EG] NHÀ XUẤT BẢN
Trang 2PGS.TS NGUYEN VAN LỘC (Chủ biên) TRAN QUANG TAI - LE NGOC HAI TRINH MINH LAM - LE DINH NGOC
Trang 3NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội
Điện thoại:(04) 39714896;(04) 397 24770; Fax: (04) 39714399 _
Chịu trách nhiệm xuất bản:
Giam dốc : PHUNG QUOC BAO
Tổng biên tập :PHẠM THỊ TRÂM
Biên tập : HỒNG ĐỨC
_ Trình bày bìa : QUỐC VIỆT
Trang 4LỜI NĨI ĐẦU
Cuõ¿ sạch “Giai bai tap hình học 13 chương trình chuẩn” cĩ nội
dung tumg ting vot sach giao khoa Hina Hoc 12 chương trình chuẩn được
dp dung tt@ nam hoe 2008 2009
Moi nue (s) ctia chutong 6m bin phan
I, “om tát lý thuyết IT, 3ai tap can ban MD, Cau hoi trade nghiêm IV dip an
Phar 1 Trinh bay nhiing vdn dé ly thuyét irong tam nhat cua sach gido
khoa mịc các cm cần phi hiệu 0đ tắn viing
Phar tl Trinh bay lor giai chi tiét cua cdc bài tập cĩ trong sách giáo khoa, mới bài tập đều nêu đẩy đủ các bước lập luận voi can cut la cae dinh
nghĩa, dính lý, các tính chất đã học
Phản THỊ: Trình bày các câu hỏi trắc nghiệm nhằm giúp các em ơn luyện tại kiến 'húức đã học
Phái 1V: Trình bày đáp án các câu hỏi trắc nghiệm nêu ở phần III Việc sứ dụng sách nên thực hiện theo trình tự như sau: Sau khi học lý thuyết, các em hãy tự mình giải các bát tập cĩ trong sách giáo khoa, nếu gặp kho khan co thé tham khdo loi gidi bai tap trình bày ở phần II, hơn nữa ngay
cd khi gai duoe bai tap cua sach giao khoa, cac em cũng nên so sánh lời giải
ctia mint vdi lai gidi duoc trình bày trong sách này để hiểu sâu sắc, đẩy đủ hiến tt bà phương pháp giải tốn Tiếp theo các œn nên dành thời gian
giai các sâu hĩi trắc nghiệm Ú phản [1 để củng cũ hiến thức
Hy ving cuốn sách sẽ lạ tài liệu hị trợ tích cực guáp các em học tốt hình học 13 chuẩn
tát nong các em dùng sách tới ý thức tự chủ cao va khơng dùng sách theo các! chí "đọc” các lời giải co sau ctia cdc bai tap trong SGK
Để uệc sử dụng cuốn sách dat hiệu quá cao, cĩc em nên kết hợp sử dụng các cuốn sách khác của cùng tác gửá nhu: Cac dang bài tập uà phương pháp gia Giải Tích 12; Kiến thức chuẩn uà nâng cơo Giải Tích 12; Tốn bồi dưỡng trắc nghiệm 0à tự luận Giái Tích 12; Các chú để bám sát - nâng cao Giải Tích 12; 1250 cau hoi trắc nghiệm khach quan todn 12
Chúc các em thành cơng
Trang 5871 Khai diệu oề tối đa điện I TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1 Hình đa điện là hình được tạo bởi một số các đa giác thỏa mãn đồng thời hai tính chất:
~ Hai đa giác phân biệt chị cĩ thể hoặc khơng giao nhau, hoặc chỉ cĩ một đỉnh chung, hoặc chỉ cĩ một cạnh chung
~ Mii cạnh của đa giác nào cùng là cạnh chung của đúng hai đa giác 2 Knối đa diện là phần khơng gian được giới hạn bởi một hình đa diện,
kể cả hình đa diện đĩ
Những điểm khơng thuộc khỏi đa diện được gọi là điểm ngoai của khối đa diện Những điểm thuộc kbối đa điện nhưng khơng thuộc hình đa diện
được gọ là điểm trong của khối đa diện, tập hợp tất cả các điểm trong của
khơi đa diện được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngồi được gọi là
miễn ngồi của khối đa diện
Miền ngồi của khối đa diện chứa hồn tồn một đường thẳng nào đấy
3 Hai đa diện bằng nhau
Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu cĩ phép đời hình biến hình này thành hình kia
4 Phân chia và lắp ghép các khối đa điện
Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H)), (Hạ) sao cho (H¡) và (H;) khơng cĩ điểm trong chung thì ta nĩi cĩ thể chia được khối đa diện
(H) thành hai khối đa diện (H,) và (H;), hay cĩ thể lắp ghép hai khối đa
điện CH) và (Hạ) với nhau để được (H) ®
1I BÀI tẬP CĂN BẢN
Bài 1 Chứng minh rằng một đa diện cĩ các mặt là những tam giác thì tổng
số cíc mặt của nĩ phải là một số chẳn Cho ví dụ : Giải
Gọi số các mặt của đa điện là n (n e Z,n > 4) Vì mỗi mặt của khối đa „
điện cĩ 3 cạnh và mỗi cạnh chỉ là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh cửa nĩ sẽ là: an
Vì số cạnh phải là số tự nhiên, nên ta cc 3n chia hết cho 2, từ đây ta suy ra r chia hết cho 2
Trang 6Bài 2 Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nĩ đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nĩ phải là một số chan Cho vi du
Giai
Gia str téng sé dinh cia khéi da dién 1a n (n > 4, n € N*) va cdc dinh la: Ai, Ag, A3, An- Goi sé mat cla da dién chifa dinh Aj la 2m, + 1 => 36 canh A; 1a 2m, + 1 Vi mdi canh 1a canh chung của đúng hai mặt nên số canh sủa khối đa diện là:
2m, +1+2m, +1+ CN hít —
c= St ;
2(m,+m,+ +m,)+n n
=H 9 Elm, + mt +m +— 1 2 "
Vì c nguyên, nên 5 nguyên hay n là số chẵn
Ví dụ: khối chĩp tam giác thỏa mãn yêu cầu bài tốn
Bài 3 Chia một khối lập phương thành 5 khối tứ diện
Giải Ta cĩ khối lập phương:
Ta chia khối lập phương thành 5 khối tứ diện sau:
A’ABD; C’BCD; BA’B’C’; DA’C’D’; BDA’C’
Bai 4 Chia khối lập phương thành 6 khối tứ diện bằng nhau Giải
Ta chia khối lập phương thành 6 khối tứ điện bằng nhau sau đây:
BB'AC, A'ACB; BCA'C, CA'D'C; DACD'; AD’A’C
III CAU HOI TRAC NGHIEM
Trang 74 Cho một khối chĩp đáy là mọt ngủ guác lơi, gui sử ta phân chia khối chĩp
thành những khơi tự diện Nhang định nào khơng đúng? (A) Phan chia khĩi chĩp thành nhiêu nhất ba khối tứ điện;
(B) Phan chia khĩi chĩp thánh báo nhiều khĩi tứ diện cũng được; (C) Phan chia khối chĩp thành íL nhất 3 khơi tứ diện
(D) Cĩ nhiều hơn một cách đề phân chia khơi chĩp đĩ thành 3 khối tứ diện khác nhau
5 Cho tứ điện OABC ở đĩ OA - OB; OB ¡ ĨC; OC L OA và OA + OB = OC
Dat: sdOCA + sdOCB + sdACB o Khang dinh nào đúng? T1 (A) =; 6 (B) Se 2 (D) x IV.DAPAN ¬ ee | Cau 1 | 3 5 [Dap an | (A) | (©) | (BD | (A) | B)
§2 Khoi da diéu l6i vd khéi da dién déu 1 TOM TAT LÝ THUYẾT
1 Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lỗi nếu đoạn thẳng nối hai điểm
bất kì của (H) luơn thuộc (H) Đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lơi 2 Khối đa diện đều là khối đa diễn lồi cĩ tính chất sau:
a) Mỗi mặt của nĩ là một đa giác đều p cạnh
b) Mỗi đỉnh của nĩ là định chung của đúng q mặt
~ Khối đa điện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}
~ Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều bằng nhau
3 Định lý: Chỉ cĩ õ loại khỏi đa diện đều Đĩ là loại (3; 3], loại 14; 3!
loại 13; 4], loại (5; 3] và loại l3; 5]
Bảng tĩm tắt của 5 loại khối đa diện Loại | Tên gọi | đỉnh | Số cạnh Số mặt (3; 3) Tu diện đẻu 4 6 4 14; 3l Lập phương | § 12 6” 13; 4l Bát diện déu | 6 | 12 8 {5; 3} Mười hai mặt đều | 20 | 30 12
_d8;5] | Hai mươi mặt đều | — 12 30 20
II BÀI TẬP CĂN BẢN
Trang 8Giải
Giả sử thối lập phương cĩ cạnh bằng a Khi đĩ diện tích tồn phân của
nĩ là: S¡ = 6.a?
Xét bát diện đều thu được, khi đĩ diện tích tồn phần của nĩ l: 8 lần
điện tích tam giác đều MQE (Hình vẽ)
Xét tam giác ACD', ta cĩ M, Q lần lượt là trung điểm của MƠ va AD’ nén MQ la đường trung bình của tam giác ACD, do đĩ MQ = 5 CD’ = == 2a À B Ta c6: Suge => 1(3 Jaa) we “3 1 23 Diện tích xung quanh của bát diện đều là: 8; = 8 ga 8 - a*/J3 = 6a? S, _.`
Bài 3 Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện: đều là các đình của một hình tứ diện đều
Do đĩ:
Giải
Gọi tâm các mặt đối diện với các
đỉnh A, B, C, D lan lugt 1a A’, B’, C’, D’
Ta sẽ chứng minh cho 4 điểm A’, B’,
C’, D’ tạo thành tứ diện đều ;
Hiển nhiên 4 điểm đĩ tạo thành một
tứ diện
Trang 9Tuong tu ta cing co: IY = CTS = `
ow as oe Ww: X a
Từ đĩ tam giác BCT' la tam giác đến cạnh bằng =
3
Báng cách làm hồn tồn tướng tự tá cũng chứng mình được các tam
giác A'ND, ABC, AC cùng là tam giác đều cạnh = Vậy tứ diện
ABCD la tu dién đều
Bai 4 Cho hình bát dién déu ABCDEF Chung mimh rang:
a) Cac doan thang AF, BD va CE đĩi một vuơng gĩc với nhau và cắt
nhau tại trung điểm của m5i đường
b) ABFD, AEFC va BCDE là những hình vuơng Giải a) Theo giả thiết ta cĩ: BE = ED = DC = BC AE = EF = FC =CA BF = FD = DA = AB Nịn các tứ giác
BETC, BADF, AEFC là các hình thoi (hiến nhiên chúng là các tứ giác) Vì vày AF, FC, BD đơi một vuơng gĩc với nhau và cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường
b) Ở câu a) ta đã chứng minh được các tứ giác BEDC, ABFD, AEFC
là nhữrg hình thoi Gọi O là giao
điểm cá: đường thẳng BD, EC, AF
Xét các tam giac AEC va BEC, chúng bằng nhau theo trường hợp
canh—cenh-canh nén OA = OB & = BD > AEFC 1a hinh vuéng
Hồn tồn tương tự ta cĩ các tứ giác cịn lại là hình vuơng
II CAU HOI TRẮC NGHIỆM
1 Tổng diện tích tất cả các mặt của khối bát diện đều cạnh a là:
(A) a2V3 ; (B) 2a?V3 ; (C) 243: (D)3a?3
Trang 103 Cho bát diện đều cạnh a ABCDEF ở hình vẽ dưới đây
Gọi ọ là gĩc tạo bởi một mặt bất kì
của khối chĩp và mặt phẳng BCDE
a) Khẳng định nào đúng?
(A) sing = fe: (B) sing = e i (C) sing = ie : (D) sing = Š ở
b) Gọi œ là gĩc tạo bởi 2 mặt phẳng
(ABC) va (ABE) Khang dinh nao dung? (A) coso = ah (B) cosa = i, 3 +2 (C) cosa = : : (D) cosa = ;
4 Cho khối đa diện đều cĩ số đỉnh bằng 20, mỗi cạnh cĩ độ dài bằng a (Gọi : 8 là tổng diện tích các mặt của khối đa diện (diện tích tồn: phiẩẩn)
Khang dinh nao dung? S bang:
(A) a’V3;(B) 2a’V3; (C)3a?3; (D)4a2V8
IV ĐÁP ÁN
Câu 1 2 3a 3b 5
| Đáp án | (B) | (B) | @®) | WM) | (©
§3 Khai nigm vé thé tich khéi da dign | TOM TAT LY THUYET
1 Dinh nghia
Mỗi khối đa diện (H) cĩ thể đặt tuong ung véi 1 sé duong Vi) théa man :ác tính chất sau:
a) Nếu (H) là khối lập phương cĩ cạnh bằng 1 thì Vụ; = 1
b)_Nếu hai khối đa diện (H,) và (Hạ) bằng nhau thì Vụ, = Vụ -
c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa dién (H,)) va H,) thì Vụ, = Van + Vận,
Số dương Vụi, đĩ được gọi là thể tích của khối đa diện (H), số đìĩ cữnng lược gọi là thể tích của hình đa diện ứng với khối đa diện (H)
~ Khối lập phương cĩ cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơm vị 2 Các định lý
=
Trang 11a) Dinh ly 1: The teh con mot khoi hop ent nhất bằng tích số ba kích
thước của no
b) Định lý 2: Thẻ tích lui án, trụ cĩ điên tích đáy B và cĩ chiều cao h là:
V=li
©) Địnhlý 3: Thể tích Rhĩi chĩi ber tich dav B va chiéu cao h 1a:
Ve h BI
II BÀI TẬP CĂN BẢN
Bai 1 Tinh thế tích khơi tứ điện đều cạnh a
: Giải Goi BB’, CC’ là các đường cao của tam
giác HCD O = BB' äš CC (Ơ là tâm cua tam
giác đều BCD) Khơng kho khan ta co thé
chứng mình được AO : (BC)
(Chứng minh cho CD : (ADB?; 8D ¡ (AOC?)›
Do vay thé tich V cua khoi chop 1a: V= j AO.Suep (Ủ Ta cĩ: Sanep = g 8.asin00 2 BN! 0) AO = VAB? — BO! yaB | RB - Ja? -4 Thay (2), (3) vao (1) ta cĩ v= tay? ats Vea" 3 3° 4 12 A Bài 2 Tính thể tích khơi bát điện đều cạnh a Giải Ta cĩ: VAnepEE = VAnepy: + Vepepp ° 9 le = 2Vancpe = 2 3 S:pepe.AO (O 1a tâm của hình vuơng BCDE)
Trang 12Bài 3 Cho hình hộp ABCD.A'BŒTD' Tính tỉ số thể tích của khối hộp đĩ và thể tích của khối tứ điện ACBD' : ` Giải Gọi thể tích khối hộp ABCD.AB'CT' là V 1 1 VẠ›ppA = — V, A’ BDA 3 ABD.A'B'D' yp = —V 6 “4 1 5 Vp;Acp = 3 VạcpAcp = <V Vcanc=°2Vacgcu= 1V hang = 3 Vecsey = & D’ Mặt khác: , x B ` 3 4 ' - Vcapw = V- (Vpanc + VAwA + VpAcp + Vẹgpc) = V — a” = sŸ Dođĩ —ŸÝ_— =3 ` CADB
Bài 4 Cho hình chĩp S.ABC Trên các đoạn thang SA, SB, SC lần lượtt lấy
ba điểm A', B', C' khác S Chứng mình rằng: Youve _ a SỂ
§.ABC
: Giai
_ Goi H, H’ lần lượt là hình chiếu
của A, A' lên mặt phẳng (SBC) Dat a = BSC,B = (SA, mp(SBC)) ˆ Ta cĩ: 7 : 1 = Sispc-A'H' Vụ pe 3 Ne ` "4 Vip SABC 3 basse AH 1 SC'SB'.sina.SA‘sinB ; SBSC.sin aSAsinB _ SA “8B'.SC ' SA.SBSC
(Hình vẽ này chỉ cho một trường hợp H, H' nằm ở miền trong tam ;giác
3BC Các trường hợp khác được vẽ hình và chứng minh tương tự)
Bai 5 Cho tam gidc ABC vuơng cân ở A và AB = a trên đường thẳng quua C và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a 'Mặt phẳng qua C vuơng gĩc với BD cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính: thể
Trang 13Giải
Gọi mặt phẳng qua C và vuơng gĩc với BD là (œ)
Vì CF c (ơ) nên BD L CE, tương tự EF 1 BD Do đĩ Vpcpr = £ SasorFD a) Mặt khác ta cĩ: BA 1 AC (gia thiét) BA | DC (gia thiét)B Nén BA 1 (ACD) = BA 1 CE (a) Vi BD | (a) nén BD | CE (b) Tit (a) va (b) ta cĩ: CE 1 (ABD) = CE 1 EF => Tauggha€ CEF vuơng tại dinh E ả
Theo định lý pi-ta-go ta cĩ EF = VCF°-CE” (2)
Xĩt tam giác vuơng CBD (C = 900), CF là đường cao Ta cĩ:
1 1/1 11 8
CF? CB? CD? 2e? a? 2a?
Ja2 `
scr =74 (3) 3
Xĩt tam giác vuơng CDA (C = 90) theo giả thiết tam giác này cân tại
€ Vì CE L AD nên E là trung điểm của AD Từ đĩ suy ra CE = + AD : 22 og?- lạ? (4) 2 2 Thay (3), (4) vào (2) ta cĩ: 2 2 EF = mE A je ee 3 2 6 6 1 laV6 2a _ V83a?
Euec= TEEEOC- SSE 22.5% 6
Mat khac FD? = CD? - CF? i c a =a?- 24-2 FƑD=-= (6 3 3 => dã ) Thay (5), (6) vào (1) ta cĩ:
2 2
Wog= © V3a' a 82 (ayaty 3 12 ja 36
Bài 6 Cho hai đường thẳng chéo nhau d và đ Đoạn thẳng AB cĩ độ dài
bằng a trượt trên d, đoạn thẳng CD cĩ độ dài b trượt trên đ' Chứng mình rằng khối tứ diện ABCD cĩ thể tích khơng đổi
Giải
Giọi khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d, đ' là h và gĩc của d vad là ọ
Trang 14Trong mặt phẳng (ABC) dựng
hình bình hành CBAA'?
Ta cĩ AA'// BC nên Vasco = VAgcp
Goi MN la doan vuơng gĩc chung “ của AB và CD (M « AB, N « CD) Vi BM // CA’ nén Vgacp = VMAD Ta cĩ MN L AB nên MN L CA’, hơn nữa MN 1 CD Do đĩ MN 1 (CPA') ˆ
Chú ý rằng (AB,CD) = (AC',CD)=@ nên
VưAcp = 2 5¿co.MN = a 1 CA 'CD, sino.MN = A a.b.h sing 3 , 32 6
1
=> Vascp = gabhsing
1II CAU HOI TRAC NGHIEM
1 Cho khối hộp chữ nhật cĩ 3 kích thuớc là a, b, c Tăng đồng thời 3 kích
thước lên V2 lắn để được khối hộp chữ nhật mới Thể tích khối hộp: chữ
“nhật mới bằng bao nhiêu lần so với thể tích khối hộp chữ nhật ban điâu:
(A) v2; (B) 2; (C)2/2; — (D)4
2 Cho khối chĩp S.ABC cĩ thể tích V và cĩ SA = 3 SB = 4, SC = 5 Trêm các
doan thang SA, SB, SC lan lượt lấy các điểm M, N, P sao cho: AM = 1;
SN = 3; PC = 4 Gọi V' là thể tích khối chép S.MNP Khang dinh nao đúmg? (A) V= 10V; (B) V = 6V; (C)V=5V, (D)V=4V
3 Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a M là trung điểm của AB “Thể
tích của khối tứ diện ABMD là:
a*J2 a®V2
8 4
a® V2 12 ; ; (B) a® V2 1 6° (C) is axe; (D) 5 ©
4 Cho khối chĩp tứ giác đều S.ABCD
Trang 15IV DAP AN | Cau 7 2 m : 2 | 3 | _ 4a | 4b (Đáp án | ( | (A) | @) | ®) | @ ƠN TẬP CHƯƠNG I Bài 1 Cá: đỉnh, cạnh, mặt của một khối đa diện phải thỏa mãn những tính chất nào? Giải
Các định, cạnh, mặt của một khối đa diện phải thỏa mãn hai tính chất sau: + Hai mặt phân biệt chỉ cĩ thể hoặc khơng giao nhau, hoặc chỉ cĩ một đình chúng, hoặc chỉ cĩ một cạnh chung
+ Mơi cạnh của mỗi mat nao cũng là cạnh chung của đúng hai mat Bài 2 Tìn một hình tạo bới các đa giác nhưng khơng phải là mơt đa diện
` Giải
Ở hình vẽ bên, ta xét bình được tạo bởi hai tứ điện ABCD và ABCO' Đây khơng phải là
hình đa diện bởi vì hình này
khong thoa man tinh chat đầu
tiên, đĩ lá:
Hai mặt phân biệt (BCD) và
(ABC) ¿ĩ điểm chung là A’ nhưng kbịng cĩ một đỉnh chung
nao va cng khơng cĩ một cạnh
chung nav
Bài 3 Thế nào là một khối đa diện lồi Tìm ví dụ trong thực tế mơ tả một
khối đa diện lồi, một khối đa diện khơng lồn Giải
Cho kaidi da điện (H) (II) được gọi là khối đa điện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điềm bất kì của (H) luơn thuộc (H)
Ví dụ rong thực tế về khố: đa=drêm lơi
Các khối đa điện lơi trong thực tế như: bao điêm, hộp phần
Ví dụ về khối đa điện khơng lồi trong thực tế:
Cái tủ lệch (khơng cĩ chan)
Trang 16
Bài 4 Cho hình lăng trụ và hình chĩp cĩ cùng diện tích đáy và điều cao
bằng nhau Tính tỉ số thể tích của chúng
Giải
Gọi Vị, V; lần lượt là thể tích của khối lăng trụ và khối chĩp
Gọi 8S, h lần lượt là diện tích đáy và chiểu cao của cả khối lăng trụ và khối chĩp Theo os thức ta cĩ: Vị=8§.h; Vạ= ssh F Từ đĩ ta cĩ: yaphes , 3 35h Vay tỉ số thể tích khối lăng trụ và khối chĩp cĩ cùng diện tích đáy và chiều cao là 3
Bài ð Cho hình chớp tam giác O.ABC cĩ ba cạnh OA, OB, OC lêi một ; vuơng gĩc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c Hãy tính đường cao OH
của hình chĩp 1
: Giai
Goi I là hình chiếu của O lên AB
Vì OC vuơng gĩc với OA và OB nên OC
4 (OAB) = OC 1 AB Từ đĩ ta suy ra: AB 1 (COI)
Vậy H là hình chiếu của O lên Cl
Trong tam giác vuơng AOB tả cĩ: N01) OF OA? OB? Trong tam giác vuơng COI ta cĩ: —— Từ (1) và (2) ta cĩ: KH da du bức OH? OA? * OB? OC', a° <> OH = ate va?b? + bÊc? + c?a? Nhận xét: ta cĩ thể tính OH từ mối liên hệ: ee sự
Voanc = gabe = 5 OH: Suse
Bài 6 Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh AB bing a Cé ‹cạnh
bên SA, SB, SC tạo với đáy một gĩc bằng 60° Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuơng gĩc với SA
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chĩp S.DBC và S.ABG
Trang 17Giải a) ta cĩ AB = BC = CA =a
Goi O là hình chiếu vuơng gĩc ‹ của (S) lên (ABC) Khi đĩ ta cĩ: SBO = SCO = SAO = 60°
> ASOA = ASOB = ASOC
> OA = OB = OC hay O là tâm của tam giác đều ABC
Trong các tam giác SOA, SOB, SOC Ta cĩ: 2 aJ3 9aV3 SA = SB =SC = 2OA = 2 ~.——=———— 3 2 3 SO = V§B? -OB”:= a Gọi I là trung điểm của BC, ta cĩ: ID I SA a3 Cc Nên ID.SA = SO.IA = ID =
Xét tam giác vuơng IDA, ta cĩ:
= VIA® — ID? 8 ep Sel Ok 4 12 Mặt khá Ysane - Vanne * Vanco 1 , AD S.DBC Vspse sD av3 214 4 ~ 8 _, Vee _ 5 5av3 5 Vs anc 8 1 1 15aV3 13 Ba" J3 b) ‘Ta c6: Vspac = 2 SD.Sancp D78.68: Venac = Shas 3°19 “94° = = oS = 2 aa = 96 8 5a/3 a*j3 => Venue = 5°96 7 12
Bai 7 Cho hinh chép tam giác S.ABC cĩ AB = 5a; BC = 6a; CA = 7a Các -
mat bén SAB, SBC, SCA tạo với đáy một gĩc bằng 60° Tình thể tích
khối chĩp đĩ
Giải
Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng
(ABC), Goi A', B', C lần lượt là hình chiếu của,
H lên các cạnh BC, CA, AB Xét các tam giác ˆ
„ vuơng: SHA’, § SHB’, SHC’ cé6:
SA’ "He SB'H = SC'H = 60° (vì các gĩc này
chình là các gĩc của mặt bên và mặt đáy ABC) Ơ
| TRUNG TAM FHONG TIN THU VIEN l2
ss ne re vi
Trang 18Từ các tam giác vuơng đĩ dễ dàng suy ra SC' = SA' = SB’ nén HA’ = HB’ : HƠ' = H là tâm đường trịn nội tiếp tam giác ABC
Mặt khác diện tích của tam giác ABC cĩ thể tính theo cơng thức: Suan = Vip — ABXp - AC(Wp - BC).p
Với p= AB + ÁC + BC _ 5a + 6a +7a -9a
2 2
Do đĩ: S,„„„„ = \j(9a - õa)(9a - 6a)(9a - 7a)p = V216a' = 6a’V6
Vì SaAnc = p.r (r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC) „ 682/6 _ 9aj6 9a 3 SH Xét tam giác vuơng SHA,, ta cĩ: tan60° = HA’ => SH = r.tan60° = gH = 2%8 3 5 abn
Do đĩ thể tích của khối chĩp S.ABC là:
VsApc = 5 Sune SH = 5 6a" V6.2V2a = 83a?
lài 8 Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD 1a hinh chit nhat SA vuơng
gĩc với đáy và AB = a, AD = b, SA = c Lấy các điểm B', D' theo thứ tự
thuộc SB, SD sao cho AB' L SB, AD' L SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tai Ơ Tính thể tích khối chĩp S.AB'CT' Giải Dựng điểm C' như hình vẽ Ta cĩ: BC L AB (giả thiết) (1) Mat khac: SA 1 (ABCD) nên SA L BC (2) Từ (1) và (2) ta c6: BC 1 (SAB) = BC 1 AB’ `(8) Ta cĩ: AB’ 1 SB (gia thiét) (4) Từ (3) và (4) suy ra AB’ 1 (SBC) Hay ta cĩ dugc AB’ 1 B’C’
© AABC' vuơng tại B'
Hồn tồn tương tự ta cũng cĩ AAD'C' vuơng tại D' `
Trang 192 22
foea: AB —! a’? Vy diate ape 82 yap are? a’ +c? fa? 4 se ae (5) Tumg te AD? = PS ap'-—be_ — (øy b* +c? Vb? +c? L 11 1 1 a+b’ +c AC” c® AC’ ch ab+b’ eta’ +b’) AC === (7) +b? +c? 2 >B.C” ¬ ) a’ +b? +c? _ —a'€” - a°bc” - a'c' + a'c* + cla? + a*b*c? + “b? (a? + c*)(a? + b* +02) ities = “be ithe “(a + cha? +b? +0) HD ees fil via’ + c* a’ +b? +c?) 2 2 Tương tụ C'D'=-——————— (9); SC'= £ (10) V(b? +c? (a? + bđ + Â) Va? +b? +c? Thay (5), (6), (7), (8) (9) và (10) vào (*) ta cĩ: V _1| ae c?b + CĐ 6| Ja? +c? "va? +c?)(a? + b + c?) ,—_Đ€ c?a œẦ Vb? +0? \(b + e?(a? + bề +c?) | va? + bề + c? _1_ cab 1,1 6a°+b?®+c?|la?+c? b?+c? Bài 9 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuơng cạnh a, cạnh AM cat SO tai I
với BD nêm E, F lần lượt là các giao điểm của đường thang qua I, song song
với BD với các đường thang SB, SD
bên tạo với đáy một gĩc bằng 60° Gọi M là trung điểm của SC Mặt phẳng di qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích khối chĩp S.AEME
Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD Do mặt phẳng chứa AM, song song
Trang 20Ta c6: DB 1 AC (giả thiết)
SO 1 BD ( vi S.ABCD la hinh chép déu)
Nén BD 1 (SAC) => EF 1 (SAC) => EF 1 SC (1)
Mặt khác tam giác SAC cân tại 8, hơn nữa theo giả thiết thì gĩc giữa
SA va (ABCD) bing 60° tức là gĩc SAC = 60° nên ASAC đều Vì M bà trung điểm của SC nén AM 1 SC (2) Từ (1) và (2), ta cĩ: SƠ L (AEMF) = SM là chiểu cao của khối chĩp S.AEMF - Cũng từ EF 1 (SAC) = EF L AM = Sasw = 2 PF.AM = Vsaemr = 5-2 PF.AM.SM (*) Vì ASAC đều và AC = aV2 (đường chéo của hình vuơng cạnh a) nên wt SC =aV2 > SM= (3) Cũng vi ASAC đều cạnh a2 nên AM = = av2.J3 F ave (4) 2 2 Dễ thấy I la bọn tâm của tam giác SDB nên theo định lý Talet ta cĩ: EF - SI "30737 = EF - 2BD-2a J2 ( 2 Thay (3), (4) va (5) vào cai ta * a Veanue = 4.2.0 fk se is ; s Bai 10 Cho hinh lang tụ đứng tam giác ABC.ATB'C cĩ tất cả các cạnh đều bằng a
a) Tính thể tích khối tứ điện A'BBC
- b) Mặt phẳng đi qua ATB' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và B(C lần
lượt tại E và F Tính thể tích hình chĩp C.A'B'FE
Giải
` ' Bạt Aye hãy chi là cách dựng EF (EF di qua G, EF // AB)
a} Ta cĩ:
VancAc = VA-Anc + VccpaA' + Vạ:pBC
Trang 21a2J3 12 Tương tự: Va anc = a"J3 12 a3 a* a*⁄3 Thay (2), (3) và (4) vào (1) ta cĩ: VAppc = 1 ao
Ta cĩ: Ve gAn cons = Vepaa = ~CL— NORA Be 8 2 BR = =——.— «Ie
Ve ABFE = Ve BFE + Ve BEA’ Mặt khác theo bài tập 4 §3 ta cĩ: Vy CF CE (2Ï 4 vy _4 3/8 atv Vy CBCA |3) 97 SPF 6 12 27 ` 2 aa a’v3 onan CA 3 SPE” 3° 12 18 sy are -82N8 avs _ 2a? VB + 3a?Vs_5a°v3 ed “78 54 54 5a’? « Vụ CA BFE == 18/3
Bài 11 Cho hình hộp ABCD.A'BCD' Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ va DD' Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp làm hai khối
đa diện Tính tỉ số thể tích của hai khối đa điện đĩ
Giải
Khơng khĩ khăn nhiều cĩ thể chỉ ra được (CEF) đi qua A’ Từ đây suy
ra thiết diện của hình hộp bị cắt bởi
mặt phẳng (CEF) là hình bình hành
AECF Do khối hộp nhận điểm O làm tâm đối xứng (giao các đường
chéo) nên phép đối xứng tâm O biến
khối đa điện ABCDEA'F thành khối đa diện CDA'BFCE Do đĩ hai khối
này bằng nhau và hiển nhiên tỉ số thể tích của chúng bằng 1
Bài 12 Cho hình lập phương ABCD.A'BCT' cạnh a Gọi M là trung điểm
A'W,N là trung điểm của BC
a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN
b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H) là khối đa diện cịn
Trang 22Giải
a) Xét khối tứ điện (chĩp) M.AND Chiều cao của khối chĩp này (đỉnh
M) chính bằng cạnh AA' của hình lập phương
Do đĩ: Vụ Awp = 2 ÀA'Suup a) D A
Ta cĩ: AA’ =a
b) Gọi giao tuyến của (DMN) v6i (A’B’C’D’) la d, dq A’D’ = K
Ta cĩ.MK // DN, dễ chỉ ra được
Ka’ = 2; Kp = 34 4 4
Goi A là giao tuyén cia (DMN) vdi (CBB’C’), ta c6 A // DK
Lay I € C’B’ sao cho IB’ = alc = ` Khi đĩ KD // CI nên DK // CI œ Đặt E = CI ¬ BB' Ta cĩ: EB' IB' 1 = EB'= ÌEB = Ì(EB 44% + BB)= ŸEB' = lạ 4 4 EB CB 4 =>EB= 1a >EB- 4a 3 3 b 1 2 „1
Goi Q= A BB = QB = SBE = 58> QB= sa
Ta 06: Vai) = Vaasnp + Vo.qma + Vomax + Vaamx
Trang 23CÂU HỎI TRẮC NGHIÊM CHƯƠNG I
A CAU HOI TRAC NGHIEM
1 Trong các mệnh để sau, mệnh dé nao dung?
(A) Số đỉnh và số mặt cua | hinh da dién ludn bang nhau;
(B) Ton tại hình đa diện cĩ số dịnh và số mặt bằng nhau; (C) Tén tai một hình đa diện cĩ số cạnh báng số đỉnh;
(D) Tén tai mot hình đa diện cĩ số cạnh và số mặt bằng nhau 2 Trong các mệnh dé sau, mệnh đề nào đúng?
Số các đỉnh hoặc số các mặt của bất kì hình đa điện nào cũng: (A) Lớn hơn hoặc bằng 4: (B) Lớn hơn 4;
(C) Lớn hơn hoặc bằng 5; (D) Lớn hơn 5 3 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số cạnh của hình đa điện luơn luơn:
(A) Lớn hơn hoặc bằng 6; (B) Lớn hơn 6;
(C) Lớn hơn 7; (D) Lớn hơn hoặc bằng 8 4 Trong các mệnh để sau, mệnh đẻ nào sai?
(A) Hình tứ diện là hình đa ciện lơi;
(8) Hình hộp là hình đa diện lơi; (C) Hình chĩp là hình đa diện lơi;
(Ð) Hình lăng trụ tam giác là hình đa điện lơi 5 Trong các mệnh để sau, mệnh đề nào sai?
(A) Hai khối chĩp cĩ diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì cĩ thể tích bằng nhau; @) Hai khối chĩp cụt cĩ điện tích mĩt đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì cĩ thể tích bằng nhau, (C) Hai khối lăng trụ cĩ diện tích đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì cĩ thể tích bằng nhau (Ð) Hai khối chĩp cụt cĩ diện tích hai đáy và chiều cao tương ứng bằng nhau thì cĩ thể tích bằng nhau
6 Cho hình chĩp S.ABC Goi A’, B' lản lượt là trung điểm của SA va SB
Khi đĩ tỉ số thể tích của hai khối chĩp S.A'B'C' và S.ABC bằng:
1
1 1
A) -; (B) -; (C) -; (D) -
: 3 : 4 8
Trang 248 Khối lăng trụ tam giác đều cĩ tất cả các cạnh bằng a, khi đĩ thể tích của khối lăng trụ là: : rc ‘ v2 3 a as (©) định (D) f a + (A) 3 _ (B) — 9 Cho hinh hép ABCD.A’B pone Tỉ số mi tích của kức tứ điện ACB'D và ' khối = ABCD ee bằng: 1 A a : B de Cc i D) = (A) 5 (B) 3 (Cc) a (D) 6
10 Cho hình hộp ABCD.A'BCT' gọi O là giao điểm của AC va BD Ti sé’ thể tích của khối chĩp O.A'BCD' và khối hộp ABCD.A'B'CT' bằng: 1 1 l ie 21 as B) —; cs = (A) gi ¢ bại _ (Ơ) nh (@) : B DAP AN a —.- Câu 1.J #8 3 4 5 6 7 8 9 | 10 Đáp án | Œ) | (A) | (A) Œ) | (C) | (C) | @) | (@) | @®) C HƯỚNG DẪN GIẢI ˆ 1 Mệnh để (A) sai vì xét hình lập phương cĩ 8 đỉnh và 6 mặt ~ Mệnh để (B) đúng vì hình tứ diện cĩ số đỉnh bằng số mặt — Mệnh đề (C) sai -That vay: Gọi các đỉnh của khối đa diện (nếu cĩ) là Ay, Ag, , Aas Số cạnh qua định A; la mị (¡ = Ln; m; € N*) qua mi đỉnh A; cĩ ít nhất ba cạnh nên m, > 3 Mỗi cạnh lầ cạnh chung của đúng hai mặt nền số cạnh là: Vi C =n nen: m, +m: + xây +m, = 2n (*)
Vế trái (*) cĩ giá trị là a thì a > 3n Vơ lí
- Gọi số các mặt của đa diện là n, mỗi mặt cĩ ít nhất 3 cạnh niên số
cạnh của đa diện ít nhất = > n Vậy (D) sai Chọn (B)
3 Xét hình tứ diện, rõ ràng nĩ cĩ 4 đỉnh và 4 mặt nên các mệnh điể (B),
“(C), (D) là mệnh dé sai
Giả sử tổn tại khối đa diện mà cĩ số đỉnh nhỏ hơn 4, rõ ràng khịnyg thể cĩ khối đa diện mà số đỉnh là 1, hoặc 2 vì như vậy đa điện khơng thiể tạo
nên bởi hữu hạn các miền đa giác Nếu số đỉnh là 3 thì đa diện này: được tạo bởi -1 miễn tam giác là vơ lý
Trang 25ờ
3 Xét khối tứ điện, rõ ràng nĩ cĩ 6 cạnh vì vậy các mệnh để (B), (C), (D) là những mệnh để sai
Xét đa diện cĩ một mặt nào đĩ là tam giác Khi đĩ đa diện cĩ ít mặt
nhất là tứ diện, số cạnh của tứ diện là 6 Các đa diện khác tứ điện mà cĩ
một mặt là tam giác thì hiển nhiên số cạnh lớn hơn 6 Tương tự các đa diện
cĩ một mặt nào đĩ là tứ giác, ngũ giác, Vậy (A) đúng Chọn (A) 4 Khong co mệnh đề nào sai
5 Dựa vào các cơng thức tính thể tích khối chĩp, khối lăng trụ thì ta cĩ ngay các ménh dé (A) va (C) 1a dung
‘Ta chứng minh được cơng thức sau: Vensp aut = ah +B VBB) Ở dĩ B, B' là diện tích 2 mặt day, h là chiều cao Do đĩ mệnh đề (D) đúng, (B) sai Chọn (B) Veane SA SB §C 11 _1 6 TA CĨ: CV SA SB SƠ 22 4
Khang dinh (C) dang Chon (C)
'Ta cĩ: VsApcp = VsAnc + VsAcp
VsAcm = VsAc' + VsAcp:' SA' SB' SC' Mạt khác Vsawe: SA’ SB’ SC’_1 1 1_1 () Vea SA SBSO 2928 Tương tự: sac: mã (2) S.ACD 8 ‘Tur (1) và (2), ta cĩ:
Ấy aspc- Py Ven-e-n pm Vaane: it Nhang D us 1 Vs ABC Vs ACD Vs ABC + Vs ACD 8
- Vsaweo: 1 yay khang dinh (C) ding Chon (C) Vs ABCD 8 8 Chiều cao h của khối lăng trụ tam giác đều là: h =a a? 3 4
Diện tích của khối lăng trụ là S = 2 &asin60” =
Trang 27Chương II MẶT NĨN, MAT TRU, MAT CAU §7 Khai uiém vé mat tron xoay I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Trong khơng gian cho mat phang
(P) chứa một đường thăng \ va đường @ Khi quay mặt phẳng (P) quanh \ thì @ se tạo nên một hình được gọi là mặt trịn xoay Đường © được gọi la đường sinh của mat srịn xoay đĩ Đường thăng ^ gọi
là trục cua mặt trịn xoay
2 Mát trịn xoay
- Trcng khơng gian cho mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng A và d cắt
nhau tại O và gĩc tạo thành là ƒ' khơng đổi với 0° < B < 90°, khi quay (P)
quanh A thì đường thẳng d tạo ra một mặt trịn xoay được gọi là mặt nĩn trịn xoa, hay là mặt nĩn đỉnh O, đường thẳng A gọi là trục, d là đường sinh của mặt nĩn
~ Cho tam giác OIM vuơng tại Ï quay quanh cạnh O[I thì đường gấp khúc OMI tao than một hình được gọi là hình nĩn trịn xoay hay được gọi là hình nĩn
~ Khi nĩn trịn xoay là phan khong gian đượ: giới hạn bởi hình nĩn kể ca hình nĩn đĩ ~ Diện tích xung quanh của hình nĩn cĩ bán kính đường trịn đáy la r va độ đài đường sinh là !, ta cĩ: S„„ = x.r.i >> ~ Th¿ tích khối nĩn cĩ bán kính đường trịn đáy là r, và chiều cao h là: V= l mrh 3
3 Mat tru trịn xoay
- Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng A và / song song véi nhau,
Trang 28sinh ra một mặt trịn xoay được gọi là mặt trụ trịn xoay hay gọi tắt là mặt trụ A là trục, J 1a đường sinh của mặt trụ đĩ
— Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh
AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành
một hình được gọi là hình trụ trịn xoay hay gọi là hình trụ _ °
~ Khối trụ trịn xoay là phần khơng gian
giới hạn bởi một hình trụ và hình trụ đĩ — Diện tích xung quanh của hình trụ cĩ bán kính đường trịn đáy là r và độ dài
đường sinh là / thì: 8; = 2xr.! a
— Thể tích của khối trụ trịn xoay cĩ bán -kính đường trịn đáy là r và chiểu cao h là:
Venrh
Il BAI TAP CAN BAN
Bài 1 Cho đường trịn tâm O bán kính r nằm trên một mặt phẳng (P) Từ
những điểm M thuộc đường trịn này ta kẻ những đường thẳng vuơng gĩc với (P) Chứng minh rằng những đường thẳng như vậy nằm trên
một mặt trụ trịn xoay Hãy xác định trục của mặt trụ và bán kính của mặt trụ đĩ Giải — Qua tâm O của đường trịn kẻ đường thẳng A và A vuơng gĩc với mặt phẳng (P) Ta cĩ: A7 m (m là đường thẳng qua M và m 1 (P)) và khoảng cách giữa A và m luơn bằng r)
— Vậy các đường thẳng m luơn
luơn nằm trên mặt trụ trịn xoay cĩ trục là đường thẳng A và cĩ bán kính bằng r
Bài 2 Trong mỗi trường hợp sau đây hãy gọi tên các hình trịn xoay hoặc khối trịn xoay sinh ra bởi:
a) Ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh
thứ tư
b) Ba cạnh của một tam giáẻ cân khi quay quanh trục đối xứng của: nĩ
e) Một tam giác vuơng kể các điểm trong tam giác vuơng đĩ khii quay
Trang 29d) Một hình chữ nhật kể các điểm trong của hình chữ nhật đĩ khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh
Giải
a) Hình trịn xoay sinh ra bởi quay 3 cạnh của hình chữ nhật quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư là hình trụ trịn xoay (hay hình trụ)
b) Hình trịn xoay sinh ra bởi một tam giác cân quay quanh trục đối
xứng của nĩ là hình nĩn trịn xoay (hay là hình nĩn)
e) Khối trịn xoay đĩ gọi là khối nĩn trịn xoay d) Khối trịn xoay đĩ gọi là khối trụ trịn xoay
Bài 3 Cho hình nĩn trịn xoay cĩ đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm
a) Tính diện tích xung quanh của hình nĩn đã cho b) Tính thể tích cúa khối nĩn tạo bởi hình nĩn đĩ
e) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nĩn cĩ khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích thiết diện Giải a) Áp dụng cơng thức: Syq = 7.1.1 Độ dài đường sinh của mặt nĩn là: ˆ 1= JOr + IM? = /400 + 625 => 1= 1025 => Seq = 7.25 V1025 ~ 2514,5 (cm?) b) Thể tích của khối nĩn là: Và v= perth = 5 7257.20 = 13089,969 (cm*) 7?
e) Giả sử mặt phẳng (a) cắt hình nĩn theo thiết điện là tam giác cân OMN Gọi H là trung điểm của MN, ta cĩ:
IH | MN va OH | MN => MN 1 (OIH)
Trang 30Vậy diện tích của thiết diện là diện tích của AOMN và
S = 2 OH.MN = 500 cm”
Bài 4 Trong khơng gian cho hai điểm A, B cố định và cĩ độ dài AB = 20cm Goi d là đường thẳng thay đổi luơn luơn đi qua A và cách B một
khoảng bằng 10cm Chứng tỏ rằng đường thẳng d luơn nằm trên một mặt nĩn, hãy xác định trục và gĩc ở đỉnh của mặt nĩn đĩ Giải Gọi A là đường thẳng qua AB, H là hình chiếu vuơng gĩc của B én đường thẳng d, ta cĩ: BH = 10cm : an BH 1 = sin BAH = AB 2 © BAH = 30°, hay gĩc giữa đường thẳng A và đường thẳng d 1a 30° Vậy đường thẳng d luơn luơn nằm trên mặt nĩn trịn xoay cĩ trục là đường thẳng qua AB và gĩc ở đỉnh là 2œ = 60° Bài 5 Một hình trụ cĩ bán kính đáy r = 5cm và cĩ khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm \ a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụt được tạo nên
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục: 3m
Hãy tính diện tích của thiết điện được tạo nên Giải a) Áp dụng cơng thức, ta cĩ: — Diện tích xung quanh của hình trụ là: Syq = 2n.r = 2n.5.7 = 219,91 cm? — Thé tich của khối trụ là: V = mrˆ.h = m.BẺ.7 x 549,77 cm”
b) Ta thấy thiết diện là hình chữ nhật ABCD nằm trong mặt phẳng song
song với trục OO” và cách OO' một
khoảng bằng 3cm
Kẻ OI 1 AB, ta cĩ OI 1 BC
Trang 31» OI | mp(ABCD) ay OI = 3cm Ta cĩ: AB = 2AT = 2VOA* OL > AB = 225-9 = 8em Vậy diện tích cúa thiết diện là S = AB.BC = 8.7 = 56cm
Bài 6 Cắt một hình nĩn qua trục của nĩ ta được thiết diện là một tam giác đêu cạnh 2a Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nĩn đĩ
Giải Gia sử thiết điện là tam giác đều OAB, ta cĩ: AB là đường kính của đường trịn đáy của hình chĩp
=> ban kính đường trịn đáy là r = > =a Đồng thời OA là đường sinh và OI là
chiều cao của hình chĩp, ta cĩ:
Em 7
OA = 2a va OI = JOA’ ~1A* = av3
Diện tích xung quanh của hình nĩn là:
Sy, = ard = 2na” Thẻ tích của khối nĩn là:
Bài 7 Một hình trụ cĩ bán kính r, và chiều cao h = rv3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích khối trụ tạo bởi hình trụ đã cho
©) Cho hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho gĩc giữa Ab với trục của hình tru bang 30° Tinh khoảng cách giữa đường
thẳng AB với trục của hình tru Giải
a) Diện tích xung quanh của hình trụ là: S„„ = 2m.r.! = 2V3 nr?
Diện tích tồn phần của hình trụ là:
Sp= 8¿a + Saấy = 2 V3mr'? + 2mrẺ Sop = V3 + Ir?
b) Thể tích của khối trụ tạo bởi hình trụ là:
Trang 32earh= W301
c) i mặt phẳng (P) là mặt phẳng qua AB
và (P) / OƠ, trục của hình trụ Khi đĩ thiết diện tạo bởi mp (P) và hình trụ là hình chữ nhật AB 'BA' Gĩc giữa OƠ' và AB cũng chính là gĩc giữa AA' và AB (do AA’ // OO") = BAA' = 30° BA' "Ta cĩ: tan BAA' = we => AF = AA'.tan BAA ' = AB = V3.rtan30°=r ie | 2
Kẻ IO 1 AB', I e AB' = 10 = JOA? - IA? =j-E - R8 2
Do mặt phẳng (P) chứa hình chữ nhật ABBA' song song với trục OO' nên khoảng cách giữa OƠ và mp (P) cũng chính là khoảng cách gïữa AB và
OO’ va bang OI = =
Bài 8 Một hình trụ cĩ hai đáy là hai hình trịn (O; r) và Ơ; £) khoảng cách
giữa hai đáy la OO’ = rv3 Một hình nĩn cĩ đỉnh là Ơ và đáy là hình
trịn (O; r)
a) Gọi 8; là diện tích xung quanh của hình trụ và S; là ¢iéntich
Trang 33V.= 1 arhe= tris 3 3
Con Ve là thé tích của phần khơng: gian phía ngồi khối nĩn và trong khơi trụ ta cĩ: thể tích khối trụ: V = x.r”.h = xr) V3 4 ‘ V, >V¿=V-~ Vì = r2 V3 - r3, anv aatel 3 3 V, 2
Bai 9 Cat hình nĩn đỉnh S bởi mặt Ehàyng đi qua trục ta được một tam giác vuơng cản và cạnh huyền bằng a3
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nĩn
tương ứng
b) Cho dây cung BC của đường trịn đáy hình nĩn sao cho mặt phẳng
(SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nĩn một gĩc bằng 60° Tính
diện tích tam giác SBC Giải a} ta cĩ tam giác SAA’ vu6ng cân tai S, AA’ = aV2, suy ra: “sẽ Bán kính đường trịn đáy r = OA = —“ độ dài đường sinh = SA = AA'.sin45° = a Diện tích xung quanh hình nĩn: xa” J2 Syq = urd q= urd = ———— 2 Diện tích đáy hình nĩn là: 2 ‘Saty = nr? = ea Thé tích của khối nĩn tương ứng là: V= nh
Do ASAA' vuơng cân nên chiều cao của khối nĩn là SO và SO = a
> h=S0= ae =Velghet, 3 3 fal ay2 _ V2.na°
2 2 12
b) Gọi I là trung điểm của dây cung BC, ta cĩ:
Trang 34SI 1 BC = gĩc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng chứa đường trịn đáy là OIS = 60° Xét tam giác vuơng SOI, ta cĩ: te 1 BC avy2 - tan OS - 89 = or - SO_. 2_ _ av6 Ol tanOIS tan60° 6 Se ~ si= JSO? + OF - (24) (8 ae
Mặt khác: BC = 2IB = 2OB” -OI# = 2 aft _ mt
Diện tích tam giác SBC la:
s- 1 post -128v ave _a'va 2 2 3 3 3
Bài 10 Cho hình trụ cĩ bán kình r và chiểu cao cũng bang r Mit hình
vuơng ABCD cĩ hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung sửa hai đường trịn đáy cịn cạnh BC va AD khơng phải là đường sinh của hình trụ Tính diện tích của hình vuơng đĩ và cơsin gĩc giữa mặt phẳng chứa
hình vuơng và mặt phẳng đáy
Giải B
Ké hai dudng sinh AA’ va BB’ của hinh tru, khi d6 A’B’CD là hình chữ nhật nội tiếp đường trịn đáy của hình trụ
Ta cĩ: đường kính A'C = 2r, AA'=r
= AC? = A'C? + AA” = 51”
Mặt khác ABCD là hình vuơng nên
Trang 35AD = VA'C? -CD* = Jar? - : rẻ = Ni r6 rV10 rV15 +S ABCD =appe= 58 2 2 Gọi ơ là gĩc giữa mặt phẳng đáy và mặt phẳng (ABCD) ta cĩ: Sic 3 Sapp = Sancp.cosa => cosa = A2® = 5 ABCD
I CAU HOL TRAC NGHIEM
1 Cho hình nĩn co chiéu cao h và tạo với đường sinh một gĩc bang 60° Diện tích của thiết diện của hình nĩn với mặt phẳng đi qua hai đường
sinh vuơng gĩc bằng:
(A) bh’, (B) 2h’, (C) 3h’, (D) 4h?
2 Một hình nĩn đỉnh S Mat phẳng (a) qua dinh S c&t hình nĩn theo hai
đường sinh SA, SB và hợp với nhau một gĩc 60”, với SA = a khoảng cách
từ tâm đáy hình nĩn đến mặt phẳng (œ) bằng:
(A) a (B) a (Cc) avs œ) HH
8 Một hình trụ cĩ hai a là hai đường trịn tâm O và Ơ, bán kính r, đường cao r⁄2 Goi A là một điểm trên đường trịn (O) và B' là điểm nằm trên đường trịn (O’) sao cho OA 1 ƠB' Thể tích của tứ diện OAB’O’ bang: a, , rV3 | v2 6 6 `
4 Một hình trụ cĩ bán kính r và cĩ thiết diện qua trục là một hình vuơng Thể tích của khối trụ tương ứng là:
(A) 2m.r; (B) mrŸ; (C) V2.2; (D) nr V3
5 Thiét dién qua trục của một hình nĩn đỉnh S là một tam giác vuơng cân cạnh gĩc vuơng bằng a Một hình trụ cĩ một đáy là hình trịn của hình nĩn và đáy cịn lại là chứa đỉnh S của hình nĩn nĩi trên Diện tích xung quanh của hình trụ là:
2 2
(A) se ; () ah ; (C) na’; (D) 2na?
Trang 36§2 Mat cau I TOM TAT LY THUYET
1 Định nghĩa: Tập hợp tất cả những điểm M trong khơng ghn cách điểm O cố định một khoảng khơng đổi r (r > 0) được gọi là mặt cân tâm O bán kính r, kí hiệu S(O; r)
S(O; r) = {M\OM = r}
2 Cho mặt cầu S(O; r) và điểm A bất kì trong khơng gian
'— Nếu OA = r thì ta nĩi A nằm trên mặt câu S(O; r)
~ Nếu OA < r thì ta nĩi A nằm trong mặt cầu S(O; r)
~ Nếu OA > r thì ta nĩi A nằm ngồi mặt cầu S(O; r)
Tập hợp các điểm nằm trên mặt cẩu S(O; r) cùng với các điếm rằm
trong mặt cầu được gọi là khối cầu hoặc hình câu tâm O bán kính R
8 Giao của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt câu S(O; r) va mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu vtơng gĩc của O lên mặt phẳng (P), h = OH là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P
e _h >r thì mặt phẳng (P) khơng cắt mặt cầu §(O; r)
e h =r thì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; r) Khi đĩ H gọi là tiếp điểm của mặt cầu và mặt phẳng, mặt phẳng (P) gọi là tiếp tiện của mặt cầu S(O; r)
s® h<r thì mặt phẳng cắt mặt câu theo một đường trịn tâm H, bán
kính r = vr? -h°
Dac biét néu h = 0 thi H =O giao tuyến của mặt phẳng (P) va
mặt câu S(O; r) là đường trịn
tâm O, bán kính r, đường trịn này gọi là đường trịn lớn
Chú ý: Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (œ) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M là (œ) vuơng gĩc với bán kính của mặt cầu tại điểm đĩ
4 Giao của mặt cầu với đường thẳng
Cho mặt câu S(O; r) và đường thẳng A, H là hình chiếu vuơng gic của O
lên A va d = OH là khoảng cách từ O đến A
e_ d>r thì A khơng cắt mặt câu §(O; r)
e d=rthia tiếp xúc với mặt
cầu S(O; r) tại H H được gọi là tiếp
điểm, đường thẳng A gọi là tiếp Í
Trang 37Cha ý: Điều kiện cẩn và du đo dựa ð thắng A tiếp xúc với mật cầu S(O; r)
tại liểm H là A vuơng gĩe với bán kina ONH tại điểm H
® d<r thì đường tháng \ cát mat cau S(O, r) tai 2 diém phân biệt 5 Cơng thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
© Mat cau ban kính r cư diện tích là: S = 4.xr7 ® Khối cầu bán kính r c2 thể tịch là: V ; ar
II BÀI TẬP CAN BẢN
Bài 1 Tìm tập hợp tất ca những điểm M trong khơng gian luơn nhìn đoạn thang AB cố định dưới một gĩc vung
Giải
đọi O là trung điểm của AB
Xét tam giác vuơng MAB, vuơng tài MỤ ta cĩ 2 AB OM = OA = OB Š Đo O cố định, Ÿ là số khơng đổi, nên tập hợp các điểm M trong khơng gian nhìn AB dưới một gĩc BC
vuơng là mat cầu tâm O, bán kính r = me
Bài 2 Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ tất cả các cạnh đều bằng a Xác định tâm và bán kính mặt cẩu ngoại tiếp hình chĩp đĩ
Giải
0 S.ABCD là hình chĩp tứ giác đều nên ABCD là hình vuơng và chân
đường cao cha S.ABCD tring vdi tam I cua ABCD tte la SI 4 (ABCD)
Xét tam giác vuơng SIA, cĩ: J A= AC - =' nI - VSA? -IA? ` + 8] =TIA =]B =IC - m-sð a2
Yậy, mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp cĩ tâm là I, và bán kính r = = Bài 3 Tim tập hợp tâm các mặt cầu luơn luơn chứa một đường trịn cố định
cho trước
Trang 38Giải
Gọi đường trịn (@) tam O bán kính r cố định
cho trước và nằm trên mặt phẳng (ơ) cố định
Gọi I là tâm của mặt cầu (8) đi qua đường trịn (@) Khi đĩ mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (ơ) theo giao tuyến là đường trịn (@) nên O là hình chiếu vuơng
géc cua I trén mp (a), hay IO 1 mp (a)
Suy ra, I nim trén dudng thang A vudng géc véi mp (a) tại O
Ngược lại, với mọi điểm I e A, ta cĩ: khoảng cách từ I đến mọi điểm trên (@) đều bằng nhau Suy ra I là tâm mặt câu (S) luơn đi qua (9)
Vậy, tập hợp tâm các mặt câu luơn chứa đường trịn cố định cho trước là đường thẳng A vuơng gĩc với mặt phẳng chứa đường trịn đĩ tại tâm của nĩ
Bài 4 Tìm tập hợp tâm những mặt câu luơn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước
° Giai
Giả sử mặt câu S(O; r) tiếp xúc với 3 cạnh BC, AC, AB của tam gác ABC lân lượt tại A', B', C Gọi I là hình chiếu vuơng gĩc của O lên mp (ABC
Vì OA' L BC nên IA' 1L BC; tương tự IB’ 1 AC nên IC' L AB
> IA’ = IB' = IC' = r hay I là tâm đường
trịn nội tiếp tam giác ABC
Vậy O thuộc trục đường trịn nội tiếp của
tam giác ABC
Đảo lại, nếu lấy O thuộc trục A của đường trịn nội tiếp tam giác ABC thì ta cĩ: IA’ = IB’
= IC, do đĩ.OA' = OB' = OC'=r
Suy ra, mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với ba cau: của tam giác ABC
Vậy, tập hợp tâm những mặt câu cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước là trục của đường trịn nội tiếp tam giác cho trước
Trang 39Ta co: AMAC déng dang AMDB
_MA_ MC “MD MB
> MA.MB = MC.MD
b) Goi I 1a trung điểm của AB thì IO 1 AB (vi OA = OB = r)
‘Ta co: MA.MB = (MI — IAXMI + IB) = MI’ — IA® = (MO? - OF) - (OA? — OF) =MO*- OA? =@-r°
Vay MA.MB = d?- r°
Bai 6 Cho mat cau S(O; r) tiép xúc với mặt phẳng (P) tại I Gọi M là một
điểm nằm trên mặt cầu nhưng khơng phải là điểm đối xứng với I qua
tâm O Từ M kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B Chứng minh rang AMB = AIB
Giai
Vì mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu
S(O; r) tai I nên AI và BỊ là hai tiếp tuyến
với mật cầu S(O; r) 1
Vì AM và AI là hai tiếp tuyến của mặt 2Đ Ea
cầu kẻ từ A nên: MA = AI, tương tự ta cĩ: = h
BM = BI = AAMB = AAIB (e - c- c)
Vậy AMB = ATB A
Bài 7 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'BCP' cĩ AA' = a, AB = b, AD = c a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đĩ b) Tính bán kính của đường trịn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD)
với mặt cầu nĩi trên
⁄+/
À
Giải
a) Vì các đường chéo của hình hộp
chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại
trung điểm O của mỗi đường nên: OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’ = OD’ =r -> O là tâm mặt cầu đi qua tám đỉnh của hình hộp chữ nhật Ta cĩ: AC” = AA” + A'C” = AA” + AB?” + AD2? AC? =a? +b? +c? =F : LẠC - La*+bP+c? 2 2
b) Đường trịn giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) và mặt cầu nĩi trên là
đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD
Trang 40Goi I la giao của hai đường chéo AC va BD, ta cé: IA = IB = IC =ID=r’
eee AB? + po? - Wr
2 2 2
Vay ra 2 Mh ve”,
Bài 8 Chứng minh rằng nếu cĩ mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ
điện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau Giải
Giả sử cĩ mặt câu (S) tiếp xúc với
các cạnh AB, AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S Khi ấy AM, AN, AP là tiếp tuyến của mặt cầu (S) kẻ từ A nên: AM=AN=AP=a Tương tự, ta cĩ: BM = BQ = BS =b cQ =CN=CR=c DP = DR = DS = d => AB + CD = AM + BM +CR+DR=a+b+c+d Tương tự, ta cĩ: AC+BD=a+b+c+d AD+BC=a+b+c+d '
Vậy, tổng các cặp cạnh đối của tứ diện thì bằng nhau
Bài 9 Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định khơng đổi qua A Gọi O là một điểm thay đổi trên a Chứng minh rằng mặt câu tân O
bán kính r = OA luơn đi qua một đường trịn cố định
Giải
Gọi (œ) là mặt phẳng qua A và vuơng gĩc với a tại I Ta cĩ mo ((0) cố định và điểm I cũng cố định
Mp (a) c&t mat cdu S(O; r) theo đường trdn @ (I; IA) cố định, vì (@!) nằm trong mp (a) cé dinh, tâm I cố định, IA khơng đổi
Vậy, mặt cầu S(O; r) luơn di qua đường trịn cố định @ (I; LA)