Ôn tập về nguyên hàm và tích phân

Ôn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phân

GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng VẤN ĐỀ 10-11-12-ltđh NGUYÊN HÀM Bài Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = x3 biết nguyên hàm triệt tiêu x = –2 Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số f(x) = Sinx biết nguyên hàm π x = Bài 3: Cho f ( x ) = x.ln x + x , ( x > 0) Tìm nguyên hàm hàm g ( x) = ln x biết nguyên hàm – x = 2 Bài 4: Cho f ( x ) = xCosx + x Tìm nguyên hàm hàm g ( x) = xSinx π biết nguyên hàm x = Bài 5: Đònh m để hàm số F ( x) = mx + (3m + 2) x − x + nguyên hàm hàm số f ( x) = x + 10 x − x x Bài 6:Cho f ( x) = x e Đònh a,b, c để F ( x) = (ax + bx + c).e nguyên hàm f(x) Bài 7: Cho f ( x ) = x − x Tìm a , b , c cho F(x) = (ax2 + bx + c) − x nguyên hàm f(x) x4 − 2x − F ( x ) = G ( x ) = Bài 8: Không tính đạo hàm CMR: ( x + 1) ( x + 1) nguyên hàm hàm số Bài 9: Cho hàm số : y = (2x2 – 3x)ex 1) Chứng minh rằng: y’’ – 2y’ + y = 4ex 2) Suy : 4ex + 2y – y’ nguyên hàm y Bài 10: CMR: F(x) = (x – 2)ex nguyên hàm f(x) = (x – 1)ex x Bài 11: CMR: F ( x) = x − ln(1 + x ) nguyên hàm f ( x) = + x R Trang: GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng  x2 x2  ×ln x − Bài 12: Chứng minh : F ( x) =  0   x.ln x nguyên hàm ham số : f ( x) =  0 VẤN ĐỀ 10-11-12-ltđh x>0 x=0 x > x = TÍCH PHÂN CƠ BẢN Bài 1: Tính tích phân hàm số sau : 1) 3x – 2x + 3x − x 2 + x − 3) x3 5) x + x   2 7)  x −  + x  x  x   9) x− x x −1 1  2)  x −  x  16 x − 4) 2x − 6) 8) 10) x2 + x x x x+3 x 25 x + x − 3x + x 2x3 1− x  x + x −4 + 11) 12)   x  x  Bài 2: Tính tích phân hàm số sau : 1) (4 x − 5) 2) 3) x + (4 − x) 1 4) 5) 6) (3 x − 2) − 5x x +1 + x −1 Trang: GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh 4x + 3x − x − 7) 8) 9) ( x + 3)( x − 2) 2x − 3x + 1 10) 11) 12) 2 x − 4x − x −a x + x−2 1 11) 12) 13) 2 2x − x − 5x − 9x − 6x + 1 1 14) 15) 16) 2 4x − x + x−6 x − 12 x + Bài 3: Tính tích phân hàm số sau : Cos x 1) 2) Sin3x.Cos3x 3) Sinx + Cosx 4Cos x − 4Cos x + 4) (3 – 2Cosx)2 5) Sin4x 6) Cos33x 7) Sin5x.Cos2x 8) (2tgx – 5)2 9) (3 – Sin2x)(2 + 5Cos2x) 2 10) Cos x 11) (2Cos 3x – 1)Sin 3x 12) Cosx.Cos3x.Cos5x 13) Sin3x.Cos3x   14) (tg x – 3)(2Cotg + 5) 15)  2Cosx −  Sinx   16) (3 – tgx)(5 + 4Cotgx) 17) Sin2x.Cos4x 18) Cos6x Bài 4: Tính tích phân hàm số sau : e 3x − 1) x 2) x + x 3) a x b x e −2 ax + bx 4) 5) a x − b x 6) x + 2.3 x x +1 x m 2x 7) e x 8) ln x − ln x 9) ln x + ln x − x x +1 x −1 −x 10) − 10 2 ( ( ( ) ) ) Bài 5: Tính tích phân hàm số sau : 5x + 3x − 1) 2) x − 2x − x − 5x + 1 4) 5) x + 2x − x − x − x + 3x Trang: x2 +1 3) ( x − 4)( x + 1) x −1 6) x − 10 x + GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng x2 5x + 7) 8) ( x − 9)( x − 4) ( x + 1)(2 x + 1) Bài 6: Tính tích phân hàm số sau : x2 +1 7x + 1) 2) ( x − 2) x − 6x + x x +1 4) 5) ( x + 2)( x + 3) ( x − 1) Bài 7: Tính tích phân hàm số sau : 5x − x+2 1) 2) x − x + 10 x +1 1 4) 5) x +1 x − x +1 7) x + 3x + x + x2 + 8) 10-11-12-ltđh x + x +1 9) ( x + 1)( x − 1)( x − 2) x4 3) ( x − 1) ( x + 1) x2 +1 6) ( x − 1) ( x + 3) x −1 x + 2x −1 6) ( x − 1)( x + 1) 3) x − x + 15 ( x − 1)( x + 2) ( x − x + 8) TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VẤN ĐỀ Bài 1: Tính tích phân hàm số sau : 1) ∫ 2) x.dx ∫ ( x + 4) dx ∫ ∫ 10) ∫ ( x + − x − ) dx 7) 5) −3 x − dx 8) 3) ∫ x +2 dx 2x 6) ∫ x − dx 9) ∫ 4) dx ∫x 1 ∫ ( ) 1, x dx −2 x + dx ∫ x + x − dx 11) ∫ ( x − − x ) dx −3 12) dx x2 −1 ( ) 13) ∫0 max x , x dx Trang: 2 14) ∫ Max( x ,3 x − 2)dx GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh 15) ∫ x x − a dx (a > 0) ∫x 16) 17) 19) π ∫ π π π π ∫ 21) ∫ dx Sin x.Cos x (1 − Sin3 x).dx Sin x 23) ∫ 25) dx −1 π π − ∫ 31) ∫ 1 ∫ (e x + 3.2 )dx x π Sin3 x ∫ + Cosx dx x − 2x − dx 35) ∫ x2 − 33) ∫ 39) ∫ 37) 41) 4 π π ∫ 22) ∫ 26) dx x − 4x + x − x + 9.dx x − x + x dx tg x + Cotg x − 2.dx (3 − 2Cotg x )dx Cos x 20) ∫ Sinx dx 29) π π x+4+ x+2 27) ∫ x − x + m dx ∫ Cos5 x.tgx.dx 18) 24) ∫ − ( a + 1) x + a dx π Cos x dx dx x + + x +1 x2 ∫0 − x dx dx x + 3x + 28) ∫0 30) x4 dx x2 −1 ∫ (e 3π π π 32) ∫ 2x + 3)dx dx Sin x.Cos x − Cosx dx + Cosx x +5 4.3 − 5.33 x+ dx 36) ∫ 32 x +3 34) ∫ ∫ 40) ∫ ∫ π 38) −1 42) Trang: x − x − x − dx x − dx + Cos x dx GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh 2π Bài 2: Cho hai số nguyên p q khác Tính :I = ∫ Cospx.Cosqxdx x Bài 3: Cho J (t ) = ∫ e − t dx với t ∈ R 1) Tính J(t) 2) Tìm MinJ(t) ( ) 2 Bài 4: Chứng minh y = ln x + x + a y ' = a Tính : I = ∫0 a x + a2 (a> 0) x + a dx 2 Bài 5: Chứng minh y = ln x + x − a y ' = Tính : I = ∫0 x − a2 (a> 0) x − a dx  x2 − x +  F ( x ) = ln  ÷ Bài 6: Cho hàm số : ÷  x + 2x +1  1) Tính đạo hàm F ( x) x −1 dx 2) Tính tích phân I = ∫0 x +1 VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Bài 1: Tính tích phân hàm số sau : x2 +1 x2 1) 2) x + 3x + x +3 4) x2 x − 10 x + 5) x2 − x6 Trang: 3) 3x + x + 8x + 6x 6) (5 − x ) GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng x2 x 7) 8) ( x − 1) x + 6x + x3 − 2x 10) ( x + 1) x 11) x + 6x + Bài 2: Tính tích phân hàm số sau : x.dx dx 1) ∫0 2) ∫ x ( x + 1) ( x + 1) 7) dx + 1) ∫ x(x 8) 3) ∫ ( x + 1) 9) ∫ 4x x −1 dx +1 ∫x 12) 1 13) dx ∫0 ( x + 3x + 2)2 15) (2 x − 3)dx ∫−5 x + x + 13 17) 1) ∫x 20 2) I = ∫ x( x − 4) dx (1 + x) dx −1 3) ∫ x(1 − x) 19 4) dx ∫x (1 − x ) dx 4x − ( x + 2)( x + 1) A Bx + 1) Tìm A B cho f ( x) = x + x +1 Bài 4: Cho hàm số : f ( x ) = t 2) Tính F (t ) = ∫0 f ( x)dx với t > F (t ) 3) Tìm tLim →+∞ Trang: ∫x Bài 3: Tính tích phân hàm số sau : 16) ∫x 14) 11) ( x + 1)dx + 10 x + ∫x dx ∫−1 x − x.Cosα + (0 < α < π ) dx 10) 2x 1 x dx +1 ∫x x2 +1 12) x +1 1+ x2 dx 6) ∫ 1+ x x.dx 5) ∫ (3 x + 1)3 x (1 + x ) 9) 1 x4 +1 dx 4) ∫ x +1 10-11-12-ltđh dx + 4x + dx + 4x2 + dx +1 (2 x + 5)dx x2 − 6x ∫ GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng Bài 5: Tính tích phân hàm số sau : Cosx 1) Sin5x 2) Cos x − 1 4) 5) 2 (tg x − 3)Cos x 3Sinx − 4Cosx 7) Sin x Cos x + 8) Cos x Sin x − 1 Sin x − SinxCosx + 5Cos x Sin x 12) 13) Sin x Cosx Cos x 15) Cos2x.Sin3x 16) Sin x 18) Cos x Sinx 19) Sin x.Cosx Cosx Sinx.Cosx 21) 22) 4 Sin x + Cos x + Cos x Sinx + Cosx 24) 25) a.Sinx + b.Cosx Sinx − Cosx Six + Sin x 27) Sin x.Cos x 28) Cos x 10) 30) Cotg3x 31) tg4x Cos x Sin x + Sinx.Cosx Bài 6: Tính tích phân hàm số sau : π π Sinx 1) ∫ Sin x tgxdx 2) ∫ dx + 3Cosx 33) 4) π ∫ e Sinx Cosx dx π 5) ∫ 10-11-12-ltđh 3) tgx 6) Sin x.3 Cotgx 9) Sin7x.Cos2x 11) + Cosx 7Cos x + Sin x Sinx.Cos x 17) + Cos x 20) Sin x.Cos x Cosx 23) Cos x 14) 26) Sin4x.Cos5x Cos x 39) Sin x Cos x 32) Sin x + Sinx Sinx.Cosx 34) 3Sin x + 4Cos x π 3) ∫ Sin x Cosx dx + 4Sinx Cosx dx 6) Trang: π ∫ dx + Sinx GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng π π dx 2 7) ∫ 8) ∫0 Sin x.Cos x.dx 9) Cos x π π ∫ tg x.dx 10) π π 4 ∫ π π 16) ∫ Cosx − Sinx ∫0 + Sin2 x dx ∫ Sinx.Cosx(1 + Cosx) 22) π π π π + Sin x 33) ∫ dx Cos x π ∫ 36) Cos x.Cos x.dx Cosx ∫ 11 − Sinx − Cos dx 15) dx ∫ π π 31) 34) 37) π 2 x) dx ∫ Sin Sin x dx x + Cos x dx ∫ + tgx ∫ π dx x.dx ∫ Sin2 x(1 + Sin 21) Cos x.Cos5 x.dx 26) x π π Cosxdx ∫0 + Cosx π ∫ tg π 18) Sin x ∫0 Cos x dx π 0 dx ∫0 + Sinx + Cosx 30) Cosx.dx − 5Sinx + Sin x π ) x + Sin x dx Sinx + 7Cosx + π 23) ∫ 4Sinx + 3Cosx + dx dx 12) π ( Sinx + 2Cosx )dx ∫0 3Sinx + Cosx 28) π ∫ (Cos π ∫0 + Sin2 x dx 20) Sin x 24) ∫ dx 25) 6 Sin x + Cos x 27) π π + Cos x ∫ 17) 19) Cosx π − Sinx dx ∫ 14) π + Sin x ∫ Cos x.dx 13) 11) Cosx + Sinx 10-11-12-ltđh π π 29) π 32) dx ∫ Sinx + Cosx + Sin x + Cos x dx Sinx + Cosx ∫ π Sin x − Sinx Cotgx.dx 35) Sin x 4Sinx.dx ∫0 (Sinx + Cosx) Trang: π 38) ∫ Sin 4 dx x.Cosx Sin x.dx x ∫ + Cos GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng π π Sin x dx 39) ∫ π Cos x 40) 42) ∫ dx π  Sinx.Sin x +  6  ∫ π π 2π SinxCosxdx a 2Cos x + b Sin x 10-11-12-ltđh 43) ∫ + Sinx dx π ∫ Cosx 41) Sinx dx π π ∫ 44) dx Sin x Sin2 x Bài 7: Tìm hai số A, B đề hàm số h(x) = ( + Sinx ) biểu diễn dạng :h(x) = A.Cosx B.Cosx + ( + Sinx ) + Sinx , từ tính J = π ∫ h( x)dx − π Bài 8: Xác đònh A , B , C cho : Sinx − Cosx + = A( Sinx + 2Cosx + 3) + B (Cosx − 2Sinx ) + C π ( Sinx − Cosx + 1)dx Sinx + 2Cosx + Sinx Bài 9: Cho f ( x) = Cosx + Sinx Từ tính : ∫ Cosx − Sinx 1) Xác đònh A , B , C cho : f ( x ) = A + B × Cosx + Sinx Bài 10: Tính tích phân hàm số sau : ex 1) x 2) x − ln x e −7 4) x.tg(x2 + 1) 5) Cotg x x x x 7) x 8) x x ln x +4 ln x 1+ ex 10) 11) x.(1 − ln x ) + e2x 13) (2ex +3)2.ex Trang: 10 3) Cos(2ex – 3) ex ex −1 6) x e +1 e2x 9) ex + ln x 12) x + ln x GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng dx ∫ 42) x2 + + x x ( 44) ∫ ( x− x2 ∫ 1 ) + x ) dx 43) ∫ 45) x + 3x + x 2 46) 10-11-12-ltđh 46) x2 + 2x + x2 + 2x − x2 − 4x + x + −1 ∫ −1 ( x + 1)dx (2 x + 1)dx ∫ dx − x − x + − x2 − x + (6 x − x) dx x3 − x + − x3 − x VẤN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1: Tính tích phân hàm số sau : 1) x.ex 2) x.Cosx 4) lnx 5) ex.Sinx – 5)Cos2x 8) (x3 + 1)lnx 9) Sin(lnx) 11) ( 3) x2.Cosx 6) x2.ex ) 12) ln x + x + 14) (x2 + 2x + 3)Cosx 15) e2x.Cosx 17) Sin x 18) e x 20) Cos2(lnx) 21) x ln x 22) x ln x x Cos x x Sin x 23) 7) (3x 10) x.Cos2x 13) ex.Cosx 16) Cos(lnx) 19) x.tg2x ( x ln x + + x 24) 1+ x x 25) x.e ( x + 1) 26) x2.Sin3x 27) x2.e3x Bài 2: Tính tích phân hàm số sau : 1) ∫0 ( x + 1) Cosxdx π 2) π ∫ x Cos x dx Trang: 14 ( ) x 3) ∫1 x + e dx ) GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 4) ∫0 x arctgx dx 7) π π 5) 8) x 17) ∫ (x 20) x dx 22) ∫ 5e Sin x.dx 23) x ∫ (e −1 π ∫ x e + 1) Sinx.dx 18) x2 2x 21) ∫ x.e dx Sinx + e x )dx π x.dx ∫e π x e x dx 32) ∫ ( x + 2) π eπ e 2 2x Cosx.dx 0 Sin3 x.dx x + Sinx dx Cos x ∫e 28) Sinx.Cos x.dx 29) ∫ Sin(ln x )dx ∫ 26) 2x 0 Sin x ∫e 24) 25) ∫ Cosx ln(1 + Cosx )dx dx x π π x2 27) ∫ x.tg π ∫ x Sinx.dx 15) π2 π ∫ x ln x.dx π x.Sin x.dx π x 14) I = ∫ e dx x.dx π ∫ Sin e 19) ∫ x.Cos 16) x.dx 9) x 11) ∫ (2 x + 2) ln xdx 12) ∫ e Cos x.dx ∫ x ln π e e 13) ∫ x.Sinx.Cos 10) ∫0 e Sin ( πx ) dx x.dx Cos x ∫ 6) x Sin x dx π x.dx Sin x ∫ π ∫ 10-11-12-ltđh π 30) ∫ Cos(ln x)dx e ln x 33) ∫ dx x Bài 3: Tính tích phân hàm số sau : π π xSinx Sin x dx 1) ∫ 2) ∫ x dx + Cos x −π + Trang: 15 + Sinx ∫ + Cosx ⋅ e 31) x π 2x 34) ∫ e Sin xdx 3) x + Sinx ∫ x + dx −1 dx GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng π 10-11-12-ltđh 2 4) ∫ Cosx ln( x + x + 1).dx −π 5) ∫ π x dx ∫ x −1 + 7) ∫ π − + 5x −2 Sinx.dx 6) x + Cosx dx − Sin x TÍCH PHÂN LIÊN KẾT VẤN ĐỀ Bài 1: Tính tích phân hàm số sau : 2 2 1) I = ∫ (a.Sin αx + bCos αx)dx J = ∫ (a.Cos αx + bSin αx )dx 2 2) I = ∫ Cos x.Cos xdx J = ∫ Sin x.Cos xdx 3) I = ∫ Cos (ln x )dx J = ∫ Sin(ln x)dx 2x 2x 4) I = ∫ e Cos xdx J = ∫ e Sin xdx Sinx Cosx dx J = ∫ dx 5) I = ∫ Sinx + Cosx Sinx + Cosx Bài 2: Tính tích phân hàm số sau : π π ∫ e Sin3x.dx J = 1) Tính: I = π ∫e −x −x Cos3 x.dx π 2) Tính: I = ∫ Cos x.Cos x.dx J = 2 π 3) Tính I = Cos x ∫0 Sinx + Cosx dx π J= π cos x 4) Tính : I = ∫ dx I = cos x + sin x 5) Tính : I = π ∫ Cos n x dx Cos n x + Sin n x ∫ Sin x.Cos 2 x.dx Sin x ∫0 Sinx + Cosx dx π sin x ∫0 cos4 x + sin x dx (ĐHGTVT) Trang: 16 GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng π 6) Tính I = 10-11-12-ltđh Sinx dx J = Sinx + Cosx ∫ π ∫ Cosx dx Sinx + Cosx e− x I = 7) Tính : ∫ e− x + e x dx −1 π 8) Tính : I = ∫ e x Sin xdx π 9) Tính : I = ∫ 4sin x ( Sinx + Cosx ) dx π 10) Tính : I = ∫ ln + sin x dx + Cosx Bài 3: Tính tích phân hàm số sau : 1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x a) Tìm họ nguyên hàm hàm số g(x) π g ( x) dx x +1 ∫π e b) Tính : I = − f ( x) = 2) Tìm họ nguyên hàm hàm số:  π ÷  4 4) Cho f(x) = 3x3 – x2 – 4x + g(x) = 2x3 + x2 – 3x – 1) Giải bất phương trình :f(x) ≥ g(x) 2) Tính : I = ∫ −1 Cosx.Cos  x + f (x ) − g (x ) dx (ĐHQG) 5) Tìm họ nguyên hàm : f ( x ) = Sinx (ĐHQGHN – 2000 – 2001) + Sin2 x 6) Tìm họ nguyên hàm : f ( x ) = x 2001 (1 + x ) 1002 7) Tìm họ nguyên hàm hàm số : f (x) = Trang: 17 (ĐHQGHN – 2000 – 2001) Cosx + Sinx.Cosx (ĐHNT) + Sinx GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng sinx − cosx 8) Tìm họ nguyên hàm hàm số : f (x) = sinx + cosx 9) Tìm họ nguyên hàm : f (x) = cos2 x sinx + cosx 10-11-12-ltđh (ĐHNT – 99 – 2000) 3x + A B = + ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 3x + b) Tìm họ nguyên hàm hàm số : f ( x ) = ( x + 1)3 Sin(α + x) 11) Tìm họ nguyên hàm hàm số : f ( x) = Cos x 10) a) Xác đònh A , B cho : CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VẤN ĐỀ Bài 1: Cho hàm số f liên tục đoạn [-a, a] (a> 0) Chứng minh rằng: a a 1/ Nếu f hàm chẳn : ∫−a f (x)dx = ∫0 f (x)dx a 2/ Nếu f hàm lẻ : ∫ f (x )dx = −a ∫ [ln( x + p dụng tính : I= −1 )] x + dx Bài 2:Cho hàm số f liên tục [0 , 1] Chứng minh rằng: π ππ xf ( Sinx ) dx = f (Sinx)dx (đề 118) 1) ∫ ∫0 π xSinx dx + Cos x p dụng : Tính I = ∫ π π 2) ∫ xf (Sinx)dx = π ∫ f (Sinx)dx 0 (đề 15) π xSinx dx (đề 11) + 4Cos x p dụng: Tính I = ∫ Trang: 18 GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 3) π π 0 10-11-12-ltđh ∫ x f (Sinx).dx = 2∫ f (Sinx).dx Bài 3: (đề 4) Cho a > , f hàm số chẳn ,liên tục xác đònh R b b f (x) dx = ∫ f (x)dx Chứng minh : ∫ x −b a + π (b ∈ R) π x Sinx Cosx I = dx ⋅ dx p dụng: Tính , J= ∫ ∫ x 1+ 2x −π + −π 2 Bài 4:(đề 12) Cho f hàm số liên tục [0,1] Chứng minh rằng: π ∫ π f (Sinx)dx = ∫ f (Sinx)dx Bài 5: Cho f hàm số liên tục [0,1] Chứng minh rằng: π 1) ∫ π f (Sinx )dx = ∫ f (Cosx)dx π Cos x 2) Tính I = ∫ dx Sinx + Cosx π J= Sin x ∫0 Sinx + Cosx dx Bài 6: Cho f hàm số liên tục [a,b] f(a+b-x) = f(x) b b a+b xf ( x ) dx = f (x)dx Chứng minh rằng: ∫ ∫a a π p dụng: Tính I = ∫ x.Sin x.dx Bài 7: Cho f hàm số liên tục [a,b] Chứng minh rằng: b ∫ a b f (x)dx = ∫ f (a + b − x)dx b Suy ra: ∫ a b f (x)dx = ∫ f (b − x)dx Bài 8: 1) Cho hai số nguyên dương p, q Tính I = 2π ∫ Cospx ⋅ Cosqxdx hai trường hợp p = q p ≠ q 2) Cho số thực a1 , a2 , a3 , …, an Trang: 19 GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh Giả sử a1.cosx + a2.cos2x + …+an.cosnx = với x ∈[0 ; 2π] Hãy sử dụng kết qủa để tính a1 , a2 , a3 , …, an.(ĐHQG – 99-2000) π π cos4 x sin4 x 3) Chứng minh : dx = ∫0 cos4 x + sin4 x ∫0 cos4 + sin4 x dx π cos4 x ∫0 cos4 x + sin4 x dx Từ tính : Bài 9: Cho m , n hai số nguyên dương ∫ x (1 − x ) p dụng tính: I = ∫ x (1 − x ) Chứng minh rằng: m n dx = 10 ∫ x (1 − x ) n m dx dx Bài 10: Chứng minh với m , n số tự nhiên khác , ta có : π π −π −π ∫ Cosmx.Cosnx.dx = tgα Bài 11: CMR: ∫ e ∫ Sinmx.Sinnx.dx = xdx + 1+ x2 Bài 12: Chứng minh : Cotgα ∫ e π ∫ π Bài 13: Chứng minh rằng: ∫ (ĐHL – HN – 2000) dx = (tgα > 0) (ĐHL – HN – 1999) x(1 + x ) Cos n x π dx = n n Cos x + Sin x Sinx Sinx + Cosx dx = (ĐHGTVT) π ∫ Cosx Sinx + Cosx dx = π m −1 n −1 Bài 14: Cho I (m, n) = ∫ x (1 − x) dx Chứng minh : m.I(m,n) = (n – 1).I(m + 1,n – 1) ( ≤ m , n ∈ Z ) m !n ! m n Bài 15: Chứng minh : ∫ x (1 − x) dx = (m + n + 1)! Bài 16: Chứng minh : n +1 x − x 1) ∫ (2 x − 1) e dx = (n = 1,2,…) Trang: 20 GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh 2π ∫ Sin(Sinx + nx)dx = 2) ,n∈Z Bài 17: Cho f(x) liên tục R 3π Tính : I = f ( x) + f ( − x) = − 2Cos x , ∀x ∈ R ∫ f ( x)dx −3π BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ Bài 1: Chứng minh : π π dx π ≤ ≤ 1/ ∫ 16 + 3Cos x 10 5/ π ∫ Sin xdx < 0 ∫ Sin xdx 13/ e − x Sinx π ∫1 x + dx < 12e + x2 dx ≤ 2 3π π dx π ≤ ∫π ≤ − sin x ∫ ( ln x ) 6/ 2 dx < ∫ ln xdx ∫e 1 2 9/ ≤ ∫ 11/ π 27 4/ ∫ Sin xdx ≤ ∫ Sinxdx 7/ < π xdx 4 12 x)(1 + Sin x) ∫ (1 + Cos π Bài 6: Cho I n = Sin n x.dx ∫ 10-11-12-ltđh (ĐHQG – KA – 1998) (n≥0) n +1 ×I n n+2 2) Chứng minh hàm f : N → R cho : f ( n) = (n + 1).I n I n +1 hàm 1) Chứng minh : I n + = π Bài 7: Cho I n = tg n x.dx ∫ (n≥0) 1) Chứng minh : I n > I n +1 2) Tìm hệ thức liên hệ I n I n + e − nx I = dx Bài 8: Cho n ∫ (n≥0) + e− x 1) Tính I1 2) Với n > , tìm công thức biểu diển I n qua I n −1 Từ tính : Lim I n n → +∞ Bài 9: Đặt In = dx ∫ (1 + x ) n (n số tự nhiên) 1) Tìm hệ thức liên hệ In In-1 (n > 1) 2) Tính I4 n x Bài 10: Cho I n = ∫ x e dx (n≥0) 1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 In I n = (ĐHQG-KA-1996) 2) Chứng minh : In+1 ≤ In Lim n →∞ e n Bài 11: Đặt I n = ∫ (lnx) dx với n số nguyên dương Trang: 23 GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 In Tính I1 I2 e tính Lim I n 2) Chứng minh : I n +1 ≤ I n ≤ n →∞ n +1 10-11-12-ltđh (ĐHQG-KA-1997) n −2 x Bài 12: Cho I n = ∫ x e dx , n = 1,2,3… 1) Chứng minh : In ≥ In+1 Tính In+1 theo In In 2) Chứng minh : ≤ I n ≤ với n ≥ Từ tính nLim → +∞ (n − 1)e 1 n Bài 13: Cho I n = ∫ x (1 − x ) dx J n = ∫ x(1 − x ) dx 2 n 0 1) Tính Jn CMR: I n ≤ , ∀n 2( n + 1) I n +1 2) Tính : I n +1 theo I n tính Lim n →∞ I n π Bài 14: Cho I n = ∫ x.tg n x.dx π  ⋅  2) CMR: I n > n+2 4 1) Tính I2 n Bài 15: Cho I n = ∫ x − x dx (n≥0) 2n + ×I n 2n + 4) Chứng minh : I n < (n + 1) n + 3) Chứng minh : I n +1 = x n Sin(πx)dx Bài 16: Tính Lim n →∞ ∫ x n (1 + e − x )dx Bài 17: Tính Lim n →∞ ∫ Trang: 24 n+ (ĐHL – HN – 1997) GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng x dt Lim Bài 18: Tính x →+∞ ∫ t (t + 1) 10-11-12-ltđh t 4x − dx ( x − 2)( x + 1) Bài 19: Tính tLim →−∞ ∫ x n dx 1+ x Bài 20: Tính nLim →+∞ ∫ b e x Sinnx.dx = Bài 21: Cho a , b hai số cố đònh CMR: nLim →+∞ ∫a Bài 22: Cho hai hàm số : f : [ 0,1] → [ 0,1] g : [ 0,1] → [ 0,1] Chứng minh : (∫ f ( x).g ( x) dx ) 1 0 ≤ ∫ f ( x) dx.∫ g ( x)dx Bài 23: Cho hai hàm số : f : [ a, b ] → R g : [ a, b ] → R Chứng minh : VẤN ĐỀ (∫ b a f ( x).g ( x) dx ) b a ≤ ∫ f ( x) dx.∫ g ( x)dx DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1) (C) : y = x2 – 4x + ; trục Ox ; hai đường thẳng x = x = 2) (C) : y = x – x2 trục Ox 3) (C) : y = – x2 + 4x – tiếp tuyến với đường cong điểm A(0,–3) B(3,0) 4) (C) : y = Sinx ; trục Ox ; hai đường thẳng x = π x = 3π 5) (C) : y = 2x2 – 4x – ; x = –2 x = 6) (C) : y = lnx ; trục Ox ; x = e (x − 2)2 7) (C) : y = ; trục Ox ; hai đường thẳng x = ; x = x −1 x4 − x2 − 8) (C) : y = ; trục Ox 2 Trang: 25 GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh 9) (C) : x = – y ; trục Oy ; hai đường thẳng y = –2 y = 10) (C) : x = y2+ 4y ; trục Oy π 11) (C) : y = Sin x.Cos x , y = x = , x = 2 x + y = 12) , x − 2x + y = Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1) (C) : y = x2 + 2x ; (D) : y = x + − x + 4x − 2) (C) : y = ; tiệm cận xiên (C) hai đường thẳng x −1 x = 2; x = 3) (C) : y = x2 – 2x hai tiếp tuyến với (C) O(0,0) ; A(3,3) π 4) y = Sin3x ; y = Cos3x ; x = ; x = 2 5) (P) : y = 2x đường thẳng (D) : 2x – y – = 6) (C) : y2 – 24x = 48 y = 16 – 8x 7) (P1) : x = –2y2 (P2) : x = – 3y2 8) y = ; (C) : y = x3 – 2x2 + 4x – tt đường cong (C) tai điểm x=2 9) y = ex , y = lnx , x = , x = , y = a < 10) (P): y = x − x + 2tiếp tuyến (P) A(1, 2) , B(4, 5) 2 11) y = x , y = x , y = Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 1) (C) : y = Sin2x + x (0 ≤ x ≤ π) (D) : y = x 2) (C1) : y2 = 2x (C2) : 27y2 = 8(x – 1)3 3) (C) : y2 = 2x đường tròn tâm O bán kính R 4) (C1) : x2 + y2 = (C2) : x2 + y2 = 4x (phần chung) 2 5) ax = y , ay = x với a > cho trước Bài 4: Cho ( P ) : y = x Hai điểm A, B di động (P) : AB = 1) Tìm tập hợp trung điểm I AB 2) Xác đònh A , B cho diện tích phần mặt phẳng giới hạn AB (P) đạt giá trò lớn Bài 5: Xét hình có diện tích chắn ( P ) : y = x đường thẳng có hệ số Trang: 26 GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh góc k qua điểm A(1, 4) Xác đònh k để diện tích lớn Bài 6: Xét hình có diện tích chắn ( P ) : y = x đường thẳng có hệ số góc k qua điểm A( x0 , y0 ) (P) (Tức điểm A với tọa độ thỏa mãn điều kiện y0 > x0 ) Xác đònh k để diện tích lớn 2 2 Bài 7: Cho ( P ) : y = x (C ) : ( x − 2) + y = R 1) Tìm R để (C) tiếp xúc với (P) Xác đònh tọa độ tiếp điểm T T’ 2) Viết phương trình tiếp tuyến chung (P) (C) T T’ 3) Tính diện tích tam giác cong giới hạn (P) tiếp tuyến nói x2 Bài 8: Cho hàm số (C) : y = f ( x) = với D = [ 0, +∞ ) 8x + 1) Khảo sát biến thiên hàm số 2) Tính diện tích tam giác cong chắn trục hoành , đồ thò (C) đường thẳng x = Bài 9: Parabol ( P ) : y = x chia diện tích hình tròn tâm O(0,0) bán kính R = 2 theo tỉ số Bài 10: Cho A điểm tùy ý ( P ) : y = px (p > 0) (D) đường thẳng song song với tiếp tuyến A (P) , (D) cắt (P) hai điểm M , N Hãy so sánh diện tích tam giác AMN diện tích hình phía (D) phía (P) VẤN ĐỀ 10 THỂ TÍCH VẬT THỂ Bài 1: Tính thể tích vật thể tạo nên quay quanh Ox hình phẳng S với S giới hạn bởi: 1) (C) : y = 2x – x2 trục Ox x2 y2 2) S (E) : + = a b 3) S x + (y – b)2 = a2 4) (C) : y = x2 ; y = ; x = ; x = Trang: 27 GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 5) (C) : y = x2 – 2x ; y = π 6) (C) : y = ; trục Ox ; x = ; x = Cosx 4 7) (C) : y = ; trục Ox ; x = ; x = x−4 8) (C1) : y = x2 ; (C2) : y = 2x 9) y = ; y = cos x + x sin x ; x = ; x = 10-11-12-ltđh π 10) Hình tròn x2 + (y – 2)2 ≤ 12) (C): y = x.lnx , y = , x = , x = e 13) y = lnx , y = 0, x = , x = π 14) y = , y = cos x + sin x , x = , x = π x π 15) y = Sin Cosx , y = , x = x = 2 π 16) y = , y = cos x + sin x , x = , x = x 17) y = x.e , x = , y = (0 ≤ x ≤ 1) 2 18) Hình tròn x + ( y − b) ≤ a , với < a ≤ b Bài 2: Cho hình phẳng D giới hạn y2 = (4 – x)3 y2 = 4x 1) Tính diện tích miền D 2) Tính thể tích tròn xoay D quay quanh Ox Bài 3: Gọi (D) miền giới hạn đường y = −3 x + 10 , y = parabol ( P ) : y = x ( x > 0) Tính vật thể tròn xoay ta quay (D) quanh trục Ox tạo nên (Miền (D) nằm (P)) Bài 4: Gọi miền giới hạn đường y = , ( P) : y = x − x (D) Tính thể tích vật thể tạo thành ta quay (D) : 1) Quanh trục Ox 2) Quanh trục Oy Bài 5: Cho hình tròn có tâm I(2 , 0) , bán kính R = , quay quanh trục Oy Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên Trang: 28 [...]... 2001) Cosx + Sinx.Cosx (ĐHNT) 2 + Sinx GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng sinx − cosx 8) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f (x) = sinx + cosx 9) Tìm họ nguyên hàm : f (x) = cos2 x sinx + cosx 10-11-12-ltđh (ĐHNT – 99 – 2000) 3x + 1 A B = + 2 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2 3x + 1 b) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x ) = ( x + 1)3 Sin(α + x) 11) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f ( x) = Cos 2 x 10) a) Xác đònh... I = − 2 1 f ( x) = 2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số:  π ÷  4 4) Cho f(x) = 3x3 – x2 – 4x + 1 và g(x) = 2x3 + x2 – 3x – 1 1) Giải bất phương trình :f(x) ≥ g(x) 2) Tính : I = ∫ 2 −1 Cosx.Cos  x + f (x ) − g (x ) dx (ĐHQG) 5) Tìm họ nguyên hàm của : f ( x ) = Sinx (ĐHQGHN – 2000 – 2001) 1 + Sin2 x 6) Tìm họ nguyên hàm của : f ( x ) = x 2001 (1 + x ) 2 1002 7) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : f (x)... + 3 x dx 2− x GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 2 dx ∫ 42) 2 x2 + 1 + x 1 x ( 3 44) ∫ 1 ( x− x2 ∫ 1 1 ) + 3 x ) dx 43) ∫ 0 45) x + 3x + x 2 2 46) 10-11-12-ltđh 46) x2 + 2x + x2 + 2x − 3 x2 − 4x + x + 2 −1 2 ∫ −1 1 ( x + 1)dx (2 x + 1)dx ∫ 0 dx − x − x + − x2 − x + 2 (6 x 2 − 4 x) dx 2 x3 − x 2 + 2 − x3 − x 2 VẤN ĐỀ 5 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) x.ex 2)... Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây : π π xSinx Sin 2 x dx 1) ∫ 2) 2 ∫ x dx 0 1 + Cos x −π 3 + 1 Trang: 15 2 1 + Sinx ∫ 1 + Cosx ⋅ e 31) x 0 π 2x 2 34) ∫ e Sin xdx 0 1 3) x 4 + Sinx ∫ x 2 + 1 dx −1 dx GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng π 10-11-12-ltđh 2 2 2 4) ∫ Cosx ln( x + x + 1).dx −π 5) ∫ 3 π x 4 dx ∫ x −1 1 + 2 7) 2 ∫ π − 2 4 + 5x 4 −2 2 1 Sinx.dx 6) x + Cosx dx 4 − Sin 2 x TÍCH PHÂN LIÊN KẾT VẤN... GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng π 6) Tính I = 2 10-11-12-ltđh Sinx dx và J = Sinx + Cosx ∫ 0 1 π 2 ∫ 0 Cosx dx Sinx + Cosx e− x I = 7) Tính : ∫ e− x + e x dx −1 π 2 8) Tính : I = ∫ e x Sin 2 xdx 0 π 2 9) Tính : I = ∫ 0 4sin x ( Sinx + Cosx ) dx 3 π 2 10) Tính : I = ∫ ln 1 + sin x dx 1 + Cosx 0 Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x a) Tìm họ nguyên hàm của hàm... 10-11-12-ltđh 21) ∫e 0 − x dx + 5e − x − 4 1  ÷×dx ln x  Bài 12: Tính tích phân các hàm số sau đây : x +1 + 2 x +1 1 ⋅ 1) 2) 3 2 ( x + 1) − x + 1 x −1 x +1 1 4) 5) x 5 − 2 x 1+ x +1 x+2 1 ⋅ 8) 2 x + 3 ( x + 2)(3 x + 5) Bài 13: Tính tích phân các hàm số sau đây : Trang: 11 3) 7) 1 x x + 1 x 3 1 − 3x 9) x 3 3 1 + x 2 GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 3 1 x 1) 2) (1 + x)3 x x( x + 3 x ) 1 1 4) 6) 2x + 1 − 4 2x... 7) Bài 14: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1 1 3x − 4 1) 2) 3) 2 2 x + 4x + 5 − 3x + 4 x − 1 2 x 2 + 8x + 1 1 3x + 4 x −1 4) 5) 6) x2 − x +1 x 2 − 6x + 8 − x 2 + 4x − 3 Bài 15: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1 1 1 1) 2) 3) ( x − 1) − x 2 + 2 x + 3 x x 2 + 1 x 5 x 2 − 2 x + 1 3x + 2 1 x +1 4) 5) 6) ( x + 1) x 2 + 3 x + 3 ( x + 2) x 2 + 2 x x 2x 2 − 2x − 1 Bài 16: Tính tích phân các hàm số sau... PHÂN LIÊN KẾT VẤN ĐỀ 6 Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây : 2 2 2 2 1) I = ∫ (a.Sin αx + bCos αx)dx và J = ∫ (a.Cos αx + bSin αx )dx 2 2 2) I = ∫ Cos x.Cos 2 xdx và J = ∫ Sin x.Cos 2 xdx 3) I = ∫ Cos (ln x )dx và J = ∫ Sin(ln x)dx 2x 2 2x 2 4) I = ∫ e Cos xdx và J = ∫ e Sin xdx Sinx Cosx dx và J = ∫ dx 5) I = ∫ Sinx + Cosx Sinx + Cosx Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây : π 2 π ∫ e Sin3x.dx...GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng Bài 11: Tính tích phân các hàm số sau đây : x 1 4e − x2 e x dx dx 1) ∫0 2) ∫1 3) x 1 4) ∫0 ( x ln x + 1 + x 2 1+ x2 e 1 + ln x dx 7) ∫ x 1 2 ) dx 5) 1 13) (1 + e ) dx 2x 0 1+ e ln 3 16) ∫ 0 e +1 x 1 22)... x.Cos2x 13) ex.Cosx 16) Cos(lnx) 19) x.tg2x ( x ln x + 1 + x 2 24) 1+ x 2 x 25) x.e ( x + 1) 2 26) x2.Sin3x 27) x2.e3x Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây : 1) ∫0 ( 2 x + 1) Cosxdx π 2) π 4 0 ∫ x Cos 2 x dx Trang: 14 2 ( ) 2 x 3) ∫1 x + 1 e dx ) GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 1 2 4) ∫0 x arctgx dx 7) π 2 π 3 5) 8) x 2 17) 1 2 ∫ (x 1 20) x dx 0 22) ∫ 5e Sin 2 x.dx 23) x ∫ (e −1 π 4 2 0 ∫ x e 3 + 1) ... toán-Huỳnh công dũng  x2 x2  ×ln x − Bài 12: Chứng minh : F ( x) =  0   x.ln x nguyên hàm ham số : f ( x) =  0 VẤN ĐỀ 10-11-12-ltđh x>0 x=0 x > x = TÍCH PHÂN CƠ BẢN Bài 1: Tính tích phân hàm... Cosx Bài 3: Tính tích phân hàm số sau : 1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x a) Tìm họ nguyên hàm hàm số g(x) π g ( x) dx x +1 ∫π e b) Tính : I = − f ( x) = 2) Tìm họ nguyên hàm hàm số:  π... (x ) − g (x ) dx (ĐHQG) 5) Tìm họ nguyên hàm : f ( x ) = Sinx (ĐHQGHN – 2000 – 2001) + Sin2 x 6) Tìm họ nguyên hàm : f ( x ) = x 2001 (1 + x ) 1002 7) Tìm họ nguyên hàm hàm số : f (x) = Trang: