SÁNG tạo bất ĐẲNG THỨC từ một bài TOÁN NGÔ văn THÁI

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Sáng tạo bất đẳng thức từ toán gốc (Phần 1) Ngô Văn Thái Trường T.H.P.T Phạm Quang Thẩm Vũ Thư-Thái Bình Trong trình giải toán gặp toán bất đẳng thức (b.đ.t) sau “ Cho ba số thực không âm a,b,c Chứng minh (a + b + c )2 ≥ a + a(b + c )3 ” (*) Lời giải: Áp dụng b.đ.t trung bình lũy thừa b + c ≥ (b + c )2 ta ( [ ) 1  2 2 a + b + c ≥ a + (b + c )  = a + a (b + c ) + (b + c ) = a + (b + c ) 4a + (b + c ) 4   2 Mặt khác theo b.đ.t Cauchy hai số 4a + (b + c ) ≥ 4a(b + c ) 2 2 ] Do (a + b + c ) ≥ a + a(b + c )3 Đẳng thức xẩy a = b = c ≥ , b = c = 0, a ≠ Bài toán chứng minh Sau giải xong toán thấy toán bình thường nhiều toán khác không dễ không khó, nên thời gian dài không để tâm tới toán Nhân hôm đọc lời giải toán b.đ.t thi quốc tế IMO-42 đăng sách“40 năm OLYMPIC toán học quốc tế” G.S-T.S Vũ Dương Thụy,Th.S Nguyễn Văn Nho, lời giải có phép biền đổi dẫn đến b.đ.t sau: a a ≥ a + 8bc 3 1 a + b3 + c3 Tiếp sau đọc “Bất đẳng thức, suy luận khám phá” Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ, thấy giới thiệu lời giải toán b.đ.t thi quốc tế IMO-42 tác giả Hojoo Lee,trong lời giải đẹp lại đưa đến b.đ.t sau: a 3 4 a + 8b c ≥ a a+b+c Tự nhiên liên tưởng đến toán (*) bỏ quên từ lâu, đến định, thử tìm hiểu xem toán (*) toán b.đ.t thi quốc tế IMO-42 có mối liên hệ với hay không ? từ b.đ.t (*) liệu khai thác để sáng tạo toán b.đ.t đẹp hay không ? Thật bất ngờ sử dụng Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - - www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam b.đ.t (*) kết hợp với b.đ.t quen biết khác điều dự đoán thu nhiều kết đẹp, ấn tượng vượt mong đợi Sau xin chia sẻ với bạn đọc nét tìm tòi xung quanh toán b.đ.t (*), cách tìm tòi điều mẻ, kết tìm lại không cũ Vì tác giả mong muốn đón nhận nhiều ý kiến trao đổi từ phía bạn đọc Bài viết dành để tặng em học sinh giỏi môn toán, tác giả vui mừng sau em đọc xong viết tự sáng tạo toán hay, đẹp từ toán quen thuộc, chúc em thành công 1-Sử dụng bất đẳng thức (*) để chứng minh toán thi quốc tế IMO-42 Bài toán: Cho số thực dương x,y,z Chứng minh x x + yz y + y + zx z + z + xy ≥1 Chứng minh Từ b.đ.t (*): (a + b + c ) ≥ a + a(b + c )3 theo b.đ.t Cauchy hai số ta (a + b2 + c2 ) ≥ a + 8a (bc ) ⇔ a3 a + 8(bc )2 b3 b3 + 8(ca )2 ⇒ a + 8(bc ) ⇔ Tương tự a3 a + 8(bc ) ≥ ≥ ≥ (a a + b2 + c2 ) ⇔ a2 a2 + b2 + c2 b2 a2 + b2 + c2 c3 ; b3 + + b + 8(ca ) c + 8(ab )2 c3 c + 8(ab ) ≥ ≥ c2 a2 + b2 + c a2 + b2 + c2 =1 a2 + b2 + c2 Từ b.đ.t ta đặt a3 = x ; b3 = y ; c3 = z , x x + yz + y y + zx + z z + xy ≥1 Dấu đẳng thức xảy x = y = z > Bài toán chứng minh Ngoài sử dụng b.đ.t (*) cho ta b.đ.t kép chặt toán b.đ.t thi quốc tế IMO-42 sau: Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - - www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Cho số thực dương x,y,z Chứng minh x y + x + yz y + zx x ≥   x +  y + z    z + ≥ z + xy y +   y +  z + x    z +   z +  x + y    ≥1 Bạn đọc tự chứng minh kết 2-Sử dụng bất đẳng thức (*) để sáng tạo toán bất đẳng thức Tất kết sinh từ b.đ.t (*) có giải thiết a,b,c ba số thực dương, riêng kết từ 30 đến 39, kết có bổ xung giả thiết để toán Kết 1: a3 b3 c3 + + ≥1 3 a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) Chứng minh Từ b.đ.t (*): (a + b + c ) ≥ a + a (b + c )3 ⇔ ⇔ a ≥ 3 a + (b + c ) a + b2 + c2 Tương tự ( b3 b + (c + a ) ) b2 a2 + b2 + c2 ≥ a3 a2 ≥ a2 + b2 + c a + (b + c ) ⇔ , c3 ≥ c + (a + b ) c2 a2 + b2 + c2 Cộng vế với vế ba b.đ.t a3 a + (b + c ) b3 + b + (c + a ) c3 + c + (a + b ) a2 + b2 + c2 ≥ =1 a + b2 + c2 Đẳng thức xảy a=b=c Kết chứng minh Kết 2: a5 a + (b + c ) 3 +3 b5 b + (c + a ) 3 +3 c5 c + (a + b ) 3 ≥ a2 + b2 + c2 Chứng minh Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - - www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Từ b.đ.t (*): (a + b + c ) ≥ a + a(b + c ) ⇔ Tương tự 2 b5 b + (c + a ) 3 b2 ≥ (a +b +c 2 , ) 2 a5 c5 c + (a + b ) ≥ a + (b + c ) 3 a2 (a + b2 + c2 ) c2 ≥ (a + b2 + c2 ) Cộng vế theo vế ba b.đ.t rút gọn ta đươc toán cần chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c Kết chứng minh Kết 3: ( a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) ≤ 2 a + b + c 3 Chứng minh Từ b.đ.t (*): (a + b2 + c2 ) Tương tự (a [ )( ) )( ) ) + b + c b + c ≥ a (b + c ) ; (a + b + 2c )(a + b ) ≥ c(a + b )3 Theo b.đ.t Bunyakovsky + 2b + c c + a ≥ b(c + a ) [(2a + b + c ) + (a + 2b + c ) + (a + b + 2c )].[(b + c ) + (c + a ) + (a + b )] ≥ (2a + b + c )(b + c ) + (a + 2b + c )(c + a ) + (a + b + 2c )(a + b )] ≥ ≥ (2a ≥ a + a(b + c ) ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ≥  a (b + c ) + b(c + a ) + c(a + b )    ( ⇒ a2 + b2 + c2 ) 2 2 ( ⇔ a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b ) ≤ 2 a + b + c 3 2 2 3 ≥  a(b + c ) + b(c + a ) + c(a + b )    2 ) Đẳng thức xảy a=b=c Kết chứng minh Kết 4: 1 1 a + b + c   A= + + ≥  3 3  a + b + c  a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) Chứng minh Từ b.đ.t (*): (a + b + c ) ≥ a + a(b + c )3 ⇔ Tương tự b + (c + a ) 3 ≥ b a +b +c 2 ; a + (b + c ) 3 c + (a + b ) 3 ≥ ≥ a a + b2 + c2 c a + b2 + c Theo b.đ.t Bunyakovsky Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - - www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam  (1 + + 1)A ≥  3 + 3 + 3 b + (c + a ) c + (a + b )  a + (b + c ) 1 a + b + c   ⇒ A ≥   a + b + c    a+ b+ c   ≥  2  a + b + c    2 Đẳng thức xảy a=b=c Kết chứng minh Kết 5: a b c 1 a +b +c  B= + + ≥   3 3  a + b2 + c2  a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) Chứng minh Từ b.đ.t (*): (a + b + c ) ≥ a + a(b + c )3 ⇔ a b Tương tự b + (c + a ) 3 ≥ b a + b2 + c2 a + (b + c ) 3 , ≥ a a + b2 + c2 c c + (a + b ) 3 ≥ c a + b2 + c2 Theo b.đ.t Bunyakovsky   a + b + c 2  a b c (1 + + 1)B ≥  + + ≥ 3  2  b + (c + a ) c + (a + b )   a + b + c   a + (b + c ) 1 a + b + c  ⇒B≥    a + b2 + c  Đẳng thức xảy a=b=c Kết chứng minh Kết 6: C= a2 b2 c2 + + ≥ 3 3 3 a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) a + b + c Chứng minh: Từ b.đ.t (*): (a + b + c ) ≥ a + a(b + c )3 ⇔ a3 Tương tự b3 b + (c + a ) b2 ≥ , a + b2 + c2 a + (b + c ) c3 c + (a + b ) ≥ a2 a2 + b2 + c2 c2 ≥ a + b2 + c2 Theo b.đ.t Bunyakovsky thì:    a + b2 + c 2 a3 b3 c3  =1 (a + b + c ).C ≥  + + ≥ 3  2 b + (c + a ) c + (a + b )   a + b + c   a + (b + c ) Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - - www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam   ⇒C ≥  a+b+c Đẳng thức xảy a=b=c Kết chứng minh Kết 7: a3 b3 c3 + + ≥ 3 3 3 a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) D= Chứng minh: Từ b đ.t (*): (a + b + c ) ≥ a + a(b + c )3 ⇔ a3 b3 Tương tự b + (c + a ) b2 , ≥ a + b2 + c2 a + (b + c ) c3 ≥ a2 a2 + b2 + c2 c2 ≥ a + b2 + c2 c + (a + b ) Theo b.đ.t Bunyakovsky    a + b2 + c 2 a3 b3 c3  =1 (1 + + 1)D ≥  + + ≥ 3  2 b + (c + a ) c + (a + b )   a + b + c   a + (b + c ) ⇒ D ≥ Đẳng thức xảy a=b=c Kết chứng minh Kết 8: Gọi a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh E= ( a b2 + c2 (b + c ) ( ) −a b +c 2 ( b c2 + a2 + ) (c + a ) ( ) −b c +a 2 ( c a2 + b2 + ) (a + b) ( ) − c a + b2 ) ≥1 Chứng minh Từ b.đ.t (*): (a + b + c ) ≥ a + a(b + c )3 ⇔ (2a + b + c )(b + c ) ≥ a(b + c )3 ⇔ (2a + b + c ) ≥ a(b + c ) a(b + c ) − a (b + c ) 2 ⇔ a + b + c ≥ b2 + c2 b2 + c2 3 Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ( ) ( ) b + c > a, (b + c ) > b + c ⇒ (b + c ) − a b + c > ⇔ a (b + c ) − a b + c > ⇒ (b 3 +c ) a a (b + c ) a ≥ ⇔ ≥ 2 2 2 (b + c ) − a(b + c ) a + b + c (b + c ) − a(b + c ) a + b + c 2 2 2 Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - - www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam ( ) ( ) b c2 + a2 Tương tự (c + a )3 − b(c + a ) c a2 + b2 b2 a2 + b2 + c2 ≥ (a + b )3 − c(a + b ) ≥ , c2 a2 + b2 + c2 Cộng vế với vế tương ứng ba b.đ.t ta a2 + b2 + c2 E≥ =1 a + b2 + c2 Đẳng thức xảy a=b=c, tam giác cho tam giác Kết chứng minh Kết 9: F= ( x2 b2 + c2 ( ) a (b + c ) + b + c ) 2 + ( y2 c2 + a2 ( ) b(c + a ) + c + a + ) 2 ( z a2 + b2 ( ) c(a + b ) + a + b ≥ ) 2 Trong (x,y,z) hoán vị tùy ý (a,b,c) Chứng minh : Từ b.đ.t (*): (a + b + c ) ≥ a + a(b + c )3 ⇔ (2a + b + c )(b + c ) ≥ a(b + c )3 ( ) ≥ z2 a2 + b2 + c2 a(b + c ) a(b + c ) + b + c 2 2 ⇔ 2a + b + c ≥ ⇔ a + b + c ≥ b + c2 b2 + c2 (b + c ) x (b + c ) x2 ⇔ ≥ ⇔ ≥ 2 3 2(a + b + c ) 2(a + b + c ) a (b + c ) + (b + c ) a (b + c ) + (b + c ) ( Tương tự 2 ( y2 c2 + a2 ) ( ) ≥ ) ( ) y2 z a2 + b2 ; a + b + c c(a + b )3 + a + b ) ( ) ( ( ) x (b + c ) y (c + a ) z (a + b ) ⇒F= + + a(b + c ) + (b + c ) b(c + a ) + (c + a ) c(a + b ) + (a + b ) b(c + a ) + c + a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ ( ) x2 + y + z 2 a2 + b2 + c2 ( ) Vì (x,y,z) hoán vị tùy ý (a,b,c) nên x2 + y2 + z = a2 + b2 + c2 ⇒ F ≥ Đẳng thức xảy a=b=c Kết chứng minh Như thông qua kết trên, độc giả thấy b.đ.t (*) có tác dụng không nhỏ việc làm cầu nối để chứng minh sáng tạo nhiều toán b.đ.t hay,đẹp.Tôi xin dừng phép chứng minh kết đây, để dành phần chứng minh cho độc giả muốn khám phá Có điều số kết kết không dễ chứng minh, chí khó chứng minh không sử dụng b.đ.t (*) Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - - www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Kết 10: a + b + c ≥ abc ( ab + bc + ca ) Kết 11: 1 1 + + ≥ 3 3 a + b3 + c3 a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) Kết 12: 1 1 a +b +c  + + ≥   3 3  a + b2 + c2  a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) Kết 13: 1 a+b+c + + ≥ 3 a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) (a + b + c )2 Kết 14: 1 9abc + + ≥ 3 a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) (ab + bc + ca ).(a + b + c )2 Kết 15: a b c + + ≥ 3 (a + b + c ) a + (b + c ) b + (c + a ) c + (a + b ) Kết 16: a2 a + (b + c ) + b2 b + (c + a ) + c2 c + (a + b ) ≥ ( (a + b + c )3 a2 + b2 + c2 ) Kết 17: a2 a + (b + c ) Kết 18: + b2 b + (c + a ) c2 c + (a + b ) ≥ a + b3 + c3 (a + b2 + c2 ) 1 9(a + b + c ) + 3+ ≥ a b c a2 + b2 + c2 ( Biên soạn: Ngô Văn Thái + ) Trang - - www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Kết 19: a3 (b + c ) b3 + (c + a ) + c3 ≥ (a + b ) 3 Kết 20: a4 + a + (b + c ) 3 b4 + b + (c + a ) 3 c4 c + (a + b ) 3 abc ab + bc + ca ≥ Kết 21: a5 a + (b + c ) + b5 b + (c + a ) + c5 c + (a + b )  a + b3 + c3   ≥   a + b + c  Kết 22: a5 a + (b + c ) 3 Kết 23: + b5 + b + (c + a ) ( 3 c5 c + (a + b ) 3 ) ( ( a + b2 + c2 ≥ ) ( ) ) a 2a + b + c b a + 2b + c c a + b + 2c + + ≥ 3 (b + c ) (c + a ) (a + b ) Kết 24: ( a 2a + b + c (b + c ) ( ) + a 2a + b + c 2 ( b a + 2b + c + ) (c + a ) ( ) + b a + 2b + c 2 ( c a + b + 2c + ) (a + b ) ( ) + c a + b + 2c 2 ) Kết 25: a a + (b + c ) 3 + b c + b + (c + a ) 3 c + (a + b ) 3 ≥ a+b+c a + b2 + c2 ≥ 2 Kết 26: a a + 8bc − a + b b + 8ca − b c + c + 8ab − c Kết 27: a3 a + (b + c ) − a 3 Biên soạn: Ngô Văn Thái + b3 b + (c + a ) − b 3 + c3 c + (a + b ) − c 3 ≥ Trang - - ≥1 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Kết 28: a5 b5 c5 + + ≥ abc 2a + 7bc 2b + 7ca 2c + ab Kết 29: ( a b2 + c2 ( ) a(b + c ) + b + c ) 2 + ( b c2 + a ( ) b(c + a ) + c + a ) 2 + ( c a + b2 ( ) c (a + b ) + a + b ) 2 ≥ a+b+c a2 + b2 + c2 ( Kết 30: a3 a + α (b + c ) 3 + b3 b + α (c + a ) 3 + c3 c + α (a + b ) 3 ≥ (α ≥ 1) + 8α Kết 31: x2   a a + 8(bc )    y2 +   b b + 8(ca )    z2 +   c c + 8(ab )    ≥1 Trong (x,y,z) hoán vị tùy ý (a,b,c) Kết 32: [ x2 a a + (b + c ) ] + [ y2 b b3 + (c + a ) ] + z2 [ c c + (a + b ) ] ≥1 Trong (x,y,z) hoán vị tùy ý (a,b,c) Kết 33: Cho a,b,c > Chứng minh 1 3(a + b + c ) + + ≥ a − b − c − a + b + c − (a + b + c )3 ( ) Kết 34: Cho a,b,c > Chứng minh 1 9(a + b + c ) + + ≥ 2 a − b − c − (a + b + c )2 − 3(a + b + c ) Kết 35 : Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 10 - ) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Gọi a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh a3 (b + c ) −a + b3 (c + a ) −b + c3 (a + b ) −c ≥ Kết 36: Gọi a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 a+b+c + + ≥ 3 2 2 2 (b + c ) − a b + c (c + a ) − b c + a (a + b ) − c a + b a + b2 + c ( Kết 37: ) ( ) ( ) Gọi a,b,c độ dài ba cạnh tam giác, α ≥ 1,0 ≤ β ≤ α Chứng minh a3 α (b + c ) − β a 3 + b3 α (c + a ) − βb 3 + c3 α (a + b ) − βc 3 ≥ 8α − β Kết 38: a3 α (b + c ) + βa + b3 + c3 α (c + a ) + βb α (a + b ) + βc Trong α ≥ 1,0 ≤ β ≤ 4α 3 3 ≥ 8α + β Kết 39: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 1 + a(b + c ) + 1 + b(c + a ) + 1 + c(a + b ) ≥ 3+ 2 Lưu ý: Trong số kết đưa (trừ kết 8,35,36,37), kết có chứa biểu thức (a + b )3 , (b + c )3 , (c + a )3 , theo thứ tự thay 4ab(a + b ),4bc(b + c ), 4ca(c + a ) theo thứ tự thay 8(ab )2 ,8(bc )2 ,8(ca )2 3 Thì lại toán b.đ.t tương ứng không chặt so với toán b.đ.t trước chưa thay Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 11 - www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Tài liệu tham khảo [1] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho, 2003,40 năm OLYMPIC toán học quốc tế, Nhà xuất G.D [2] Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ, 2007, Bất đẳng thức suy luận khám phá, Nhà xuất ĐHQG HN [3] Trần Phương, Trần Tuấn Anh, Nguyễn Anh Cường,2009, Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, Nhà xuất Tri thức [4] Phạm Kim Hùng,2006,Sáng tạo bất đẳng thức,Nhà xuất Tri thức [5] Ngô Văn Thái, 2014, Phương pháp bất đẳng thức Chebyshev, Tạp chí Dạy học ngày [6] Ngô Văn Thái, 2015,Phát triển mở rộng bất đẳng thức Nesbitt, đẳng thức Nesbitt, www.MATHVN.com [7] Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Việt nam [8] Tạp chí Dạy học ngày nay, Việt nam [9] www.MATHVN.com Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 12 - [...]... Nguyễn Văn Nho, 2003,40 năm OLYMPIC toán học quốc tế, Nhà xuất bản G.D [2] Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ, 2007, Bất đẳng thức suy luận và khám phá, Nhà xuất bản ĐHQG HN [3] Trần Phương, Trần Tuấn Anh, Nguyễn Anh Cường,2009, Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học, Nhà xuất bản Tri thức [4] Phạm Kim Hùng,2006 ,Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất bản Tri thức [5] Ngô Văn Thái, 2014, Phương pháp bất đẳng thức. .. [5] Ngô Văn Thái, 2014, Phương pháp bất đẳng thức Chebyshev, Tạp chí Dạy và học ngày nay [6] Ngô Văn Thái, 2015,Phát triển mở rộng bất đẳng thức Nesbitt, đẳng thức Nesbitt, www.MATHVN.com [7] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Việt nam [8] Tạp chí Dạy và học ngày nay, Việt nam [9] www.MATHVN.com Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 12 - ... những kết quả nào có chứa biểu thức (a + b )3 , (b + c )3 , (c + a )3 , theo thứ tự lần lượt thay bằng 4ab(a + b ),4bc(b + c ), 4ca(c + a ) hoặc theo thứ tự lần lượt thay bằng 8(ab )2 ,8(bc )2 ,8(ca )2 3 3 Thì sẽ lại được những bài toán b.đ.t mới tương ứng nhưng không chặt so với bài toán b.đ.t trước khi chưa thay Biên soạn: Ngô Văn Thái Trang - 11 - 3 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Tài liệu tham...www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng a3 (b + c ) 3 −a + 3 b3 (c + a ) 3 −b + 3 c3 (a + b ) 3 −c 3 ≥ 3 7 Kết quả 36: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 a+b+c + + ≥ 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 (b + c ) − a b + c (c... giác Chứng minh rằng b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 a+b+c + + ≥ 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 (b + c ) − a b + c (c + a ) − b c + a (a + b ) − c a + b a + b2 + c 2 ( Kết quả 37: ) ( ) ( ) Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác, α ≥ 1,0 ≤ β ≤ α Chứng minh rằng a3 α (b + c ) − β a 3 3 + b3 α (c + a ) − βb 3 3 + c3 α (a + b ) − βc 3 3 ≥ 3 8α − β Kết quả 38: a3 α (b + c ) + βa 3 + b3 + c3 α (c + a ) + βb α (a + b ) ... Hùng,2006 ,Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri thức [5] Ngô Văn Thái, 2014, Phương pháp bất đẳng thức Chebyshev, Tạp chí Dạy học ngày [6] Ngô Văn Thái, 2015,Phát triển mở rộng bất đẳng thức Nesbitt, đẳng. .. minh kết 2-Sử dụng bất đẳng thức (*) để sáng tạo toán bất đẳng thức Tất kết sinh từ b.đ.t (*) có giải thiết a,b,c ba số thực dương, riêng kết từ 30 đến 39, kết có bổ xung giả thiết để toán Kết... đổi từ phía bạn đọc Bài viết dành để tặng em học sinh giỏi môn toán, tác giả vui mừng sau em đọc xong viết tự sáng tạo toán hay, đẹp từ toán quen thuộc, chúc em thành công 1-Sử dụng bất đẳng thức