SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/4/2016 Bài 1: (4 điểm) 1) Giải hệ phương trình sau: x y 20 1 x 1 x 1 x 1 y 1 y x 2) Tìm tất số thực m để phương trình: x2 – 2(2m + 1)x + 3m + = có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Bài : (4 điểm) x y z Tính giá trị biểu thức x y z 1) Cho số dương x, y, z thỏa mãn P y x z x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1; 2) cắt hai tia Ox, Oy hai điểm A, B khác gốc tọa độ O mà OA + OB = Bài 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab a b b) Cho a 111 , b 100 05 Chứng minh số M ab 1 số 2017 chu so 2016 chu so phương Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R Biết BC = CD hai đường thẳng AD, BC cắt F Trên đường kính AB lấy điểm E cho AD = BE Vẽ EH vuông góc với AD điểm H Hai đường thẳng AC, EH cắt k Gọi I trung điểm đoạn thẳng AE Chứng minh rằng: 1) AD AF + BC BF = 4R2 2) Ba điểm D, I, K thẳng hàng Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O diện tích tam giác AOB cm2, diện tích tam giác COD 16 cm2 Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD Bài 6: (2 điểm) Với a, b, c ba số thực thay đổi thỏa mãn ab + 7bc + ca = 188 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 5a2 + 11b2 + 5c2 G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) 1) Giải hệ phương trình sau: x y 20 1 x 1 x 1 x 1 y 1 y x x y 20 x y 20 2 2 1 3x x 1 x 1 y x 1 y 1 x 1 x 1 x 1 y 1 y x x y 20 x y 20 2 2 3 x y x y 6 x x y 1 3x 1 y x 1 y x 1 x x y 20 x y 20 2 3 x y x y x 3 x y x y 6 x x y x y 20 x y5 x y 20 x y 0 x 20 x y y x y 20 2 x y x2 5 x x 35 vo nghiem x y x Vậy hệ phương trình có nghiệm 5; 5 2) Tìm tất số thực m để phương trình: x2 – 2(2m + 1)x + 3m + = có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt m 1 4m 3 m 1 2m 1 3m m P 3m m m S 0 2m 1 m m 2 Bài : (4 điểm) x y z Tính giá trị biểu thức x y z 1) Cho số dương x, y, z thỏa mãn P y x z x y z x 1 y 1 z 1 Ta có xy yz zx x y z x y z 22 xy yz zx Nên x x xy yz zx x y x z tương tự: y x y y z ; z x z y z y x z x 1 y 1 z 1 Do đó: P x 1 y 1 z 1 G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang x y 2 xy yz zx 2 y z z x x y z y x y z z x z y x y z x b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1; 2) cắt hai tia Ox, Oy hai điểm A, B khác gốc tọa độ O mà OA + OB = Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a, b 0, cắt Ox, Oy) Vì đường thẳng qua điểm M(1; 2) nên có: a + b = b = – a Đường thẳng y = ax + – a cắt tia Ox điểm có hoành độ a2 , cắt tia Oy điểm có a a 0 tung độ a Nên a a0 2 a a 1 a2 Ta có OA + OB = (TM) a a 3a a 1 a a a 2 +) Với a = –1, phương trình đường thẳng : y = –x + +) Với a = –2, phương trình đường thẳng : y = –2x + Bài 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab a b a b a b Ta có 10 ab 99 16 ab 105 16 a b 3 105 a b Nên ab12;21;30;13;22;31 Chỉ có 21 1 Vậy ab 21 b) Cho a 111 , b 100 05 Chứng minh số M ab 1 số 2017 chu so 2016 chu so phương Ta có: a 111 2017 chu so 102017 ; b 100 05 102017 2016 chu so 102017 102017 2017 10 Do M ab 10 2017 2 102017 10 1 2017 102017 102017 2017 10 N Do M ab số phương Vì 102017 nên Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2R Biết BC = CD hai đường thẳng AD, BC cắt F Trên đường kính AB lấy điểm E cho AD = BE Vẽ EH vuông góc với AD điểm H Hai đường thẳng AC, EH cắt k Gọi I trung điểm đoạn thẳng AE Chứng minh rằng: 1) AD AF + BC BF = 4R2 2) Ba điểm D, I, K thẳng hàng G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang F D C H K A I I' E H B 1) AD AF + BC BF = 4R2 K FH AB (H AB), ta có: ADB ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét ADB AHF có: ADB AHF 900 , A (góc chung) AD AH AD AF AB AH a AB AF Xét ACB FHB có: ACB FHB 900 , B (góc chung) BC BH Vậy ACB FHB BC.BF AB.BH b AB BF Từ a), b) AD.AF BC.BF AB AH BH AB2 4R2 (đpcm) Vậy ADB AHF 2) Ba điểm D, I, K thẳng hàng Vì BC CD BC CD BAC CAD AC phân giác góc BAD Gọi I’ giao điểm DK với AB (1) AI KI c AD KD KI I E Xét BI’D có EK // BD (EH AD, BD AD) c KD BE AI I E Từ c), d) mà AD = BE (gt) AI’ = I’E I’ I (vì AI = IE (gt)) (2) AD BE Xét AI’D có AK phân giác DAI Từ 1) 2) suy D, I, K thẳng hàng (đpcm) Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O diện tích tam giác AOB cm2, diện tích tam giác COD 16 cm2 Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang B A O D Ta có: C S AOB S BOC OB S AOD S BOC S AOB SCOD 16 144 S AOD SCOD OD Do S AOD SBOC S AOD SBOC 144 24 Nên S ABCD S AOB SCOD S AOD S BOC 16 24 49 Dấu “=” xảy S AOD S BOC OA.OD OB.OC OA OB AB / /CD OC OD Vậy Min SABCD = 49 cm2 AB // CD Bài 6: (2 điểm) Với a, b, c ba số thực thay đổi thỏa mãn ab + 7bc + ca = 188 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 5a2 + 11b2 + 5c2 21 14 P 5a 11b 5c 2a b b c c 3a 3 21 14 2a b b c c 3a 2 3 2ab 14bc 2ca ab 7bc ca 188 376 2a b 21 b 14 c Dấu “=” xảy c 3a ab 7bc ca 188 (tự xử tiếp) G GV V:: N Ngguuyyễễnn D Dưươơnngg H Hảảii –– TTH HC CS SP Phhaann C Chhuu TTrriinnhh –– B Buuôônn M Maa TThhuuộộtt trang ... ta có: ADB ACB 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Xét ADB AHF có: ADB AHF 90 0 , A (góc chung) AD AH AD AF AB AH a AB AF Xét ACB FHB có: ACB FHB 90 0 , B (góc chung)... a) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab a b a b a b Ta có 10 ab 99 16 ab 105 16 a b 3 105 a b Nên ab12;21;30;13;22;31 Chỉ có... ABCD S AOB SCOD S AOD S BOC 16 24 49 Dấu “=” xảy S AOD S BOC OA.OD OB.OC OA OB AB / /CD OC OD Vậy Min SABCD = 49 cm2 AB // CD Bài 6: (2 điểm) Với a, b, c ba số thực