SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có 01 trang) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x − x − = x + y = −4 2 x − y = b) Giải hệ phương trình : c) Cho phương trình: x − x + m − = Tìm m để phưong trình có nghiệm 2 phân biệt thoả mãn điều kiện: x1 + x2 = Câu (2,5 điểm) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 32 m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi, chiều dài lên gấp ba chu vi mảnh vườn 82 m Tính cạnh mảnh vườn ban đầu Câu (3,5 điểm) Cho điểm M nằm đường tròn tâm O Vẽ tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O (C nằm M D), OM cắt AB đường tròn tâm O H I Chứng minh a) Tứ giác MAOB nội tiếp b) Hai tam giác MAC MDA đồng dạng c) OH.OM + MC.MD = MO2 Câu (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c, d cho: a + b + c + d = Chứng minh rằng: a + b + c + d ≥ Dấu đẳng thức xảy nào? Hết Hướng dẫn chấm, biểu điểm MÔN THI: TOÁN CHUNG Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 − 2x − = 1,0 Ta có ∆ ' = (−1)2 − 1.(−4) = ⇒ ∆ ' = Phương trình có nghiệm: x1 =1 − 5; x2 = + 0,5 0,5 x + y = −4 (1) b) Giải hệ phương trình: (2) 2 x − y = 1,0 x + y = −4 x + y = −4 ⇔ ⇔ ⇒x=2 4 x − y = 14 5 x = 10 x = Thay x = vào (1): + 2y = -4 ⇔ y = -3 Tập nghiệm: y = −3 Hệ phương trình cho có nghiệm nhất: (x; y) = (2; - 3) c) Cho phương trình: x − x + m − = Tim m để phương trình có nghiệm phân biệt thoả mãn điều kiện: x12 + x22 = Để phương trình có nghiệm phân biệt ta cần có: ∆ ' > ⇔ − (m − 1) = − m + > ⇔ m < (1) x12 + x22 = ⇔ x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = Ta có ⇔ − 2(m − 1) = ⇒ m = 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 thoả mãn điều kiện (1) Vậy m = giá trị cần tìm Câu (2,5 điểm ) Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 32 m Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi, chiều dài lên gấp ba chu vi mảnh vườn 82 m Tính cạnh mảnh vườn ban đầu Gọi chiều rộng, chiều dài mảnh vườn lúc đầu x, y (m) Điều kiện: x y số thực dương x ≤ y Chu vi mảnh vườn 32 (m), ta có phương trình 2(x + y) = 32 hay x + y = 16 (1) Khi tăng chiều rộng lên lần, chiều dài lên lần, chu vi mảnh vườn 82 (m), ta có phương trình 2,5 0,25 0,5 2(2x + 3y) = 82 hay 2x + 3y = 41 (2) x + y = 16 x + y = 41 0,5 Ta có hệ phương trình: x = y = Giải hệ phương trình thu nghiệm: 1,0 (thỏa mãn điều kiện) Mảnh vườn ban đầu có chiều rộng m có chiều dài 9m Câu (3 điểm) Cho điểm M nằm đường tròn tâm O Vẽ tiếp tuyến MA, 0,25 MB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O ( C nằm M D), OM cắt AB (O) H I Chứng minh a) Tứ giác MAOB nội tiếp b) Hai tam giác MAC MDA đồng dạng c) OH.OM + MC.MD = MO2 A Vẽ hình D C M I O H 0,5 B · · a) Ta có MAO = MBO = 90o ( MA, MB tiếp tuyến (O) ) ⇒ Tứ giác MAOB nội tiếp b) Xét ∆ MAC ∆ MDA ¶ Có chung M · » ), nên đồng dạng · = MDA (cùng chắn AC MAC c) Xét ∆ MAO ∆ AHO · · Có chung góc O AMO = HAO (cùng chắn hai cung đường tròn nội tiếp tứ giác MAOB) ⇒ ∆ MAO : ∆ AHO ⇒ OH.OM = OA2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Lại có: ∆ MAC : ∆ MDA (c.m.t) ⇒ MC.MD = MA2 Suy ra: OH.OM + MC.MD = MO2 0,25 Câu Cho số thực a, b, c, d cho: a + b + c + d = 1,0 Chứng minh rằng: a + b + c + d ≥ dấu đẳng thức xảy nào? 2 2 Ta có: a + b + c + d = a + b + c + d − (a + b + c + d ) + (thêm, bớt 2) 0,25 1 1 = ( a − ) + (b − ) + ( c − ) + ( d − ) + ≥ 2 2 0,5 Đẳng thức xảy a = b = c = d = 0,25 (Ghi chú: Nếu thí sinh có cách giải khác mà đáp số cho điểm tối đa) ... = −4 ⇔ ⇔ ⇒x=2 4 x − y = 14 5 x = 10 x = Thay x = vào (1): + 2y = -4 ⇔ y = -3 Tập nghiệm: y = −3 Hệ phương trình cho có nghiệm nhất: (x; y) = (2; - 3) c) Cho phương trình: x − x + m −...Hướng dẫn chấm, biểu điểm MÔN THI: TOÁN CHUNG Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình: x2 − 2x − = 1,0 Ta có ∆ ' = (−1)2... ( c − ) + ( d − ) + ≥ 2 2 0,5 Đẳng thức xảy a = b = c = d = 0,25 (Ghi chú: Nếu thí sinh có cách giải khác mà đáp số cho điểm tối đa)