểm phần tử xác ñịnh theo ñịnh luật Hooke: {σ } = [ D ]{ε } ñó: (1.17) [ D ] gọi ma trận ñàn hồi Từ ñó theo (1.15) ta có vectơ ứng suất: {σ } = [ D ][ B ]{δ } (1.18) Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ hay {σ } = [ S ]{δ } (1.19) ñó: [ S ] = [ D ][ B ] (1.20) gọi ma trận tính ứng suất 1.3.2 Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn Ma trận ñộ cứng phần tử Vectơ tải phần tử Sau ñây ta sử dụng nguyên lý cực tiểu toàn phần ñể thiết lập phương trình phương pháp PTHH Giả sử PTHH tích Ve chịu tác dụng lực thể tích p lực bề mặt q diện tích Se Thế toàn phần phần tử Ue viết dạng: U e = ∫∫∫ Ve T T T [ε ] {σ } dV − ∫∫∫ [ f ] { p} dV − ∫∫ [ f ] {q} dS Ve Se (1.21) ðể ý tới (1.12), (1.15), (1.19) ta có ∫∫∫ [δ ] [ B ] [ D ][ B ]{δ } dV − ∫∫∫ {δ }[ N ] { p} dV − ∫∫ [δ ] [ N ] {q} dS T T T Ve hay U e = ðặt T Ve T [δ ] T (1.22) Se   T T T T ∫∫∫ [ B ] [ D ][ B ] dV {δ } − {δ }  ∫∫∫ [ N ] { p} dV + ∫∫ [ N ] {q} dS   Ve Ve Se [ k ] = ∫∫∫ [ B ] [ D ][ B ] dV T  (1.23) (1.24) Ve {P} e = ∫∫∫ [ N ] T Ve ta có Ue = { p} dV + ∫∫ [ N ] {q} dS T (1.25) Se T T e [δ ] [ k ]{δ } − [δ ] {P} (1.26) Ma trận [ k ] gọi ma trận ñộ cứng phần tử, vectơ { P} vectơ tải phần tử bao gồm thành phần lực ñặt nút, lực ñược quy ñổi sau dời tải e trọng P q nút, ñó { P} gọi lực nút tương ñương e Trong trường hợp nút có tồn lực tập trung {R} e  R1  R    =  2 M   Rn  phải cộng thêm lực tập trung vào vectơ tải { P} e PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 11 Tóm lại hai loại toán phẳng, phương trình hình học (17) nhau, phương trình vật lý có dạng với toán ứng suất phẳng [ D ] lấy theo (16), với toán biến dạng phẳng [ D ] lấy theo (21) Cần ý rằng, Nếu công thức (16) thay E E ν thay ν ñược công −ν −ν thức (21) BÀI TOÁN ðỐI XỨNG TRỤC Nếu vật thể có hình dáng, ñiều kiện liên kết tải trọng ñối xứng qua trục (tức tất mặt ñi qua trục ñó ñều mặt ñối xứng) tất ứng suất, biến dạng, chuyển vị vật thể ñều ñối xứng qua trục ñó Bài toán gọi toán ñối xứng trục ðể biểu diễn ứng suất biến dạng toán ñối xứng trục, người ta dùng hệ tọa ñộ trụ gồm tọa ñộ r , θ , z (hình 5) Vì z trục ñối xứng nên thành phần ứng suất, biến dạng, chuyển vị ñều hàm hai biến r z, mà không phụ thuộc θ Hình Từ vật thể ñàn hồi tách phân tố sáu mặt có kích thước hình vẽ Trên mặt bên có ứng suất pháp σ r theo phương hướng kính r, σ θ theo phương vòng quanh θ σ z theo phương trục z Do tính ñối xứng vật thể tải trọng nên ứng suất tiếp τ rθ ,τ θ r ,τ θ z ,τ zθ không, lại τ zr = τ rz Vectơ ứng suất trường hợp có dạng: {σ } 184 σ r  σ    =  θ σ z  τ zr  (22) PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Tương ứng với thành phần ứng suất thành phần biến dạng: biến dạng ñường ε r , ε θ , ε z biến dạng góc γ zr Các biến dạng lại γ rθ , γ θ z không tính ñối xứng Vectơ biến dạng {ε }  εr  ε    =  θ εz  γ zr  (23) Chuyển vị ñiểm vật thể phân tích thành thành phần: chuyển vị theo phương hướng kính u chuyển vị theo phương z w Phương trình hình học có dạng: ∂u u , εθ = , ∂r r ∂w ∂u γ zr = + ∂r ∂z εr = εz = ∂w ∂z Viết dạng ma trận:  ∂u   ∂r     u   r  {ε } =    ∂w   ∂z   ∂w ∂u   +   ∂r ∂z  (24) Phương trình ñịnh luật Hooke [σ r −ν (σ θ + σ z )] E ε θ = [σ θ −ν (σ z + σ r ) ] E ε z = [σ z −ν (σ r + σ θ )] E 2(1 +ν ) γ zr = τ zr E Có thể biểu diễn ứng suất qua biến dạng: εr = PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 185    σ r   ν σ  E (1 −ν ) 1 −ν  θ   = σ z  (1 + ν )(1 − 2ν )  ν  −ν τ zr     Ta viết: ν ν −ν −ν ν −ν ν 1 −ν 0    ε  r    ε θ    ε  z   γ zr  − 2ν   2(1 −ν )  (25) {σ } = [ D ]{ε } ñó ma trận ñàn hồi:     ν E (1 −ν ) 1 −ν [ D] =  (1 + ν )(1 − 2ν )  ν  −ν    ν ν −ν −ν ν −ν ν −ν         − 2ν   2(1 −ν )  (26) BÀI TOÁN UỐN TẤM MỎNG Khi mỏng chịu tác dụng ngoại lực vuông góc với mặt (cũng tức vuông góc với mặt trung bình tấm) bị uốn xoắn Mặt trung bình biến dạng thành mặt võng ñàn hồi Trên hình mỏng chịu uốn Chọn hệ tọa ñộ có mặt xy mặt trung bình, trục z vuông góc với mặt trung bình ðể phân tích toán người ta thường ñưa giả thiết sau ñây: (1) Phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình sau bị uốn thẳng vuông góc với mặt trung bình (2) Các mặt song song với mặt trung bình không ép ñẩy (3) Các ñiểm mặt trung bình chuyển vị mặt phẳng ñó 186 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Hình Từ giả thiết (2) ta có ε z = , suy ∂w = , từ ñó ta có ñộ võng hàm x ∂z y, w = w( x, y ) Từ giả thiết (1) ta có γ yz = , γ zx = , phương trình hình học trở thành: ∂w ∂v + =0 , ∂y ∂z ∂u ∂w + =0 ∂z ∂x (27) Từ ñó ta có ∂v ∂w =− , ∂z ∂y ∂u ∂w =− ∂z ∂x Tích phân ñối với z ta ñược ∂w v = −z + f1 ( x, y ) ∂y ∂w u = −z + f ( x, y ) ∂x Từ giả thiết (3) ta có (28) ( u ) z =0 = , ( v ) z =0 = Thay vào (28) ta ñược ∂w u = −z , ∂x v = −z ∂w ∂y Từ ñây ta biểu diễn biến dạng qua chuyển vị: ∂u ∂2w εx = = −z ∂x ∂x ∂v ∂2w ε y = = −z ∂y ∂y γ xy = (29) ∂u ∂v ∂2w + = −2 z ∂y ∂x ∂x∂y Trong giả thiết biến dạng nhỏ − ∂2w ∂2w − biểu diễn ñộ cong mặt ∂x ∂y ∂2w biểu thị ñộ xoắn, chúng ñược gọi thành phần biến dạng ∂x∂y mỏng, hợp thành vectơ biến dạng: tấm, − PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 187  ∂2w   −   ∂x   ∂2w  {χ } =  −   ∂y   ∂2w  −2   ∂x∂y  (30) Theo (29) ta có quan hệ biến dạng biến dạng ñiểm (các thớ) sau: {ε } = z {χ } (31) Vì ñã giả thiết bỏ qua ứng suất pháp σ z , ứng suất tiếp τ xz ,τ yz thường nhỏ bỏ qua, nên ứng suất mặt cắt ngang lại là: E (ε x +νε y ) −ν E σy = (ε y +νε x ) −ν E τ xy = γ xy 2(1 + ν ) σx = ðể ý tới (29) ta có  ∂2w E ∂2w  σx = − z +ν  −ν  ∂x ∂y   ∂2w E ∂2w  ν z +   ∂x  −ν  ∂y E ∂2w =− z + ν ∂x∂y σy = − τ xy (32) ðể xác ñịnh nội lực ta tách phân tố có bề dày t cạnh theo phương x phương y có ñộ dài ñơn vị (hình 7) Từ hình vẽ ta thấy: 188 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Hình Mô men uốn ñơn vị bề rộng mặt cắt vuông góc với trục x t M x = ∫ 2t zσ z dz − hay ñể ý ñến (30) ta có Mx = − Et  ∂ w ∂2w  + ν   12(1 −ν )  ∂x ∂y  (33) Mô men xoắn mặt cắt này: t t − M xy = ∫ Et ∂2w z τ xy dz = − 12(1 + ν ) ∂x∂y (34) Tương tự ta có mặt cắt vuông góc với trục y: My = − M yx Et  ∂ w ∂2w  ν +   12(1 −ν )  ∂y ∂x  (35) Et ∂2w =− = M xy 12(1 + ν ) ∂x∂y ðể ý ñến (3) ta có σx = 12 M x z, t3 σy = 12 M y t z, τ xy = 12 M xy t3 z (36) Nếu ký hiệu vectơ nội lực ñơn vị  Mx    {M } =  M y  M   xy  (37) ta có quan hệ ứng suất nội lực: {σ } = 12 z {M } t3 (38) PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 189 Từ (33),(34),(35) ta viết ñược  ∂2w ∂2w  ν − −   ∂y   ∂x Et  ∂ w ∂ w  − {M } =  −ν  12(1 −ν )  ∂x ∂y   ∂2w   −(1 −ν )  ∂x∂y   hay viết dạng ma trận:  ∂2w    −  ∂x  1 ν     ∂ w  Et ν M = { }   − ∂y  12(1 −ν )   −ν   0   ∂2w     −2   ∂x∂y  (39) Biểu thức biểu diễn quan hệ nội lực biến dạng, viết gọn thành: {M } = [ D ] { χ } (40)   1 ν    Et ν  [ D] =  12(1 −ν )  −ν  0    (41) ñó: ma trận ñàn hồi chịu uốn 190 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 191 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O.C.ZIENKIEVICZ and R.L.TAYLOR The Finite Element Method, Volum1,2, 4th Edition, Mac Graw Hill, London, 1991 [2] R.H GALLAGHER Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1973 [3] S TIMOSHENKO, S WOJNOWSKY KRIEGER Theory of Plates and Shells, 2th Edition, Mac Graw Hill, 1969 [4] K.J.BATHE, E.L.WILSON Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1976 [5] J.F IMBERT Analyse des structures par éléménts finis Cepadues édition, 1979 [6] JEAN-CHARLES CRAVEUR Modélisation des structures, Calcul par élémént finis avec problèmes corrigés, Masson, Paris, 1979 [7] MIODRAG SEKULOWIC Metod konacnih elemenata, Iro Gnadevinska knjiga, Beograd, 1998 192 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 193 MỤC LỤC Trang Lời nói ñầu Chương KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu 1.2 Hàm chuyển vị Hàm dạng 1.2.1 ða thức xấp xỉ Hàm chuyển vị 1.2.2 Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút Hàm dạng 1.2.3 Lực nút 1.3 Phương trình phương pháp PTHH 1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất phần tử 1.3.2 Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn 1.3.3 Ma trận ñộ cứng phần tử Vectơ tải phần tử 1.4 Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn Chương TÍNH HỆ THANH 2.1 Phần tử hữu hạn hệ 2.1.1 Phần tử chịu kéo (nén) dọc trục 2.1.2 Phần tử chịu uốn 2.1.3 Phần tử chịu xoắn túy 2.1.4 Phần tử giàn phẳng 2.1.5 Phần tử khung phẳng 2.1.6 Phần tử không gian 2.2 Biến ñổi tọa ñộ 2.3 Ma trận ñộ cứng tổng thể vectơ tải tổng thể 2.3.1 Phương pháp thiết lập ma trận ñộ cứng tổng thể vectơ tải tổng thể 2.3.2 Tính chất ma trận ñộ cứng tổng thể 2.4 Thành lập phương trình Tính chuyển vị nút 2.4.1 Sắp xếp lại phương trình cân Áp ñặt ñiều kiện biên 2.4.2 Tính chuyển vị nút 2.5 Xác ñịnh nội lực phần tử hữu hạn 2.5.1 Nội lực phần tử chịu kéo (nén) 2.5.2 Nội lực phần tử chịu uốn ngang phẳng 194 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 10 11 12 13 15 16 20 25 27 29 31 35 39 41 43 48 49 52 2.5.3 Nội lực phần tử giàn phẳng 2.5.4 Nội lực phần tử khung phẳng 2.6 Một số trường hợp cần ý 2.6.1 Trường hợp có chuyển vị cưỡng 2.6.2 Trường hợp có gối ñàn hồi 2.6.3 Trường hợp có gối xiên 2.7 Dầm ñàn hồi 2.7.1 Phần tử hữu hạn dầm ñần hồi 2.7.2 Hàm chuyển vị 2.7.3 Ma trận ñộ cứng phần tử 56 57 59 62 65 67 68 69 Chương BÀI TOÁN PHẲNG CỦA LÝ THUYẾT ðÀN HỒI 73 3.1 Khái niệm chung 3.2 Phần tử hình tam giác Hàm xấp xỉ chuyển vị 3.3 Biến dạng ứng suất Ma trận ñàn hồi 3.4 Ma trận ñộ cứng 3.5 Dời tải trọng nút Lực nút tương ñương 3.6 Ma trận ñộ cứng kết cấu Hệ phương trình cân 3.7 Trình tự giải toán phẳng phương pháp phần tử hữu hạn 3.8 Vấn ñề chia phần tử 3.9 Tính ứng suất nhiệt 3.10 Sử dụng phần tử hình chữ nhật 3.11 Tọa ñộ diện tích 3.12 Sử dụng phần tử tam giác bậc cao 74 75 78 79 80 81 88 89 92 97 99 108 Chương BÀI TOÁN ðỐI XỨNG TRỤC 4.1 Mở ñầu 4.2 Phần tử vành tiết diện tam giác 4.2.1 Hàm chuyển vị 4.2.2 Biến dạng 4.2.3 Ma trận ñàn hồi 4.3 Ma trận ñộ cứng 4.4 Ngoại lực nút lực nút tương ñương 4.5 Tính ứng suất 110 111 112 113 Chương BÀI TOÁN KHÔNG GIAN 114 5.1 5.2 5.3 5.4 Sơ ñồ tính Phần tử tứ diện Hàm chuyển vị Biến dạng ứng suất Ma trận ñàn hồi Ma trận ñộ cứng 115 117 119 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 195 5.5 Dời tải trọng nút 5.6 Ứng suất nhiệt 5.7 Về cách chia phân tử 5.8 Khái niệm phần tử ñẳng tham số 5.9 Tính toán phần tử không gian ñẳng tham số 5.10 Tích phân Gauss 120 121 123 127 131 Chương TẤM MỎNG CHỊU UỐN 134 Mở ñầu Phần tử hình chữ nhật Các quan hệ Hàm chuyển vị Hàm dạng Biến dạng nội lực Ma trận ñộ cứng phần tử Xác ñịnh vectơ tải trọng nút Tấm mỏng tựa ñàn hồi Phần tử mỏng hình tam giác 135 136 138 139 143 144 145 Chương VỎ MỎNG ðÀN HỒI 151 Mở ñầu Phần tử hình chữ nhật Phần tử hình tam giác Vỏ tròn xoay 158 160 Chương BÀI TOÁN ðỘNG 164 Phương trình ñộng lực học Ma trận khối lượng phần tử Ma trận cản Dao ñộng tự lực cản 165 169 170 Phụ lục ðẠI CƯƠNG VỀ LÝ THUYẾT ðÀN HỒI 175 Tài liệu tham khảo 191 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.2 7.3 7.4 8.1 8.2 8.3 8.4 196 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ Chịu trách nhiệm xuất LÊ TỬ GIANG Biên tập VŨ VĂN BÁI Chế sửa XƯỞNG IN TRƯỜNG ðẠI HỌC GTVT NHÀ XUẤT BẢN GIAO THÔNG VẬN TẢI 80B Trần Hưng ðạo – Hà Nội ðT: 04 9423345 – Fax: 04 8224784 MS 075(6V) 119/12-06 GTVT − 06 In 520 cuốn, khổ 19 x 27cm, Xưởng in Trường ðại học GTVT Quyết ñịnh xuất số: 151–2006/CXB/119–313–05/GTVT, ngày 28/2/2006 In xong nộp lưu chiểu quý I năm 2007 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ 197 198 PPPTHH Tài liệu lưu trữ http://tailieuxd.com/ [...]... phương pháp phần tử hữu hạn 2 Có mối liên hệ gì giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp biến phân trong Cơ học kết cấu? 3 Trình bày cách chọn hàm xấp xỉ Phân biệt phần tử tuyến tính và phần tử bậc cao 4 Ý nghĩa của ma trận ñộ cứng của phần tử Giải thích ý nghĩa các thành phần trong ma trận ñộ cứng phần tử 5 Ý nghĩa hàm dạng của phần tử hữu hạn khi tính theo mô hình chuyển vị 6 Nêu các tính chất... kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn Chương 2 TÍNH HỆ THANH 2.1 Phần tử hữu hạn trong hệ thanh Trong các hệ thanh như kết cấu giàn, kết cấu khung, các ñoạn thanh hình lăng trụ ñược coi là các PTHH Trong kết cấu thanh, các thành phần chuyển vị của phần tử là hàm của một biến, tức là chỉ thay ñổi dọc theo trục thanh, do ñó bài toán hệ thanh là bài toán một chiều Ở kết cấu giàn, các phần tử chịu biến... hệ phương trình cơ bản của toàn bộ kết cấu: [ K ]{∆} = {P} (1.40) Trong thực tế tính toán người ta không sử dụng các công thức (1.37) và (1.38) ñể thiết lập [ K ] và { P} , mà sử dụng phương pháp ñơn giản và nhanh chóng hơn, ñó là phương pháp chỉ số ðiều này sẽ trình bày ở những phần sau 1.4 Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn Quá trình giải bài toán tính kết cấu theo phương pháp. .. hệ phương trình này tìm ñược vectơ chuyển vị nút tổng thể trong hệ tọa ñộ tổng quát (6) Xác ñịnh vectơ chuyển vị nút của từng PTHH trong hệ tọa ñộ ñịa phương của từng phần tử Từ ñó xác ñịnh biến dạng, ứng suất trong từng phần tử Tài liệu này được lưu trữ tại http://tailieuxd.com/ Câu hỏi ôn tập Chương I 1 Trình bày cơ sở lý thuyết ñể thiết lập các phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. .. theo qui tắc tam diện thuận Trong kết cấu thanh (giàn, khung…) thường các phần tử (thanh) có phương khác nhau, nên nói chung hệ tọa ñộ của từng phần tử không giống nhau Hệ tọa ñộ riêng ñối với từng phần tử, ta gọi là hệ tọa ñộ phần tử hoặc hệ tọa ñộ ñịa phương Khi tính kết cấu gồm nhiều phần tử, ñể thuận tiện khi thành lập các phương trình cân bằng, người ta cần sử dụng một hệ tọa ñộ chung cho toàn... sử dụng phương pháp năng lượng với công thức (1.25) Ngoài phương pháp ñó, còn có thể dùng phương pháp qui ñổi tương ñương tĩnh học, rất thuận tiện ñối với hệ thanh Cách làm theo các bước như sau: - Cố ñịnh hai ñầu phần tử, tức là gắn cứng các nút, sau ñó tính các phản lực ở ngàm theo phương pháp của Cơ học kết cấu - Xác ñịnh lực nút tương ñương bằng cách bỏ ngàm (trở lại dạng ban ñầu của phần tử) và... ñó xây dựng phương trình cơ bản ñối với toàn bộ kết cấu Việc tổ hợp này có nghĩa là phải sắp xếp các thành phần trong các ma trận [ k ] của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong ma trận [ K ] , và các thành phần trong các ma trận { P} của các phần tử vào các vị trí thích hợp trong { P} Sự sắp xếp này ñược mô tả bằng ma trận ñịnh vị của các phần tử e Gọi vectơ chuyển vị nút của phần tử là {δ }... {σ 0 } (1.30) Do ñó vectơ tải phần tử (1.25) có thêm thành phần do ε 0 và σ 0 gây ra: {P} e = ∫∫∫ [ N ] T Ve { p} dV + ∫∫ [ N ] {q} dS − ∫∫∫ [ B ] [ D ]{ε 0 } dV + ∫∫∫ [ B ] {σ 0 } dV T Se T Ve T Ve (1.31) 1.3.3 Ma trận ñộ cứng tổng thể Vectơ tải tổng thể Phương trình cơ bản của hệ Sau khi thiết lập ñược các ma trận ñộ cứng phần tử và vectơ tải phần tử của tất cả các phần tử trong mạng lưới kết cấu,... dụ phần tử thanh chịu lực tập trung ñặt giữa thanh (hình 2.8) ta có {P} e  P = −  2 Pa − 8 P − 2 Pa  8  T (2.60) Hình 2.8 Tài liệu này được lưu trữ tại http://tailieuxd.com/ Trên Bảng 1.1 giới thiệu giá trị phản lực nút trong phần tử thanh 2 ñầu cố ñịnh ở một số trường hợp tải trọng thường gặp khi tính hệ thanh phẳng 2.1.4 Phần tử giàn phẳng Các phần tử thanh trong hệ giàn phẳng gọi là phần tử. ..Theo nguyên lý cực tiểu thế năng toàn phần, ñiều kiện cân bằng tại các nút của phần tử là: ∂U e =0 (1.27) ∂ {δ } ∂U e ∂U e ∂U e =0 , = 0 , , =0 ∂ {δ1} ∂ {δ 2 } ∂ {δ n } tức là (1.28) Sau khi lấy cực tiểu từ (1.26) ta ñược [ k ]{δ } = {P} e (1.29) ðây là phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn tính theo mô hình chuyển vị ðiều ñó có nghĩa là tại từng nút, lực