Mẹo tính nhanh tích phân phần Trước tiên, ta nhắc lại chút kiến thức phép lấy tích phân theo phần: Giả sử u v hai hàm số khả vi x Khi đó, ta biết, vi phân tích uv tính theo công thức: Từ đó, lấy tích phân ta được: Hay là: (1) Công thức gọi công thứclấy tích phân phần Công thức thường dùng để lấy tích phân bểu thức biểu diễn dạng tích hai nhân tử u dv, cho việc tìm hàm số v theo vi phân dv việc tính tích phân toán đơn giản so với việc tính trực tếp tích phân Ý nghĩa tách biểu thức dấu tích phân thành thừa số u dv thường xảy trình giải toán có dạng sau: Pn đa thức bậc n Với dạng trên, thông thường vai trò u đa thức Pn , dv phần lại Như vậy, ta có sơ đồ sau: Khi tích phân mới, ta lại tích phân lại dạng, phần đa thức lại đóng vai trò u, phần lại tiếp tục đóng vai trò v… Cứ bậc đa thức bậc có kết Như vậy, đa thức đóng vai trò u (nghĩa lấy đạo hàm), phần cò lại dv (lấy tích phân), nên ta xây dựng thật toán gồm cột: cột chuyên lấy đạo hàm đa thức giá trị ; cột lấy tích phân tương ứng với cột Sau đó, ghép giá trị uv lại ta có kết Hay ta có sơ đồ sau: Ví dụ: Cần tính Ta lập sơ đồ sau: Khi đó, kết tích phân là: Ví dụ 2: Cần tính: Ta có sơ đồ sau: Vậy, dựa vào sơ đồ trên, ta có kết toán là: Hay: Tóm lại, qua sơ đồ thuật toán ví dụ vừa trình bày, hy vọng cung cấp cho bạn chiêu giúp tính kết tích phân phần cách nhanh chóng, hiệu mà không cần phải đặt u, v lòng vòng sách giáo khoa trình bày Nguồn:Sưu tầm www.MATHVN.com VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân công thức tích phân phần ta chọn u, v cách khéo léo thành phần vdu udv uv vdu , đơn giản việc tính tích phân đơn giản Bài viết trao đổi với bạn số kĩ tính tích phân phương pháp tích phân phần Tách tích phân thành phần, phần phần cho phần lại khử vdu Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I = e x (x 4x 1)dx Bình thường ta đặt u = x2 + 4x + phải tích phân phần lần; để tránh điều này, ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần lại du 2xdx u x ; nên vdu= xe x dx khử hết xe2x ta thêm vào u : 2x x v e dv e dx + 3x để phần lại xe2x Lời giải I = e x (x 4x 1)dx e x (x 3x)dx e x (x 1)dx u x 3x Đặt , chọn 2x dv e dx Khi đó: I = = du (2x 3)dx v e2x e x (x 3x) 2 e x (x 3x) e x (2x 3)dx e x (x 3)dx e x dx e x (x 3x) e x C Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau I e x (x 4x 1)dx u x3 Tương tự ví dụ x dv e dx du 3x dx ; nên vdu= 3x e x dx khử hết 3x2ex v e x ta thêm vào u : x2 để phần lại lại 3x2 u x3 x du (3x 2x)dx ; nên vdu=(3x +2x)e x dx khử hết 2xex ta lại x x dv e dx v e thêm vào u: -2x để phần lại 2x Lời giải I e x (x x 2x)dx e x (3x 2x 1)dx www.mathvn.com www.MATHVN.com u x x 2x Đặt: , chọn x dv e dx du (3x 2x 2)dx x v e I e x (x x 2x) e x (3x 2x 2)dx e x (3x 2x 1)dx e x (x x 2x) e x dx e x (x x 2x 1) C Trên sở đó, ta sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho toán tính tích phân phần hàm số eax b (a n x n a n 1 x n 1 a1 a )dx an hệ số đa thức an-1 an-2 _ _ n/a (n-2)/a (n-1)/a x x bn - 1=an hệ số đa thức u a1 bn - bn - b n 1 a n k2 b b k a k 1 a k 1 (Nhân lên, lấy hệ số đa thức trừ hạ xuống) Thí dụ 3: Tính I = e 2x (x 4x x 1)dx Ta lập sơ đồ sau nháp để tính u hệ số đa thức n=5, a =2 _ -4 2 1 2 x hệ số đa thức u - www.mathvn.com - 2 www.MATHVN.com Trình bày: I= 5 5 3 e x x x x x dx e 2x x 5x x x 1 dx 2 2 2x 5 u x x x x x Đặt 2 , x dv e dx du 5x 10x 3x 3x 2x v e 1 5 3 5 5 I e 2x x x x x x e 2x x 5x x x dx 2 2 0 2 4 2 3 5 e 2x x 5x x x 1 dx 2 2 1 5 e 2x x x x x x e 2x dx 2 2 0 1 5 1 1 e 2x x x x x x e 2 2 40 8 x ln x 2x dx x Thí dụ 4: Tính tích phân I = ln x e 1 Chú ý: (x 1) ' 2x; (ln x)' = ln x , ta tách I thành tích phân để khử vdu x e e e x 1 x Lời giải I = x ln x + ln x dx = x ln xdx + 2 ln x dx 1 x x ln x dx du u ln x x Đặt chọn dv xdx v (x 1) x 1 ln x e Suy I = 1 e 2 x2 1 x x 1 ln x e e 2 e x 1 ln x dx 2 ln x dx x 2 Thêm số cho v www.mathvn.com www.MATHVN.com Trong toán du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v số C thích hợp để thành phần vdu khử bớt phân số Thí dụ 5: Tính tích phân I = (2x 1) ln(x 1)dx 3x du 3x dx x3 1 (x 1)(x x 1) v x x u ln(x 1) Lời giải Đặt , chọn dv (2x 1)dx Bình thường ta lấy v = x2 – x, ta chọn C = + mục đích khử bớt mẫu số vdu Khi đó: I = (x x 1)ln(x +1) 0 3x x 1 dx x2 x ln x 2ln dx ln = ln 3 x x 1 1 /4 Thí dụ 6: Tính tích phân ln(sin x cos x) dx cos x cos x sin x dx sin x cos x sin x cos x v= dx chọn v tan x + cos x cos x Bình thường ta hay lấy v = tanx ta thêm C = để khử mẫu /4 cos x sin x /4 Khi đó: I = (tan x 1) ln(sin x cos x ) dx cos x Đặt u = ln(sin x cos x) du = /4 = ln ( x ln cos x ) ln Cách chọn thành phần dv Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm dv Trong trường hợp dv bảng nguyên hàm bản, ta phải tách tích để lấy nguyên hàm dv theo biến số π Thí dụ 7: Tính tích phân x2 (x sin x cos x) dx Để giảm bậc mẫu phải nằm thành phần dv; để tìm (x sin x cos x) nguyên hàm theo biến xsinx + cosx ta cần có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx www.mathvn.com π π Lời giải x (x sin x cos x) x cos x 2 dx (x sin x cos x) x cos x dx x x sin x cos x du u dx cos x cos x Đặt chọn x cos x d(x sin x cos x) dv dx v 2 (x sin x cos x) (x sin x cos x) x sin x cos x π π Khi I = x cos x(x sin x cos x) 0 2π 4 π tan x 04 π4 4π π dx cos x Thí dụ 8: Tính tích phân x dx (x 1) Để giảm bậc lớn mẫu, ta dùng tích phân phần Để khử bậc mẫu phải nằm dv Nhưng để lấy nguyên hàm theo x4 ta cần (x4)’ = 4x3 ( x 1) u x du 5x dx Đặt x dx d(x 1) , chọn 1 v dv (x 1) (x 1) x 1 1 = x dx (x Vậy I = 1 1) x 4(x 1) x x4 1 dx 1 dx 1 dx dx 1 2 x 1 x 2(x 1) 2(x 1) 0 x4 1 1 x 1 1 Ta có 1 ln dx x ln 2(x 1) x 1 3 Đặt x = tant Ta tính Tính 2(x Vậy I = 1) dx π 12 1 π ln 12 Cuối xin đưa số tập để bạn tự luyện tập Tính tích phân sau: www.MATHVN.com ln(1 x) 1) x2 1 2) dx x 2x 3x e2 x dx e 3) ln 4) esin x (1 x cos x)dx xdx 5) sin x (1 cos x)e x dx 6) (x 1)3 dx _ HẾT_ www.mathvn.com ... uv vdu , đơn giản việc tính tích phân đơn giản Bài viết trao đổi với bạn số kĩ tính tích phân phương pháp tích phân phần Tách tích phân thành phần, phần phần cho phần lại khử vdu Thí dụ 1:... PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân công thức tích phân phần ta chọn u, v cách khéo léo thành phần vdu udv... giúp tính kết tích phân phần cách nhanh chóng, hiệu mà không cần phải đặt u, v lòng vòng sách giáo khoa trình bày Nguồn:Sưu tầm www.MATHVN.com VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH