13 de on tap hoc ki II toán 10

Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 1... Phương trình – bất phương trình quy về bậc hai a.. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α... Hệ thức lượng trong t

1

A PHẦN ĐẠI SỐ

I Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

1 Giải và biện luận bất phương trình dạng ax b 0+ <+ <

a

;

−∞ −

a;

2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được

3 Dấu của nhị thức bậc nhất

f(x) = ax + b (a ≠ 0)

a

;

−∞ −

x ∈ b

a;

4 Bất phương trình quy về bất phương trình bậc nhất 1 ẩn

a Bất phương trình tích

• Dạng: P x Q x( ) ( ) > (1) (trong đĩ 0 P x Q x( ), ( ) là những nhị thức bậc nhất)

• Cách giải: Lập bảng xét dấu, từ đĩ suy ra tập nghiệm

b Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Dạng: ( )

P x

Q x > (2) (trong đĩ P x Q x( ), ( ) là những nhị thức bậc nhất)

• Cách giải: Lập bảng xét dấu rồi suy ra tập nghiệm Chú ý khơng nên quy đồng và khử mẫu

• Chú ý: Khi xét dấu các biểu thức cĩ dạng f x( ) (trong đĩ k f x là một nhị thức bậc nhất, ( ) *

k∈N )

- Khi k chẵn, tất cả các dấu là +

- Khi k lẻ, xét dấu theo đúng quy tắc phải cùng, trái khác

c Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

• Ta sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ

• Dạng 1: f x g x g x

( ) 0 ( ) ( )

( ) ( ) ( )

 >

< ⇔

− < <

g x

f x có nghĩa

f x g x

( ) 0 ( )

( ) ( )

 <







> ⇔  ≥

  < −

  >



• Chú ý: Với B > 0 ta cĩ: A <B⇔ − <B A<B; A B A B

 < −

> ⇔  >

II Bất phương trình bậc hai

1 Dấu của tam thức bậc hai

f(x) = ax2+bx c+ (a ≠ 0)

∆ < 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ R

∆ = 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ R b

a

\ 2

−

∆ > 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x 1 ) ∪ (x 2 ; +∞)

a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x 1 ; x 2 )

LÝ THUYẾT TỐN 10 HKII (2012 - 2013)

2

Nhận xét:
ax2 bx c 0, x R a 0

0

∆

 >

+ + > ∀ ∈ ⇔

<

0

∆

 <

+ + < ∀ ∈ ⇔

<



2 Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2++++bx c 0+ >+ > (hoặc + >+ > ≥ 0; < 0; ≤ 0)

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

3 Phương trình – bất phương trình quy về bậc hai

a Phương trình – bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ

 Dạng 1:

g x

f x g x

f x

( ) 0

( ) 0

=

 <









( ) ( ) ( ) = ( ) ⇔  ( )== − ( )

( ) 0 ( ) ( )

( ) ( ) ( )

 >

< ⇔

− < <



 Dạng 4:

g x

f x có nghĩa

f x g x

( ) 0 ( )

( ) ( )

 <









> ⇔  ≥

  < −

  >



 Chú ý:  A =A⇔A≥0; A = − ⇔A A≤0

 Với B > 0 ta cĩ: A <B⇔ − <B A<B; A B A B

 < −

> ⇔  >

 A B+ = A + B ⇔AB≥ ; 0 A B− = A + B ⇔AB≤ 0

b Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn

 Dạng 1:

g x

f x g x

f x g x 2

( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )



=



f x g x

( )= ( )⇔ ( )≥ ( ) ≥

=



at2 bt c

( ), 0

0



 Dạng 4: f x( )± g x( )=h x( ) Đặt u f x

u v

v g x( ); , 0 ( )

 =



≥



=

 Dạng 5:

f x

f x g x 2

( ) 0

( ) ( )



< ⇔ >

 <



 Dạng 6:

g x

f x

f x g x 2

( ) 0 ( ) 0

( ) ( )

 <







> ⇔  ≥





>





III Lượng giác

1 Đơn vị đo gĩc và cung:

Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Radian 0

2 Góc lượng giác & cung lượng giác:

a Định nghĩa:

b Đường tròn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:

2k B 2

2 2k D - 2

2 , k B,D

2

π

π

π

3 Đường tròn lượng giác:

 A: điểm gốc

 x'Ox : trục côsin ( trục hoành )

 y'

Oy : trục sin ( trục tung )

 t'At : trục tang

 u'

Bu : trục cotang

4 Định nghĩa các giá trị lượng giác:

a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox và y'Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

Ta định nghĩa:

6

π

4

π

3

π

2

π

3

2π

4

3π

6

y

(điểm gốc)

+

t

(điểm ngọn)

2

+

−

x y

O

B

D

+

−

x y

O

B

D

1

1 1

=

R

1

−

1

−

'

x

'

u

u t

'

t

'

y

x O

A

Z) (k 2 )

,

(Ox Oy =α +k π ∈

x y

(tia gốc)

+

t

(tia ngọn)

O

α

α

α

α

α

=

=

=

=

cos sin tan cot

OP OQ AT BU

Trục cosin

Trục tang

Trục cotang

'

u

'

t

t

x u

'

y

'

t

1

−

Q

B

T

α

M

α

A P

U

Trục sin

+

−

b Các tính chất:

Với mọi α ta cĩ :

 − ≤1 sinα≤1 hay sinα ≤ 1

 − ≤1 cosα≤1 hay cosα ≤ 1

 tan xác định α ∀α ≠π + π

2 k

 cot xác định α ∀α≠k π

5 Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (gĩc ) đặc biệt:

Ta nên sử dụng đường trịn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

Gĩc Hslg

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600

0 6

π 4

π 3

π 2

π

3

2π

4

3π

6

sinα 0

2

1 2

2 2

2

3

2

2

2

cosα 1

2

3 2

2 2

2

1

−

2

2

−

2

3

tanα 0

3

3

3

cotα kxđ 3 1

3

3

3

−

-1 − 3 kxđ kxđ

- 3

-1

- 3 /3 (Điểm gốc)

t

t'

y

y'

x x'

u u'

1

1 -1

-1

-π π/2

π

5π/6 3π/4 2π/3

-π/6 -π/4 -π/3

-1/2

- 2 /2

- 3 /2

-1/2

- 2 /2

3 /2

2 /2 1/2

A

π/3 π/4

π/6

3 /3

3

O

+

−

5

6 Giá trị lượng giác của các cung (gĩc) cĩ liên quan đặc biệt:

a Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd:

6

&

6

π π

− ,…)

b Cung bù nhau : α và -π α ( tổng bằng π ) (Vd:

6

5

&

6

π π

,…)

c Cung phụ nhau : và

2

π

α −α ( tổng bằng 2π ) (Vd:

3

&

6

π π ,…)

d Cung hơn kém 2π : và 2α π +α (Vd:

3

2

&

6

π π

,…)

e Cung hơn kém π : α và π α+ (Vd:

6

7

&

6

π π

,…)

a Cung đối nhau: b Cung bù nhau :

cos( ) cos

sin( ) sin

tan( ) tan

−

sin( ) = sin tan( ) = tan

c Cung phụ nhau : d Cung hơn kém 2π

π

π

π

π

cos( ) sin

2

sin( ) cos

2

tan( ) cot

2

2

π

π

π

π

2 sin( ) cos 2

2

2

e Cung hơn kém π :

tan( ) tan

cot( ) cot

7 Cơng thức lượng giác:

a Các hệ thức cơ bản:

α α

α α α

α

sin tan =

cos cos cot =

sin

α

α α

α

+

+

2

2 2

2

tan cot = 1

1

1 tan =

cos 1

1 cot =

sin

b Cơng thức cộng:

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos

Phụ chéo Hơn kém 2π

sin bằng cos cos bằng trừ sin

Hơn kém π

tang , cotang

6

α β

α β

−

−

−

+

tan +tan tan( + ) =

1 tan tan tan tan tan( ) =

1 tan tan

c Công thức nhân đôi:

α α

α

=

=

−

2

1 2sin cos sin sin 2 2sin cos

2 tan tan 2

1 tan

d Công thức nhân ba:

3

3

cos 3 4 cos 3cos sin 3 3sin 4 sin

e Công thức hạ bậc:

α

α α

α α

α α

2 cos 1

2 cos 1

; 2

2 cos 1 sin

; 2

2 cos 1

+

−

=

−

= +

f Công thức tính sin ,cos , tanα α α theo tan

2

=

2 2

2 2

1

2

; 1

1 cos

; 1

2 sin

t

t tg

t

t t

t

+

= +

−

= +

g Công thức biến đổi tích thành tổng :

1

2 1

2 1

2

h Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos

cos cos

tg tg

tg tg

α β α β

α β α β

α β α β

α β α β

α β

α β

α β

α β

α β

α β

+

−

4

cos 3 3 cos

4

3 sin sin 3

2

2 cos 1

α = +

2

2 cos 1

α = −

α α

2

1 cos

O M

A

B

C

D

T

R

B PHẦN HÌNH HỌC

I Hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c

– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m a , m b , m c

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h a , h b , h c

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p

– diện tích tam giác: S

1 Định lí côsin

a2 =b2+c2−2 cosbc A; b2 =c2+a2−2 cosca B; c2 =a2+b2−2 cosab C

2 Định lí sin

R

sin = sin =sin =

3 Độ dài trung tuyến

a

m

4

m

4

m

4

=

4 Diện tích tam giác

S = 1aha 1bhb 1chc

= 1bcsinA 1casinB 1absinC

= abc R 4

= pr

= p p a p b p c( − )( − )( − ) (công thức Hê–rông)

Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước

5 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)

Cho ∆ABC vuông tại A, AH là đường cao

• BC2 = AB2+AC2 (định lí Pi–ta–go)

• AB2 =BC BH , AC2 =BC CH

• AH2 =BH CH ,

AH2 AB2 AC2

• AH BC = AB AC

• b=a.sinB=a.cosC=ctanB=ccotC; c=a.sinC=a.cosB=btanC=bcotC

Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định

• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD

PM/(O) = MA MB =MC MD =MO2−R2













• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT

PM/(O) = MT2 =MO2−R2

II Phương trình đường thẳng

1 Phương trình tham số – Phương trình tổng quát – Phương trình chính tắc

( ; ) : qua M x y

d





=







( ; ) : qua M x y

d









 

Cạnh AB tam

giác

( ; ) : qua A x y

AB

u AB





=






( ; ) : qua A x y

AB








 

( ; ) : qua A x y

AM





=







( ; ) : qua A x y

AM









 

( ; ) : qua A x y

AH








 

( ; ) : qua A x y

AH

n BC





=






Đường trung

trực ∆

;

:

qua I









;

:

qua I

n BC





=







2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

) 0

; 0 ( , 0 :

) 0

; 0 ( , 0 :

2 2 2

2 2 2

1 1 1

1 1 1

≠

≠

= + +

≠

≠

= + +

b a c

y b x a d

b a c

y b x a d

và hệ







−

= +

−

= +

2 2

2

1 1 1

c y b x a

c y b x a

(*)

Cắt nhau

2 1 2

1

b

b a

a

Song song

2 1 2 1 2

1

c

c b

b a

a

≠

Cắt nhau

2 1 2 1 2

1

c

c b

b a

a

=

3 Tính góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng

0

1 a x+b y+c =

và d2 :a2x+b2y+c2 =0

2 2 2 2 2 1 2 1

2 2 1 1 2

1, cos

b a b a

b a b a d

d

+ +

+

=

Đặc biệt

d 1

d 2

d 2

d 1

d 2

d 1

d 2

C

A

∆

∆

d d’

M

9

1

:

cos ,

:

x x a t

d

d d

d

y y b t

















:

tan ,

d d





4 Khoảng cách

Khoảng cách giữa 2 điểm A(x A;y A) và B(x B;y B) 2 2

) (

) (x B x A y B y A

Khoảng cách từ một điểm

đến đường thẳng

Điểm A(x0;y0)

0 0

)

; (

b a

c by ax A

d

+

+ +

=

∆

Nhận xét:

 Để tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng ta phải đưa đường thẳng về phương trình tổng quát

- M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔(ax M +by M +c)(ax N +by N+c)> 0

- M, N nằm khác phía đối với ∆ ⇔(ax M +by M +c)(ax N +by N+c)< 0

 Cho hai đường thẳng ∆ và 1 ∆ cắt nhau với: 2 ∆1:a x1 +b y1 +c1= và 0 ∆2:a x2 +b y2 +c2 = thì pt 2 đường 0 phân giác d1và d2 của góc tạo bởi ∆ và 1 ∆ là: 2 1 1 1 2 2 2

a x b y c a x b y c

= ±

a a +b b > 1 21 2 1 2 22 2 2

a x b y c a x b y c

=

a x b y c a x b y c

= −

a a +b b < 1 21 2 1 2 22 2 2

a x b y c a x b y c

= −

a x b y c a x b y c

=

III Phương trình đường tròn

1 Phương trình chính tắc và phương trình tổng quát

 Phương trình đường tròn có I a b( ; )

R





:

C x−a + y−b =R (1)

 Phương trình: 2 2

x + y − ax− by+ = là phương trình đường tròn tâm c I a b và bán kính ( ; )

R= a +b − khi và chỉ khi c a2+b2− > c 0

2 Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

 Cho đường tròn( ) ( )2 ( )2 2

:

C x−a + y−b =R Tiếp tuyến tại điểm M x y( 0; 0) ( )∈ C :

(x0−a)(x−x0) (+ y0−b)(y−y0)= 0

 Cho đường tròn ( ) 2 2

C x +y − ax− by+ =c Tiếp tuyến tại điểm M x y( 0; 0) ( )∈ C :

x x+ y y−a x+x −b y+ y + = c

 Cho đường tròn( ) ( )2 ( )2 2

:

C x−a + y−b =R Đường thẳng ∆:ax+by+ = đi qua c 0 A x y( 0; 0) ( )∉ C

là tiếp tuyến của ( )C phải thỏa mãn hệ phương trình:

;





∆ =



3 Phương tích

Cho đường tròn ( ) 2 2

C x + y − ax− by+ = vàc M x y( 0; 0) Xét P=x02+y02−2ax0−2by0+ c

 P>0 :M nằm ngoài đường tròn

 P<0 :M nằm trong đường tròn

 P=0 :M nằm trên đường tròn

4 Sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn ( ) 2 2

C x + y − ax− by+ =c và đường thẳng d Ax: +By+C= 0

10

0

I





Ta có thể giải hệ (I) bằng phương pháp thế

 vô nghiệm: đường thẳng d không cắt đường tròn ( )C

 có 1 nghiệm (x y : đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ; ) ( )C

 có 2 nghiệm(x y : đường thẳng d cắt đường tròn ; ) ( )C tại 2 điểm phân biệt

5 Sự tương giao giữa đường tròn và đường tròn

Cho đường tròn ( )C có 1 (I R ; đường tròn 1; 1) ( )C2 có (I R Gọi 2; 2) d = I I1 2 Ta có:

 R1−R2 <d <R1+R2→ ( ) ( )C1 ; C2 cắt nhau tại 2 điểm

 d =R1+R2→( ) ( )C1 ; C2 tiếp xúc ngoài

 d = R1−R2 →( ) ( )C1 ; C2 tiếp xúc trong

 d >R1+R2→( ) ( )C1 ; C2 ngoài nhau

 d < R1−R2 →( ) ( )C1 ; C2 chứa nhau

ĐỀ 1 Bài 1: Giải bpt

x − x+ < x − x+

b/ 2x−5≤ +x 1

Bài 2: Cho phương trình:

-x2 + 2 (m+1)x + m2 – 7m +10 = 0

a/ CMR phương trình có 2 nghiệm phân biệt với

mọi m

b/ Tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu

Bài 3: cho cota = 1/3

sin a−sin cosa a−cos a

Bài 4: Trong mp Oxy cho tam giác ABC có A (2;3)

B(4;7), C(-3;6)

1/Viết phương trình đường trung tuyến BK của

tam giác ABC

2/Viết phương trình đường cao AH kẻ từ A đến

trung tuyến BK

3/Tính diện tích tam giác ABK

4/Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC

Bài 5: Giải bất phương trình: x2−4x+ ≤ +3 x 1

ĐỀ 2 Bài 1: Giải bất phương trình

+

+

2

2

a

<

−

1 2

b

x

Bài 2: cho phương trình mx2

– 2(m-2)x +m – 3 =0 a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2: x1

+ x2 + x1 x2 ≥2

Bài 3: Cho tam giác ABC

CMR sinA = sin(B+C)

Bài 4: A(4;-2), B(2;-2), C(1;1)

1/ Viết phương trình tham số của d qua A và song song BC

2/ Tính khoảng cách từ A đến BC

3/ Tính góc BAC 4/ Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 5: CMR sin20 sin 40 sin50 sin700 00 00 0 1

4 cos10 cos50 =

ĐỀ 3 Bài 1:

1 Tìm TXĐ của hàm số:

1

x y x

=

−

2 Giải bất phương trình: x2− −x 12≤ −x 1

3 Giải bất phương trình: 5 1

2

x x x

+ + ≥

−

Bài 2: Cho tam thức bậc hai: f(x) = –x2

+ (m + 2)x – 4 Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

BỘ ĐỀ ÔN THI HKII TOÁN 10 (2012 - 2013)

11

b) Tam thức f(x) < 0 với mọi x

Bài 3: Cho tam giác ABC biết AB=12cm ,

BC=16cm , CA=20cm

a).Tính cosA và tính diện tích tam giác ABC

b).Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp

tam giác ABC

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C):

x +y − x− y+ =

a) Định tâm và tính bán kính của đường tròn

(C)

b) Qua A(1;0) hãy viết phương trình tiếp tuyến

với đường tròn đã cho và tính góc tạo bởi 2

tiếp tuyến đó

Bài 5: Chứng minh rằng

2

Bài 6: Cho tam giác ABC

(đặt BC=a, AB=c, AC=b)

a) Biết b=8, c=5, A=600 Tính S, R

b) Chứng minh rằng:

tan tan

=

ĐỀ 4 Bài 1: Giải bất phương trình:

a)

2

2

≥ −

2

x

>

+

Bài 2: Cho phương trình mx2−4(m+1)x m+ + =3 0

a) Định m để phương trình có 2 nghiệm trái

dấu

b) Định m để phương trình có nghiệm này gấp

3 lần nghiệm kia

Bài 3:

a) Cho cot 1

3

a = Tính

3 sin sin cos cos

A

=

b) Rút gọn biểu thức:

sin cos sin cos

sin cos

+

+

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có

A(2;3), B(4;7), C(-3;6)

a) Viết phương trình đường trung tuyến BK

của tam giác ABC

b) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ

từ A đến trung tuyến BK

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC Tìm tâm và bán kính của đường

tròn này

Bài 5:

1) Định m để hàm số

y= m+ x − m− x+ m− xác định với mọi x

2) Giải phương trình 2(x2+3x−1 3)≤ x2+3x 3) Giải hệ phương trình

1

xy x y

 + − = −



ĐỀ 5 Bài 1: 1) Giải bất phương trình và hệ bất phương

trình sau

a (x−1)2+ <4 x2−3x+5 b

5

3

x x

x



<





 + < −



Bài 2: Cho sin 12 3 2

13 2

π

=  < < 

a Tính cosa, tana, cota

b Tính cos

3 a

π

−

Bài 3: Cho tam giác ABC có a=2 3,b=2,Cˆ =300

a Tính các cạnh, góc A và diện tích của tam giác

b Tính chiều cao ha và trung tuyến ma

Bài 4: Cho A(1, 2− ) và đường thẳng

( )d : 2x−3y+18 0=

a Tìm tọa độ hình chiếu của A xuống đường thẳng (d)

b Tìm điểm đối xứng của A qua (d)

Bài 5: a).Viết phương trình đường tròn đường kính

AB với A(−3,2 ,) (B 7,6)

b) Giải và biện luận(mx+1) x− =1 0

Bài 6: Cho đường cong

(Cm):x2+y2−mx−4y m− + =2 0

a Chứng tỏ (Cm)luôn luôn là đường tròn

b Tìm m để (Cm) có bán kính nhỏ nhất

\ĐỀ 6

Bài 1: Giải bất phương trình 2 2 1 0

3 10

x

+

<

Bài 2: 1) Tính cos13

6

π , sin5 12

π , cos11 cos5

2) Rút gọn A=cos sin3a a−sin cos3a a 3) Tính cos103 , sin5 sin15 sin75 sin850 0 0 0

12 π