Slide PHƯƠNG PHÁP TÍNH.ppt

Slide PHƯƠNG PHÁP TÍNH

PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Chương 1

SAI SỐ

I Sai số tuyệt đối và sai số tương đối.

Các phép đo

Các phương pháp tính gần đúng

Giá trị gần đúng của đối tượng Cần xác định sai số

a Sai số tuyệt đối.

A - đại lượng đúng;

a – giá trị gần đúng của A; (“a xấp xỉ A” hay “a A”)

a – A - sai số tuyệt đối của A; được ước lượng bằng một số dương Δa nào đó

Δa - sai số tuyệt đối giới hạn;

mọi Δ’a > a > Δa - đều là sai số tuyệt đối giới hạn của a Chọn Δa là số dương nhỏ nhất thoả mãn điều kiện (1 1)

nghĩa là a – Δa < A < a + Δa; (1 3)

Quy ước viết: A = a ± Δa; (1 2)

b Sai số tương đối.

Sai số tương đối giới hạn của A: ;

a

a



; a

a  a 

Thực tế : Δa và δa – sai số tuyệt đối và tương đối

Ví dụ: A = e = 2,718281

2,71 < e < 2,72 = 2,71 + 0,01 có thể chọn Δa = 0,01;

2,71 < e < 2,7183 = 2,71 + 0,0083 có thể chọn Δa = 0,0083;

Sai số tương đối chất lượng phép đo

II Cách viết số xấp xỉ

1 Chữ số có nghĩa

2 Chữ số đáng tin Mọi số thập phân có thể viết:

; 10 s

s

αs - những số nguyên từ 0 đến 9; s = ±1; ±2; ±3;

*/Ví dụ: 56, 708 = 5.101 + 6.100 +7.10-1 + 0.10-2 + 8.10-3

125,018 = 1.102 + 2.101 + 5.100 + 0.10-1 + 1.10-2 + 8.10-3

với α1 = 5; α0 = 6; α-1 =7; α-2 = 0; α-3 = 8

α2 = 1;α1 = 2; α0 = 5; α-1 =0; α-2 = 1; α-3 = 8

*/Nếu a - xấp xỉ của A; Δa – sai số tuyệt đối của a:

- Δa ≤ 0,5.10s αs - chữ số đáng tin;

- Δa > 0,5.10s αs - chữ số đáng nghi;

Mọi chữ số có nghĩa bên trái αs – đáng tin; bên phải – đáng nghi

*/ Ví dụ: số 56,7082

- Δa = 0,0043 Các số 5; 6; 7; 0: đáng tin; 8; 2 : đáng nghi;

- Δa = 0,0067 5; 6; 7 – đáng tin; 0; 8; 2 – đáng nghi.

3 Cách viết số xấp xỉ.

- Viết kèm sai số : a ± Δa

- Viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa đều đáng tin

số gần đúng có sai số tuyệt đối không lớn hơn một nửa đơn vị

ở hàng cuối cùng

III Quy tròn số và sai số quy tròn.

Tính toán thường quy tròn số sai số quy tròn

Sai số quy tròn tuyệt đối = số đã quy tròn - số chưa quy tròn

Nguyên tắc : Sai số tuyệt đối quy tròn không lớn hơn nửa

đơn vị ở hàng giữ lại cuối cùng bên phải hay 5 đơn vị ở hàng

bỏ đi đầu tiên bên trái

1 Quy tròn số

2 Sai số của số đã quy tròn A - số đúng;

- Quy tròn a a’a > ; sai số quy tròn tuyệt đối θa’a > ;

;

a - số xấp xỉ của A; Δa – sai số tuyệt đối của a

Sai số tuyệt đối Δa’a > của a’a > :

; '

a         

;

a       

Δa’a > > Δa quy tròn làm tăng sai số tuyệt đối

3 Ảnh hưởng của sai số quy tròn Ví dụ tính nhị thức Niutơn:

Nếu thay bằng các số đã quy tròn:2

; 2 2378 3363

) 10 2

(  10   với 2 1,41421356;

1,4

1,41

1,414

1,41421

1,414213563

0,0001048576 0,00013422659 0,00014791200 0,00014866399 0,00014867678

33,8 10,02 0,508 0,00862 0,0001472 Cần quan tâm đến sai số quy tròn khi tính toán

IV Các quy tắc tính sai số.

1 Sai số của tổng: u = x + y;

Δu = Δx + Δy;

Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.

- Trường hợp u = x – y; ( x, y cùng dấu)

;

y x

u

y x

u u

















Khi x – y rất bé thì δu rất lớn tránh trừ các số gần nhau

2 Sai số của tích: u = xy;

;

y x

u  y   x 

y x

        

3 Sai số tương đối của một thương: u = x/y; với y ≠ 0

δu = δx + δy

Sai số tương đối của một tích hoặc thương bằng tổng sai số tương đối của các số hạng.

V Sai số tính toán

Các loại sai số thường gặp phải:

- Sai số các số liệu ( do đo đạc hay tực nghiệm );

- Sai số của giả thiết (để lý tưởng hoá, mô hình hoá bài toán);

-Sai số phương pháp (dùng các phương pháp gần đúng để

giải các bài toán phức tạp;

-Sai số của phép tính (do thực hiện các phép tính đối với số

gần đúng, quy tròn các kết quả trung gian)

Sai số tính toán = sai số phương pháp + sai số phép tính

Ví dụ: a/ Tính tổng

; 6

1 5

1 4

1 3

1 2

1 1

1

3 3

3 3

3



A

- Tính trực tiếp A qua các phân số Không có sai số ph/pháp;

- Tính đến 3 số lẻ và đánh giá sai số quy tròn tương ứng

000 ,

1 1

1 1

1

3   với θ1 = 0;

125 ,

0 8

1 2

1

3   θ2 = 0;

037 ,

0 27

1 3

1

3   θ3 = 1.10-4; (0,037037)

016 ,

0 64

1 4

1

3   θ4 = 4.10-4; (0,015625)

008 ,

0 125

1 5

1

3   θ5 = 0;

005 ,

0 216

1 6

1

3   θ6 = 4.10-4; (0,004629)

A = 1,000 – 0,125 + 0,037 – 0,016 +0,008 – 0,005 = 0,899

; 10

9 4

6 5

4 3

2



 a      

A

Δa = 9.10-4; A = 0,899 ± 9.10-4

b/ Tính tổng ( 1) 1 ;

4

1 3

1 2

1 1

1

1

3

1 3

3 3

n

Với sai số tuyệt đối không quá 5.10-3

;

1 )

1

( 4

1 3

1 2

1 1

1

1

3

1 3

3 3

B

B  n           n

n

B

B  - Sai số phương pháp.

n cần : + sai số phép tính < sai số cho phép.B  B n

) 1 (

1 )

2 (

1 )

1 (

1

3 3

3























n n

n

B

B n

343

1 7

3

 B B

B6 = A = 0,899 ± 9.10-4

B – 0,899 = B – B6 + A – 0,899;

B – 0,899 = B – B6 + A – 0,899 ;

B – 0,899 < 3.10-3 + 9.10-4 < 4.10-3;

B = 0,899 ± 4.10 -3

VI Sự ổn định của quá trình tính toán.

- Quá trình tính vô hạn ổn định nếu các sai số phép tính (quy tròn) tích luỹ lại không tăng vô hạn

- Nếu sai số tích luỹ tăng vô hạn q/trình tính không ổn định

không hy vọng tìm được đại lượng cần tính với sai số

nhỏ hơn sai số cho phép

Kiểm tra tính ổn định của quá trình tính:

- Giả sử sai số chỉ xẩy ra tại một bước;

- Các phép tính sau đó đều đúng, không có sai số;

- Nếu sai số tích luỹ không tăng vô hạn q/t tính ổn định

Ví dụ: Xét quá trình tính yi+1 = qyi; cho trước yo và q.

- Giả sử tại bước tính yi mắc sai số Δi nhận được ~ y

;

~   

i

- Tính yi+1 ~ yi1  q ~ yi ;

( a )

( b ) ( c ) ( a ) – ( c ) = ~ yi1  yi1  q ~ yi  qyi  q ( ~ yi  yi );

- Tiếp theo:

;

~

~

1 2

1

y

);

~ ( )

~ (

~

1 1

1 1

2

y             

Tổng quát:

);

~ (

~

i i

n n

i n

y     

; )

~ (





n i

i

n n

i n

y

Hai trường hợp:

Sai số bị chặn (không tăng vô hạn), quá trình tính ổn định;





 

n i n

*/ q ≤ 1

*/ q > 1

;





n n

i n

quá trình tính không ổn định