SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN- CẤP THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (3,0 điểm) x − y = ( x; y ∈ ¡ ) a) Giải hệ phương trình 2 x + xy − y = b) Tìm a để hàm số y = (a + 1) x − 2(a − 1) x + 3a − xác định với ∀x ∈ ¡ c) Giải phương trình + sin x + cos x + sin x + cos x = ( x ∈ ¡ ) Câu (2,0 điểm) n a) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn x + ÷ x n * ( x ∈ ¡ , x > ) , biết n ∈ ¥ thỏa mãn điều kiện Cn + Cn+1 + Cn+ = 10n + 30 b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm M ( 5;4;3) cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C ( A, B, C không trùng với O ) cho OA = OB = OC Câu (3,0 điểm) π tan xdx ∫ cos x b) Cho hai đường cong có phương trình y = x − x + y = x3 + 3x − 10 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong x + − 3x + c) Tìm giới hạn lim x →2 − x2 a) Tính tích phân Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (a )( )( ) +1 b +1 c +1 abc Câu (1,0 điểm) Cho tam giác không cân ABC có AB = c, BC = a, CA = b Gọi điểm I , G tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm tam giác ABC , biết đường thẳng IG vuông góc với đường thẳng IC Chứng minh a + b + c 2ab = a+b Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN – CẤP THPT Câu (3,0 điểm) Nội dung trình bày a) x2 x − y = y = −1 ⇔ 2 x + xy − y = x + xy − y = x2 y = −1 x2 y = −1 ⇔ ⇔ 2 x x 2 x + x − ÷− − ÷ = x + x − x − 16 = 2 x2 y = −1 x y = − ⇔ ⇔ ( x − ) ( x + x + ) = ( x − ) x + + = ÷ x2 −1 x = y = ⇔ ⇔ Hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) y =1 x − = b) Đặt f ( x ) = ( a + 1) x − 2(a − 1) x + 3a − Yêu cầu toán tương đương với tìm a để f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ TH1: a + = ⇔ a = −1 ta f ( x) = x − , không thỏa mãn yêu cầu toán TH2: a + ≠ ⇔ a ≠ −1 a + > Khi f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ' = ( a − 1) − ( a + 1) ( a − 1) ≤ a > −1 a > −1 ⇔ ⇔ a ≥ ( a − 1) ( −2a − ) ≤ a ≤ −2 ⇔ a ≥ Vậy a ≥ giá trị cần tìm c) + sin x + cos x + sin x + cos x = ⇔ + sin x + cos x + 2sin x cos x + 2cos x − = ⇔ sin x + cos x + 2sin x cos x + 2cos x = ⇔ sin x + cos x + 2cos x ( sin x + cos x ) = ⇔ ( sin x + cos x ) ( + 2cos x ) = sin x + cos x = ⇔ 1 + 2cos x = Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 2π x= + k 2π ( k ∈¢ ) +) + 2cos x = ⇔ cos x = − ⇔ x = − 2π + k 2π π π +) sin x + cos x = ⇔ sin x + ÷ = ⇔ x = − + kπ ( k ∈ ¢ ) 4 2π 2π + k 2π , x = − + k 2π , Vậy phương trình cho có nghiệm là: x = 3 π x = − + kπ , k ∈ ¢ Câu (2,0 điểm) Nội dung trình bày a) Theo giả thiết ta có: Cn0 + Cn1+1 + Cnn+ = 10n + 30 (n + 1)(n + 2) ⇔ + (n + 1) + = 10n + 30 n = 18 ⇔ n − 15n − 54 = ⇔ , kết hợp với điều kiện n ta n = 18 n = −3 0,25 0,25 Điểm 1,00 0,25 0,25 18 − k k −18 − 15 k k Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là: C ( x ) x ÷ = C18 x 6k − 18 = ⇔ k = Số hạng không chứa x tương ứng với k thỏa mãn Vậy số hạng không chứa x cần tìm C183 23 = 6528 b) Giả sử A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) ( a, b, c ≠ ) Khi mặt phẳng ( P ) có x y z + + = phương trình dạng a b c Do ( P ) qua M ( 5;4;3) nên ta có: + + = (1) a b c Do OA = OB = OC ⇔ a = b = c Ta có trường hợp: TH1: a = b = c , thay vào (1) có: + + = ⇔ a = 12 ⇒ ( P ) : x + y + z − 12 = a a a TH2: a = b = −c , thay vào (1) có: + − = ⇔ a = ⇒ ( P ) : x + y − z − = a a a TH3: a = −b = c , thay vào (1) có: − + = ⇔ a = ⇒ ( P) : x − y + z − = a a a TH4: a = −b = −c , thay vào (1) có: − − = ⇔ a = −2 ⇒ ( P) : − x + y + z − = a a a Câu (3,0 điểm) Nội dung trình bày a) k 18 k 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 1,00 Ta có: π π π tan xdx tan xdx tan x dx = = ∫0 cos x ∫0 cos x − sin x ∫0 − tan x cos x Đặt t = tan x ⇒ dt = 0,25 π dx Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = cos x 0,25 Khi đó: π ∫ tan xdx = cos x =− t dt ∫ 1− t = 10 t − − ln 27 t +1 ∫ −t =− −1− t ÷dt = − − t ÷ − t −1 0 3 1 ∫ t − − t + ÷ dt 10 3 +1 10 + ln = ln + − 27 27 −1 ( 0,25 ) b) Ta có hai đường cong y = x − x + 6, y = x + 3x − 10 tiếp tuyến dạng x = a , a số Do tiếp tuyến có phải có hệ số góc Giả sử đường thẳng ( d ) tiếp tuyến chung cần tìm, ( d ) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x − x + điểm ( t ; t − 5t + ) Khi ( d ) có phương trình dạng: 0,25 1,00 0,25 y = ( 2t − ) ( x − t ) + t − 5t + ⇔ y = ( 2t − ) x − t + ( d) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x + 3x − 10 hệ phương trình sau có nghiệm: x + 3x − 10 = ( 2t − ) x − t + x3 + 3x − 10 = ( 2t − ) x − t + ⇔ 3x + t = 3 x + = 2t − 2 3x + 3x + x + x − 10 = − ÷x − ÷ +6 2 ⇔ 3x + t = x ( x − x + 48 ) = 9 x − x + 48 x = x = ⇔ 3x + ⇔ 3x + ⇔ t = t = t = y = x − 10 Vậy PT tiếp tuyến chung là: c) x + − 2 − 3x + x + − 3x + = lim + Ta có lim x →2 x →2 − x2 − x2 4−x − ( 3x + ) x −2 = lim + x →2 ( − x ) x + + − x ) + 3 x + + ( ( ) ( 3x + ÷ ) 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 = lim − + x →2 ( x + 2) x + + ( x + ) + 3x + + 1 x + − 3x + =− + = Vậy lim = x →2 16 16 − x2 ( ) ( 3x + ÷ ) 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung trình bày Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho ba số dương ta được: 1 = a + b + c ≥ 3 abc ⇒ abc ≤ Ta có P = (a )( )( 0,25 ) +1 b +1 c +1 abc 1 = + ÷ + ÷ + ÷ a b c 1 1 1 = 2 + + + ÷+ + + ÷+ a b c ab bc ca abc 0,25 ≥ 2 + 2.3 + 2.3 ÷ + ÷ abc abc abc = 2 + Điểm ( 2) 2 3 1 + 2.3 ÷ + ÷ = 2+ ÷ abc abc abc abc 0,25 1÷ ≥ 2+ ÷ = ÷ 3 ( ) + Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P ( ) 0,25 +3 Câu (1,0 điểm) Nội dung trình bày Cách Điểm A P Q I G C N 0,25 MD B Đường thẳng GI cắt BC , CA N , P Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC , từ M kẻ đường thẳng song song với GI , cắt AC Q Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC điểm D CI vừa đường cao phân giác tam giác CNP ⇒ tam giác CNP cân C ⇒ CN = CP , kết hợp với MQ || NP ⇒ PQ = NM GA AP = = ⇒ AP = 2.PQ = 2.NM Theo định lí Talet ta có: GM PQ a a+b ⇒ b − CP = ( CN − CM ) ⇒ b − CN = CN − ÷ ⇒ CN = (1) 2 2( p − c) 2ab ( a + b − c ) IC CD a+b−c CN = = = = = 2 2 Ta có C C + cos C a +b −c a + b − c2 ( ) cos cos 1+ 2 2ab 2ab 2ab = ⇒ CN = (2) a+b+c a+b+c 2ab a+b a + b + c 2ab = ⇔ = Từ (1) (2) ta a+b+c 3 a +b Cách uuur uuur uuur uur uur uur r Ta có: CG = CA + CB , a.IA + b.IB + c.IC = uur uuur uur uuur uur r uur uuur uuur ⇒ a IC + CA + b IC + CB + c.IC = ⇒ CI = a.CA + b.CB a+b+c uur uur uuur uuur uuur uuur uuur a 1 uuur b uuur ⇒ GI = CI − CG = a.CA + b.CB − CA + CB = − ÷CA + − ÷CB a+ b+ c a + b+ c 3 a + b+ c 3 uuur uuur uuur uuur uur uur Khi đó: GI ⊥ IC ⇔ GI CI = ⇔ ( 2a − b − c ) CA + ( 2b − c − a ) CB a.CA + b.CB = uuur uuur uuur uuur ⇔ ( 2a − b − c ) ab + ( 2b − c − a ) ba + ( 2a − b − c ) bCB.CA + ( 2b − c − a ) aCB.CA = uuur uuur ⇔ ab + CA.CB [ b(2a − b − c ) + a (2b − a − c) ] = ⇔ b(2a − b − c) + a (2b − a − c ) = ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ( ) ) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 uuur uuur (do ab + CA.CB = ab + ab.cosC = ab(1 + cos C ) > ) ⇔ a(3b − a − b − c) + b(3a − a − b − c ) = ⇔ 6ab = (a + b)( a + b + c) a + b + c 2ab ⇔ = (đpcm) a+b 0,25 Yêu cầu: + Điểm toàn tính đến 0,25; + Với ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống để chia nhỏ đến 0,25; + Với ý, Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với bước kết bắt buộc phải có Nếu thí sinh giải theo cách khác trình bày đủ kết cho điểm tối đa ý + Trong ý, thí sinh sai từ đâu không cho điểm từ + Bài hình học không phụ thuộc vào hình vẽ không bắt buộc phải vẽ hình ... trình cho có nghiệm là: x = 3 π x = − + kπ , k ∈ ¢ Câu (2,0 điểm) Nội dung trình bày a) Theo giả thi t ta có: Cn0 + Cn1+1 + Cnn+ = 10n + 30 (n + 1)(n + 2) ⇔ + (n + 1) + = 10n + 30 n = 18 ⇔ n