Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh đăk lăk năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/4/2016 Bài 1: (4 điểm) 1) Giải hệ phương trình sau:  x  y  20  1  x 1  x 1  x   1  y  1  y  x  2) Tìm tất số thực m để phương trình: x2 – 2(2m + 1)x + 3m + = có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài : (4 điểm)  x  y  z  Tính giá trị biểu thức  x  y  z  1) Cho số dương x, y, z thỏa mãn  P  y x z      x 1 y 1 z 1   x  1 y  1 z  1   b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1; 2) cắt hai tia Ox, Oy hai điểm A, B khác gốc tọa độ O mà OA + OB = Bài 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab    a  b  b) Cho a  111 , b  100 05 Chứng minh số M  ab 1 số 2017 chu so 2016 chu so phương Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R Biết BC = CD hai đường thẳng AD, BC cắt F Trên đường kính AB lấy điểm E cho AD = BE Vẽ EH vuông góc với AD điểm H Hai đường thẳng AC, EH cắt k Gọi I trung điểm đoạn thẳng AE Chứng minh rằng: 1) AD AF + BC BF = 4R2 2) Ba điểm D, I, K thẳng hàng Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O diện tích tam giác AOB cm2, diện tích tam giác COD 16 cm2 Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD Bài 6: (2 điểm) Với a, b, c ba số thực thay đổi thỏa mãn ab + 7bc + ca = 188 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 5a2 + 11b2 + 5c2 G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) 1) Giải hệ phương trình sau:  x  y  20  1  x 1  x 1  x   1  y  1  y  x   x  y  20  x  y  20    2 2 1  3x   x 1  x   1  y   x 1  y  1  x 1  x 1  x   1  y  1  y  x   x  y  20  x  y  20    2 2 3    x  y    x  y   6 x  x  y  1  3x   1  y   x 1  y   x 1  x   x  y  20  x  y  20    2 3  x  y     x  y   x   3    x  y    x  y   6 x  x  y    x  y  20  x y5  x  y  20    x y 0 x  20     x  y     y    x  y  20  2   x  y   x2    5 x  x  35   vo nghiem         x  y   x  Vậy hệ phương trình có nghiệm  5; 5 2) Tìm tất số thực m để phương trình: x2 – 2(2m + 1)x + 3m + = có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt   m  1 4m  3    m  1       2m  1   3m       m      P    3m    m     m S 0   2m  1       m     m   2 Bài : (4 điểm)  x  y  z  Tính giá trị biểu thức  x  y  z  1) Cho số dương x, y, z thỏa mãn  P  y x z     x  y  z     x  1 y  1 z  1   Ta có  xy  yz  zx    x  y  z    x  y  z   22    xy  yz  zx  Nên x   x  xy  yz  zx   x  y  x  z  tương tự: y    x  y  y  z  ; z    x  z  y  z   y x z      x 1 y 1 z 1  Do đó: P   x  1 y  1 z  1   G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang   x y  2  xy  yz  zx  2 y z  z x   x   y z  y   x y    z  z x  z y  x y z x   b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1; 2) cắt hai tia Ox, Oy hai điểm A, B khác gốc tọa độ O mà OA + OB = Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a, b  0, cắt Ox, Oy) Vì đường thẳng qua điểm M(1; 2) nên có: a + b =  b = – a Đường thẳng y = ax + – a cắt tia Ox điểm có hoành độ a2 , cắt tia Oy điểm có a a  0 tung độ  a Nên  a a0  2  a   a  1 a2 Ta có OA + OB =  (TM)   a   a  3a     a  1 a      a a  2 +) Với a = –1, phương trình đường thẳng : y = –x + +) Với a = –2, phương trình đường thẳng : y = –2x + Bài 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab    a  b  a  b  a  b  Ta có 10  ab  99  16  ab   105  16   a  b 3  105   a  b    Nên ab12;21;30;13;22;31 Chỉ có 21     1 Vậy ab  21 b) Cho a  111 , b  100 05 Chứng minh số M  ab 1 số 2017 chu so 2016 chu so phương Ta có: a  111  2017 chu so 102017  ; b  100 05  102017  2016 chu so  102017 102017  2017  10    Do M  ab    10 2017 2     102017  10  1  2017  102017   102017       2017 10   N Do M  ab  số phương Vì 102017  nên  Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R Biết BC = CD hai đường thẳng AD, BC cắt F Trên đường kính AB lấy điểm E cho AD = BE Vẽ EH vuông góc với AD điểm H Hai đường thẳng AC, EH cắt k Gọi I trung điểm đoạn thẳng AE Chứng minh rằng: 1) AD AF + BC BF = 4R2 2) Ba điểm D, I, K thẳng hàng G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang F D C H K A I I' E H B 1) AD AF + BC BF = 4R2 K FH  AB (H  AB), ta có: ADB  ACB  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét ADB AHF có: ADB  AHF  900 , A (góc chung) AD AH   AD AF  AB AH  a  AB AF Xét ACB FHB có: ACB  FHB  900 , B (góc chung) BC BH Vậy ACB FHB    BC.BF  AB.BH  b  AB BF Từ a), b)  AD.AF  BC.BF  AB  AH  BH   AB2  4R2 (đpcm) Vậy ADB AHF  2) Ba điểm D, I, K thẳng hàng Vì BC  CD  BC  CD  BAC  CAD  AC phân giác góc BAD Gọi I’ giao điểm DK với AB (1) AI  KI   c AD KD KI  I E  Xét BI’D có EK // BD (EH  AD, BD  AD)  c KD BE AI  I E  Từ c), d)  mà AD = BE (gt)  AI’ = I’E  I’  I (vì AI = IE (gt)) (2) AD BE Xét AI’D có AK phân giác DAI   Từ 1) 2) suy D, I, K thẳng hàng (đpcm) Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O diện tích tam giác AOB cm2, diện tích tam giác COD 16 cm2 Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang B A O D Ta có: C S AOB S BOC OB    S AOD  S BOC  S AOB  SCOD  16  144 S AOD SCOD OD Do S AOD  SBOC  S AOD  SBOC  144  24 Nên S ABCD  S AOB  SCOD  S AOD  S BOC   16  24  49 Dấu “=” xảy  S AOD  S BOC  OA.OD  OB.OC  OA OB   AB / /CD OC OD Vậy Min SABCD = 49 cm2 AB // CD Bài 6: (2 điểm) Với a, b, c ba số thực thay đổi thỏa mãn ab + 7bc + ca = 188 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 5a2 + 11b2 + 5c2   21 14     P  5a  11b  5c   2a  b    b  c    c  3a     3   21 14  2a  b  b  c  c  3a 2 3  2ab  14bc  2ca   ab  7bc  ca   188  376  2a  b    21 b  14 c Dấu “=” xảy    c  3a   ab  7bc  ca  188 (tự xử tiếp) G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang ... ta có: ADB  ACB  90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét ADB AHF có: ADB  AHF  90 0 , A (góc chung) AD AH   AD AF  AB AH  a  AB AF Xét ACB FHB có: ACB  FHB  90 0 , B (góc chung)... a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab    a  b  a  b  a  b  Ta có 10  ab  99  16  ab   105  16   a  b 3  105   a  b    Nên ab12;21;30;13;22;31 Chỉ có... ABCD  S AOB  SCOD  S AOD  S BOC   16  24  49 Dấu “=” xảy  S AOD  S BOC  OA.OD  OB.OC  OA OB   AB / /CD OC OD Vậy Min SABCD = 49 cm2 AB // CD Bài 6: (2 điểm) Với a, b, c ba số thực