Hàm tử ext trong phạm trù aben

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM T.P HỒ CHÍ MINH - NGUYỄN THỊ THANH HÀ HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ ABEN Chuyên ngành Mã số : Đại số lý thuyết số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2006 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên , xin gởi đến T.S Trần Huyên, Khoa Toán, Trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh – người tận tình hướng dẫn suốt trình hoàn thành luận văn lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt trình học tập tìm tòi tài liệu cho việc nghiên cứu Tôi xin gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô, bạn đồng nghiệp, ban lãnh đạo trường Đại học Giao Thông –Vận Tải, đặc biệt thầy Nguyễn Văn Tấn T.S Phan Dân giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Vì kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, mong bảo chân thành thầy, cô bạn -1- MỤC LỤC Trang Mục lục …………………………………………………………………………………………………………………………… 01 Mở đầu ……………………………………………………………………………………………………………………………….02 Chương : Kiến thức chuẩn bò ……………………………………………………………………………04 §1 Khái niệm phạm trù …………………………………………………………………………………………………… 04 §2 Modun đồng cấu …………………………………………………………………………………………………… 23 §3 Hàm tử Ext trongphạm trù modun ………………………………………………………………………… 27 Chương : Phạm trù Aben ……………………………………………………………………………………… 36 §1 Phạm trù cộng tính …………………………………………………………………………………………………… 36 §2 Phạm trù tiền aben …………………………………………………………………………………………………… 45 §3 Phạm trù aben ………………………………………………………………………………………………………………… 49 Chương : Hàm tử Ext phạm trù aben ……………………………………………… 66 §1 Phân lớp dãy khớp ngắn ……………………………………………………………………………………… 66 §2 Tích dãy khơp ngắn với cấu xạ ………………………………………………………………………… 68 §3 Cấu trúc nhóm Aben cho Ext(C,A) ………………………………………………………………………… 79 §4 Xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben ………………………………………………………….83 Phần kết luận ………………………………………………………………………………………………………………… 86 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………………………………………………… 88 -2- MỞ ĐẦU Trong Homology, việc tính toán cụ thể phần tử, Saunders MacLane xây dựng hàm tử Ext phạm trù modun Bây ta thay phạm trù modun phạm trù aben, phạm trù mà phương diện xem mở rộng đến cấp độ “phạm trù”ø phạm trù aben liệu ta xây dựng hàm tử Ext hay không ? Với ý tưởng này, cố gắng phân tích , đánh giá đường chứng minh MacLane góc độ phạm trù tìm cách nâng kết lên cho phạm trù aben Qua đó, xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben mục đích luận văn Bố cục luận văn chia thành chương ¾ Chương : Kiến thức chuẩn bò Trong chương giới thiệu số khái niệm lý thuyết phạm trù liên quan đến đề tài lấy phạm trù modun làm minh họa cho khái niệm nêu Đồng thời trình bày cách khái quát đường xây dựng hàm tử Ext phạm trù modun qua lấy làm sở cho việc xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben ¾ Chương : Phạm trù aben Mục đích chương nghiên cứu phạm trù aben số tính chất cần dùng cho việc xây dựng hàm tử Ext Trong chương xây dựng lại khái niệm phạm trù aben từ từ thông qua kiểu phạm trù: phạm trù cộng tính → phạm trù tiền aben → phạm trù aben, qua thấy rõ phạm trù aben mở rộng theo cấp độ “phạm trù” phạm trù modun -3- ¾ Chương : Xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben Dựa vào cách xây dựng hàm tử Ext phạm trù modun thiết lập đường hoàn toàn tương tự để xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben Đó : phân lớp dãy khớp ngắn, xây dựng tích dãy khớp ngắn cấu xạ, cấu trúc nhóm aben cho Ext(C,A) cuối xây dựng hàm tử Ext -4- CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.KHÁI NIỆM VỀ PHẠM TRÙ Phần ta nhắc lại số khái niệm phạm trù tính chất có liên quan đến đề tài 1.1.1 Khái niệm phạm trù : Một phạm trù P cấu thành lớp đối tượng mà ta gọi hình thức vật, cho cặp thứ tự vật ( A, B ) xác đònh tập hợp ứng với MorP ( A, B ) cấu xạ có nguồn A đích B , đồng thời với ba có thứ tự vật ( A, B, C ) , luật hợp thành xác đònh cho cấu xạ MorP ( A, B ) MorP ( B, C ) , cụ thể với cặp cấu xạ (α , β ) ∈ MorP ( A, B) × MorP ( B, C ) xác đònh tích β α ∈ MorP ( A, C ) Ngoài điều kiện sau cần thoả mãn: • PT1: Nếu hai cặp vật ( A, B ) ( A' , B ' ) khác hai tập hợp cấu xạ MorP ( A, B ) MorP ( A' , B ' ) rời • PT2: Đối với ba cấu xạ (α , β , γ ) ∈ MorP ( A, B ) × MorP ( B, C ) × MorP (C , D) luật hợp thành có tính chất kết hợp, tức γ ( βα ) = (γβ )α • PT3: Tồn cấu xạ đồng 1A cho vật A, cấu xạ mà với α ∈ MorP ( A, B) , β ∈ MorP (C , A) ta có α1A = α 1A β = β Ví dụ có: - Phạm trù Ens tập hợp mà vật tâïp hợp, cấu xạ ánh xạ luật hợp thành cấu xạ luật hợp thành ánh xạ - Phạm trù Gr nhóm mà vật nhóm, cấu xạ đồøng cấu -5- nhóm phép hợp thành phép lấy tích đồng cấu - Phạm trù Ab nhóm giao hoán mà vật nhóm giao hoán, cấu xạ đồng nhóm 1.1.2 Nguyên tắc đối ngẫu : Phạm trù đối (hay đối ngẫu) phạm trù A phạm trù A*,có vật A cho MorA*(A, B) = MorA(B, A) với cặp vật ( A, B) hợp thành f xét A* xác đònh g * f * = ( fg ) * ( f * cấu xạ A*) Ta kiểm tra lại dễ dàng tiên đề PT1, PT2, PT3 phạm trù Rõ ràng (A*)*= A nên với khái niệm đònh nghóa cho phạm trù có khái niệm đối ngẫu, tức khái niệm xét phạm trù đối ngẫu với Cũng thế, mêïnh đề p chứng minh phạm trù A dựa vào tiên đề phạm trù có mệnh đề đối ngẫu p* phạm trù A* Trong thực tế, để chuyển từ khái niệm hay mệnh đề qua đối ngẫu đảo ngược tất mũi tên liên quan tới khái niệm hay mệnh đề 1.1.3 Đẳng xạ : Cấu xạ θ : A → B gọi đẳng xạ tồn cấu xạ ε : B → A cho εθ = 1A θε = 1B Dễ thấy cấu xạ ε đònh nghóa đẳng xạ Ta gọi cấu xạ ngược cấu xạ θ viết ε = θ −1 Hai vật A, B phạm trù P gọi hai vật tương đương có θ đẳng xạ θ : A → B Khi ta kí hiệu θ : A ≅ B hay A ≅ B -6- 1.1.4 Đơn xạ : Cấu xạ f : A → B gọi đơn xạ với cặp cấu xạ α , β có đích A, đẳng thức fα = fβ kéo theo α = β Mệnh đề 1.1.4 i) Nếu f , g đơn xạ gf (nếu xác đònh) đơn xạ ii) Nếu gf đơn xạ f đơn xạ Chứng minh : i) Giả sử f , g đơn xạ Gọi α , β cặp cấu xạ thoả ( gf )α = ( gf ) β Do tính chất đơn xạ f g ta tức khắc suy α = β Vậy gf đơn xạ ii) Giả sử gf đơn xạ Gọi α , β cặp cấu xạ thoả fα = fβ Khi ta có ( gf )α = ( gf ) β , mà gf đơn xạ nên α = β Vậy f đơn xạ ª Ta có đối ngẫu với khái niệm đơn xạ khái niệm toàn xạ : 1.1.4* Toàn xạ : Một cấu xạ f : A → B gọi toàn xạ với cặp α , β có nguồn B , đẳng thức αf = βf kéo theo α = β Mệnh đề 1.1.4* i) Nếu f , g toàn xạ gf (nếu xác đònh) toàn xạ ii) Nếu gf toàn xạ g toàn xạ Chứng mònh : Bằng phép lấy đối ngẫu việc chứng minh mệnh đề 1.1.4, ta dễ dàng -7- kiểm tra tính đắn mệnh đề 1.1.4* ª 1.1.5 Song xạ : Một cấu xạï gọi song xạ vừa đơn xạ vừa toàn xạ Mệnh đề 1.1.5 Một đẳng xạ song xạ Chứng minh : Giả sử f : A → B đẳng xạ Khi tồn cấu xạ f ff −1 = 1B , f −1 −1 : B → A thoả f = 1A Gọi α , β1 cặp cấu xạ thoả fα = fβ Suy f −1 ( fα ) = f −1 ( fβ ) hay α = β1 Điều chứng tỏ f đơn xạ Gọi α , β cặp cấu xạ thoả α f = β f Suy (α f ) f −1 = (β f ) f −1 hay α = β Điều chứng tỏ tính chất toàn xạ f Vậy f song xạ ª 1.1.6 Vật : Vật A' gọi vật A tồn cấu xạ f : A' → A đơn xạ Khi f gọi cấu xạ nhúng A' vào A Nói chung có nhiều đơn xạ từ A' đến A nên nói A' vật A ta cần rõ theo cấu xạ nhúng Và để kí hiệu vật A' A theo cấu xạ nhúng f : A' → A ta sử dụng cặp ( A' , f ) Ta kí hiệu P(A) lớp tất vật A phạm trù P Trong lớp P(A) đưa vào quan hệ thứ tự tự nhiên sau: Vật ( A'1 , i1 ) xem đứng trước (hay nhỏ hơn) vật ( A' , i2 ) -8- A tồn cấu xạ λ : A'1 → A' cho i1 = i2 λ λ ⎯→ A' ⎯⎯→ A) ( i1 : A'1 ⎯ i Khi đó, ta viết A'1 ≤ A' i1 ≤ i2 Đôi ta viết A'1 ⊂ A' hay A' ⊃ A'1 Ta ý rằng, i1 , i2 đơn xạ nên cấu xạ λ đơn xạ 1.1.6* Vật thương : Vật A" gọi vật thương A tồn cấu xạ g : A → A" toàn xạ Khi g gọi cấu xạ chiếu A lên A" Cũng xảy tình hình tương tự vật con, vật A" đồng thời coi vật thương khác tuỳ theo cách chọn cấu xạ chiếu khác Vì để xác vật thương A" A theo cấu xạ chiếu g ta dùng cặp ( A", g ) để kí hiệu vật thương A" theo cấu xạ chiếu g : A → A" Ta kí hiệu Q(A) lớp tất vật thương A Tương tự P(A), ta đưa vào lớp Q(A) quan hệ thứ tự sau: Vật thương ( A"1 , j1 ) xem trước (hay nhỏ hơn) vật thương ( A"2 , j ) tồn cấu xạ σ : A"2 → A"1 mà j1 = σj σ ( j1 : A ⎯⎯→ A"2 ⎯ ⎯→ A"1 ) j 1.1.7 Vật phổ dụng : - Vật A gọi vật đầu phạm trù P tập Mor ( A, X ) có phần tử với vật X thuộc P - Vật B gọi vật cuối phạm trù P tập Mor ( X , B) có phần tử với vật X thuộc P - Các vật đầu, vật cuối gọi chung vật phổ dụng phạm trù P - 74 - Mệnh đề 3.2.6 Cấu xạ T = (α , β ,1) có tính chất phổ dụng Tức cấu xạ T1 = (α , β1 , γ ) : E → E1 (với α = α ) phân tích cách qua T (1, β ', γ ) α , β ,1) ⎯→αE ⎯⎯ ⎯⎯ →E dạng : E ⎯(⎯ Chứng minh : Giả sử E1 = ( χ , σ ) , E = ( χ , σ ) Ta có biểu đồ giao hoán sau : χ σ E : O → A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ C →O ↓ T1 ↓α (I ) ↓β ↓ γ1 χ σ 1 E1 : O → A1 ⎯⎯→ B1 ⎯⎯→ C1 → O Theo mệnh đề 3.2.4, E ' = αE cho ta biểu đồ sau giao hoán: χ σ E : O → A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ C →O ↓α ( II ) ↓β χ' ↓1 C σ' αE = E ': O → A1 ⎯⎯→ B' ⎯⎯→ C → O với hình vuông (II) buông Do hình vuông (I) giao hoán nên tồn ⎧β = β ' β (1) Khi ta có biểu đồ sau giao hoán : ⎩ χ = β ' χ ' ( 2) cấu xạ β ': B' → B1 thoả ⎨ χ σ E : O → A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ C →O ↓α ↓β χ' ↓ 1C σ' αE : O → A1 ⎯⎯→ B' ⎯⎯→ C → O ↓ A ( III ) ↓ β ' ( IV ) ↓ γ χ1 σ1 E1 : O → A1 ⎯⎯→ B1 ⎯⎯→ C1 → O Thật : Từ (2) ta có hình vuông (III) giao hoán Mặt khác σ β ' χ ' = σ χ1 = , mà σ ' = Co ker χ ' nên tồn cấu xạ u : C → C1 thoả σ β ' = uσ ' Khi σ β ' β = uσ ' β ⇒ σ β1 = uσ ⇒ γ 1σ = uσ - 75 - ⇒ u = γ ( σ toàn xạ ) Do σ β ' = γ 1σ ' Điều chứng tỏ hình vuông (IV) giao hoán T =(1, β ',γ ) α , β ,1) Vậy ta có phân tích T1 = (α , β1 , γ ) : E ⎯(⎯ ⎯→ αE ⎯⎯ ⎯⎯ → E1 với α = α1 ª Mệnh đề 3.2.7 Với cặp cấu xạ α : A → A' γ : C ' → C dãy khớp ngắn E ∈ £ (C , A) , ta có (αE )γ ≡ α ( Eγ ) Chứng minh: Từ đònh nghóa tích bên trái tích bên phải dãy khớp ngắn với cấu xạ, ta có cấu xạ T1 = (1 A , β1 , γ ) : Eγ → E cấu xạ T2 = (α , β ,1C ) : E → αE Gọi T = T2 T1 = (α , β β1 , γ ) : Eγ → αE Theo mệnh đề 3.2.3, cấu xạ T phân tích dạng : (1 , β , γ ) (α , β ',1 ) C' A'⎯⎯→ αE Eγ ⎯⎯ ⎯⎯ →(αE )γ ⎯⎯ Tuy nhiên (α , β ' ,1C ' ) lại cấu xạ dùng để xây dựng dãy khớp ngắn α ( Eγ ) từ Eγ Vì ta có (αE )γ ≡ α ( Eγ ) ª Mệnh đề 3.2.8 Cho E ∈ £ (C , A) E '∈ £ (C ' , A' ) Khi cấu xạ T = (α , β , γ ) : E → E ' cho ta toàn đẳng αE ≡ E ' γ Chứng minh : Cấu xạ T : E → E ' cho ta biểu đồ giao hoán sau : χ σ E : O → A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ C →O T↓ ↓α ↓β χ' ↓γ σ' E ': O → A' ⎯⎯→ B ' ⎯⎯→ C ' → O - 76 - Theo mệnh đề 3.2.6, cấu xạ T phân tích dạng : T = (α , β , ) T = (1 , β , γ ) o C A' E ⎯⎯ ⎯⎯ ⎯→ αE ⎯⎯ ⎯ ⎯⎯→ E ' Tuy nhiên cấu xạ T1 = (1 A' , β , γ ) lại cấu xạ xác đònh E ' γ từ E ' Do αE ≡ E ' γ ª Mệnh đề 3.2.9 Nếu E1 ∈ £ (C1 , A1 ) , E ∈ £ (C , A2 ) α : A1 → A'1 , α : A2 → A' : (α ⊕ α )( E1 ⊕ E ) ≡ α E1 ⊕ α E Chứng minh : Ta xây dựng α E1 α E từ E1 E sau : χ σ χ 1 E1 : O → A1 ⎯⎯→ B1 ⎯⎯→ C1 → O ↓ α1 ↓ β1 χ1 ' , ↓ 1C σ 2 E : O → A2 ⎯⎯→ B2 ⎯⎯→ C2 → O σ1 ' α E : O → A1 ' ⎯⎯→ B1 ' ⎯⎯→ C1 → O ↓ α2 ↓ β2 ↓ 1C χ2 ' σ2' α E : O → A2 ' ⎯⎯→ B2 ' ⎯⎯→ C → O Để kiểm tra đắn mệnh đề ta cần chứng minh biểu đồ sau giao hoán: χ ⊕χ σ ⊕σ ⎯ → B ⊕ B ⎯⎯ ⎯ 2→ C ⊕ C → O E1 ⊕ E : O → A1 ⊕ A2 ⎯⎯ ⎯ ⎯ 2 ↓ α1 ⊕ α ↓ β1 ⊕ β χ1 '⊕ χ ' ↓ C ⊕C σ1 '⊕σ ' α E ⊕ α E : O → A1 '⊕ A2 ' ⎯⎯ ⎯ ⎯→ B1 '⊕ B2 ' ⎯⎯ ⎯ ⎯→ C1 ⊕ C → O Ta có : ( χ '⊕ χ ' )(α ⊕ α ) = ( χ 'α ⊕ χ 'α ) = ( β1 χ ⊕ β χ ) = ( β ⊕ β )( χ ⊕ χ ) (σ '⊕σ ' )( β ⊕ β ) = (σ ' β1 ⊕ σ ' β ) = σ ⊕ σ Vậy (α ⊕ α )( E1 ⊕ E ) = α E1 ⊕ α E ª Mệnh đề 3.2.10 Nếu E1 ∈ £ (C1 , A1 ) , E ∈ £ (C , A2 ) γ : C '1 → C1 , γ : C ' → C : ( E1 ⊕ E )(γ ⊕ γ ) ≡ E1γ ⊕ E γ - 77 - Chứng minh : Chứng minh hoàn toàn tương tự với mệnh đề 3.2.9 Mêïnh đề 3.2.11 Cho E ∈ £ (C , A) Khi đó: i) Δ A E ≡ ( E ⊕ E )Δ C ii) E∇ C ≡ ∇ A ( E ⊕ E ) Chứng minh : i) Theo hệ 2.1.2.4 , ta có ba (Δ A , Δ B , Δ C ) làm biểu đồ sau giao hoán : χ ⎯ ⎯→ E :O → A ↓ ΔA B σ ⎯ ⎯→ ↓ ΔB χ ⊕χ C →O ↓ ΔC σ ⊕σ E ⊕ E : O → A ⊕ A ⎯⎯ ⎯→ B ⊕ B ⎯⎯ ⎯→ C ⊕ C → O Do dó theo mệnh đề 3.2.8, ta có Δ A E ≡ ( E ⊕ E )Δ C ii) Theo hệ 2.1.2.4, ta có ba (∇ A , ∇ B , ∇ C ) làm giao hoán biểu đồ sau : ⊕χ ⊕σ E ⊕ E : O → A ⊕ A ⎯χ⎯ ⎯→ B ⊕ B ⎯σ⎯ ⎯→ C ⊕ C → O ↓ ∇A E :O → A ↓ ∇B χ ⎯ ⎯→ B ↓ ∇C σ ⎯ ⎯→ C →O Theo mệnh đề 3.2.8, ta có E∇ C = ∇ A ( E ⊕ E ) ª Đònh nghóa 3.2.12 χ σ Ta nói dãy khớp ngắn O → A ⎯⎯→ B⎯ ⎯→ C → O tự phân rã toàn đẳng với dãy khớp ngắn :O → A⎯ ⎯→ A ⊕ C ⎯⎯→ C →O i p Mệnh đề 3.2.13 Với dãy khớp ngắn E = ( χ , σ ) , tích χE Eσ tự phân rã Chứng minh : - 78 - χ σ Giả sử E = ( χ , σ ) : O → A ⎯⎯→ B⎯ ⎯→ C →O • Chứng minh χE tự phân rã : Do tính phổ dụng cặp phép chiếu ( p1 , p ) xác đònh tích trực tiếp B ⊕ C cặp cấu xạ (1B , σ ) nên tồn cấu xạ β : B → B ⊕ C thoả ⎧σ = p β ⎨ ⎩1B = p1 β (1) ( 2) Ta xét biểu đồ sau : χ σ E : O → A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ C →O ↓χ (I ) ↓β ↓1 ( II ) i C ( (i1 , i2 ) cặp cấu xạ nhúng ) p E ': O → B ⎯ ⎯→ B ⊕ C ⎯⎯→ C Từ (1) ta có hình vuông (II) giao hoán Từ (2) ta có i11B χ = i1 p1 βχ Mặt khác i2 p βχ = i2σχ = nên βχ = (i1 p1 + i2 p ) βχ = (i1 p1 βχ + i2 p βχ ) = i1 p1 βχ = i1 χ Do hình vuông (I) giao hoán Như ta chứng minh biểu đồ giao hoán Điều chứng tỏ E ' = χE mà E ' phân rã nên χE phân rã • Chứng minh Eσ phân rã : Do tính phổ dụng cặp phép nhúng ( j1 , j ) xác đònh tổng trực tiếp A ⊕ B cặp cấu xạ ( χ ,1B ) nên tồn cấu xạ α : A ⊕ B → B thoả ⎧ χ = α j1 ⎨ ⎩1B = α j (3) (4) Ta xét biểu đồ sau : j π E": O → A ⎯⎯→ A ⊕ B ⎯⎯→ B→O ↓1 A ( III ) ↓α ( IV ) ↓σ χ σ E : O → A ⎯⎯→ B ⎯⎯→ C →O Từ (3) ta có hình vuông (III) giao hoán ( (π , π ) cặp cấu xạ chiếu ) - 79 - Từ (4) suy σ 1B π = σαj 2π Ngoài σαj1π = σχπ = nên σα = σα ( j1π + j2π ) = σαj1π + σαj2π = σαj2π = σπ Do σπ = σα hay hình vuông (IV) giao hoán Như ta chứng minh biểu đồ giao hoán Điều chứng tỏ E" = Eσ mà E" phân rã nên Eσ phân rã ª §3.CẤU TRÚC NHÓM ABEL CHO EXT(C,A) Đònh nghóa 3.3.1 (phép cộng Berơ) Cho E1 , E ∈ £ (C , A) Tổng E1 E , kí hiệu E1 + E , dãy khớp ngắn cho công thức : E1 + E = ∇ A ( E1 ⊕ E )Δ C Mệnh đề 3.3.2 Cho dãy khớp ngắn E1 , E , E1 ' , E '∈ £ (C , A) với E1 ≡ E , E '1 ≡ E ' Khi E1 + E ≡ E '1 + E ' Chứng minh : Để chứng minh mệnh đề ta cần dùng đến bổ đề sau : Bổ đề 3.3.3 Nếu E1 ≡ E , E '1 ≡ E ' E1 ⊕ E ≡ E '1 ⊕ E ' Chứng minh bổ đề 3.3.3: Giả sử E1 ≡ E , E '1 ≡ E ' nhờ biểu đồ sau giao hoán : χ σ χ 1 E1 : O → A ⎯⎯→ B1 ⎯⎯→ C →O ↓ 1A ↓β χ ' ↓ 1C σ ' 1 E1 ': O → A ⎯⎯→ B1 ' ⎯⎯→ C →O σ 2 E : O → A ⎯⎯→ B1 ⎯⎯→ C →O , ↓ 1A ↓β χ ' ↓ 1C σ ' 2 E ': O → A ⎯⎯→ B1 ' ⎯⎯→ C →O Ta cần chứng minh biểu đồ sau giao hoán : - 80 - χ ⊕χ σ ⊕σ ⎯ → B ⊕ B ⎯⎯ ⎯ 2→C ⊕ C → O E1 ⊕ E : O → A ⊕ A ⎯⎯ ⎯ ⎯ ↓ A⊕ A ↓β ⊕β χ '⊕ χ ' ↓ 1C ⊕C σ '⊕σ ' ⎯ → B '⊕ B ' ⎯⎯ ⎯ →C ⊕ C → O E1 '⊕ E ': O → A ⊕ A ⎯⎯ ⎯ ⎯ Ta có : ( β1 ⊕ β )( χ ⊕ χ ) = ( β1 χ ⊕ β χ ) = ( χ '⊕ χ ' ) (σ '⊕σ ' )( β ⊕ β ) = (σ ' β ⊕1 σ ' β ) = σ ⊕ σ Vậy biểu đồ giao hoán Điều chứng tỏ E1 ⊕ E ≡ E '1 ⊕ E ' ª Ta quay trở lại việc chứng minh mệnh đề 3.3.2 : Theo bổ đề ta có E1 ⊕ E ≡ E '1 ⊕ E ' Kết hợp với bảo đảm tính toàn đẳng nhân dãy khớp ngắn với cấu xạ suy E1 + E ≡ E '1 + E ' ª Như phép cộng đưa đảm bảo mối quan hệ toàn đẳng Nhờ ta xây dựng phép cộng cho Ext (C , A) sau : Đònh nghóa 3.3.4 Cho E1 , E ∈ Ext (C , A) Lớp chứa mở rộng E1 + E gọi tổng E1 E hay E1 + E = E1 + E Mệnh đề 3.3.2 cho ta đònh nghóa tốt hay nói cách khác tổng E1 + E không phụ thuộc vào mở rộng đại diện E1 + E Trong trường hợp không sợ nhầm lẫn, ta viết E1 + E thay cho E1 + E Mệnh đề 3.3.5 Cho E1 , E ∈ Ext (C , A) , α : A → A' , γ : C ' → C Khi đó: α ( E1 + E ) = αE1 + αE ( E1 + E )γ = E1γ + E γ Chứng minh : α ( E1 + E ) = α∇ A ( E1 ⊕ E )Δ C = ∇ A' (α ⊕ α )( E1 ⊕ E )Δ C = ∇ A' (αE1 ⊕ αE )Δ C = αE1 + αE ( E1 + E )γ = ∇ A ( E1 E )Δ C γ = ∇ A ( E1 ⊕ E )(γ ⊕ γ )Δ C ' = ∇ A ( E1γ ⊕ E γ )Δ C ' = E1γ + E γ - 81 - Đònh lý 3.3.6 Tập Ext (C , A) với phép cộng đònh nghóa lập thành nhóm giao hoán Chứng minh : Ta chứng minh Ext (C , A) với phép cộng thỏa mãn tiên đề nhóm giao hoán : • Phần tử trung hoà phép cộng : lớp toàn đẳng với dãy khớp ngắn A ⊕ C ⎯⎯→ C → O tự phân rã E0 : O → A ⎯⎯→ i p Thật : Lấy E ∈ Ext (C , A) Xét biểu đồ sau: χ σ E: O→ A ⎯ ⎯→ B ⎯ ⎯→ C →O ↓0 ↓v ↓ 1C với v = i 2σ i1 p2 Eo : O → A ⎯ ⎯→ A ⊕ C ⎯⎯→ C →O Ta có : ⎧ p v = p i 2σ = σ Vậy biểu đồ sau giao hoán ⎨ ⎩vχ = i2σχ = Theo mệnh đề 3.2.8, suy ra: A E = Eo 1C = E o Do E + E o = E + A E = 1A E + A E = (1A + A ) E = 1A E = E Vậy Eo phần tử trung lập Ext (C , A) • Phần tử đối E ∈ Ext (C , A) : lớp toàn đẳng với (−1 A ) E Thật : E + (−1 A E ) ≡ A E + (−1 A ) E ≡ [1 A + (−1 A )]E ≡ A E ≡ E o • Tính kết hợp : Lấy E1 , E , E3 ∈ Ext (C , A) - 82 - Theo mệnh đề 2.1.3, ta có : ( A ⊕ A) ⊕ A ≅ A ⊕ ( A ⊕ A) ≅ A ⊕ A ⊕ A Do theo mệnh đề 2.3.8 tức khắc ta suy ( E1 ⊕ E ) ⊕ E3 ≡ E1 ⊕ ( E ⊕ E3 ) Khi : ( E1 + E ) + E3 = ∇ A ( E1 ⊕ E )∇ C + E3 = ∇ A [∇ A ( E1 ⊕ E )∇ C ⊕ E3 ]∇ C = ∇ A [∇ A ( E1 ⊕ E )∇ C ⊕ (1 A.E3 1C )]∇ C = ∇ A {(∇ A ⊕ 1A )[( E1 ⊕ E ) ⊕ E3 ](∇ C ⊕ 1C )}∇ C = ∇ A {(1A ⊕ ∇ A )[E1 ⊕ ( E ⊕ E3 )](1C ⊕ ∇ C )}∇ C = ∇ A {E1 ⊕ [∇ A ( E ⊕ E3 )∇ C ]}∇ C = ∇ A [E1 ⊕ ( E + E3 )]∇ C = E1 + ( E + E3 ) Vậy phép cộng có tính kết hợp • Tính giao hoán : Lấy χ σ χ σ 2 1 E1 = O → A ⎯⎯→ B1 ⎯⎯→ C → O , E = O → A ⎯⎯→ B1 ⎯⎯→ C →O Ta biết rằng, phạm trù nói chung tổng trực tiếp hai vật B1 , B2 xác đònh không kể đến thứ tự B1 , B2 Nói cách khác hai vật B1 ⊕ B2 B2 ⊕ B1 ta xem một, có đồng cấu xạ χ ⊕ χ cấu xạ χ ⊕ χ , cấu xạ σ ⊕ σ σ ⊕ σ Điều chứng tỏ E1 ⊕ E = E ⊕ E1 Vì theo đònh nghóa phép cộng Ext (C , A) ta có E1 + E = E + E1 hay phép cộng có tính giao hoán Vậy Ext (C , A) với phép cộng đònh nghóa nhóm giao hoán ª Mệnh đề 1.3.26 Cho đồng cấu α : A → A' , γ : C ' → C Khi quy tắc : - 83 - α * : Ext (C , A) → Ext (C , A' ) , E a αE γ * : Ext (C , A) → Ext (C ' , A) E a Eγ đồng cấu nhóm Chứng minh : Ta có : α * ( E1 + E ) = α ( E1 + E ) = αE1 + αE = α * ( E1 ) + α * ( E ) (mệnh đề 3.3.4) γ * ( E1 + E ) = ( E1 + E )γ = E1γ + E γ = γ * ( E1 ) + γ * ( E ) (mệnh đề 3.3.4)ª Đến ta nâng số kết phạm trù modun lên cho phạm trù aben Ta kết thúc luận văn việc xây dựng hàm tử biến Ext (C ; −) Ext (− ; A) phạm trù aben §4 XÂY DỰNG HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ ABEN Đònh nghóa 3.4.1 Cho C vật cố đònh phạm trù aben, hàm tử Ext (C ; −) hàm tử từ phạm trù aben đến phạm trù nhóm giao hoán xây dựng cách cho tương ứng: • Mỗi vật A với nhóm Ext (C , A) • Mỗi cấu xạ α : A → A' với cấu xạ α * : Ext (C , A) → Ext (C , A' ) Mệnh đề 3.4.2 Hàm tử Ext(C;-) hàm tử hiệp biến , tức thoả mãn hai tính chất : • (1A )* = 1Ext (C , A) • (α α )* = (α )* (α )* - 84 - Chứng minh : • HT1: ∀E ∈ Ext (C , A) , ta có : A* ( E ) = A.E = E Suy : (1A )* = 1Ext ( C , A) • HT2: α α A1 ⎯⎯→ A2 Ta có : Cho cấu xạ A ⎯⎯→ ∀E ∈ Ext (C , A) , (α α ) * ( E ) = (α α ) E = α (α E ) = α 2* (α E ) = α 2*α 1* ( E ) Suy : (α α )* = (α )* (α )* ª Đònh nghóa 3.4.3 Cho A vật cố đònh phạm trù aben, hàm tử Ext (− ; A) hàm tử từ phạm trù aben đến phạm trù nhóm giao hoán đựơc xây dựng cách cho tương ứng: ƒ Mỗi vật C với nhóm Ext (C , A) ƒ Mỗi cấu xạ γ : C ' → C với cấu xạ γ * : Ext (C , A) → Ext (C ' , A) Mệnh đề 3.4.4 Hàm tử Ext(-, A) hàm tử phản biến, tức thoả mãn hai tính chất : • HT1: (1C )* = 1Ext (C , A) • HT2: (γ γ )* = γ 1* γ * Chứng minh : • HT1: ∀E ∈ Ext (C , A) , ta có : 1C ( E ) = E.1C = E * - 85 - Suy : 1C * = 1Ext (C , A) • HT2: γ γ Cho cấu xạ : C ⎯⎯→ C1 ⎯⎯→ C Ta có : ∀E ∈ Ext (C , A) , (γ γ ) * ( E ) = E (γ γ ) = ( Eγ )γ = γ ( Eγ ) = γ γ ( E ) * Suy : (γ γ )* = γ 1* γ * ª * * - 86 - KẾT LUẬN Sau nghiên cứu phạm trù aben cho việc xây dựng hàm tử Ext, thu số kết sau : Phạm trù aben phạm trù có ảnh đối ảnh xác đinh công thức: Im f = Ker (Co ker f ), Coim f = Co ker( Ker f ) Do mà phạm trù aben có tồn dãy khớp Phạm trù aben phạm trù có níu buông Níu buông phạm trù aben có số tính chất quan trọng dùng cho việc xây dựng tích dãy khớp ngắn với cấu xạ, nhờ xây dựng phép cộng Berơ phạm trù aben Đó : Mệnh đề 2.3.13 Trong phạm trù aben, cho biểu đồ bên giao hoán: p2 A2 P v p1 K f2 A1 B f1 u Nếu hình vuông níu, u = Ker f v : K → P cấu xạ vào níu cảm sinh cặp (u ,0 KA ) v = Ker p Mệnh đề 2.3.13* Trong phạm trù aben, cho biểu đồ giao hoán : u A1 B f1 f2 q1 Q q2 K A2v - 87 - Nếu hình vuông buông, u = Co ker f v : Q → K cấu xạ cảm sinh cặp (u ,0 A 2K ) v = Co ker q Mệnh đề 2.3.14 p P ⎯⎯→ A2 Trong phạm trù aben , cho biểu đồ níu ↓ ↓ p1 f2 Khi f1 f A1 ⎯⎯→ A toàn xạ p toàn xạ Mệnh đề 2.3.14* f B ⎯⎯→ A1 Trong phạm trù aben, cho biểu đồ buông ↓ ↓ q1 Khi f2 q A2 ⎯⎯→ Q f1 đơn xạ q đơn xạ Tập Ext(C,A) gồm lớp toàn đẳng dãy khớp ngắn có dạng O → A → • → C → O phạm trù aben với phép cộng Berơ hình thành nên nhóm giao hoán Với A C vật cố đònh phạm trù aben hàm tử Ext(C;-) hàm tử hiệp biến hàm tử Ext(-;A) hàm tử phản biến từ phạm trù aben vào phạm trù nhóm giao hoán - 88 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bary Mitchell (1981), Lý thuyết phạm tru ø, Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp, Hà nội Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2002), Đại số đồng điều, Nhà xuất Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Mỵ Vinh Quang (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh Saunder MacLane (1975), Homology Cartan, H., Eilenberg (1956), Homological Algebra, Princeton [...]... của A nhờ C ta sẽ ký hiệu là £(C,A) Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm tử Ext qua 3 giai đoạn chính : phân lớp tập £(C,A) thành Ext (C , A) → trang bò cho Ext (C , A) phép toán hai ngôi để Ext (C , A) trở thành nhóm Aben (nhóm giao hoán) → xây dựng hàm tử Ext Đầu tiên ta thực hiện sự phân lớp tập £(C,A) Đònh nghóa 1.3.1 χ σ ⎯→ B⎯ ⎯→ C → O và Trong tập £ (C , A) cho hai mở rộng : E : O → A ⎯ χ' σ' E ': O →... hàm tử Ext trong phạm trù modun với việc áp dụng các kết quả vừa được trình bày ở trên, mà thông qua đó lấy làm cơ sở để xây dựng hàm tử Ext trong phạm trù aben (khái niệm này được giới thiệu ở chương 2) – mục đích chính của cuốn luận văn này - 27 - §3 HÀM TỬ EXT TRONG PHẠM TRÙ MODUN Giả sử A và C là các modun trái trên vành R Ta gọi một mở rộng của A nhờ C là dãy khớp ngắn các R-modun trái và các... = f o p , trong đó p : A → A Ker f là phép chiếu chính tắc Đònh lý 1.2.7 ( bổ đề 5 ngắn ) Cho biểu đồ giao hoán sau, trong đó các dòng là khớp O→ A → B → C →O ↓α ↓β ↓γ O → A' → B' → C ' → O Khi đó nếu hai đồng cấu α , γ có cùng một trong các tính chất sau : hoặc đơn cấu hoặc toàn cấu, hoặc đẳng cấu thì β cũng có tính chất đó Tiếp theo, ta sẽ khái quát con đường hình thành nên hàm tử Ext trong phạm... các mở rộng tự phân rã 1 2 E0 : O → A ⎯ ⎯→ A ⊕ C ⎯⎯→ C → O , phần tử đối của E ∈ Ext (C , A) là lớp mở i p rộng (−1 A ) E Và từ mệnh đề 1.3.18 ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.3.19 Cho các đồng cấu α : A → A' , γ : C ' → C Khi đó các quy tắc : α * : Ext (C , A) → Ext (C , A' ) , E a αE là các đồng cấu nhóm γ * : Ext (C , A) → Ext (C ' , A) E a Eγ ... và đối hạt nhân của một cấu xạ Để xây dựng khái f niệm hạt nhân của cấu xạ A ⎯ ⎯→ B trong phạm trù có vật không C, trước hết ta xây dựng phạm trù Cf như sau: - u A trong C thoã mãn điều kiện fu = 0 Vật là cấu xạ H ⎯⎯→ - β u v Cấu xạ từ vật H ⎯⎯→ A tới H ' ⎯ ⎯→ A là cấu xạ H ⎯⎯→ H ' trong C sao cho vβ = u Vật cuối trong phạm trù Cf , nếu có, được gọi là hạt nhân của cấu xạ f f A ⎯⎯→ B Cụ thể ta có... Đònh nghóa 1.3.17 (phép cộng Berơ) Cho E1 , E 2 ∈ Ext (C , A) Tổng của E1 và E 2 , kí hiệu E1 + E 2 được cho bởi công thức : E1 + E 2 = ∇ A ( E1 ⊕ E 2 )Δ C Mệnh đề 1.3.18 E1 , E 2 ∈ Ext (C , A) , α : A → A' , γ : C ' → C Khi đó: i ) α ( E1 + E 2 ) = αE1 + αE 2 ii ) ( E1 + E 2 )γ = E1γ + E 2γ Theo cách trang bò phép cộng cho Ext (C , A) như trên thì Ext (C , A) trở thành một nhóm giao hoán với phần... của P’, và với mỗi cấu xạ α : A → B trong P một cấu xạ T (α ) : T ( A) → T (B) trong P’sao cho: • HT1: F (1A ) = 1F ( A ) với mỗi vật A thuộc P • HT2: F (βα ) = F (β )F (α ) với mỗi cặp cấu xạ (α , β ) ∈ MorP ( A, B ) × MorP (B, C ) thuộc P Khái niệm hàm tử phản biến cũng được đònh nghóa tương tự, chỉ khác là với mỗi cấu xạ α : A → B T (α ) : T ( B) → T ( A) trong trong P thì tương ứng một cấu xạ P’... không, ta dễ dàng kiểm tra được các kết quả sau : Mệnh đề 1.1.8.1 Trong phạm trù có vật không, cấu xạ O → A bao giờ cũng là đơn xạ và cấu xạ A → O bao giờ cũng là toàn xạ - 10 - Mệnh đề 1.1.8.2 Nếu một trong hai cấu xạ là cấu xạ không thì hợp thành của chúng, nếu có, cũng là cấu xạ không Các khái niệm dẫn xuất đầu tiên của khái niệm vật không trong một phạm trù là khái niệm hạt nhân và đối hạt nhân của... và A' là hai vật đương đương Tính tương đương của các vật cuối trong phạm trù P cũng được chứng minh hoàn toàn tương tự ª 1.1.8 Vật không, cấu xạ không : - Một vật được gọi là vật không của phạm trù P nếu nó vừa là vật đầu, vừa là vật cuối trong phạm trù P và được kí hiệu là O - Một cấu xạ có thể phân tích qua vật không gọi là cấu xạ không Trong phạm trù có vật không, với mỗi cặp vật ( A, B) có một cấu... A ⎯⎯→ B như sau: 1.1.9 Hạt nhân f Hạt nhân của cấu xạ A ⎯⎯→ B là cặp ( K , i ) , trong đó i : K → A sao cho: i) fi = 0 u A mà fu = 0 thì tồn tại duy nhất cấu xạ ii) Với mỗi cấu xạ H ⎯⎯→ β H ⎯⎯→ K sao cho u = iβ Hạt nhân của cấu xạ f được kí hiệu là Kerf Từ đònh nghóa về hạt nhân và tính duy nhất của vật phổ dụng trong một phạm trù, tức khắc suy ra rằng, các hạt nhân của cùng cấu xạ f , nếu có, ... Ext phạm trù modun qua lấy làm sở cho việc xây dựng hàm tử Ext phạm trù aben ¾ Chương : Phạm trù aben Mục đích chương nghiên cứu phạm trù aben số tính chất cần dùng cho việc xây dựng hàm tử Ext. .. dựng hàm tử Ext qua giai đoạn : phân lớp tập £(C,A) thành Ext (C , A) → trang bò cho Ext (C , A) phép toán hai để Ext (C , A) trở thành nhóm Aben (nhóm giao hoán) → xây dựng hàm tử Ext Đầu tiên... tắc : α * : Ext (C , A) → Ext (C , A' ) , E a αE đồng cấu nhóm γ * : Ext (C , A) → Ext (C ' , A) E a Eγ - 35 - Đến ta hoàn toàn có đủ công cụ để xây dựng hàm tử biến Ext (− ; A) Ext (C ; −) phạm