Tài liệu ôn thi THPT môn toán. tổng hợp các đề thi từ năm trước đến nay a a
ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2013-2014 V1 Câu I 1) Giải phương trình 3x + + − x = 1 x + y + + = x y 2) Giải hệ phương trình + x + = xy + y xy Câu II 1) Giả sử a; b; c số thực khác thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc Chứng minh a b c ab bc ca + + = + + + b + c b + c a + c ( a + b )( b + c ) ( b + c )( c + a ) ( c + a )( a + b ) 2) Có số ngun dương có chữ số abcde cho abc − (10d + e ) chia hết cho 101? Câu III Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) ABAC) nợi tiếp đường tròn tâm (O) Giả sử M,N là điểm cung nhỏ BN thỏa mãn MN song song với BC và AN là tia nằm giữa tia AM,AB P là hình chiếu vng góc của C AN, Q là h/c vng góc of M AB a/ Giả sử CP giao QM tại T C./m T nằm (O) b/ NQ giao (O) tại R khác N Giả sử AM giao PQ tại S C.m: A,R,Q,S tḥc dường tròn Find Min,Max của C(X) ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2011-2012 V1 Câu I ( x − 1) y + x + y = 1) Giải hệ phương trình ( y − 2) x + y = x + x2 + = x 2( x +1) Câu II 1) Chứng minh khơng tồn ba số ngun ( x, y, z ) thỏa mãn đẳng thức 4 x + y = z + 2) Tìm tất cặp số ngun ( x, y ) thỏa mãn đẳng thức ( x + 1) − ( x − 1)4 = y 2) Giải phương trình x+ Câu III Cho hình bình hành ABCD với ·BAD < 90o Đường phân giác góc ·BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD O khác C Kẻ đường thẳng (d ) qua A vng góc với CO Đường thẳng (d ) cắt đường thẳng CB, CD E , F 1) Chứng minh ∆OBE = ∆ODC 2) Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF 3) Gọi giao điểm OC BD I , chứng minh IB.BE.EI = ID.DF FI Câu IV Với x, y số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x3 + x3 + y y3 y + ( x + y )3 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2011-2012 V2 Câu I 1) Giải phương trình ( x+3 − x )( ) 1− x +1 = x2 + y = 2x2 y 2) Giải hệ phương trình x + y + xy = x y )( ) ( Câu II 1) Với số thực a ta gọi phần ngun a số ngun lớn khơng vượt q a ký hiệu [ a ] Chứng minh với số ngun dương n , biểu thức 1 n + 3 n − + khơng biểu diễn dạng lập phương số ngun 27 dương 2) Với x, y, z số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy + yz + zx = , tìm giá trị nhỏ biểu thức 3x + y + z P= 6( x + 5) + 6( y + 5) + z + · Câu III Cho hình thang ABCD với BC song song AD Các góc ·BAD CDA góc nhọn AC I P điểm đoạn thẳng BC ( P Hai đường chéo BD cắt B , C khơng trùng với ) Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BIP cắt đoạn thẳng PA M khác P đường tròn ngoại tiếp tam giác CIP cắt đoạn thẳng PD N khác P 1) Chứng minh năm điểm A, M , I , N , D nằm đường tròn Gọi đường tròn ( K ) 2) Giả sử đường thẳng BM CN cắt Q, chứng minh Q nằm đường tròn ( K ) PB BD = 3) Trong trường hợp P, I , Q thẳng hàng, chứng minh PC CA Câu IV Giả sử A tập tập số tự nhiên ¥ Tập A có phần tử nhỏ 1, phần tử lớn 100 x thuộc A ( x ≠ 1) , ln tồn a, b thuộc A cho x = a + b ( a b ) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2010-2011 V1 3 x + y + 12 xy = 23 Câu IGiải hệ phương trình x + y = 1) Giải phương trình x + + x − x + = + x + Câu II Tìm tất số ngun khơng âm (x, y) thoả mãn đẳng thức (1 + x )(1 + y ) + xy + 2( x + y )(1 + xy ) = 25 2 1) Với số thực a, ta gọi phần ngun số a số ngun lớn khơng vượt q a ký hiệu [a] Chứng minh với n ngun dương ta ln có n + n + 1 + + =n n( n + 1) 1.2 2.3 Câu III Cho đường tròn (O) với đường kính AB = 2R Trên đường thẳng tiếp xúc với đương tròn (O) A ta lấy điểm C cho góc ACB = 30 Gọi H giao điểm thứ hai đường thăng BC với đường tròn (O) 1) Tính độ dài đương thẳng AC, BC khoảng cách từ A đến đương thẳng BC theo R 2) Với điểm M đoạn thẳng AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O điểm N (khác B) Chứng minh bốn điểm C, M, N, H nằm đường tròn tâm đường tròn ln chạy đường thẳng cố định M thay đổi đoạn thẳng AC Câu IVVới a,b số thực thoả mãn đẳng thức (1 + a )(1 + b) = , tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + a + + b ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2010-2011 V2 x + + 3x + = 5 x + y + xy = 26 1) Giải hệ phương trình 3 x + ( x + y )( x − y ) = 11 Câu IGiải phương trình Câu II Tìm tất số ngun dương n để n + 391 số phương 1) Giả sử x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh xy + z + x + y + xy ≥ Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn M điểm nằm tam giác Kí hiệu H hình chiếu M cạnh BC P, Q, E, F hình chiếu H đường thẳng MB, MC, AB, AC Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng 1) Chứng minh M trực tâm tam giác ABC 2) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác xếp theo thứ tự a1 , a , , a 2010 , ta đánh dấu tất số âm tất số mà tổng với số liên tiếp liền sau số dương (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 số đánh dấu a = −4, a = 4, a = −1, a5 = ) Chứng minh dãy số cho có số dương tổng tất số đánh dấu số dương ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2009-2010 V1 Câu I.1) Giải phương trình x2 − x + = x2 − x +1 2) Giải hệ phương trình x − y + xy = 3 x + y = y + Câu II.1) Tìm chữ số tận chữ số 1313 + 6 + 2009 2009 2) Với a, b chữ số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức a+b P= a(4a + 5b) + b(4b + 5a ) Câu III Cho hình thoi ABCD Gọi H giao điểm hai đường chéo AC BD Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD b 1) Chứng minh AH a = BH b 2) Tính diện tích hình thoi ABCD theo bán kính a, b Câu IV Với a, b, c số thực dương, chứng minh a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ 3a + 8b + 14ab 3b + 8c + 14bc 3c + 8a + 14ca ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHKHTN-ĐHQG HN 2009-2010 V2 Câu I.1) Giải phương trình 14 x + 35 + x + = 84 + x + 36 x + 35 2) Chứng minh 2n − n2 + + + = Với n ngun + 14 + 34 + (2n − 1) 4n + dương Câu II 1) Tìm chữ số ngun dương n cho tất số n + 1, n + 5, n + 7, n + 13, n + 17, n + 25, n + 37 Đều ngun tố 2) Mỗi lần cho phép thay cặp số (a,b) thuộc tập hợp M = { (16,2), (4,32), (6,62), (78,8)} cặp số (a + c, b + d) cặp số (c, d) thuộc M Hỏi sau số hữu hạn lần thay ta nhận tập hợp cặp số M = { (2018,702), (844,2104), (1056,2176), (2240,912)} hay khơng? Câu III Cho đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A B Trên đường thẳng AB ta lấy điểm M cho điểm A nằm đoạn BM ( M ≠ A) Từ điểm M kẻ tới đường tròn (O’) tiếp tuyến MC MD (C D tiếp điểm, C nằm ngồi (O)) Đường thẳng AC cắt lần thứ hai đường tròn (O) điểm P đường thẳng AD cắt lần thứ hai đường tròn (O) Q Đường thẳng CD cắt PQ K 1) Chứng minh hai tam giác BCD BPQ đồng dạng 2) Chứng minh M thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác KCP ln qua điểm cố định ≤ x, y, z ≤ x+ y + z = Câu IV Giả sử x,y,z số thực thoả mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức : M = x + y + z + 12(1 − x ) (1 − y )(1 − z ) ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2013-2014 V1 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2013-2014 V2 Câu 1: .Câu 2: ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2012-2013 V1 Câu (2 điểm) Cho biểu thức P = + ∙ với a > b > a) Rút gọn P b/ Biết a − b = Tìm giá trị nhỏ P Câu (2 điểm) Trên qng đường AB dài 210 km, thời điểm, xe máy khởi hành từ A B tơ khởi hành từ B A Sau gặp nhau, xe máy tiếp đến B tơ tiếp 15 phút đến A Biết xe máy tơ khơng thay đổi vận tốc suốt chặng đường Tính vận tốc xe máy tơ Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) : y = − x đường thẳng (d) : y = mx − n − (m tham số) a) Chứng minh m thay đổi, (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x, x b) Tìm m để |x − x| = Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC Đường tròn (ω) có tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB, AC tương ứng K, L Tiếp tuyến (d) đường tròn (ω) điểm E thuộc cung nhỏ KL, cắt đường thẳng AL, AK tương ứng M, N Đường thẳng KL cắt OM P cắt ON Q a) Chứng minh góc MON = 90 − góc BAC b) Chứng minh đường thẳng MQ, NP OE qua điểm c) Chứng minh KQ.PL = EM.EN Câu (1 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện (x − y) = x + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2012-2013 V2 Câu 1(1,5 điểm): Giải phương trình: x2 + x + x2 + x − + x2 + x − = Câu 2(2 điểm): a) Cho số a,b,c đơi phân biệt thỏa mãn: a (b + c) = b (a + c) = 2012 Tính giá trị biểu thức: M = c (a + b) b) Cho số ngun dương đơi phân biệt cho số dương chúng khơng có ước số ngun tố khác Chứng minh số tồn số mà tích chúng số phương Câu 3(2 điểm): Cho n số thực x1 , x2 , , xn với n ≥ Kí hiệu Max { x1 , x2 , , xn } số lớn số x1 , x2 , , xn Chứng minh rằng: Max { x1 , x2 , , xn }≥ x1 + x2 + + xn x1 − x2 + x2 − x3 + + xn −1 − xn + xn − x1 + n 2n Câu 4(1,5 điểm): Trong lớp học có 36 bàn học cá nhân, xếp thành hàng cột(Các hàng đánh số từ đến 4, cột đánh số từ đến 9) Sĩ số học sinh lớp 35 Sau học kì giáo chủ nhiệm xếp lại chỗ ngồi cho bạn học sinh lớp Đối với học sinh lớp, giả sử trước chuyển chỗ, bạn ngồi hàng thuộc hàng thứ m , cột thứ n sau chuyển chỗ, bạn ngồi hàng thuộc hàng am , cột thứ an , ta gắn cho bạn số ngun( am + an ) − ( m + n ) Chứng minh tổng 35 số ngun gắn với 35 bạn học sinh khơng vượt q 11 Câu 5: Cho chình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O) Điểm M thuộc cung nhỏ CD (O), M khác C D MA cắt DB, DC theo thứ tự X,Z; MB cắt CA, CD theo thứ tự Y, T; CX cắt DY K · · · · · a) Chứng minh rằng: MXT CKD = TXC, MYZ = ZYD = 1350 b) Chứng minh rằng: KX KY ZT + + =1 MX MY CD c) Gọi I giao điểm MK CD CMR: XT, YZ, OI qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2011-2012 Cho mọi T/S Câu 1: Cho biểu thức x− y x2 + y + y − 4x4 + 4x2 + y − : A= + 2 y − x y + xy − x x + y + xy + x Với x > 0; y > 0; x ≠ y; y ≠ − x Rút gọn biểu thức A Cho y = tính x để A = Câu 2: Một nhóm cơng nhân đặt kế hoạch sản xuất 200 sản phẩm Trong ngày đầu họ thực mức đề ra, ngày lại họ làm vượt mức ngày 10 sản phẩm, nên hồn thành sớm ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nhóm cơng nhân cần sản xuất sản phẩm Câu : Cho Parabol (P) : y= x2 đường thẳng (d) y=mx - m2 + (m tham số ) Tính tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1; x2 Với giá trị m thỡ x1; x2 độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Câu : Cho đường tròn (O) đường kính AB=10 Dây cung CD vng góc với AB điểm E cho AE =1 Các tiếp tuyến B C đường tròn (O) cắt K, AK CE cắt M 1.Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK Tính BK Tính diện tích tam giác CKM · Câu 5:Cho hình thoi ABCD có BAD =1200 Các điểm M, N chạy cạnh BC CD tương ứng · cho MAN =300 Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAN chạy đường thẳng cố định Câu 6: Chứng minh bất đẳng thức: 1+ + 3+ + 5+ + + 79 + 80 >4 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2011-2012 Cho chun Toán - Tin 1 Câu Cho a = 2+ − 8 1.Chứng minh 4a + 2a − = Tính giá trị biểu thức S = a + Câu 1.Giải hệ phương trình a4 + a +1 xy 2 x + y + =1 x+ y x + y = x2 − y Cho số hữu tỷ a,b thỏa mãn đẳng thức : a b + ab + 2a b + 2a + 2b + = Chứng minh 1-ab bình phương số hưũ tỷ Câu Tìm tất số ngun tố p có dạng p = a + b + c với a, b, c số ngun dương cho a + b + c chia hết cho p Câu Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) , BE CF đường cao Các tiếp tuyến đường tròn (O) B C cắt S đường thẳng BC OS cắt M 1.Chứng minh AB BS = AE ME Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS 3.Gọi N giao điểm AM EF ,P giao điểm AS BC Chứng minh NP vng góc với BC Câu Trong hộp có chứa 2011 viên bi màu ( viên bi có màu) ,trong có 655 viên bi màu đỏ ,655 viên bi màu xanh , 656 viên bi màu tím 45 viên bi lại viên bi màu vàng màu trắng ( màu viên) Người ta lấy từ hộp 178 viên bi Chứng minh số viên bi lấy ln có 45 viên bi màu Nếu người ta lấy 177 viên bi kết tốn khơng ? ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2009-2010 V1 Câu 1: Cho biểu thức A = 20a + 92 + a + 16a + 64 B=a4+20a3+102a2+40a+200 a-Rút gọn A b- Tìm a để A+B=0 Câu 2:Hai cơng nhân làm cơng việc 18 h xong.Nếu người thứ làm 6h người thứ làm 12 h 50% cơng việc.Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu? Câu 3: Cho Parabol y= x2 đường thẳng (d) có phương trình y=mx+1 a- Chứng minh (d) ln cắt (P) điểm phân biệt A;B với m b- Gọi A(x1;y1) B(x2;y2) Tìm giá trị lớn M=(y1-1)(y2-1) Câu 4:Cho tam giác ABC với AB = 5; AC = ; BC = 10 Phân giác BK góc ABC cắt đường cao AH;trung tuyến AM tam giác ABC O T (K ∈ AC;H, M ∈ BC) a-Tính AH b-Tính diện tích tam giác AOT Câu 5: Các số thực x , y thoả mãn đẳng thức : Chứng minh x+y=0 (x + 1+ x2 )( y + 1+ y2 ) =1 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2009-2010 V2 Câu Các số thực x, y thoả mãn xy ≠ xy ≠ − Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x, y 23 xy xy − xy xy P= 2 + − 3 x y − xy + 2 xy + xy − Câu 1) Cho phương trình x + bx + c = , cá tham số b c thoả mãn đẳng thức b + c = Tìm giá trị b c để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho x1 = x 22 + x x y z + 12 − = Giả sử (x, y, z) nghiệm hệ phương trình: Hãy tính giá trị A = x + y + z x + y + z =1 10 Câu Ba số ngun dương a, p, q thỏa mãn điều kiện: i) ap + chia hết cho q ii) aq + chia hết cho p pq Chứng minh a > 2( p + q ) Câu Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm C thuộc đường tròn (C khơng trùng với A, B trung điểm cung AB) Gọi H hình chiếu vng góc C AB Đường tròn (O1) đường kính AH cắt CA E, đường tròn (O2) đường kính BH cắt CB F 1) Chứng minh tứ giác AEFB tứ giác nội tiếp 2) Gọi (O3) tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEFB, D điểm đối xứng C qua O Chứng minh ba điểm H, O3, D thẳng hàng 3) Gọi S giao đường thẳng EF AB, K giao điểm thứ hai SC với đường tròn (O) Chứng minh KE vng góc với KF Câu Một hình vng có độ dài chia thành 100 hình chữ nhật có chu vi (hai hình chữ nhật khơng có điểm chung) Kí hiệu P chu vi hình chữ nhật 100 hình chữ nhật 1) Hãy cách để chia P = 2,02 2) Hãy tìm giá trị lớn P ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2010-2011 V1 x + x − x (4 x − 1) − x + 29 x + 78 A = Câu 1: − x − ÷ ÷ ÷ ÷ x + x + x − x − x + 12 x − 36 Rút gọn biểu thức A Tìm tất giá trị ngun x để biểu thức A có giá trị ngun Câu 2: Cho hai đường thẳng (d1 ): y = (2m2 + )x + 2m – ,(d2): y = m2x + m – Tìm toạ độ giao điểm I d1 d2 theo m Với m tham số Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) Cho P lµ ®iĨm bÊt k× trªn ®o¹n BC cho ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OBP c¾t ®o¹n AB t¹i N kh¸c B vµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c OCP c¾t ®o¹n AC t¹i M kh¸c C 1) Chøng minh r»ng ∠ OMP= ∠ OAC 2) Chøng minh r»ng ∠ MPN= ∠ BAC vµ ∠ OBC+ ∠ BAC=900 3) Chøng minh r»ng O lµ trùc t©m tam gi¸c PMN 3 + 4x − = 4x 2 x x ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHNN - ĐHQG HN 2010-2011 C©u 5: ( ®iĨm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 12 − Câu ( 2,0 điểm ) Cho biểu thức P = x 3+ x + 2x x − : − ÷ ÷ 9−x ÷ x÷ x −3 x 1) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P = − Câu ( 2,0 điểm ) 1) Tìm số ngun x, y thỏa mãn x2 + 4x + = y4 2 x + xy + y = 2) Giải hệ phương trình: x + 3(y − x) = Câu ( 2,0 điểm ) Cho phương trình ẩn x: (m-10)x2 + 2(m-10)x + =0 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 3 2 2) Chứng minh ta có: x1 + x + x1 x + x1 x < −4 Câu ( 3,0 điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB 0, ∀ x ≠ x2 x Bài (2 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính CD; dây cung AB vng góc với CD điểm I Lấy điểm E thuộc cung nhỏ BC, nối EI cắt đường tròn F ( F ≠ E ) Gọi M, N giao điểm AB với CF ED Chứng minh rằng: DI.DC = DN.DE Bài (1 điểm) IM = IN Cho số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2051 Chứng minh tích abc chia hết cho khơng chia hết cho 12 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN LAM SƠN- THANH HÓA 2011-2012 C©u1 (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc A = 15 x − 11 x − 2 x + + − x + x − 1− x x +3 1.Rót gän biĨu thøc A (víi x ≥ ,x ≠ ) Chøng minh r»ng A ≤ C©u 2(2 ®iĨm) Cho parabol (P): y = x vµ ®êng th¼ng (d): y= mx –m +2 (víi m lµ tham sè) T×m m ®Ĩ (d) c¾t (P ) t¹i ®iĨm cã hoµnh ®é x=4 Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cđa m, (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iĨm ph©n biƯt C©u : (2 ®iĨm) 2 x + y = 12 Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh : + = 19 x y 3x =6 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh x + x −9 C©u 4: (3 ®iĨm) Gäi C lµ mét ®iĨm n»m trªn ®o¹n th¼ng AB ( C ≠ A, C ≠ B ) Trªn nưa mỈt ph¼ng cã bê lµ ®êng th¼ng AB, kỴ tia Ax, By cïng vu«ng gãc víi AB Trªn tia Ax lÊy ®iĨm I (I ≠ A) §êng th¼ng vu«ng gãc víi CI t¹i C c¾t tia By t¹i K ; ®êng trßn ®êng kÝnh IC c¾t IK t¹i P 1.Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp ®ỵc ®êng trßn X¸c ®Þnh t©m cđa ®êng trßn ®ã b)Tam gi¸c ABP lµ tam gi¸c vu«ng Cho A, I, B cè ®Þnh T×m vÞ trÝ cđa ®iĨm C trªn ®o¹n th¼ng AB cho tø gi¸c ABKI cã diƯn tÝch lín nhÊt C©u 5: (1 ®iĨm)Cho a, b, c lµ ba sè thùc d¬ng tháa m·n a+b+c = TÝnh gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: P= ab bc ca + + ab + 2c bc + 2a ca + 2b ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN HÙNG VƯƠNG- PHÚ THỌ 20112012 Câu (2,0 điểm)Cho biểu thức: P = 1) Tìm x để P có nghĩa x −9 − x +3 x−5 x +6 x −2 Rút gọn P Câu (2,0 điểm)1)Giải phương trình : x2 x = 2+ x −1 x −1 − x +1 3− x Tìm x để P 600 Trên đường kính AB lấy điểm C (C khác A, B) kẻ CH vng góc với AD H Phân giác góc DAB cắt đường tròn E cắt CH F Đường thẳng DF cắt đường tròn điểm thứ hai N a) Chứng minh tứ giác AFCN nội tiếp đường tròn ba điểm N, C, E thẳng hàng b) Cho AD = BC, chứng minh DN qua trung điểm AC Câu (2,0 điểm) Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh số tự nhiên cho tổng ba số chúng chia hết cho số lại Chứng minh tứ giác có hai cạnh ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN TP HÀ NỢI 2011-2012 Bài I (2điểm)Với a ≠ ±b giải phương trình: (a4 – b4)x2 – 2(a3 – b3)x + a2 – b2 = x - y - xy = + 1) Giải hệ phương trình: 2 x + y = Bài II(2,0điểm) 1) Tìm tất số ngun dương n cho n2 – 9n – chia hết cho n – 11 2) Với ba số x, y, z khơng âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : A = x2 + y2 + z2 Bài III (3,5 điểm) Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N cho AN = R nà M điểm cung nhỏ BN( M khơng trùng với B, N) Gọi I giao điểm AM BN Đường thẳng qua I vng góc với AB H, cắt tia AN điểm C 1) Chứng minh ba điểm B, M, C thẳng hàng 2) Xác định vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABMN lớn 3) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH ln thuộc đường thẳng cố định M thay đổi cung nhỏ BN đường (O; R) 4) Gọi P điểm chình cung AB khơng chứa điểm N cảu đường tròn (O; R) Đường thẳng MP cắt AB D Chứng minh đường tròn (O; R) MD MD + khơng đổi M thay đổi cung nhỏ BN MA MB Bài IV(1,5điểm)Tìm tất ba số ngun dương (x; y; z) thỏa mãn: xyz = x2 – 2z + Bài V(1,0điểm)Chứng minh từ 53 số tự nhiên ln chọn 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN TỈNH VĨNH PHÚC 2011-2012 (Chun tin_) Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) hàm số: y = x − (2m + 1) x + m − đường thẳng (D): y = 3x + m ; m là tham sớ a) Cho m = , tìm hồnh độ giao điểm (P) (D) b) Tìm tất cả các giá trị của tham sớ m để (P) (D) cắt điểm phân biệt có hồnh độ khơng âm Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: 5x = 5x + − 5x + b) Cho hai số x, y liên hệ với bởi đẳng thức x + xy + 7( x + y ) + y + 10 = Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + Câu (1,0 điểm) Tìm tất số ngun dương x1 , x2 ,K , xn , n thỏa mãn: 1 + +L + = x1 x2 xn Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm E , D cho DE = DC Giả sử đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC F a) Chứng minh đường thẳng EF chia đơi góc ·AED · · b) Chứng minh BFE = CED x1 + x2 + L + xn = 5n − Câu (1,0 điểm) Trong hợp có 2010 viên sỏi Có hai người tham gia trò chơi, mỡi người lần lượt phải bớc ít nhất là 11 viên sỏi và nhiều nhất là 20 viên sỏi Người nào bớc viên sỏi ći cùng sẽ thua c̣c Hãy tìm tḥt chơi để đảm bảo người bớc đầu tiên ln là người thắng c̣c ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN TỈNH VĨNH PHÚC 2011-2012 (Chun toán_) Câu (3,0 điểm) Cho phương trình : x − mx3 + (m + 1) x − m(m + 1) x + (m + 1) = (1) (trong x ẩn, m tham số) Giải phương trình (1) với m = −2 Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình (1) có bốn nghiệm đơi phân biệt Câu (1,5 điểm) Tìm tất cặp hai số ngun ( x; y ) thỏa mãn x − x3 + = y Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC với BC > CA > AB nội tiếp đường tròn (O) Trên cạnh BC lấy điểm D tia BA lấy điểm E cho BD = BE = CA Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt cạnh AC điểm P, đường thẳng BP cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai Q Chứng minh tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD Chứng minh BP = AQ + CQ Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh c ( a +b 2 ) 2 +a (b +c 2 ) 2 +b (c +a 2 ) 2 ≥ 54 ( abc ) ( a + b + c) ( ab ) + ( bc ) + ( ca ) 4 × Câu (1,0 điểm) Cho đa giác lồi A1 A2 K A100 Tại đỉnh Ak ( k = 1, 2, ,100 ), người ta ghi số thực ak cho giá trị tuyệt đối hiệu hai số hai đỉnh kề Tìm giá trị lớn giá trị tuyệt đối hiệu hai số ghi cặp đỉnh đa giác cho, biết số ghi đỉnh cho đơi khác ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN TỈNH HÀ TĨNH 2011-2012 Câu 1: a) Giải phương trình: x2+2x+3= x x + b) Giải hệ phương trình: x( x − 2)(2 x − y ) = ( x − 3) + y = 10 Câu 2: a) Cho a,b,c số thực khác 0, thoả mãn: ab+bc+ca=0 Tính tổng: T = bc ca ab + + a b2 c b) Tìm tất số ngun x,y,z thoả mãn: 3x2+6y2+z2+3y2z2-18x=6 Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức F = b) Tìm giá trị a, b cho: 1− x 2x − 2x +1 x +1 a + b2 + 1 = (ab + 1) a −1 b −1 Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính BC cố định, A điểm thuộc tròn (A khơng trùng B, C) H hình chiếu A BC Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC theo thứ tự M, N a) Chưng minh MN tiếp tuyến chung đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM CHN b) Xác định vị trí A để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN lớn Câu 5: Lấy 2011 điểm thuộc miền tứ giác để với đỉnh ta 2015 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Biết diện tích tứ giác ban đầu 1cm Chứng minh tồn tam giác có đỉnh lấy từ 2015 điểm cho có diện tích khơng vượt q cm2 4024 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN TỈNH THÁI BÌNH 2011-2012 C©u 1.(3®iĨm) 1) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: 1 x − x = y − y x − y +1 = ) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x − x + = x x + x − C©u 2.(2®iĨm) 1) Cho ph¬ng tr×nh : x − 2(m + 1) x + 2m − = ( m lµ tham sè) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cđa m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm d¬ng ph©n biƯt x1 , x2 vµ P = 1 + x1 x2 ®¹t gi¸ trÞ nguyªn 2) T×m c¸c cỈp sè nguyªn (x, y) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh : x + x − y + y + = C©u 3.(3,5®iĨm) Cho tam gi¸c ABC cã ®Ønh A cè ®Þnh, B vµ C thay ®ỉi trªn ®êng th¼ng d cè ®Þnh cho nÕu gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa A trªn d th× B, C n»m kh¸c phÝa ®èi víi H §êng trßn ®êng kÝnh AH c¾t AB, AC lÇn lỵt t¹i ®iĨm thø hai lµ M vµ N Gäi P, D lÇn lỵt lµ giao ®iĨm cđa AH víi MN vµ ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC,(D kh¸c A) 1).Chøng minh r»ng tø gi¸c MPDB néi tiÕp ®êng trßn CN BM = 2).Tam gi¸c ABC cã ®Ỉc ®iĨm g× nÕu : AB CA 3).Khi B, C thay ®ỉi trªn d cho c¸c tiÕp tun cđa ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AMN tiÕp ®iĨm lµ M vµ N c¾t t¹i K vµ tích HB.HC lµ kh«ng ®ỉi Chøng minh r»ng K thc ®êng th¼ng cè ®Þnh C©u 4.(1®iĨm) Cho a, b, c lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n abc = Chøng minh r»ng: a3 b3 c3 + + ≥ b(c + a ) c ( a + b) a (b + c ) C©u 5.(0,5®iĨm) T¹i mçi ®Ønh cđa ®a gi¸c ®Ịu 100 c¹nh ta ®¸nh mét sè bÊt k× c¸c sè tù nhiªn liªn tiÕp sau 1, 2, 3, 4, 5, , 49 Chøng minh r»ng tån t¹i ®Ønh cđa ®a gi¸c (kÝ hiƯu c¸c ®Ønh A, B, C, D víi c¸c sè t¬ng øng a, b, c, d) cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt vµ a + b = c + d ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN HÙNG VƯƠNG- PHÚ THỌ 20112012 ( Chun Toán) C©u (3,0 điểm) 1) Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n : a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a 22 b c 2011 + + b 22 c6 a 2011 ;y = 2) Cho x = - +1 + + 16 TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: P = Chøng minh r»ng x + y lµ mét sè tù nhiªn C©u (2,0 ®iĨm) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x − + − x = 11x − x − 24 + 2) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh : + 2x + y 3x − y = 4x + 12y = ( 2x + y ) ( 3x − y ) C©u (1,0 ®iĨm) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn n cho A = ( n − 2010 ) ( n − 2011) ( n − 2012 ) lµ mét sè chÝnh ph¬ng C©u (3,0 ®iĨm) Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) Gäi D lµ ®iĨm thay ®ỉi trªn cung nhá AB cđa ®êng trßn (O), (D kh«ng trïng víi A, B) 1) Trong trêng hỵp ACBD lµ tø gi¸c ngo¹i tiÕp mét ®êng trßn, chøng minh r»ng AC + BD = AD + BC 2) Trong trêng hỵp ABC lµ tam gi¸c ®Ịu, chøng minh r»ng DA + DB = DC 3) Trong trêng hỵp tam gi¸c ABC cã AB lµ c¹nh nhá nhÊt, trªn c¹nh AC vµ BC lÊy c¸c ®iĨm M, N t¬ng øng cho AM = BD vµ BN = AD Chøng minh r»ng D thay ®ỉi trªn cung nhá AB cđa ®êng trßn (O) th× trung ®iĨm I cđa ®o¹n th¼ng MN lu«n thc mét ®êng trßn cè ®Þnh C©u (1,0 ®iĨm) Cho a, b, c lµ sè thùc d¬ng, chøng minh r»ng: 2ab 3bc 3ca a + 2b + 3c + + ≤ 3a + 8b + 6c 3b + 6c + a 9c + 4a + 4b ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN HÙNG VƯƠNG- PHÚ THỌ 20112012 ( All Thí Sinh) Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = x −9 x−5 x +6 Rút gọn P 2) Tìm x để P có nghĩa Câu (2,0 điểm) x2 = 2+ x −1 x −1 + 2)Giải hệ phương trình + x − 1)Giải phương trình : x x −1 = y +1 = y +1 − x +3 − x +1 x − 3− x Tìm x để P[...]... thẳng hàng b) Cho AD = BC, chứng minh DN đi qua trung điểm của AC Câu 5 (2,0 điểm) Một tứ giác lồi có độ dài bốn cạnh đều là số tự nhiên sao cho tổng ba số bất kì trong chúng chia hết cho số còn lại Chứng minh rằng tứ giác đó có ít nhất hai cạnh bằng nhau ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN TP HÀ NỢI 2011-2012 Bài I (2điểm)Với a ≠ ±b giải phương trình: (a4 – b4)x2 – 2(a3 – b3)x + a2 – b2 = 0 x... các số dương thỏa mãn điều kiện a+b+c+ab+bc+ca=6 Chứng minh rằng: a 3 b3 c3 + + ≥ a 2 + b2 + c2 ≥ 3 b c a ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN LÊ HỜNG PHONG TP HCM 2012-2013 Câu 2: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a là số ngun dương, biết: f(5) - f(4) = 2012 Chứng minh: f(7) - f(2) là hợp số Câu 4:Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O; R) có AC vng góc BD tại H Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho: AM = 1/3... (0,5 điểm) Cho tam giác ABC, trên tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao BM = CN Chứng minh rằng đường trung trực của MN ln đi qua một điểm cố định ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN TỈNH HÒA BÌNH 2011-2012 THPT CHUN HOÀNG VĂN THỤ Bài 1 (2 điểm) 3 1) Cho a = 2 + 3 + 1 3 2+ 3 Chứng minh a là nghiệm của phương trình a 3 − 3a − 4 = 0 2) Tìm các số tự nhiên n để n3 − 4n 2 − 2n... M, N thay đởi trên nửa đường tròn (O) nhưng vẫn thỏa mãn giả thi ́t bài toán · · Bài 5 (1đ) Cho hình thoi ABCD có BAD = 1200 Tia Ax tạo với tia AB mợt góc BAx = 150 và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N Tính giá trị của biểu thức 1 1 T = AB 2 + ÷ 2 AN 2 AM ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN PHAN BỢI CHÂU – NGHỆ AN 2012 – 2013 Câu Câu 1 (7,0 điểm).a)... cạnh a Trong hình vng đo lấy điểm K sao cho tam giác ABK đều Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P 1 Tính độ dài KC theo a 2 Trên AD lấy I sao cho DI = a 3 CI cắt BP ở H 3 Chứng minh CHDP là nội tiếp 3 Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD Chứng minh LM = a 2 Câu 5: Giải phương trình : (x2 -5x + 1)(x2 - 4) = 6(x-1)2 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2010-2011 V2 Câu 1: 1.Giả sử a và b là... BN MA MB Bài IV(1,5điểm)Tìm tất cả các bộ ba số ngun dương (x; y; z) thỏa mãn: xyz = x2 – 2z + 2 Bài V(1,0điểm)Chứng minh rằng từ 53 số tự nhiên bất kì ln chọn được 27 số mà tổng của chúng chia hết cho 27 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN TỈNH VĨNH PHÚC 2011-2012 (Chun tin_) Câu 1 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) của hàm số: y = x 2 − (2m 2 + 1) x + m − 1 và đường thẳng (D):... giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đơi một khác nhau ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN TỈNH HÀ TĨNH 2011-2012 Câu 1: a) Giải phương trình: x2+2x+3= 2 x 2 x + 3 b) Giải hệ phương trình: x( x − 2)(2 x − y ) = 6 2 ( x − 3) + 2 y = 10 Câu 2: a) Cho a,b,c là các số thực khác 0, thoả mãn: ab+bc+ca=0 Tính tổng: T = bc ca ab + + a 2 b2 c 2 b) Tìm tất cả các số ngun x,y,z thoả mãn:... lu«n thc mét ®êng trßn cè ®Þnh C©u 5 (1,0 ®iĨm) Cho a, b, c lµ sè thùc d¬ng, chøng minh r»ng: 2ab 3bc 3ca a + 2b + 3c + + ≤ 3a + 8b + 6c 3b + 6c + a 9c + 4a + 4b 9 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN HÙNG VƯƠNG- PHÚ THỌ 20112012 ( All Thi Sinh) Câu 1 (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = 2 x −9 x−5 x +6 Rút gọn P 2) Tìm x để P có nghĩa Câu 2 (2,0 điểm) x2 = 2+ x −1 2 x −1 + 2)Giải hệ phương trình ... đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác MNP Chứng minh rằng O,I,J thẳng hàng ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN Q́C HỌC H́ 2005-2006 Bài 1:(3 điểm) a/ Cho a,b là các số thực không âm tùy ý Chứng tỏ rằng : a + b ≤ a + b ≤ 2(a + b) Khi nào có dấu đẳng thức ? b/ Xét u, v, z, t là các số thực không âm thay đổiù có tổng bằng 1 Hãy tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của S = u+ v+ z+ t Bài 2: (2... đứng liền trước (ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm Bài 5: (1 điểm) Một tấm bìa dạng tam giác vng có độ dài ba cạnh là các số ngun Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số ngun ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN HẢI PHÒNG ... (1 − y )(1 − z ) ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2013-2014 V1 ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2013-2014 V2 Câu 1: .Câu 2: ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN ĐHSP HN 2012-2013... 37 Đều ngun tố 2) Mỗi lần cho phép thay cặp số (a,b) thuộc tập hợp M = { (16,2), (4,32), (6,62), (78,8)} cặp số (a + c, b + d) cặp số (c, d) thuộc M Hỏi sau số hữu hạn lần thay ta nhận tập hợp. .. a ĐỀ THI TỦN SINH VÀO 10 THPT CHUN LÊ HỜNG PHONG TP HCM 2012-2013 Câu 2: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a số ngun dương, biết: f(5) - f(4) = 2012 Chứng minh: f(7) - f(2) hợp số