PGS-TS NGUYỄN VĂN LỘC (Chủ biên)
TRẤN QUANG TÀI - TRẤN ÁNH DƯƠNG
Trang 3Loi abi dau
(yon sach “Giai bài tập giải tích 12 chuong trình chuẩn” có nội dung cương ting vai sách giáo khoa Giáut Tịch T2 chương trunh chưữn được
tự dung ti nam 2008 — 20009
Met muc Cý) của chương gồm bon phan
I Tom tắt lý thuyết
1L Bài tập căn ban
THỊ Cau hoi trac nghiém
IV Dap an
Phan IL Trinh bay những oấn dé ly thuyét trong tam nhất cúa sách giao khoa mà các em cần phải hiểu va nam ving
Phần II Trình bay lai gidi chỉ tiết của các bài tập có trong sách giáo khoa, nói bài tập đều nêu đẩy đú các bước lập luận với căn cứ là các định nghĩa định lý, các tỉnh chất đã học
Phan HI Trinh bay các câu hỏi trắc nghiệm nhằm giúp các em ôn
tuyên lạt kiến thức đã học
Phần IV Trinh bay đáp án các câu hói trắc nghiệm nêu ở phản II
Việc sử dụng sách nên thực hiện theo trình tự như sau:
Sau khi hoc ly thuyét, cac em hay tu minh guái các bài tập có trong sách
giáo khoa, nếu gặp khó khăn có thể tham khảo lời giải bài tập trình bày 6 phản !Ì, hơn nữa ngay cả khi giải được bài tập của sách giáo khoa, các em cũng sên so sánh lời giải của mình tới lời giải được trình bày trong sách nay để hiểu sâu sắc, đây đủ kiến thức uù phương pháp giải toán Tiếp theo các em nên dành thời gian giải các câu hỏi trắc nghiệm ở phản II để củng
có kiến thức
Để uiệc sử dụng cuốn sách đạt hiệu quả cao, các em nên hết hợp sử dung sác cuốn sách khác của cùng tác giả như: Các dạng bài tập va phương pháp giải Giải Tích 12; Kiến thức chuẩn va nâng cao Giải Tích 12; Toán bối dường trác nghiệm 0à tự luận Gidi Tich 12; Cac chu dé bam sat ~ nang cao (ải Tích 12; 1250 câu hỏi trắc nghiệm khách quan toán 12
11\ uọng cuốn sách sẽ là tài liệu hỗ trợ tích cực giúp các em học tốt hình
học 1: chương trình chuẩn
Rét mong các em dùng sách uới ý thức tự chủ cao va không dùng sách theo cich chi "đọc" các lời giải có sẵn của các bài tập trong SGK
Chúc các em thành công
Trang 4Chương L ỨNG DỤNG ĐẠO HAM DE KHAO SAT vA VE DO THI HAM so
§7 đự đồng bién, ughich bién aia ham sé
1 TOM TAT LY THUYET
1 Tính đơn điệu của hàm số
a) Định nghĩa: Giả sử hàm số y = fx) xác định trên K (K là khoảng (a;
b) hoặc đoạn [a; b] hoặc các nửa đoạn [a; b), (a; b])
+ Ham số y = fx) đồng biến trên K nếu với mọi cặp xị, x2 thuéc K ma x;
nhỏ hơn x; thì fx¡) nhỏ hơn fx;), tức là: xị < x; = ẨXị) < Ñ¿)
« Hàm số y = ftx) nghịch biến trên K nếu với mọi cặp xị, x¿ thuộc K mà
x; nho hon xp thi f(x,) lớn hơn fx¿), tức là xị < xạ = flx,) > fixe)
b) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
s Định lí: Cho hàm số y = ftx) có đạo hàm trên K
- Nếu f {x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = fx) đồng biến trên K - Nếu f (+) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K
s Chú ý: Giả sử hàm số y = fx) có đạo hàm trên K
- Néu f (x) > 0 (f (x) < o) vx e K và f {x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn
điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)
92 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số bằng đạo hàm
a) Quy tắc:
1⁄ Tìm tập xác định Tính f %x)
3/ Chizra các điểm tại đó f (x) bằng 0 hoặc f 1x) không xác định
3/ Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu đạo hàm
4/ Nêu kết luận về các khoảng đông biến, nghịch biến của hàm số
b) Chú ý: Ta nên lập bảng xét dấu đạo hàm để tiện cho việc chỉ ra các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Il BAI TAP CAN BAN
Bai 1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số;
a)y =4+43x- x’, b) we 3 ee eee
Trang 6Vay ham sé đồng biến trên khoảng | 9 ] nghịch biến trên các khoảng (-6; O) va | S540 | (3 Bài 32 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 3x41 2 oy ayg Pe: b) y-* 2x Je ©) ý a)y= -x)+3x+1 4 - >0Vx #1; y' không xác định tại x = 1 1-x)’ -x)? Va: ham số đồng biến trên các khoảng (—z; 1) và (1; +) 3T BÌy ` ~®* ; Tập xác định: R\(1I y _(2x-2)/1-x)+X”-2x _-X +2x-2_ ~(x =1)” =1 a-x) (=x) (=x) y' thông xác định tại x = 1.Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng (—z; 1 và (1; +) ey= vx? ~x- 20; Tap xc dinh: R\(-4; 5) Se EE By =062x-1=s00x= b avx? - x - 20 2 Bảng xét dấu y”: mm
y' thông xác định tại x = -4 và x = 5 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (5; +>), nghịch biến trên khoảng (=ø; =4) <0Wxzl y ay 5 Tập xác định: D = R \ I-3; 3] yr = (8 92x) = 2x(x? = 9)! _-2(x” + 9) —<0,VxeD (2-9)? - (x? - 9)?
Su: ra hàm số (1) nghịch biến trên các khoảng (—-z; -3), (-3; 3) và (3; +=)
Bài 3 Chứng minh rằng hàm số y = ES ; đồng biến trên khoảng (-1; 1) x? +
Trang 7Giải x y =——; Tap xac định: R x +1 ¬ 2x? satel ei earl sl wit x=-l G+)? Gx? +1?" x=1 Bang xét dau y’: x | - -1 1 +00 y | - 0 + 0 -
Từ bảng xét dấu ta có hàm số đồng biến trên khoang (-1; 1), ngkich
biến trên khoảng (—œ; —1) và (1; +)
Bài 4 Chứng minh rằng hàm số y = V2x- x? đồng biến trên khoảng (6; 1)
và nghịch biến trên khoảng (1; 2) Giải y = V2x - x? ; Tập xác định: [0; 2] y= 2-2x _ _1-x 2V2x-x? v2x-x? Bang xét dau y’: Z z | :⁄⁄⁄⁄⁄ y | | + 0 - Il ⁄4 y' không xác định tại x = 0 và x = 2
Vay hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên khoảng (1; 2)
Bài 5 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
sy =0e1l-x=0exel
x x’ T
a) tanx > x(U<x< 2} b) tanx'> x + — (0<x< 2) Giải
a) Xét hàm số f{x) = tanx - x trên khoảng [0:3]
Ta cé f (x) = 1 + tan’x — 1 = tan’x > 0 Vx € (0:3): = Ham sy ding
biến trên khoảng (0:3) do đó fx) > Đ0)
«& tanx - x > 0 © tanx > x Vx € (0:3) =
3
b) Xét hàm số g(x) = tanx - x — = trên khoảng K8
Trang 8Xét hàm số h(x) = tanx - x trên khoảng (0:3) hx) = 1+ tan?x +15 tan’x > 0 vx € (0:3
+ h(x) đồng biến trên khoảng [0:3] do dé: h(x) > h(0) «> tanx - x > 0
(1) và tanx +x>0VWxe€ [0:3] (2)
"Từ (1) và (2) ta có (tanx - x)(tanx + x) > 0 Vx € [s2] = g(x) >0 Vxe€
(93) => ham số g(x) đồng biến trên khoảng [0:5]
4 x? 3
Do do g(x) > g(0) tanx ~ x— * 50 tanx>x+ a"
Ill CAU HOI TRAC NGHIEM
Trang 9§2 Cue tei cia ham số
I TOM TAT LY THUYET
1 Khái niệm cực đại, cực tiểu:
a) Định nghĩa: Cho hàm số y = ffx) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a = —, b = +) và điểm xọ e (a; b)
« Nếu tổn tai sé h > 0 sao cho f{x) < flxo) với mọi x e (xo - h; xo + h) và X # Xo, thì ta nói hàm số fx) đạt cực đại địa phương tại xạ
s Nếu tôn tại số h > 0 sao cho f{x) > f(xo) với mọi x e (xo - h; xo + h) và x # xo thì ta nói hàm số ftx) đạt cực tiểu địa phương tại xọ
b) Chú ý:
s Cực đại (cực tiểu) địa phương gọi tắt là cực đại (cực tiểu) Nếu hàm số ftx) đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thi x» được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu), fxạ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiéu 1A fop (for), còn điểm MŒxạ; fxo)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị
* Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị và các giá trị cực đại, cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số
2 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
« Định lí: Giả sử hàm số y = fx) trên khoảng (xạ - h; xạ + h) và có đạo
hàm trên khoảng đó, có thể trừ tại xo
- Néu f (x) > 0 trên khoảng (xạ - h; xo) va f (x) < 0 trên khoảng (xo; Xạ +
h) thì xạ là một điểm cực đại của hàm số ftx)
- Néu f (x) trén khoảng (xạ - h; xo) và f (x) > 0 trén khodng (xo; xo + h) thì xo là một điểm cực trị của hàm số f(x) 3 Quy tắc tìm cực trị a) Quy tắc I 1⁄/ Tìm f*(x) 2/ Tìm các điểm tại đó f (x) bằng 0 hoặc f x) không xác định 3/ Lập bảng xét dấu đạo hàm
4/ Từ bảng xét dấu đạo hàm suy ra các điểm cực trị
b) Định lí 2 Giả sử hàm số y = fx) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (xe - h; xo + h), khi đó:
Trang 11Vậy hàm số có một điểm cực đại là x = 3 và một điểm cực tiểu x = 1 e) y=vx?~x+1; Tập xác định: R An OE coast wl eae 1 si Soares > 2ýx?-x+1 2 Xét dấu y': x |- a 2 ss y | - 0 +
Vậy hàm số có một điểm cực tiểu là x = -
Bài 2 Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y=x'— 9x + 1, b) y = sin2x — x; c) y = sinx + cosx; d)y=x°-x'- 2x41 Giai a) Ta có: y = x' - 2x? + 1; Tập xác định: R y’ = 4x2 — 4x; y' = 0 © 4x) — 4x = 0 © 4x(x? — 1) = 0 © oe y’= 12x? - 4
Ta có: y”(—1) = 8 >0; y”(0) = -4 < 0; y”(1)=8 >0
Trang 12y'(- = + kn) = -48ina(-" + ka) = 2V3 >0 6 6
Vậ› hàm số đạt cực đại tại các điểm x = : + km (k e Z), đạt cực tiểu tại các diém x = < + kn (k © Z2) c) » = sinx + cosx; Tập xác định: R TT = << x+—=—+k2n y = cosx — sinx; y =0 <> V2.costx + 7) : 0€ 42 skeZ xe eta kon L4 3 y” = -sinx — cosx Ta có: "(= + k2n) = -sin(= + k2n) - cos(= + k2n) = ve M2 -V2 <0 4 4 4 2 2
va yet + k2n) = -sinC + kẽn) — cos— T5 + + k2n) = oft lls Soo
Vậy hàm số có các điểm cực đại là: x = : + k2n (k € Z) va cdc diém cuc tiểu làix = TT + k2m (k e Z) đ)y=x`- x”— 2x + 1; Tập xác định: R z ieee ft ti Blige eats Bs x= y” = 20x* — 6x Ta 6: y(-1) = -14< 0; y"(1) =
Vay hàm số có một điểm cực đại là x = —1, một điểm cực tiểu là x = 1
Trang 13e Chứng minh hàm số y = vel dat cuc tiéu tai x =0 Nếu x > 0 ta có: y =Vx = y = —Ì— >0vx>0
2ýx
Nếu x< 0 ta có: y =V-x=y'=~— E—~<0vx<0
2V-x
Do đó y` không xác định tại x = 0 va y` đổi dấu từ dấu âm sang dấu
dương khi x qua điểm 0 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 Cách 2 y = vị: Tập xác định: R 1 2ýx nếu x >0 SH nếu x < 0 2/-x Dễ thấy y' không xác định tại x = 0 Xét dấu y° x | —= 0 +3
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0
Bài 4 Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số:
y = x’ — mx’ — 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điếm cực tiểu
Giải y = x° — mx” — 2x + 1; Tap xdc dinh: R
y’ = 3x” — 2mx - 2; y’ = 0 <> 3x? - 2mx- 2=0
A’ = m? + 6 > 0 Vm, do dé y’ = 0 luén c6 hai nghiém phân biệt và y` đổi
dấu khi x qua hai nghiệm ấy Vậy hàm số luôn luôn có một điểm cực đại và
một điểm cực tiểu
Trang 159 a= 81 A ace mee Vay: - hoặc 25 b>— b> A00 5 243 2 x> +mx+1 ————— đạt cực x+m Bài 6 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = đại tại x = 2 š Giải Xét hàm số y - # + EX +1 Ta vác định: R\J—m| x+m ,_ (9x + m)(x + m)- x”- mx-—l _ x”+2mx+m”-] _ (x + m)? _ (x+mj)? x=l-m y= 0cox? + 2m + mn? 1 = 0 | „ dễ thấy 1 - m z-m #m x=-l-m va -1-m+#-m Vm va 1 - m >~1- m Vm nên: x = -1 - m là điểm cực đại của hàm số
Trang 1683 Gia tei lon uhat
oa gia tei ahd ahadt cia ham sé 1 TOM TAT LY THUYET
1, Định nghĩa: Cho hàm số y = fx) xác định trên tap D
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = fx) trên tập D nếu ftx) < M với mọi x thuộc D và tổn tại xe e D sao cho ftxạ) =M
Kihiéu M = max f(x)
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = fx) trên tập D nếu fx) > n với mọi x thuộc D và tồn tại xạ < D sao cho fixo) = m
kí xiệu: m = min f(x)
D
9 Jách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
a) Định lí: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất trên đoạn đó , 3
b) Quy tắc: Quy tác gồm các bước sau: * 1/ Tìm tập xác định 2/ Tim các điểm xị, xạ, x„ trên [a; b], tại đó f (x) bang 0 hoặc f {x) không xác định 3/ Tinh fla), fx), fx¿), , xa), Ñb) 4/ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có: M = max f(x), m = min f(x) la;b} (a;b]
II BÀI TẬP CĂN BẢN
Bài 1.Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm, SỐ:
Trang 17Vay max f(x) = 40 khi x =—1; min f(x) = -41 khix =-4
[-4;4] E44]
Xét hàm số y = x® - 3x? - 9x + 35 trên đoạn [0; 5]
Ta có y(0) = 3ð; y(3) = 8; y(B) = 40 và —1 #£ [0; ð]
Vậy max f(x) = 40 khi x = 5; min f(x) = 8 khi x = 3
b) Xét y = x‘ - 3x? + 2; Tap xdc dinh: R
Trên (0; 3] ta cé: y(0) -24( (| =-F:¥8) = 56 va 2 eto
: 5 1 Ề 3
Suy ra: ary = 56 khi x = 3, RAY = "7 khi x= 2 Trên đoạn [2; 5] ta c6: y(2) = 6; y(5) = 552
Suy ra: mary = 552 khi x = 5, BH? 6 khi x = 2 c) Xét y= os = ; Tap xdc dinh: R\{1} x c4 q-xw? y >OVx41 Trên đoạn [2; 4] ta có: y(2) = 0; y(4) = 2 2 š 2 7
Suy ra: mary = 35 khi x = 4, B"N? =0 khi x=2 Trên đoạn [-3; -2] ta có: y(-8) = uc?) =Š
Trang 18suy ra: miny = 1 KH? X= 1, miny = 3 khi x = -1
B:i 2 Trong các hình chữ nhật có cùng chu ví 16cm, hay tim hình chữ nhật eö điện tích lớn nhất Giải 2 £8 cA Ties oni SN J|x>0 Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật -: te y> ổ xe 8 ` và 2 8 hay x, y thuộc khoảng (0; 8) y8
Khi này chu vi: p = 2(x + y)= 16=x+y=B8‹<sy=8—x
Ta có diện tích của hình chữ nhật là: S = x.y = x(8 ~ x) S =-x” + 8x Xét hàm số: S = —x” + 8x trên khoảng (0; 8) ta có: S8'=-2x+8;S`=0«<+-2x+8=0«<+x=4 Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có: max 8 =16 khix=4 Voix=4>y=8-x=4
Vậy hình vuông có cạnh bằng 4em là hình có diện tích lớn nhất
Trang 19s |** Z 24,6 Từ bảng biến thiên ta có: min p = 16/3 khi x = 48 Véix=4¥3 =y- 8-43 x
Vậy hình vuông có cạnh 4 J3 m là hình có chu vi nhỏ nhất
Trang 20Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-z; 1), nghịch biến trên khoảng (1; +z)
Hàm số đạt cực đại tại x = 1 va yen = y(1) = 1
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có: max y = 1 khi x = 1 Bai 5 Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) y = Ixl; BJy=a+ Ê S10) x Giai a) Tập xác định: R Nếu x >0: y =x,y`= 1 >0 Vx >0 = hàm số đồng biến trên [0; +z) 2
b) Cách 1: Tit khoang (0; +) thi: y’ = 1 - 4.2 x? x ot y=0 Sx'=2 Bang bién thién: x |-2 -2 0 2 + ý? —GY - 0 + | ⁄ [eq Sgt Wy SA Do đó min y = 4 khi x = 2 (0;+œ) Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cé-si cho hai số dương x và & x Ta có: x+ $;a, xi esy rã Vx € (0;+Z) x x Vi thé đạn y = 4 khi x= 2 III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1 3iá trị lớn nhất của hàm số y = x’ - 3x + 2 trên đoạn [Ö; 2] là:
(A) 0; (By -1, 4 ôâ 1, 4 (D) 2
9 3iá trị lớn nhất của hàm số y = 2xŸ + 3x” - 4 trên đoạn [1; 2] là:
Trang 213 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = = 7 trên đoạn [—2; -1] là: 2x+ (A) 1; (B) 2; (C) -1; (D)-2 4 Gia tri nhé nhét cia ham sé y = 2x* + x? - 3 trên đoạn [2; 4] là: (A) 4; (B) 33; (C) -4; (D) -33 ð Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = Jx-2+ Ve-x trên đoạn [3; 5] la: (A) 2/9; (B) V3 +1; ( V8 - 1; (D)-22 IV ĐÁP ÁN Câu 1] 2] 3 4 3 | _Đápán| DM] ©] (A| (B Bđ)
Đ4 Duong tiém can 1 TOM TAT LÝ THUYẾT
1 Tiệm cận ngang:
a) Định nghĩa: Cho hàm số y = fx) xác định trên một khoảng vô hạn
Néu lim [f(x)-y,]=0 hay lim f(x) = y, thì ta gọi đường thẳng y = yo là Kove xe
(x2) oe)
tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = fx)
b) Chú ý: Nếu chỉ có lim f(x) = y, hoặc lim f(x) = y„ ta cũng gọi đường
thẳng y = yo là tiệm cận ngang (một phía) của đồ thị hàm số y = fx)
2 Tiệm cận đứng:
Định nghĩa: Cho hàm số y = fx) xác định trên K \ {xo} Nếu
lim f() = + hoặc limf(x) =-œ thì đường thang x = xạ được gọi là tiệm
cận đứng của đồ thị hàm số y = Ñx)
II BÀI TẬP CĂN BẢN
Trang 22X lim a -1 nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị is ai x han sé x47 cẩm x+7 5 7 ä z by y= TS“; vì lim “tl ese va lim =Š “=> nên đường x+1 xt X3] acm xe)
thing x = —1 1a tiém can dung cua dé thi ham số
x+7 i ~1 nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị x+ 2x-5 ` ql 2x-5 x 2x-5 % 5 ©) y= =; vì lim ———=-z và lim ———=+z nên đường 5x - 2 „u(#' ðX— 2 wt) 5x-2 5 5 thing x : là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, 5 2x -5 ˆ 2 2 a % 3 lim Kc a=x nên đường thắng y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị xo’ Bx hàn số dy ects vi tim (2-1) = va tim 2-1) = nên đường thẳng x x00" (x x00 | X xa Giờ) x: 0 là tiệm cận đứng và lim (2-1}- ~-1 nên đường thẳng y = -1 là x
tién can ngang
Trang 23x'+x+l x+x+l Vì lim ———_, = +0; lim ——— , = -» soc 3 - 2x — 5x? xo 3 - 2x — Bx? va lim txt] y, lim ex+l 4, (3) B= 2x - 5x? (3) 3- 2x - 5x? } +5) nên các đường thẳng x = ~1 và x= 2 là các tiệm cận đứng x°+tx+l 1 1 Vi lim ——————;= nên đường thẳng y =~= là tiệm cận ngang thờ -2x-BxP 5 BEA SSS ge REL CRD BEDE ` x?°-3x+2 lý x+1 Bo 2 Vì lim 22 ~o; lim Be +œ nên đường thiẳng x = - xo) x+l xD Xt] 1 là tiệm cận đứng 2 2 va lim *—8*+2 _ co: tim xee xt] xo 2 —8%+? _ 1 nạn đổ thị Hàm sỹ không Xx+H có tiệm cận ngang a) _ vx +1 “Vx-1 m Y5 aid =-0; lim vert = +» nên đường thẳng x = 1 làt tiệm cận x- pe Med 1 wot’ fy 1 đứng lim
T Mê : =1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang II CÂU HỒI TRẮC NGHIỆM
Trang 244x-ð 5x-4 (A) 1, (B) 2; (C) 3; (D) 4 5 Tiệm cận ngang của dé thi ham số y = ¥x* +2x t3-x là đường thang
4 8ø tiệm cán của dé thi ham số y = là:
(Aly ==; (B) y = 2; ()y =1; (D) y=-3 IV ĐÁP ÁN [_ Cau 1] 2 | 3 | 4 |5 |] | Dap an | (©) | Œ).| Œ) | @) | () | 67 Xhảo sát sự biến thiên oà oẽ đồ thị cia ham số 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Sơ đồ khảo sát hàm số: a) Tập xác định b) Sự biến thiên
s Xét chiều biến thiên của hàm số
+ Tính dao ham y’
+ Tìm điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' không xác định
+ Xét dấu đạo hàm ÿy' và suy ra chiều biến thiên của hàm số ® Tìm cực trị ® Tìm các giới han tai +90; — va tìm tiệm cận s Lập bảng biến thiên e) Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố vừa tìm ở trên để vẽ dé thi
* Chủ ý: se Nếu hàm số tuần hoàn với chu kỳ T thì chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kỳ, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục Ox
se Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm
của đô thị với các trục tọa độ
s Nên lưu ý đến tính đối xứng để vẽ cho chính xác Chẳng hạn, đồ thị
của hàm bậc ba nhận điểm uốn là tâm đối xứng
Trang 253 Sự tương giao của các đồ thị:
Giả sử ham s6 y = fix) cé dé thi la (C,) va ham số y = g(x) có đồ thị
la (C2) Dé tim hoanh dé giao điểm của (C¡) và (C;) ta giải phương trình f(x) = g(x) Giá sử phương trình trên có các nghiệm là xo, xị, Khi đó có
các giao điểm của (C¡) và (C;) là Mo(xo; f(x), Mi(xi; flx1)),
II BÀI TẬP CĂN BẢN
Trang 26x 2
® Chiêu biến thiên: y’ = 3x" + 8x + 4: y= 0 | fae? *
Đầu của y` như sau: nN 3 ¢ Cac gidi han tại vô cực: i lim y lim x'Í } lim y = li 2 x _ 2 “3 + y + 0 ~ 0 + y wr 0 NN, we —38 27 3) Đô thị:
Đỏ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 0), đồ thị giao với Ox tại điểm có hoành
Trang 27Đồ thị có dạng sau đây:
e)y=x°+x?+ 9x 1) Tập xác định: 2) Sự biến thiên:
« Chiều biến thiên: y' = 3x” + 2x + 9= 2x? +(x+ 1 +8 >0
do đó: y`> 0, Wx c R, suy ra hàm số đồng biến trên R s Cực trị: Hàm số không có cực trị « Giới hạn: lim =-œ ; lim y = +z xe — s Bảng biến thiên: x _œ +® 3 + 0 y 3) Đồ thị:
Đồ thị cắt Ox tại điểm (0; 0); cắt Oy tại điểm (0; 0)
Đô thị có tâm đối xứng là điểm có hoành độ là nghiệm của phương
trình: y"= 0 6x+2=0ex= “8: Tâm đối xứng là điểm i(- SP 3}
điểm này là điểm uốn của đô thị
Trang 28« Chiều biến thiên: y` = -6x” < 0 Vxe $.y=0<+x= 0, do đó Hàm số
nghịch biến trên x Hàm số không có cực trị lim y limy 20 3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục Oy tại điểm(0; 5), đổ thị cắt trục Ox tại điểm ( fa
Ì 20 Vi y” = -12x; y= 0 <> x = 0 va y” đổi dấu khi x qua giá trị 0, nên
Trang 292) Sự biến thiên: s Chiều biến thiên: y' = ~4x” + 16x; y` = 0 ~4x” + 16x =0 0 nN Xét dấu y: - x | —% -2 0 2 + yÌ + 0 - 0 + O - Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (—»; -2) va (0; 2), nghich bién trên các khoảng (-2; 0) và (2; +=)
« Cuc tri: Ham sé dat cuc dai tai x = -2 va x = 2; ycp = yi-2) = y(2) =
Trang 30b) y= x" 2x? +2 1) “ap xác định: * 2) Sự biến thiên: i ” 1 + Chiêu biến thiên: y' = 4x” ~ dx; y’ = 0 <> dx" ~ dx = 0 e> |x =0 [x =1 Xét: dau y’: =1 0 1 +20 - 0 * 0 = 0 +
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +),
Trang 31Do đó: hàm số đồng biến trên khoảng (0; +z) và nghịch biến trên
khoảng (~z; 0)
3 s Cực trị: yẹy = y(0) = =5 e Các giới hạn tại vô cực:
lim y = tim| "(7+ 3 ~se)Ì**9: lim y = in| x ( x win” vo xe* xe x s Bảng biến thiên: x|-= 0 +0 _' - 0 + y | +20 la 3 +0 «` 8) Đồ thị: 2 Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (5-3):
đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành
độ là nghiệm của phương trình: $x tk? cổ =0 x= T8 + V10 Vì vat tt cỗ là hàm số chẵn, nên đồ thị có trục đối xứng là trục tung Oy Đồ thị có dạng như hình bên: d) y =-2x?- x'+3 Ham số viết thành: y = -xÍ— 2x? + 3 1) Tập xác định: R 2) Sự biến thiên:
e Chiểu biến thiên: y= -4x!— 4x; y'` = 0 -4x (x? + 1)= 0œ =0
Trang 323) Đồ thị: Đổ thị cất trục Oy tại điểm (0; 3), đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có š ng i š ` ä [x=1 hưành độ là nghiệm của phương trình: —x - 2x” + 3 =0 <= le i x=-
Trang 35Bài 4 Tìm số nghiệm của các phương trình sau bằng phương pháp khảo sát hàm số: a) x? - 3x? +5 =0; b) -2x) + 3x” —- 2 = O;e) 2x? - xÌ = —1 Giải a) Xét hàm số y = xỶ - 3x” + 5 1) Tập xác định: R 2) Sự biến thiên: « Chiều biến thiên: y' = 3x? ~ 6x; y' = 0 es 3x? ~ 6x = 0 ©> l = Xét dấu y: xị -= 0 2 +0 y + 0 - 0 + Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (—-s; 0) và (2; +), nghịch biến trên khoảng (0; 2) « Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và ycp = 5, đạt cực tiểu tại x = 2 va yer = y(2) = 1 phương trình xŸ ~ 3x” + 5= nhat 36 © Gidi hạn:
lim y = lim(x® - 3x? +5) =-œ; lim y = lim(x* - 3x? +5) = +00
Trang 36x Oo Bence y' _ 0 + 0 - Vậy ham số đỏng biến trên khoảng (0; 1), nghịch biến trên các khoảng (~+z; 0) và (1; +z) Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và yep = y(1) = —1, đạt cực tiểu = y(0) = -2 lim y = lim(-2x" + 3x* - 2) = +0; lim(-2x" + 3x’ - 2) = -x ® Bảng biến thiên: x |-20 0 1 +0 y - 0 +0 = y= -1 ` vế” —» 3) Đồ thị:
Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; -2), đồ thị có điểm uốn là [š:- 3} Với x=-l=y=3; x=2=y=-6
Từ đồ thị ta thấy phương trình -2x' + 3x? - 2 = 0 có một nghiệm duy nhất e) Xét hàm số y = —x' + 2x” 1) Tập xác định: R 2) Sự biến thiên: ® Chiều biến thiên: y’ = —4x" + 4x; y =0 x=-l œ -4x” + 4x = 00 ]x=0 x=1 Xét dau y’: —œ -1 0 1 y| + 0 _ 0 + O
Vay ham số đồng biến trên các khoảng (—z; —1) và (0; 1),
nghịch biến trên các khoảng (-1; 0) va (1; +2)
s Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1, ycp = y(-1) = y(1) = 1, đạt cực tiểu tại x = 0 và yer = y(0) = 0
¢ Giới hạn:
lim y = lim(-x†! + 2x”) = -«; lim y= lim(-x* + 9x?) = -=
Trang 37¢ Bang biến thiên: x| -z -1 0 1 +x y 4 0 - 0 + 0 - 1 1 y ` a ` ọ we a 3) Đồ thị:
Đồ thị cắt Ox tại các điểm (0; 0) và (-J2;0), (V2;0), cắt Oy tại điểm (0; 0
Từ đô thị trên ta thấy đỏ thị cắt đường thẳng y = -1 tại hai điểm
Vậy phương trình 2x” - x' = ~1 có hai nghiệm phân biệt
Bài ð
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y = -x” + 3x ~ 1
Trang 38lin y : lim(Cx”+3x+1)= tz; limy = limLx +34 v1) z * Fảng biến thiên: 3) Đồ thị Đỏ thị cắt Oy tại điểm (0; 1), đồ thì có liểm uốn là (0; 1) Vớx=-2=y=3 xz2=>y=-—l b) (ét phương trình x” - 3x+m=0 €9) <>-x”+3x+l=m+l
Số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = -x” + 3x + 1 với đương thẳng y = m + 1 Từ đồ thị trên ta có: oo ee a le! im = (*)só hai nghiệm phân biệt khi me 3 2|™ m+l=-l m=-2 sa ‘ 1>3 _ [m>2 (*):6 mét nghiém khi PES zy | me? m+l<-l |m<-2 (*):6 ba nghiệm khi -1< m+1<3S-2<m<2 Bài 6 ¿ho hàm số y = mt) 2x+m
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trìn mỗi khoảng xác định của nó
b) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A( -1; V2),
Trang 39b) Tacé lim y= lim =—, wef) vu mỳ 24 +m Va) L?)
nên đường thẳng x = - ` là tiệm cận đứng
Trang 404 1
Bà 7 Cho hàm số: y = 7 + 3 +m
a) Với giá trị nào của tham sé m, dé thi ham sé di qua diém (-1; 1)? b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
©)_ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng i Giai a) Vi dé thi ham sé di qua diém (-1; 1) nên ta có: 1=} stay +m 4 3 ©m+-=lem= 4 | ĐÐ b) Với m = 1 ta có: ga piste 4 2 1) Tập xác định: R 3) Sự biến thiên: * Chiéu bién thién: y’'=x° +x, y =0ax°+x=00x=0 Xét dau y’: x | 0 0 +2 y - 0 +
Vay hàm số đồng biến trên khoảng (0; +), nghịch biến trên khoảng (—z; 0) » Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yer = y(0) = 1
» Giới hạn:
- was hh od op Lad < fw fhe
lim y = lim| —x* +=x?+1]=+0; limy = lim] —x*+—x?+1]=+0
rex” wae 2 wae nae 2