CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI đã in

§ CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN Bài 1: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư 2, chữ số hàng trăm chia cho chữ số hàng đơn vị thương dư Hd: + Gọi số cần tìm abc , (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0) Ta có: b = c × + Chữ số hàng đơn vị phải lớn ( số dư 2) Chữ số hàng đơn vị lớn (vì chẳng hạn b = x + = 10) Vậy suy c = + Ta thấy: b = x + = Theo đề ta lại có: a = c x + = x + = Thử lại: = × + 2; = × + Bài 2: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số cộng với tổng chữ số 2000 Hd: + Giả sử số abcd , a ≠ 0;0 < a, b, c, d < 10 Theo đề ta có 2000 - abcd = a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = abcd Lập luận để có ab = 19 + Từ tìm c = d = Thử lại: 2000 – 1981 = + + + = 19 Vậy số cần tìm 1981 Bài 3: Tìm số tự nhiên A có chữ số, biết B tổng chữ số A C tổng chữ số B, đồng thời cho biết A = B + C + 51 Hd: + Giả sử A = ab , a ≠ 0;0 < a, b < 10 Lập luận để có C số có chữ số c nên ab = a + b + c + 51 hay a × = c + 51 Từ a × = c + 51 lập luận để có a = + Từ a = tìm c = Nên số phải tìm 6b Xét 60, … , 69 ta thấy có 66 cho kết c = Thử lại: 12 + + 51 = 66 Vậy 66 số cần tìm Bài 4: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chia số cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị thương 15 dư Hd: + Gọi số phải tìm ab, (a ≠ 0; a, b < 10) Theo đầu ta có ab = (a – b) ×15 +2 Hay b × 16 = a × + Nếu a lớn a × + lớn 47 Khi b × 16 lớn 47 nên b lớn (vì 47 : 16 = dư 15) + Vì a × + ≠ nên b ≠ b = a = 14 : (loại) b = a = Thử lại (6 – 2) × 15 + = 62 Số phải tìm 62 Bài 5: Tìm số có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương dư 12 Hd: + Gọi số phải tìm ab , ( ≤ a, b < 10, a ≠ 0) Ta có ab = × (a + b) + 12, với a + b > 12 Sau biến đổi ta có: × a = × b + 12 + Vì × b + 12 chia hết : × a chia hết cho , suy a = a = 8, thay vào ta tìm a = Thử lại thấy thoả mãn Kết luận: Số phải tìm 87 Bài 6: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số chia cho tổng chữ số thương 11 Hd: + Gọi số cần tìm abc , (a, b, c chữ số từ đến 9, a khác 0) abc = ( a + b + c ) ×11 (theo ra) 100 × a + 10 × b + c = 11× a + 11× b + 11× c (cấu tạo số nhân số với tổng) 89 × a = b + 10 × c (cùng bớt 11× a + 10 × b + c ) 89 × a = cb ⇒ a = 1, cb = 89 ⇒ abc = 198 Bài 7: Tìm số chia thương phép chia có dư mà số bị chia 5544, số dư 10, 14 cuối Hd: 5544 -… … … - Lập luận để có thương số có chữ số, số chia số có chữ số 104 - Mô trình chia: -… - Tìm tích riêng tương ứng với lần chia có số dư 144 10, 14, -… + Tích số chia chữ số hàng cao thương 55 – 10 = 45 + Tích số chia chữ số hàng cao thứ thương 104 – 14 = 90 + Tích số chia chữ số hàng cao thứ thương 114 – = 135 Trong tích riêng có số 45 số lẻ nhỏ nên số chia số lẻ, mà số 45 chia hết cho số có chữ số 45 Vậy số chia 45, thương 123 Bài 8: Khi nhân số tự nhiên với 2008, học sinh quên viết chữ số số 2008 nên tích bị giảm 221400 đơn vị Tìm thừa số chưa biết Hd: Thừa số biết 2008, viết sai thành 208 Thừa số bị giảm 2008 – 208 = 1800 (đvị) Thừa số chưa biết giữ nguyên, thừa số biết bị giảm 1800 đơn vị tích bị giảm 1800 lần thừa số chưa biết Theo đề số giảm 221400 Vậy thừa số chưa biết 221400 : 1800 = 123 Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị, ta thương 28 dư Hd: Gọi số phải tìm ab , ( ≤ a, b < 10, a ≠ 0) Ta có ab = (a – b) × 28 + Khi < a – b < không ab số có chữ số Nếu a – b = ab = 29 loại a không trừ cho b Nếu a – b = ab = 57 loại a không trừ cho b Nếu a – b = ab = 85 chọn a – b = – = Bài 10: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp 20 lần tổng chữ số Hd: Gọi số phải tìm abc , ( ≤ a, b, c < 10, a ≠ 0) Theo ta có: abc = (a + b + c) × 20 Vế trái có tận nên vế phải có tận 0, hay c = Khi đ ó 10 ab = 20 (a+b) Suy ab =2(a+b) suy 10a+b=2a+2b ta có: × a = b suy a = 1, b = Thử lại: 180 = (1 + + 0) × 20 Bài 11: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số gấp lần tích chữ số Hd: Gọi số phải tìm abc , ( ≤ a, b, c < 10, a ≠ 0) Theo ta có: abc = × a × b × c Điều chứng tỏ abc M5 , tức c = c = Dễ thấy c = vô lý ( Loại) Với c = 5: Ta có ab5 M25 Vậy suy b = b = Với b = vô lý (Loại) Với b = 7: Suy a = Số phải tìm 175 Bài 12: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chuyển chữ số cuối lên trước chữ số đầu ta số số cho 765 đơn vị Hd: Gọi số phải tìm abc , ( ≤ a, b, c < 10, a ≠ 0) Theo ta có: cab - abc = 765 ⇒ 11 × c = 85 + b + 10 × a Vì 85 + b + 10 × a ≥ 95 ⇒ 11 × c ≥ 95 ⇒ c = ⇒ 14 = b + 10 × a ⇒ a = 1, b = Vậy số phải tìm 149 Bài 13: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết ta xóa chữ số hàng trăm ta số giảm lần so với số ban đầu Hd: Gọi số phải tìm abc , ( ≤ a, b, c < 10, a ≠ 0) Theo ta có: abc = × bc ⇒ a × 100 = × bc ⇒ a × 50 = × bc ⇒ a bội ⇒ a = 3, bc = 50 Vậy số phải tìm 350 Bài 14: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết ta viết số theo thứ tự ngược lại ta số lớn hơn số cho 693 đơn vị Hd: Gọi số phải tìm abc , ( ≤ a, b, c < 10, a ≠ 0) Theo ta có: cba - abc = 693 ⇒ 99 × (c – a) = 693 ⇒ c – a = 693 : 99 = ⇒ a = 1, c = ; a = 2, c = b = 0, 1, 2, … , Bài 15: Tìm số tự nhiên có chữ số có chữ số hàng đơn vị 5, biết chuyển chữ số lên đầu ta số giảm bớt 531 đơn vị Hd: Gọi số phải tìm abc5 , ( ≤ a, b, c < 10, a ≠ 0) Theo ta có: abc5 - 5abc = 531 ⇒ abc × 10 + - ( 5000 + abc) = 531 ⇒ abc = 614 Vậy số phải tìm là: 6145 Bài 16: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết xóa chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số giảm 4455 đơn vị Hd: Gọi số phải tìm abcd , ( ≤ a, b, c, d < 10, a ≠ 0) Theo ta có: abcd - ab = 4455 ⇒ cd = 99 × ( 45 - ab ) ⇒ ( 45 - ab ) = 0, ( 45 - ab ) = Nếu ( 45 - ab ) = 0: Số phải tìm 4500 Nếu ( 45 - ab ) = 1: Số phải tìm 4499 Bài 17: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết viết số theo thứ tự ngược lại ta số gấp lần số ban đầu Hd: Gọi số phải tìm abcd , ( ≤ a, b, c, d < 10, a ≠ 0) Theo ta có: abcd × = dcba ⇒ a = a = a ≥ tích abcd × không số có chữ số Nếu a = 1: Ta có 1bcd × = dcb1 điều vô lý Nếu a = 2: Ta có 2bcd × = dcb2 ⇒ × d có tận ⇒ d = d = Nếu d = 3: Ta có 2bc3 × > 3cb2 vô lý Nếu d = 8: Ta có 2bc8 × = 8cb2 ⇒ 390 × b + 30 = 60 × c ⇒ 39 × b + = × c ⇒ b = 1, c = Vậy số phải tìm là: 2178 Bài 18: Tìm số tự nhiên biết viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta số gấp lần số ban đầu Hd: Vì số phải tìm có chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị nên phải số có chữ số Vậy gọi số phải tìm Ab , ( ≤ b < 10, A > 0) Theo ta có: Ab × = A0b ⇒b×6=A×5×6 ⇒b=A×5 ⇒ b = (Vì A > 0) ⇒ A = Số phải tìm 15 Bài 19: Tìm số tự nhiên biết viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục chữ số hàng trăm ta số gấp lần số ban đầu Hd: Vì số phải tìm có chữ số hàng chục chữ số hàng trăm nên phải số có chữ số Vậy gọi số phải tìm Abc , ( ≤ b, c < 10, A > 0) Theo ta có: Abc × = A0bc ⇒ bc × = A × 80 × ⇒ bc = A × 80 ⇒ bc = 80 (Vì A > 0) ⇒ A = Số phải tìm 180 § DÃY SỐ CÁCH ĐỀU Bài 1: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, , 2006 a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 190 số hạng nào? b) Chữ số thứ 100 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd: a) Số số hạng: (2006 – 2) : + = 1003 Số hạng thứ 190 là: (190 – 1) × + = 380 b) Dãy số 2, 4, 6, …, 98 có + [(98 – 10) : + 1] × = 94 chữ số Vì 94 < 100 nên chữ số thứ 100 phải nằm dãy số 100, 102, 104, …, 998 Chữ số thứ 100 dùng để viết dãy số cho chữ số thứ 100 – 94 = dãy số 100, 102, 104, …, 998 Vậy chữ số thứ 100 chữ số Bài 2: Cho dãy số 11, 13, 15, , 175 a) Tính số chữ số dùng để viết tất số hạng dãy số cho Chữ số thứ 136 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng số hạng dãy số cho Hd: a) Dãy số 11, 13, …, 99 có [(99 – 11) : + 1] × = 90 chữ số Dãy số 101, 103, …, 175 có [(175 – 101) : + 1] x = 114 chữ số Số chữ số sử dụng dãy cho là: 90 + 114 = 204 (chữ số) + Vì 204 > 136 > 90 nên chữ số thứ 136 phải nằm dãy số 101, 103, …,175 Chữ số thứ 136 dãy số 11, 13, 15, , 175 chữ số thứ 136 – 90 = 46 dãy số 101, 103, …, 175 + Ta có: 46 : = 15 (dư 1) + Tìm số hạng thứ 16 dãy số 101, 103, …, 175 131 Vậy chữ số thứ 136 dãy cho b) Số số hạng dãy số cho 45 + 38 = 83 Vậy suy ra:11 + 13 + 15 + … + 175 = (11 + 175) 83 : = 7719 Bài 3: Cho dãy số 4, 8, 12, 16, a) Xét xem số 2002 2008 có thuộc dãy số cho không? Nếu thuộc cho biết số thứ tự dãy b) Chữ số thứ 74 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd: a) Đặc điểm dãy số cho số hạng dãy chia hết cho Số 2002 không chia hết không thuộc dãy số cho Số 2008 chia hết thuộc dãy số cho Số thứ tự dãy số 2008 (2008 – 4) : + = 502 b) Trong dãy 12, 16, 20, …, 96 có [(96 – 12) : + 1] × = 44 chữ số Vậy chữ số thứ 74 dãy số cho chữ số thứ 74 – – 22 × = 28 dãy số 100, 104, 108, … Ta có 28 : = nên chữ số thứ 28 dãy số 100, 104, 108, … chữ số cuối số hạng thứ dãy số 100, 104, 108, … Chữ số cần tìm Bài 4: Cho dãy số 11, 14, 17, 20, … a) Chữ số thứ 166 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng 130 số hạng dãy số cho Hd: a) Dãy số 11, 14, 17, …, 98 có số chữ số là: [(98 – 11) : + 1] × = 60 Dãy số 101, 104, 107, …, 998 có số chữ số là: [(998 – 101) : + 1] × = 900 Vì 60 < 166 < 900 nên chữ số thứ 166 phải nằm dãy số 101, 104, …, 998 Chữ số thứ 166 dãy số cho chữ số thứ 166 – 60 = 106 dãy số 101, 104, …, 998 Ta có: 106 : = 35 (dư 1) nên chữ số thứ 166 dãy số cho chữ số số hạng thứ 36 dãy số 101, 104, …, 998 Số hạng thứ 36 dãy số101, 104, …, 998 206 Vậy chữ số cần tìm b) Số hạng thứ 130 398 Vậy tổng (11 + 398) × 100 : = 20450 Bài 5: Cho dãy số 1, 3, 5, 7, , 2009 a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 230 số hạng nào? b) Chữ số thứ 100 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd: a) Số số hạng: (2009 – 1) : + = 1005 Số hạng thứ 230 là: (230 – 1) × + = 459 b) Chữ số thứ 100 chữ số Bài 6: Cho dãy số 10, 12, 14, , 138 a) Chữ số thứ 103 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng số hạng dãy số cho Hd: a) Số chữ số sử dụng dãy 10, 12, … 96, 98 × 45 = 90 (chữ số) Vì 103 > 90 nên chữ số thứ 103 dãy số cho phải nằm dãy số 100, 102, …, 138 Chữ số thứ 103 dãy số cho chữ số thứ 103 – 90 = 13 dãy số 100, 102, …, 138 + Ta có: 13 : = (dư 1) nên chữ số thứ 103 dãy số cho chữ số số hạng thứ dãy số 100, 102, …, 138 Số hạng thứ dãy số100, 102, …, 138 108 Vậy chữ số cần tìm b) Số số hạng dãy (138 – 10) : + = 65 Vậy 10 + 12 + 14 + … + 138 = (10 + 138) × 65 : = 4810 Bài 7: Cho dãy số 101, 102, 103, …, 1000, 1001, , 2005 a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 75 số hạng nào? b) Tính số chữ số dùng để viết tất số hạng dãy số cho Chữ số thứ 116 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd: a) Số số hạng (2005 – 101) : + = 1905 Số hạng thứ 75 (75 – 1) × + 101 = 175 b) Số chữ số 899 × + 1006 × = 8721 Vì có: 116 < 899 × nên chữ số thứ 116 thuộc dãy số 101, 102, …999 Ta oó 116 : = 38 (dư 2) nên chữ số thứ 116 chữ số thứ số hạng thứ 39 dãy số cho Số hạng thứ 39 (39 – 1) × + 101 = 139 Vậy chữ số cần tìm chữ số Bài 8: Cho dãy số 11, 16, 21, 26, 31, a) Tính số chữ số dùng để viết số hạng dãy số cho kể từ số hạng đến số hạng 2001 Chữ số thứ 124 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng 203 số hạng dãy số cho Hd: a) [(96 – 11) : + 1] × + [(996 – 101) : + 1] × 3] + × = 18 × + 180 × + × = 580 Ta có 18 × < 124 < 180 × nên chữ số thứ 124 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 106, …, 996 Chữ số thứ 124 dãy số cho chữ số thứ 124 – 18 × = 88 dãy số 101, 106, …, 996 Ta có 88 : = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 106, …, 996 chữ số thứ số hạng thứ 30 dãy số 101, 106, …, 996 Số hạng thứ 30 (30 – 1) × + 101 = 246 Vậy chữ số cần tìm chữ số b) Số hạng thứ 203 (203 – 1) × + 11 = 1021 Tổng (11 + 1021) × 203 : = 104748 Bài 9: Cho dãy số 2, 5, 8, 11, …, 2009 a) Dãy có số hạng? Số hạng thứ 99 số hạng nào? b) Chữ số thứ 50 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd: a) Số số hạng: (2009 – 2) : + = 670 Số hạng thứ 99 là: (99 – 1) × + = 296 b) Dãy số 2, 5, có chữ số Dãy số 11, 14, 17, …, 98 có [(98 – 11) : + 1] × = 60 chữ số Có < 50 < 60 nên chữ số thứ 50 dãy số cho thuộc dãy số 11, 14, 17, …, 98 Chữ số thứ 50 dãy số cho chữ số thứ 50 – = 47 dãy số 11, 14, 17, …, 98 Ta có 47 : = 23 (dư 1) nên chữ số thứ 47 dãy số 11, 14, 17, …, 98 chữ số thứ số hạng thứ 24 dãy số 11, 14, 17, …, 98 Số hạng thứ 24 (24 – 1) × + 11 = 80 Vậy chữ số cần tìm chữ số Bài 10: Cho dãy số 1, 5, 9, 13, … a) Chữ số thứ 135 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? b) Tính tổng 200 số hạng dãy số cho Hd: a) Dãy số 1, 5, 9, 13, 17, 21, …, 97 có + [(97 – 13) : + 1] × = 47 chữ số Dãy số 101, 105, 109, …, 997 có [(997 – 101) : + 1] × = 675 chữ số Vì 47 < 135 < 675 nên chữ số thứ 135 phải nằm dãy số 101, 105, …, 997 Chữ số thứ 135 dãy số 101, 105, …, 997 chữ số thứ 135 – 47 = 88 dãy số 101, 105, …, 997 Ta có: 88 : = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 105, …, 997 chữ số thứ số hạng thứ 30 dãy số 101, 105, …, 997 Số hạng thứ 30 (30 – 1) × + 101 = 217 Vậy chữ số cần tìm chữ số b) Số hạng thứ 200 (200 – 1) × + = 797 Tổng (1 + 797) × 200 : = 79800 Bài 11: Cho dãy số 5, 8, 11, … a) Tính tổng 205 số hạng dãy số cho? b) Chữ số thứ 135 dùng để viết dãy số cho chữ số nào? Hd: a) Số hạng thứ 204 dãy số là: [(204 – 1) × 3] + = 620 Tổng 204 số hạng đầu dãy: (620 + 5) × 102 = 62500 + 1250 = 63750 Tổng 204 số hạng đầu dãy: 63750 + 623 = 64373 b) Số có chữ số dãy là: (8 – 5) : + = Số có chữ số dãy là: (98 – 11) : + = 30 Số có chữ số dãy là: (998 – 111) : + = 330 Ta có × + 30 × < 135 < 330 × nên chữ số thứ 135 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 104, …, 998 Chữ số thứ 135 dãy số cho chữ số thứ 135 – 30 × - = 63 dãy số 101, 104, …, 998 Ta có 63 : = 21 (dư 0) nên chữ số thứ 63 dãy số 101, 104, …, 998 chữ số thứ số hạng thứ 21 dãy số 101, 104, …, 998 Số hạng thứ 21 (21 – 1) × + 101 = 161 Vậy chữ số cần tìm chữ số Bài 12: Tính tổng S = 10, 11 + 11, 12 + 12, 13 + … + 98, 99 + 99, 100 Hd: S = (10 + 11 + 12 + … + 98 + 99) + (0, 10 + 0, 11 + 0, 12 + … + 0, 98 + 0, 99) = [(99 × 100) : – (9 × 10) : 2] + [(99 × 100) : – (9 × 10) : : 100] = 4905 + 49, 05 = 4954, 05 Bài 13: Tính tổng S = – + – + …… - 1000 + 1001 Hd: S = + (3 – 2) + (5 - 4) + …… + (1001 – 1000) = + + + ……+ = + [(1001 – 2) : + 1] : = 501 Bài 14: Cho dãy số , , 7, 10 , … 3 a) Xác định số hạng thứ 2009 dãy số cho? b) Trong 2009 số hạng đầu dãy có số tự nhiên? Tính tổng tất số tự nhiên đó? Hd: 10 10 20081 Vậy số hạng thứ 2009 dãy số là: (2009 - 1) × + = 3 a) Ta thấy dãy số dãy số cách với khoảng cách d = b) Số hạng thứ 2007 dãy số là: (2007 - 1) × 10 + = 669 3 Dãy số tự nhiên có 2009 số hạng đầu dãy là: 7, 17, 27, …, 669 Từ dễ dàng suy kết với dãy số tự nhiên cách Bài 15: a) Tìm x biết: (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + …… + (x + 28) = 155 b) Tính tổng: S = 9, + 8, + …… + 2, – 1, – 2, - … – 7, – 8, Hd: a) Ta có: x + + x + + x + + …… + x + 28 = 155 (x + x + … + x) + (1 + + + … + 28) = 155 10 × x + 145 = 155 x =1 b) Ta có: S = 9, + 8, + …… + 2, – 1, – 2, - … – 7, – 8, = (2, – 1, 2) + (3, – 2, 3) + … (8, – 7, 8) + (9, – 8, 9) = 1, × = 8, 10 Hd: a) dt(ABFE) = (AE+BF)×AB AD×AB = = × dt(ABC) 2 M A B dt(DEFC) = ? Tương tự vỡ hai hình thang b) F E 1 AM×AE+ BM×BF 2 1 = (AM+BM)×AD = AB×AD 4 I dt(AEM)+dt(BFM)= D N C Tương tự ta có : AB×AD ⇒ dt(MEF) = dt(NEF) ⇒ h1 = h2 dt(DEM)+dt(CFN)= Bài 23: Cho ABCD hình chữ nhật Lấy điểm E, F hai cạnh AB, CD cho EA = ED = FB = FC Lấy I EF cho EI = × FI a) So sánh: dt(AMND) dt(CNMB) b) Chứng minh rằng: EI = AM + DN ⇒ IM = IN A M B F E I D N C Hd: (AM+DN)×AE = (AM+DN)×AD = dt(AMND) ⇒ dt(AEM) + dt(DEN) = dt(EMN) Tương tự : dt(BFM) + dt(CFN) = dt(FMN) dt(AEM)+dt(DEN)= Ta có : dt(MEI) = 2× dt(MFI) dt(NEI) = 2× dt(NFI) ⇒ dt(MEI) + dt(NEI) = [ dt(MFI) + dt(NFI) ] 44 4 43 44 4 43 ⇒ dt(EMN) = 2× dt(FMN) ⇒ 2×dt(EMN) = 4× dt(FMN) Do suy ra: dt (AMND) = 2×dt (CMNB) Bài 24: 39 Cho ABCD hình chữ nhật BC = ; AB = 10 BM = DN ; EB = EC Kẻ EF song song với AB, CD a) So sánh: dt(AMND) dt(BMNC) b) Tính EF = ? M A B E F D Hd: N a) - Chứng tỏ hai tứ giác BMNC DNMA hai hình thang - Áp dụng công thức tính diện tích hình thang vào tứ giác BMFE EFNC - Từ suy diện tích chúng nửa diện tích hình chữ nhật C b) Tính tổng diện tích hai hình thang BMFE EFNC hai hình thang diện tích hình thang BMNC 40 Ta có: × (BM + EF) + × (EF + CN) = 40 ⇒ (BM + EF) + (EF + CN) = 20 Mà ta biết BM + CN = AB = 10 nên suy ra: × EF = 10 ⇒ EF = Bài 25: Cho ABCD hình chữ nhật có: Diện tích hình chữ nhật 108 cm M A MA = MB ; DM = × DN Hãy tính: h a) dt(DMI) =? b) dt(DIC) =? N c) dt(MNIC) =? I Hd: D a)Ta có dt(BDM) = × dt(ABD) = 27 cm 2 dt(AMN) = × dt(ADN) dt(IMN) = × dt(IDN) ⇒ dt(AMN) + dt(IMN) = × [dt(ADN) + dt(IDN)] ⇒ dt(AMI) = × dt(ADI) Mà dt(AMI) = dt(BMI) ⇒ dt(AMI) = dt(BMI) = × dt(ADI) Ta dễ thấy dt(AMI) + dt(BMI) + dt(ADI) = dt(ABD) = 54 cm Do suy ra: dt(BMI) = 54 : × = 21,6 cm2 ⇒ dt(DMI) = dt(BMD) – dt(BMI) = 27 – 21,6 = 5,4 cm A b) Ta có dt(BDM) = × dt(BCD) = 27 cm 2 O ⇒ h1 = 2× h2 ⇒ dt(DIC) = 2× dt(DMI) = × 5,4 = 10,8 cm c) Ta có dt(DMI) = dt(DNI) + dt(MNI) = 5,4 cm2 dt(MNI) = × dt(DNI) D ⇒ dt(MNI) = 5,4 : (2 + 1) × = 3,6 cm2 Do ra: dt(MNIC) = dt(BMI) + dt(MNI) + dt(BCD) – dt(CDI) dt(MNIC) = 21,6 + 3,6 + 54 – 10,8 = B h1 C B C Bài 26: 40 Cho ABCD hinh thang có: Biết dt(ODC) = cm2 , dt(OAB) = cm2 Hãy tính dt(ABCD) = ? Hd: Ta có: OB dt(AOB) OB dt(COB) = = OD dt(AOD) OD dt(COD) dt(COB) dt(AOB) = Do suy Mà dễ thấy dt(COB) = dt(AOD) = x giả thiết cho dt(COD) dt(AOD) x = dt(ODC) = cm2 , dt(OAB) = cm2 Suy có: ⇒ x=2 x Vậy diện tích dt(ABCD) = + + + = cm2 Bài 27: Co tứ giác ABCD hình thang Điểm M AB cho MA = MB Gọi giao điểm AC × DB = O; MO × CD = N Hãy so sánh độ dài hai đoạn NC ND A M B O Hd: Ta có: dt (DMB) = dt(CMA) D C ⇒ S4 + S3 + S2 + S6 = S1 + S2 + S3 + S5 N Mà S4 +S3 = S1 +S2 ( Vì ta biết : dt(OAM) = dt (OBM) ) ⇒ S2 + S6 = S3 + S5 ⇒ dt( DOM) = dt( COM) ⇒ h = h2 ⇒ dt(DOM) = dt(COM) ⇒ NC = ND Bài 28: Một ruộng hình chữ nhật có diện tích 675 m2 tổng chiều dài chiều rộng gấp lần hiệu chúng Tính kích thước ruộng Hd: Theo ta có sơ đồ sau: Hiệu: Tổng: Do ta có chiều rộng mảnh đất là: (8 – 2) : = (Phần) Do ta có chiều dài mảnh đất là: (8 + 2) : = (Phần) Ta chia chiều dài thành phần nhau, chiều rộng thành phần đồng thời nối cặp điểm tương ứng chiều dài chiều rộng ta 15 ô vuông với cạnh ô vuông phần 41 Vậy diện tích ô vuông là: 675 : 15 = 25 (m2) Vậy kích thước mỗ ô vuông m Kích thước chiều rộng ruộng là: × = 15 (m) Kích thước chiều dài ruộng là: × = 25 (m) Bài 29: Chứng tỏ tất hình chữ nhật hình vuông chu vi hình vuông có diện tích lớn A B x P Hd: Theo ta có hình vẽ sau: M N x D Q C Bài 30: Cho tam giác vuông ABC vuông A, cạnh AC = cm, cạnh AB = cm Hãy tính độ dài cạnh huyền BC Hd: - Cắt tam giác vuông ABC vuông A, cạnh AC = cm, cạnh AB = cm toán cho - Ghép tam giác vuông lại với tạo thành hình vuông ABCD có cạnh cạnh huyền chúng tạo hình vuông MNPQ rỗng (theo hình vẽ bên) - Ta có diện tích hình vuông ABCD là: × + = 25 - Suy cạnh hình vuông cm, tức cạnh huyền cm A B N M P Q D C Bài 31: Cho tam giác ABC Hãy cắt ghép tam giác tạo thành hình chữ nhật Hd: A - Cách cắt: + Lấy hai điểm M, N điểm AB, AC N + Hạ AH ⊥ MN = H M E H + Hạ BE ⊥ MN = E + Hạ CF ⊥ MN = F - Cách ghép: + Ghép ∆AHM vào ∆BEM B + Ghép ∆AHN vào ∆CFN Ta có ∆ABC cắt ghép thành hình chữ Bài 32: nhật BEFC F C 42 Khi tăng bán kính hình tròn thêm 20% diện tích hình tròn tăng thêm phần trăm? Hd: Bán kính hình tròn cũ R, diện tích hình tròn cũ là: 3,14 × R × R Vậy bán kính hình tròn 120%× R, diện tích hình tròn là: 3,14 × 120%× R × 120%×R = 3,14 × R × R × 144% Do ta có diện tích hình tròn tăng lên là: 144% - 100% = 44% Bài 33: Dùng que diêm xếp thành 10 hình tam giác? Hd: Xếp theo hình ông cánh hình bên Bài 34: Dùng que diêm xếp thành hình tam giác? Hd: Xếp theo hình tam giác lồng vào hình vẽ bên Bài 35: Hãy chia tam giác thành phần tương đương đường thẳng qua điểm M cho trước nằm cạnh tam giác đó? Hd: Cách dựng: + Lấy D điểm cạnh BC + Kẻ tia Ax // MD cắt BC N Nối MN đường thẳng cần dựng Chứng minh: Dùng phương pháp diện tích A M B D N C Bài 36: 43 Hãy chia tứ giác lồi ABCD thành phần tương đương đường thẳng qua điểm M cho trước nằm cạnh AB tứ giác đó? Hd: A Cách dựng: M + Kẻ tia Ax // MD cắt CD kéo dài B điểm E + Kẻ tia By // MC cắt DC kéo dài điểm F + Lấy N điểm cạnh EF Nối MN đường thẳng cần dựng Chứng minh: Dùng phương pháp diện tích F E D C N Bài 37: Khi tăng chiều rộng hình chữ nhật thêm 10% phải giảm chiều dài phần trăm để diện tích hình chữ nhật không đổi? Hd: Hình chữ nhật cũ: Diện tích = chiều dài × chiều rộng Hình chữ nhật mới: + Chiều rộng = 1,1 × chiều rộng + Chiều dài = x × chiều dài + Diện tích = 1,1 × chiều rộng × x × chiều dài Để diện tích không đổi ta có: Chiều dài × chiều rộng = 1,1 × chiều rộng × x × chiều dài 10 11 10 = Vậy suy chiều dài phải giảm 11 11 ⇒ 1,1× x = ⇒ x= Bài 38: Hãy chia hình chữ nhật kích thước cm × cm thành phần tương đương có hình dạng đôi khác nhau? Hd: + Cách 1: Dùng mắt lưới ô vuông Chia chiều rộng thành phần phần cm Chia chiều dài thành phần phần cm Nối điểm chia tương ứng cạnh tạo thành 24 ô vuông ô vuông cạnh cm Cắt hình chữ nhật thành hình hình ô vuông có hình dạng đôi mặt khác + Cách khác: Không dùng mắt lưới ô vuông sử dụng điểm (12 cách) B A B A P M B A D N Q D C M D C NP Q M N B A D C M N C 44 B A O D Tạo hình C N B A O Tạo hình M D C Bài 39: Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A 1, A2, …… , A10 điểm O đường thẳng nối 10 điểm Tính số tam giác giác tạo thành nối 11 điểm với nhau? O Hd: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 Ta thấy: Điểm A1 với điểm Ai lại sau A1 với điểm O tạo thành hình tam giác Điểm A2 với điểm Ai lại sau A2 với điểm O tạo thành hình tam giác ………… Điểm A9 với điểm A10 lại sau A9 với điểm O tạo thành hình tam giác Vậy số tam giác tạo thành là: + + + + + + + + = 45 Bài 40: 45 Trong mặt phẳng cho 10 điểm thẳng hàng A1, A2, …… , A10 hai điểm P, Q đường thẳng nối 10 điểm Tính số tam giác giác tạo thành nối 12 điểm với nhau? Hd: P Q A1 A A A A A6 A A A A10 Ta áp dụng kết 2quả toán4 trên: Điểm P 10 điểm thẳng hàng ta 45 tam giác tạo thành; điểm Q 10 điểm thẳng hàng ta 45 tam giác tạo thành Xét điểm P, Q, với 10 điểm thẳng hàng không thẳng hàng ta có 10 tam giác tam giác Kết luận: Nếu P, Q không thẳng hàng với điểm 10 điểm ta có 45 + 45 + 10 = 100 (tam giác) Nếu P, Q thẳng hàng với điểm 10 điểm ta có 45 + 45 + = 99 (tam giác) 46 § MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC Bài 1: Một cửa hàng gạo có tổng số gạo nếp gạo tẻ 1950 kg Sau bán số gạo nếp số gạo tẻ số gạo nếp gạo tẻ lại Hỏi lúc đầu cửa hàng có kg gạo nếp; kg gạo tẻ? Hd: 4 số gạo nếp lúc đầu = số gạo tẻ lúc đầu 1 Do số gạo nếp lúc đầu = số gạo tẻ lúc đầu Ta có: Biểu thị số gạo nếp lúc đầu phần, số gạo tẻ lúc đầu phần, ta có sơ đồ: Gạo nếp: Gạo tẻ: 1950 kg Giá trị phần 1950 : (6 + 7) = 150 (kg) Số gạo nếp lúc đầu 150 × = 900 (kg) Số gạo tẻ lúc đầu 150 × = 1050 (kg) Bài 2: số cam số chanh người bán hàng thấy lại 150 hai loại, số cam số chanh Hỏi lúc đầu Một cửa hàng rau có rổ đựng cam chanh Sau bán cửa hàng có loại? Hd: = 8 = Phân số số chanh lại − 5 Phân số số cam lại − Ta có sơ đồ: số cam: số cam: 150 số cam lại cửa hàng 150 : (2 + 3) × = 60 (quả) + số chanh lại cửa hàng 150 – 60 = 90 (quả) + Số cam lúc đầu cửa hàng có 60 : × = 160 (quả) Số chanh lúc đầu cửa hàng có 90 : × = 225 (quả) Bài 3: Dung dịch nước biển chứa 5% muối Hỏi cần đổ thêm gam nước tinh khiết vào 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối 3%? Hd: 47 Lượng muối có 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối 5% là: (5 × 45) : 100 = 2,25 (g) Lượng dung dịch nước biển với tỷ lệ muối 3% có chứa 2,25 gam muối là: (2,25 × 100) : = 75 (g) Lượng nước tinh khiết cần phải đổ thêm vào là: 75 - 45 = 30 (g) Bài 4: Dung dịch nước biển chứa 5% muối Hỏi cần đổ thêm gam muối vào 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối tăng lên 9%? Hd: Lượng nước tinh khiết có 45 gam dung dịch nước biển để tỷ lệ muối 5% là: (95 × 45) : 100 = 42,75 (g) Lượng dung dịch nước biển với tỷ lệ muối 9% có chứa 42,75 gam nước tinh khiết là: (42,75 × 100) : = 47,5 (g) Lượng muối cần phải đổ thêm vào là: 47,5 - 45 = 2,5 (g) Bài 5: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 5? Hd: Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (5 × × × × 9) + (5 × × × × 8) Bài 6: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 2? Hd: Số số tự nhiên gồm chữ số khác nhau: + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × × × 48 Mà tập số tự nhiên số số chẵn số lẻ nhau, nên suy số số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho là: (5 × × × × × 9) : = × × × × × Bài 7: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác mà chia hết cho 4? Hd: Ta biết điều kiệncần đủ để số tự nhiên chia hết cho chữ số tận số chia hết cho Số số gồm chữ số hàng chục hàng đơn vị khác mà chia hết cho 4: {04, 08, 12, … , 92, 96 } \ {44, 88} [(96 – 04) : +1] – [2] = 22 Trong 22 số có 16 số không chứa chữ số không số chứa chữ số là: 04, 08, 20, 40, 60, 80 Trường hợp 1: Hai chữ số cuối chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × [5 × × × 8] Trường hợp 2: Hai chữ số cuối không chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: 16 × [5 × × × 7] Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (6 × [5 × × × 8]) + (16 × [5 × × × 7]) Bài 8: Hỏi có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho cấu tạo từ chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? Hd: Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị chứa chữ số + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn + Chữ số vị trí thứ có cách chọn ⇒ Số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: × × × Kết luận: Vậy số số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho là: (4 × × × ) + (4 × × × ) Bài 9: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi lập số tự nhiên từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt lần? Hd: 49 Theo ta thấy số tự nhiên có chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt lần số tự nhiên có chữ số Do chữ số có vị trí để chọn Chữ số có mặt lần, tức chiếm vị trí lại vị trí lại: Chữ số có C 36 = 20 cách chọn Với vị trí lại chữ số 1, 2, chữ số chiếm một, nên có 3! =1 × × cách chọn ⇒ Số số tự nhiên chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt lần là: × 20 × = 120 số Bài 10: Hỏi có số tự nhiên có chữ số cho chữ số lặp lại lần? Hd: Ta có: + Số số tự nhiên gồm chữ số là: × 10 × 10 × 10 + Số số tự nhiên gồm chữ số, có chữ số lặp lại lần là: Chữ số lặp lại lần là: Chữ số lặp lại lần là: Vị trí thứ có cách chọn chữ số số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số ⇒ Số số tự nhiên có chữ số chữ số lặp lại lần là: × × × = 35 ……………… Chữ số lặp lại lần là: Vị trí thứ có cách chọn chữ số số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số Vị trí thứ có cách chọn chữ số số ⇒ Số số tự nhiên có chữ số chữ số lặp lại lần là: × × × = 35 Vậy số số tự nhiên gồm chữ số, có chữ số lặp lại lần + × 35 = 324 Suy ra: Số số tự nhiên có chữ số cho chữ số lặp lại lần là: [9 × 10 × 10 × 10] – [324] = 8676 Bài 11: Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Hỏi có số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số 5? Hd: Trường hợp 1: Số tự nhiên tạo thành chứa chữ số - Có vị trí chọn chữ số 0, sau vị trí chọn chữ số - Ta thấy vị trí lại chọn chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức có × × cách chọn Do số số tự nhiên trường hợp là: × × [5 × × 3] Trường hợp 2: Số tự nhiên tạo thành không chứa chữ số - Có cách chọn vị trí chọn chữ số 5, sau vị trí lại chọn chữ số {1, 2, 3, 4, 6}, tức có × × × cách chọn Do số số tự nhiên trường hợp là: × [5 × × × 2] 50 Tóm lại: Số số tự nhiên có chữ số khác thiết phải có mặt chữ số là: {4 × × [5 × × 3]} + {5 × [5 × × × 2]} Bài 12: Một đoàn vận động viên tham gia thi đấu thể thao gồm môn bắn súng bơi lội Trong đoàn số vận động viên nam có 10 người, số vận động viên bắn súng có 14 người.Tính số người toàn đoàn, biết số nữ thi bơi số nam bắn súng Hd: Ta có: Số người toàn đoàn = Số nam + Số nữ Số nữ toàn đoàn = Số nữ bơi + Số nữ bắn súng Mà theo ta có số nữ thi bơi số nam bắn súng, nên suy ra: Số nữ toàn đoàn = Số nam bắn súng + Số nữ bắn súng = Số người bắn súng = 14 người Vậy số người toàn đoàn là: 10 + 14 = 24 (người) Bài 13: Một nhóm học sinh gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 người thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh nhau? Hd: Để học sinh nam đứng cạnh ta có số cách 7! = × × × × × × Khi học sinh nam đứng cạnh ta coi vị trí với học sinh nữ xếp vào vị trí Ta có 4! = × × × cách Do số cách xếp 10 học sinh cho thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh là: 4! × 7! Bài 14: Hỏi có cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B không đứng cạnh nhau? Hd: Số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang là: (1 × × × × 5) Hai người A, B đứng cạnh ta coi người hàng người có trường hợp xảy Mà số cách xếp người thành hàng ngang là: × × × Do số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B đứng cạnh là: (1 × × × 4) × Vậy số cách xếp người A, B, C, D, E thành hàng ngang cho hai người A, B không đứng cạnh là: (1 × × × × 5) - (1 × × × 4) × Bài 15: Trong tháng có ngày thứ năm ngày chẵn Hỏi ngày 26 tháng ngày thứ mấy? Hd: Vì tháng có ngày thứ năm ngày chẵn tháng tối đa chứa ngày thứ, nên suy ra: Tháng có ngày thứ năm (2 ngày thứ năm lẻ xen kẽ ngày thứ năm ngày chẵn.) Các ngày thứ năm tháng là: a, a + 7, a + 14, a + 21, a + 28 Nếu a số lẻ a + a + 21 phải số chẵn Điều mâu thuẫn với giả thiết tháng có ngày thứ năm ngày chẵn Vậy suy a phải só chẵn 51 Vì số ngày tháng từ tới 31, nên ta có a + 28 ≤ 31 ⇒ a ≤ Từ suy a = Do suy ra: Ngày 23 = + × thứ năm ngày 26 ngày chủ nhât Bài 16: Một nhóm bạn thân bao gồm nam nữ Tính số người nhóm người biết rằng: - Mỗi bạn nam nhóm có số bạn nam thân số bạn nữ thân - Mỗi bạn nữ nhóm có số bạn nữ thân nửa số bạn nam thân Hd: Theo ta có: Mỗi bạn nam nhóm có số bạn nam thân số bạn nữ thân mình, tức là: Số nam nhiều số nữ người (Số nam = Số nữ + 1) Suy ra: lần số nam lần số nữ thêm vào người Mỗi bạn nữ nhóm có số bạn nữ thân nửa số bạn nam thân mình, tức là: Số nam lần số nữ bớt người (Số nam = × Số nữ - 2) Do suy ra: lần số nữ bớt số nữ thêm vào người Vậy suy ra: Số nữ người Từ suy số nam người Vậy ta có số người nhóm người Bài 17: Giá hoa ngày 8/3 tăng 10% so với trước ngày 8/3, giá hoa sau ngày 8/3 giảm 10% so với ngày 8/3 Hãy so sánh giá hoa trước ngày 8/3 sau ngày 8/3? Hd: Gọi giá hoa trước ngày 8/3 100% ta có giá hoa ngày 8/3 110% giá hoa sau ngày 8/3 là: 110 110 10 99 110% - 110% × 10% = × = = 99% 100 100 100 100 Vậy giá hoa sau ngày 8/3 rẻ giá hoa sau ngày 8/3 1% Bài 18: Nguyên tắc Điriclê tổng quát Cho tập hợp A gồm n phần tử riên biệt Chứng minh rằng: Với cách phân hoạch tập hợp A thành m tập rời nhau: A 1, A2, … , Am luôn tồn tập chứa n [ ] + phần tử m Hd: Theo phân hoạch tập hợp A phân hoạch thành m tập rời A 1, A2, … , Am m , nên ta có: A = UA i =1 i & Ai I A j = ∅ với I ≠ j n ] số phần tử A m n n m × [ ] < n Do suy phải tồn tập Ai cho chứa [ ] + phần tử m m Bài 19: Trong lớp học có 32 em học sinh Hãy chứng tỏ có em có ngày sinh có em có tháng sinh? Hd: - Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 m = 31 (Vì tháng có tối đa 31 n 32 ] + = học sinh ngày sinh ngày) Ta có kết là: [ ] + = [ m 31 Nếu tất Ai có số phần tử [ 52 - Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 32 m = 12 (Vì có 12 tháng) Ta suy n 32 ] + = học sinh tháng sinh kết là: [ ] + = [ m 12 Bài 20: Trong trường học có 740 em học sinh Hãy chứng tỏ có em có ngày sinh tháng sinh? Hd: Áp dụng nguyên tắc Điriclê tổng quát với n = 740 m = 366 (Vì năm có 365 ngày n 740 ] + = học sinh ngày sinh tháng sinh 366 ngày) Ta suy kết là: [ ] + = [ m 366 53 [...]... (tuổi) Bài 13: Hiện nay Hùng nhiều hơn Minh 12 tuổi Tính tuổi của 2 người hiện nay, biết rằng khi tuổi 3 của Minh bằng tuổi của Hùng hiện nay thì tuổi của Minh bằng lần tuổi của Hùng khi đó 5 Hd: Theo bài ra ta có: Tuổi của Hùng sau này bằng 5 3 lần tuổi của Minh sau này Hiệu số tuổi của 2 người sau này bằng 5 2 - 1 = lần tuổi của Minh sau này 3 3 Tuổi của Hùng hiện nay bằng 1 lần tuổi của Minh sau... (m/ph) 28 § 5 TOÁN HÌNH HỌC Bài 1: SAMN Hd: Cho tam giác ABC, với điểm M, N là điểm chính giữa cạnh AB, AC Chứng minh rằng 1 = × SABC 4 A Ta có: SABC = 2 × SABN (Chung c/cao từ B tới AC và đáy AC = 2× AN) SABN = 2 × SAMN (Chung c/cao từ N tới AB và đáy AB = 2× AM) Do đó suy ra SABC = 4 × SAMN N M B C Bài 2: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E Chứng minh rằng SAED... × 4 = 40 (tuổi) Bài 16: Hiện nay tổng số tuổi của 2 bố con là 50 tuổi gấp và biết rằng sau 20 năm nữa tuổi của bố gấp 2 lần tuổi con Tính tuổi của hai bố con hiện nay? Hd: Theo bài ra ta có: Tổng số tuổi của 2 bố con hiện nay bằng 50 tuổi Vậy tổng số tuổi của 2 bố con sau 20 năm là: 2 × 20 + 50 = 90 (tuổi) Mà sau 20 năm tuổi bố gấp 2 lần tuổi con Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng toán 1 2 tìm 2 số... nay bằng 1 lần tuổi của Minh sau này Suy ta tuổi của Minh hiện nay bằng 1 - 2 1 = lần tuổi của Minh sau này 3 3 Vậy ta có sơ đồ như sau: Tuổi Minh hiện nay: Tuổi Hùng hiện nay: Tuổi Minh sau này: Tuổi Hùng sau này: 12 Theo sơ đồ trên ta có: Tuổi của Hùng hiện nay là: 12 : (3 – 1) × 3 = 18 (tuổi) Tuổi của Minh hiện nay là: 12 : (3 – 1) × 1 = 6 (tuổi) Bài 14: Hiện nay tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của con... SCBD = 3×SABD ( Do chúng chung chiều cao là chiều cao của hình thang và DC = 3×AB) Từ đây dễ dàng suy ra: EA 1 = EC 3 Bài 12: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3×AB Hai đường chéo AC cắt BD tại I IB ID Chứng minh rằng SADI = SBCI và tính tỷ số Hd: - Chứng minh SADI = SBCI Ta có: SBCD = SACD ( Chúng chung đáy DC Và cùng chiều cao hình thang) Do đó: SADI - SCDI = SBCI - SCDI Suy ra: SADI... chúng cùng có chiều cao là chiều cao của hình thang và DC = 3×AB) Từ đây dễ dàng suy ra: IB 1 = ID 3 Bài 13: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3×AB Hai đường chéo AC cắt BD tại I và hai cạnh bên CB cắt DA tại O Chứng minh rằng SADI = SBCI và tính tỷ số OA OD Hd: O - Chứng minh SADI = SBCI Ta có: SBCD = SACD (Chúng chung đáy DC và cùng chiều cao của hình thang) Do đó: SADI - SCDI = SBCI... là: 18 : 75 × 100 = 24 (tuổi) 18 § 4 TOÁN CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU Bài 1: Hai thành phố cách nhau 186 km Lúc 6 giờ một người đi xe máy từ A với vận tốc 30 km/giờ bề B, lúc 7 giờ một người đi xe máy từ B với vận tốc 35 km/giờ về A Hỏi lúc mấy giờ thì hai người gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km? Hd: B C A 30 km 156 km Khi người thứ 2 xuất phát thì người thứ nhất cách B là 186 – 30 = 156 (km) Quãng đường... giác này chung chiều cao hạ từ A tới BM ) SKAB KB KM 3 = Vậy ta suy ra: KB 4 Mặt khác Bài 11: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, DC và biết DC = 3×AB Hai đường chéo AC cắt BD tại E EA EC Chứng minh rằng SADE = SBCE và tính tỷ số Hd: - Chứng minh SADE = SBCE Ta có: SBCD = SACD ( Chúng chung đáy DC B A và cùng chiều cao hình thang) h1 Do đó: SADE - SCDE = SBCE - SCDE E h2 Suy ra: SADE = SBCE C D EA =?... đạp đã đi được 10km Lúc 8 giờ 45 phút hai người cách nhau là 110 – 10 = 100 (km) Thời gian hai người gặp nhau là: 100 : (40 + 10) = 2 (giờ) Hai người gặp nhau lúc 8 giờ 45 phút + 2 = 10 giờ 45 phút Chỗ gặp nhau cách B là: 40 × 2 = 80 (km) 20 Bài 7: Xe thứ nhất đi từ A đến B hết 3 giờ 20 phút Xe thứ hai đi từ B đến A hết 2 giờ 48 phút Biết rằng hai xe cùng khởi hành và sau 1 giờ 15 phút thì chúng còn cách... Vve=330 km Đến đây ta đã đưa về dạng toán tìm 2 số biết tổng bằng 6 và tỷ số bằng 5 Do đó ta suy ra 6 thời gian lúc đi là: 6 : (6 + 5) × 6 = Quãng đường mà máy bay đi được là: 300 × 36 11 = 36 (giờ) 11 10800 (km) 11 26 Bài 24: Một đội máy cày dự định cày một diện tích ruộng theo kế hoạch với vận tốc 40 ha mỗi ngày Khi thực hiện đội đã cày 52 ha mỗi ngày, vì vậy đội không những đã cày xong trước thời ... học sinh nam đứng cạnh ta coi vị trí với học sinh nữ xếp vào vị trí Ta có 4! = × × × cách Do số cách xếp 10 học sinh cho thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh là: 4! × 7! Bài 14: Hỏi có cách... = 24 (người) Bài 13: Một nhóm học sinh gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 người thành hàng dọc cho học sinh nam đứng cạnh nhau? Hd: Để học sinh nam đứng cạnh ta có số cách 7! = × ×... = 44% Bài 33: Dùng que diêm xếp thành 10 hình tam giác? Hd: Xếp theo hình ông cánh hình bên Bài 34: Dùng que diêm xếp thành hình tam giác? Hd: Xếp theo hình tam giác lồng vào hình vẽ bên Bài 35: