Chuyên đề số nguyên tố

CHUYấN S NGUYấN T Ngi thc hin: Lấ HUY TON Hc sinh chuyờn toỏn khoỏ 09-12 THPT Chuyờn Thỏi Bỡnh _ T trc Cụng Nguyờn, clớt ó khng nh s nguyờn t v s nguyờn l phm trự c bn ca S hc Thc t ó chng minh, Toỏn hc dự phỏt trin n õu thỡ vai trũ ca s nguyờn t cng khụng h thay i Nú l vựng t kỡ l du bao nm qua ó cú nhiu ngi him S nguyờn t- ting ú ó thụi thỳc tụi t c c nh lớ le-Gụnbach v ri c ng mỡnh ó gii c bi toỏn m cha nha bỏc hc no gii c Bi vỡ ú tụi chi bit n s t nhiờn m khụng bit nhiờu s khỏc na Vit chuyờn v s hc, li mi ch l hc sinhtrung bỡnh i tuyn, tụi ó suy ngh rt nhiu v vic la chn ti V hỡnh nh nh lớ ngy no li hin v tụi V tụi quyt nh chn s nguyờn t lm ti Vi rt ớt ti liu tay, cựng vi tm hiu bit ớt, nhng mong rng chuyờn ny s khụng nhm chỏn ch l nhng kin thc m chỳng ta ó c hc m nú cũn cú th hu ớch phn nh cho mi ngi I/ nh ngha: Bn cú th d dng chia u 15 viờn bi cho em nh, nhng nu bn cú 17 viờn bi thỡ bn lm chia u cho chỳng c Trng hp th nht d dng vỡ 15 chia ỳng cho Trng hp sau khú khn vỡ 17 khụng chia ỳng cho m ch chia ỳng cho v 17 hay 17 ch cú c s l v 17, v c gi l mt s nguyờn t T xa, s nguyờn t ó lm say mờ nhiu nh toỏn hc chuyờn nghip cng nh ti t Trong toỏn hc, s nguyờn t c nh ngha l mt s ln hn ch cú c s l v chớnh nú Cú th thy iu nh ngha rt d hiu Nhng nm ch lm ta cú th da vo nh ngha m xỏc nh s cú phi s nguyờn t hay khụng? T xa ó cú sng lc nhng s nguyờn t gi l sng Eratosthenes Nhng vi nhng s ln thỡ vic s dng sng ny khụng hiu qu Da vo nh ngha ta cú th thy cỏch chng minh n gin nht l chia s ú cho cỏc s nguyờn t nh hn nú nhng vic ny tn khụng ớt thi gian nh vic s dng sng Eratosthenes Do n ngy cha tỡm c cụng thc ca s nguyờn t nờn ta ch cú th hn ch vic th ch khụng cú phng phỏp no hu hiu nu khụng s dng mỏy vi tớnh Ta s chng minh bi toỏn nh: n N*, n khụng chia ht cho mi s nguyờn t nh hn hoc b ng CM: n l s nguyờn t Gii Gi s s n l h p sụ thi M t khac vi nờn iờ u trai vi gia thiờ t nờn ta co iờ u phai chng minh Ta cng cú nhng nhn xột c bn sau õy: Vi nhng s nh, thớ d s N, phng phỏp thng dựng l th tớnh chia ỳng ca s ú ln lt vi cỏc s nguyờn t t nh n ln v nh hn N/2, vi nhng nhn xột sau õy: o Loi nhng s chn, tr (chia ỳng cho 2) o Loi nhng s tn cựng bng 5, tr (chia ỳng cho 5) o Loi nhng s cú tng s cỏc s chia ỳng cho 3, tr (chia ỳng cho o Loi nhng s chia ỳng cho 7, tr o Loi nhng s cú tng s cỏc s hng chn v hng l bng nhau, tr 11 (chia ỳng cho 11) o C th tip tc n ht nhng s nguyờn t nh hn N/2 o Nu tt c cỏc phộp chia u khụng ỳng thỡ N l s nguyờn t Tu thuc vo kinh nghim, nhỡn s chỳng ta s co th oỏn ú l s nguyờn t hay khụng ma ch cn vi phộp th Do cỏc thi ớt ngi ta nhng s khng l nờn vic ny coi nh khụng ỏng ngi II/ Lch s xuyờn sut thiờn niờn k v mt vi nh lớ: Vi phn ny ta s n vi cỏc nh lớ nhng khụng phi bng cỏch thụng thng Ta s dc theo dũng lch s khụng ch bit v Toỏn m cũn bit ngun gc cỏi ta ang nghiờn cu S nguyờn t cú quờ hng vựng Hi Lp c i Ngi cú cụng gõy dng v chng minh nh lớ c bn ca s nguyờn t l clit ễng ó chng minh hp s nguyờn t l vụ hn õy l nh lớ u tiờn v rt d chỳng ta cú th chng minh Cụng biu din sụ nguyờn t thuc v Eratosthenes vi sng s nguyờn t S nguyờn t thc s cú bc phỏt trin vt bc vo nm 18/10/1640, Fermat gi cho bn ụng bc th Trong ú cú nh lớ Fermat nh Nguyờn bc th nh sau: Et cette proposition est gộnộralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la dộmonstration, si je n'apprộhendois d'ờtre trop long. Nh mt thúi quen l kỡ ca nha Toỏn hc ny ễng khụng chng minh nh lớ ụng a V n tn nm 1736, Euler mi cụng b cụng trỡnh chng minh ca mỡnh Nhng theo ti liu mt, Leibniz ó cú bn tho chng minh vi ý tng tng t trc nm 1683 L kỡ l cỏch c lp cỏc nh toỏn hc Trung Quc trc ú ó a gi thit rng p l mt s nguyờn t nu v ch nu ỳng l nu p l s nguyờn t, thỡ õy l trng hp c bit ca nh lý nh ca Fermat Tuy th, iu ngc li (nu thỡ p l s nguyờn t) l sai nh lớ nh Fermat c phỏt biu nh sau: p chia ht p l nguyờn t v a l s nguyờn t cựng vi p p chia ht p l nguyờn t v a l s nguyờn t cựng vi p. Mt cỏch tng quỏt hn: Nu p l s nguyờn t v m v n l cỏc s nguyờn dng tha , thỡ Bờn cnh ú, Euler nghiờn cu cng ó da vo nh lớ trờn xõy dng nh lớ mi: Vi modulo n bt k v s nguyờn a bt k l s nguyờn t cựng vi n, ta cú: ú (n) l ký hiu ca phi hm Euler m s cỏc s nguyờn gia v n nguyờn t cựng vi n õy l tng quỏt húa ca nh lý nh Fermat vỡ nu n = p l s nguyờn t thỡ (p) = p õy (n) = n k 1 vi n= pi i p1 p2 p i k Bõy gi ta s chng minh nh lớ Fermat nh theo nhiu cỏch khỏc nhau: C1: Quy np theo a Nu a=1 thỡ iu cn chng minh l ỳng Gi s mnh ỳng vi a=k>0, ta cú Dựng gi thit quy np v ta cú chia ht cho C2: Cũn mt cỏch chng minh na cho nh lý Fermat l dựng t hp nh sau: Ta gii bi toỏn sau: Mt ng trũn c chia thnh p cung bng Hi cú bao nhiờu cỏch tụ mu cỏc cung bng a mu? Hai cỏch tụ thu c qua mt phộp quay c coi l ging Li gii: Ta ỏnh s cỏc cung t n p Nu khụng tớnh n phộp quay thỡ cú cỏch tụ cỏc cung Nu tớnh n phộp quay thỡ mi mt cỏch tụ cú mu tr lờn s nm lp vi p cỏch tụ khỏc Cú a cỏch tụ ch dựng mu Vỡ th s cỏch tụ s l Vỡ s cỏch tụ phi l mt s nguyờn nờn ta cú iu phi chng minh Cỏch chng minh l Phi khụng cỏc bn? Cũn cỏch kinh in khỏc l xột h thng d y mụ-un p Nu (a, p) = thỡ ax s chy qua h thng d y mod p x chy qua h thng d y mod p ú cng l cỏch chng minh nh lý Euler (thay h thng d y bng h thng d thu gn) Cú th cũn rt nhiu cỏch khỏc Mong mi ngi b sung thờm ng trc nh lớ ta thng t cõu hi nh lớ ú a lm gỡ õy cng vy L nh lớ ni ting, nh lớ Fermat nh cú nhng ng dng nh th no va nh lớ tụng quỏt ca nú Ta cựng xột vi vớ d v nh lớ Fermat Ta xột bi thi thi HSG lp 12 tnh Bỡnh nh nm va ri: VD2: Cho n l s nguyờn dng cho Gii: Xột nờn ta c: chia ht cho Theo nh lớ Fermat, ta cú => hoc CMR: (vi a N * ) D thy v ln hn , nờn ta cú iu phi chng minh Ta tip tc vi bi toỏn tip theo: VD3: CMR vi p l s nguyờn t ta cú [(p - 1)! + 1] chia ht cho p * Hin nhiờn trng hp p = l ỳng (Bng cỏch kim chng) *Ta s chng minh cho trng hp p > Khi ú p l s l Ta ỏp dng nh lý Fecma nh: vi p nguyờn t a l s nguyờn dng cho (a,p) = Khi ú a p (mod p) Vỡ p nguyờn t nờn (1,p) = 1; (2,p) = 1; (p-1,p) = 1; p dng nh lý Fecma nh ta cú: (p-1) p1 1(mod p ) p1 (p-2) 1(mod p) p1 (mod p); v p1 -(p-1) (Mod p); Nhõn theo v c: [(p-1)!] p1 -(p-1)(mod p) Rỳt gn theo v ta cú: [(p-1)!] p ][(p-2)!] p1 ] -1(mod p) Li theo L Fecma nh thỡ ((p-2)!,p) = => [(p-2)!] p1 1(mod p) nờn ta cú: [(p-1)!] p2 -1(mod p); Do p l nờn (p-2) cng l => (p-1)! = -1(mod p) Núi cỏch khỏc thỡ (p-1)! + chia ht p ú l iu phi chng minh Tip theo thnh cụng ca nh lớ Fermat, cú thờm hng lot nh lớ khỏc i Trong ú k n nh lớ Wilson, Trờbsep, * nh lớ Wilson: c cụng b vo nm 1773 bi John Wilson Cho p l s t nhiờn ln hn 1, ú p l s nguyờn t, v ch (p-1)!+1 chia ht cho p * nh lớ Trờbsep: Cho mi s Nguyờn n > 3, luụn Tn ti mt s Nguyờn t nm gia n v 2n - .Vớ d n = => 2n - = => P = [Nguyờn t] Cho mi s Nguyờn n > 1, luụn Tn ti mt s Nguyờn t giua n v 2n Vớ d n = => 2n = 16 => P = 11 v P = 13 [Nguyờn t] * énh lý Sylvester: Nu n > k, thỡ cỏc S n, n+1, , n+[k-1], cú mt S l 'Bi s' ca mt S Nguyờn t P [P > k] Vớ d n = || k = || P = A = + = 10 = 2.5 [A l Bi s ca P = 5] * nh lớ Chen: mi s chn ln u cú th c vit di dng tng ca hai s nguyờn t hoc ca mt s nguyờn t v mt s na nguyờn t (tớch ca hai s nguyờn t) nh lớ Chen l phn nh ca gi thiờt m n ngy cha nh toỏn hc no cú th chng minh hon ton ú l gi thuyt Euler Goldbach Nm 1742, nh toỏn hc c Goldbach vit th cho Euler bit rng ụng mo him a bi toỏn: Mi s t nhiờn ln hn u biu din c di dng tng ca s nguyờn t Euler tr li rng theo ụng, mi s chn ln hn u biu din c di dng tng ca s nguyờn t Nu chng minh c mt hai mnh thỡ s chng minh c mnh cũn li 200 nm sau, n nm 1937, nh toỏn hc Liờn Xụ Vinogradov ó gii quyt gn trn bi toỏn ú bng cỏch chng minh rng mi s l ln u cú th biu din c di dng tng ca s nguyờn t Nu mnh ca Euler l ỳng, hóy chng minh mnh Goldbach Gii Cho s t nhiờn n>5, ta s chng minh rng n vit c di dng tng ca s nguyờn t Xột: Trng hp 1: Nu n chn thỡ n=2+m vi m chn, m>3 vỡ s chn >2 k tip l nờn dự l m>3 thỡ m vit c di dnng tng s nguyờn t Trng hp 2: nu n l thỡ n=3+m vi m chn, m>2 Theo mnh Euler, m chn, m>2 nờn m vit c di dng tng hai s nguyờn t Do ú n vit c di dng tng ca s nguyờn t *Gi thuyt Gilbrait Nu bn vit dóy cỏc s nguyờn t theo th t t n ln (thờm c s vo u ).u tiờn hng th nht,bn ly giỏ tr tuyt i ca hiu s nguyờn t liờn tip.Tip theo,ly giỏ tr tuyt i ca hiu hai s liờn tip hng th nht, Sau hu hn ln nh vy, hng cui cựng bn s nhn c l s õy l gi thuyt mi Rt khú hiu Ta cựng xem biu din gi thuyt qua hỡnh hc Ta cựng n vi s bi s dng cỏc nh lớ trờn Chng minh tn ti vụ s cỏc cp s chớnh phng m cú ớt nht 1000 s nguyờn t gia Bi ny dựng nh lớ: Cho s t nhiờn n thỡ on [n;2n] luụn tn ti ớt nht s nguyờn t ] chn n l s chớnh phng thỡ ta cú n v 21000 n Xột 1000 on [n;2n];[2n;4n];[ l s chớnh phng CMR: Nu s Fermat l s nguyờn t thỡ nú phi l c ca Ta cú F khụng cú dng hoc nờn nu F l s nguyờn t thỡ phi khụng chớnh phng theo (mod F) Vy Suy o li gi s Suy Gi h l cp ca theo mod F Suy h|F-1 hay => (vi Nu thỡ h| Do ú ta cú (mõu thun) Vy Vỡ h| Suy F-1| => F-1= suy F l s nguyờn t l s nguyờn t th Gi s vi no ú: Chng minh rng: => 2Pn P1 P2 Pn T ỏp dng nh lớ Trờbsep: Cho mi s Nguyờn n > 3, luụn Tn ti mt s Nguyờn t nm gia n v 2n-2 => Pn Pn1 => pcm III/ Mt s dng s nguyờn t: n S nguyờn t Fermat: - S nguyờn t Fecma cú dng 2 + (n N) Trong thi gian di, ngi ta ó lm tng Fermat ó tỡm cụng thc cho s nguyờn t Th nhng chớnh nh toỏn hc Euler ó chng minh vi n=5 thỡ s Fermat khụng cũn l s nguyờn t na Nhng iu ú khụng cú ngha s nguyờn t dng Fermat khụng cũn giỏ tr Ta cựng xột bi toỏn: Tỡm k cho: k 2n + l hp s n N * m t Fm 22 thỡ F0 , F1 , F2 , F3 , F4 P v F =641.p ( p P ), p > F x 1mod(232 1).641 v x 1(mod p) => x k tho Xột: ta s chng minh vi k > p tho bi toỏn t n = 2m.(2t 1)m, t N +) Nu m 0,1, 2,3, thỡ k 2n + 22 (2t1) 1(mod 232 1) n D thy 232 Fmm 0,1, 2,3, m v 22 (2t 1) m 22 1m 0,1, 2,3, nờn k.2 n Fm li cú k.2 n >k> F4 => k.2 n +1 l hp s +)Nu m=5: tng t k.2 n 641 , k.2 n >641 +)Nu m 6: tng t k.2 n p, k.2 n >p ta cú pcm S nguyờn t Mersenne: Mt s Mersenne (s cú dng ly tha ca tr 1: 2n 1, mt s nh ngha yờu cu ly tha (n) phi l s nguyờn t) v l mt s nguyờn t iu kin cn Mn l s nguyờn t l n l s nguyờn t, 24 -1 = 15 l hp s vỡ khụng l nguyờn t, nhng ngc li khụng ỳng: vớ d s Mersenne 2047 = 211 khụng l nguyờn t vỡ nú chia ht cho 89 v 23, mc dự s 11 l s nguyờn t Hin nay, cỏc s nguyờn t ln nht c tỡm thy thng l s nguyờn t Mersenne Cỏc s nguyờn t Mersenne cú quan h cht ch vi cỏc s hon thin, ngha l cỏc s bng tng cỏc c chõn chớnh ca nú Trong lch s, vic nghiờn cu cỏc s nguyờn t Mersenne ó tng b thay i cỏc liờn quan ny; vo th k TCN, Euclid phỏt biu rng nu M l s nguyờn t Mersenne thỡ M(M+1)/2 l s hon thiờn Vo th k 18, Leonhard Euler chng minh rng tt c cỏc s hon thin chn u cú dng ny Khụng mt s hon thin l no c bit, v ngi ta nghi ng rng chỳng khụng tn ti *) Tỡm s nguyờn t Mersenne: ng thc cho bit rng Mn cú th l s nguyờn t ch nu chớnh n l s nguyờn t, iu ú lm gin lc bt vic tỡm cỏc s nguyờn t Mersenne Mnh o, núi rng Mn l s nguyờn t nu n l s nguyờn t l sai S nh nht cho vớ d ny l 2ạạ-1 = 23ì89, l hp s ó cú cỏc thut toỏn nhanh tỡm s nguyờn t Mersenne, ú hin ó bit cỏc s nguyờn t Mersenne rt ln Bn s nguyờn t Mersenne u tiờn M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 v M7 = 127 ó c bit t c xa S th nm, M13 = 8191, c tỡm thy vo trc nm 1461; hai s tip theo (M17 v M19) tỡm thy bi Cataldi vo nm 1588 Sau hn mt th k M31 c kim tra bi Euler vo nm 1750 S tip theo (trong lch s, khụng theo th t s) l M127, Lucas tỡm thy vo nm 1876, sau ú M61 Pervushin tỡm vo nm 1883 Hai s na (M89 v M107) c tỡm thy vo th k 20, bi Powers vo nm 1911 v 1914 T th k 17, cỏc s ny c mang tờn nh toỏn hc Phỏp Marin Mersenne, ngi ó chng minh mt lot cỏc s nguyờn t Mersenne vi s m lờn ti 257 Danh sỏch ca ụng ó mc mt s sai lm, nh bao gm c M67, M257, v b quờn M61, M89 v M107 Phng phỏp tt nht kim tra tớnh nguyờn t ca cỏc s Mersenne c da vo s tớnh toỏn mt dóy tun hon, c phỏt biu u tiờn bi Lucas nm 1878 v chng minh bi Lehmer vo nhng nm 1930 Hin nú c gi l kim tra Lucas-Lehmer vi s nguyờn t Mersenne c bit, ta cú th chng minh rng (vi n > 2) Mn = 2n l s nguyờn t nu v ch nu Mn chia ht cho Sn-2, ú S0 = v vi k > 0, th biu din s cỏc ch s ca s nguyờn t Mersenne ln nht ó bit theo tng nm ca k nguyờn in t Chỳ ý rng trc tung ó c logarithm húa Vic tỡm cỏc s nguyờn t Mersenne thc s c cỏch mng bi cỏc mỏy tớnh in t s Thnh cụng u tiờn ca t tng ny thuc v s nguyờn t Mersenne, M521, nh n lc khộo lộo vo lỳc 10:00 P.M ngy30-1, 1952 s dng mỏy tớnh t ng Western U.S National Bureau of Standards (SWAC) ti Institute for Numerical Analysis thuc i hc California ti Los Angeles, di s iu khin trc tip ca Lehmer, s dng chng trỡnh vit v chy bi GS R.M Robinson Nú l s nguyờn t Mersenne u tiờn tỡm thy sau 38 nm; s tip theo, M607, ó c tỡm thy computer ny sau gn hai gi chy mỏy Ba s tip theo M1279,M2203, M2281 ó c tỡm thy vi cựng chng trỡnh trờn sau nhiu thỏng na M4253 l s nguyờn t Mersenne u tiờn l s nguyờn t siờu ln (trờn 1000 ch s thp phõn-titanic), v M44497 l s nguyờn t u tiờn cú trờn 10.000 ch s thp phõn (gigantic) n thỏng nm 2008, ch mi bit 46 s nguyờn t Mersenne; s ln nht ó bit l s (2 43 112 609 1) Cng nh nhiu s nguyờn t Mersenne trc ú, nú c tỡm nh d ỏn tớnh toỏn phõn tỏn trờn Internet, c bit vi tờn gi Tỡm kim s nguyờn t Mersenne khng l trờn Internet (Great Internet Mersenne Prime Search - GIMPS) *) Cỏc nh lớ: +) Nu n l s nguyờn dng, theo nh lý nh thc ta cú th vit: , hay nh t c = 2a, d = 1, v n = b chng minh 10 Khụng mt tớnh tng quỏt gi s D thy: l s l nờn Nu khỏc thỡ k=3 Ta s c/m mt s tn ti ớt nht s bng Gi s phn chng Do ú: hay (mod p) Tip theo ta cú nhn xột rng: Nu v (mod m),) (mod m) thỡ: (mod m) Mt khỏc theo nh lớ Fermat thỡ: (mod p) Khi ú ỏp dng nhn xột ta c: Rừ rng: Do ú: , mõu thun Vy Nu thỡ Cũn nu v vỡ th d dng kim tra thy tha Vy tt c cỏc b l Bi dng: Tỡm tt c cỏc s n cho: a n4 + n2 + l s nguyờn t c n1998 + n1997 + l s nguyờn t b n3 - n2 +n - l s nguyờn t d n1997 + n1995 + l s nguyờn t Bi toỏn m rng: Tỡm a Tỡm N s a 3n + + a3m + + l s nguyờn t bit rng m, n s nguyờn t (ko nht thit khỏc nhau) bit rng cỏc bỡnh phng ca chỳng thỡ bng N v m + n2 ln tớch ca cỏc s y tr i tng Dng 3: P DNG GII PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN, CHIA HT: Bài toán 1:Chng minh vi mi s nguyờn t p>2, thỡ t s m ca phõn s ti gin chia ht cho p 22 C1: Ta thy t s ca phõn s chớnh l Cn chng minh biu thc ú chia ht cho p Ta thy cú tt c p-1 s hng, ta s chia chỳng thnh tng cp cú tng chia ht cho p nh sau: Tng cũn li rừ rng l s nguyờn nờn biu thc trờn chia ht cho p Ta cú pcm C2: Do p l s nguyờn t ln hn nờn (p-1) l s chn ú ta cú th chia cỏc s hng ca tng thnh nhúm Ta cú: Do p l s nguyờn t m cỏc tha s mu thỡ nh hn p nờn sau gin c t s cũn tha s p Ta c pcm Bài toán 2: Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng x, y, z tha phng trỡnh: Theo bt ng thc , ta cú: Suy Gi l mt c nguyờn t bt kỡ ca Khi ú Gi s Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s t Ta cú: Nu , ta cú Mt khỏc, Vy , ta suy iu vụ lớ Vy Ta cú Suy Thay vo, ta cú: Do 23 nờn Bi toỏn 3: Cho s nguyờn dng N cú ỳng 12 c s dng khỏc k c chớnh nú v 1, nhng ch cú c nguyờn t khỏc Gi s tng cỏc c nguyờn t l 20 Tớnh giỏ tr nh nht cú th cú ca N Do N cú ti a l 12 c nờn ta cú t (a,b,c,d>0) v (a+1)(b+1)(c+1)(d+1)=12=1.2.2.3 (1) Do m vỡ a,b,c,d>0 (2) t (1),(2)=> vụ lý Vy ta i tỡm N nh nht cú th li cú (a+1)(b+1)(c+1)=12=2.2.3 => s a,b,c =1 s cũn li =2 vỡ =>cú s =2 gi s (do khụng th chia ht cho 3=> chng minh c >=5 ) l cỏc s nguyờn t d l cỏc s tha bi v N Vy Bi toỏn 4: (Thi chn i tuyn 30/4 Lờ Quý ụng Nng vũng 2) Cho v l cỏc s nguyờn thỡ l s nguyờn t l.CMR nu cng l c ca Giải: Bi toỏn 5: Tỡm cỏc s nguyờn t tha: TH1 Thay vo phng trỡnh ó cho ta c TH2 T , ta cú Suy hoc 24 l c ca T õy, ta cú hai trng hp cn xột Hai trng hp ny ta d dng tỡm c Bi toỏn 6: Chng minh rng nu l s nguyờn t l thỡ ht cho Trc ht, ta cú: Ta cú nhn xột: T ú, ta cú: Do ú Ta li cú 25 chia Vy Bi toỏn 7: (Vit NAm TST 2003) CHo n l s nguyờn dng.Chng minh rng ko cú c nguyờn t dng Xột - Nu l mt c nguyờn t no ú ca chn, t ch cú th cú dng - Nu l, t ca vi k nguyờn dng suy l thng d bc ca (1) suy ch cú th cú dng l thng d bc hoc (2) T (1) v (2) suy pcm Bi toỏn 8: Cho n l mt s nguyờn cú khụng quỏ c s nguyờn t CMR: nu n-1 chia ht cho (n) thỡ n l mt s nguyờn t Xột Xột cú c nguyờn t d thy ỳng cú c nguyờn t Theo gi thit: t Vi thỡ Vi bn ta cú loi Vy trng hp ny vụ lớ Xột 26 Gii nghim ko l cỏc s nguyờn t => loi Bi toỏn 9: ( IMO Shortlist 2002 ) Cho n l s nguyờn dng; minh rng: l cỏc s nguyờn t phõn bit ln hn Chng cú ớt nht vi thỡ cú c no l khụng mt tớnh tng quỏt gi s t a n = cm ú v Bi dng: Tỡm cỏc s nguyờn t p,q cho: (Iran 2008) Chng minh rng tn ti vụ hn s nguyờn t tha Dng 4: P DNG MT S B CA S NGUYấN T *) B 1: Gi s ls nguyờn t l vi t, k l cỏc s t nhiờn, k l s t nhiờn l Khi ú, nu cỏc s t nhiờn x,y cho thỡ x v y ng thi chia ht cho p Chng minh b : Ta s dng phộp chng minh bng phn chng Gi s x khụng chia ht cho p, t gi thit suy y cng khụng chia ht cho p Theo nh lý nh Fec-ma ta cú: Hay: Suy ra: 27 M theo gi thit nờn (Do k l) Vy iu gi s trờn ca ta l sai Túm li ta cú pcm Chỳ ý rng vỡ p l s nguyờn t l Khi t=1 v t=2 ta cú cỏc h qu sau Bi tp1: Cho s nguyờn t dng p=4k+3 CMR: Nu cỏc s t nhiờn x,y tha thỡ x v y u chia ht cho p Bi tp2: Cho s nguyờn t dng p=4k+1, k l s t nhiờn l CMR: Nu cỏc s t nhiờn x,y tha thỡ x v y u chi ht cho p Bi 3: Gi s a,b l hai s t nhiờn khỏc nguyờn t cựng Khi ú cỏc c s nguyờn t l ca ch cú dng 4m+1 vi m l s t nhiờn Cỏc bi nõng cao (S dng nh lý v cỏc h qu trờn gii quyt): Bi 1*: Gii phng trỡnh nghim nguyờn: Bi 2*: Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn dng (x,y) cho l s nguyờn v l c ca 1995 (Thi HSG Bungary 1995) Bi 3*: Gi s a,b l cỏc s nguyờn dng cho 15a+16b v 16a-15b u l cỏc s chớnh phng Tỡm giỏ tr nh nht ca s nh nht hai s chớnh phng y (IMO ln th 37) Bi 4*: Tỡm cỏc nghim nguyờn dng ca cỏc phng trỡnh: a) b) c) 28 Bi 5*: Tỡm nghim nguyờn dng ca h phng trỡnh: Bi 6*: Cho x v y l cỏc s nguyờn khỏc cho l s nguyờn v l c ca 1978 Chng minh rng x=y (Chn i tuyn QG CHLB c 1979) *) B 2: Gi s (a,b)=1 thỡ mi c nguyờn t l ca a b2 ch cú dng 4m+1 m N * Chng minh: Xột c nguyờn t p= 4m+3 = 2(2m+1)+1 theo b => p = => mõu thun => pcm Bi toỏn 1: Gpt nghim nguyờn x2 y3 (1) pt (1) x y 23 x ( y 2)( y y 4) (2) Nu y chn thỡ v phi ca (2) chia ht cho nờn x l t x = 2t+1 => x2 4t 4t khụng chia ht cho ( loi) Vy y l, y = 2k+1 => y y 4k nờn nú phi cú c nguyờn t l dng 4m +3 => x cú c nguyờn t dng 4m+3, trỏi vi b Vy pt khụng cú nghim nguyờn Bi toỏn 2: Tỡm tt c cỏc cp s ( x,y) N * cho x2 y N * v l c ca 1995 x y x2 y Gi s = k nguyờn dng v k la c s ca 1995 = 5.3.7.19 = 5n vi n=3.7.19 x y Cỏc s nguyờn t cú dng 2(2m+1)+1= 4m+3 Gi CLN ca x v y l d= (x,y) thỡ x=du v y = dv vi (u,v)=1 T gi thit => d( u v )= k(u-v) (1) Xột Trng hp: 1) n k thỡ k cú c nguyờn t dng 4m+3 ỏp dng b vo (1) => u v khụng cha cỏc c nguyờn t ca k nờn k l c s ca d => d= kt t.( u v ) = u-v => u v < u- v => (1) vụ nghim 2) k=5m vi m l c ca n 29 Lỳc ú (1) tr thnh d( u v ) = 5m(u-v) => d = mt (tng t nh trờn) t( u v ) = 5( u v) (2) T (2) cú u v 5( u-v) => A= u v - 5(u-v) (3) Mt khỏc 4A= 4u 20u 25 4v2 20v 25 50 = (2u 5)2 (2v 5)2 -50 12 72 50 => A => A = D dng gii tip Bi toỏn 3: Tỡm s nh nht hp cỏc s chớnh phng cú dng 15a+16b v 16a-15b a, b N * Gi s 15a+ 16b = m v 16a- 15b = n (1) m, n N * => m4 n4 = (15a 16b)2 (16a 15b)2 = 481( a b2 )=13.37 ( a b2 ) Thy 13 v 37 l sụ nguyờn t cú dng p = 22 k vi k l Gi s (m,n) = d => m = du, n=dv vi (u,v) = thỡ (2) tr thnh d (u v4 ) 481(a b2 ) (3) Vỡ (u,v) = nờn u v khụng cha c nguyờn t 13 v 37 ú 481 l c ca d => d = 481t m,n nh nht ta ly t = Lỳc ú (3) tr thnh 481 ( u v )= a b2 (4) T (1) cú: m2 n2 = 31b a hay 481 ( u v ) = 31b a Chn u = v =1 m, n nh nht => m=n= 481 Bi ỏp dng: Tỡm nghim nguyờn dng ca pt: a, x y 585 b, x y 1210 c, 4xy x y = z d, x y 3z 2 Tỡm nghim nguyờn dng ca h phng trỡnh: x 13 y z 2 13x y t 3.(Chn i tuyn quc gia c) 30 Gi s x v y l cỏc s nguyờn khỏc cho x2 y l s nguyờn v l c ca 1978 x y CMR: x=y Dng 5: CC DNG KHC Bi toỏn 1: Tỡm s nguyờn t cho tớch ca chỳng gp ln tng ca chỳng Gii: Gi s nguyờn t ú l a, b, c lỳc ú ta cú: a.b.c = 5( a + b + c ) abc m a, b, c nguyờn t nờn mt s phi bng Gi s a = b.c = + b + c ( b 1)(c 1) = b 11 c b c Trng hp ny loi vỡ b = khụng nguyờn t b2 c Vy b s nguyờn t cn tỡm l (2; 5; 7) Bi toỏn 2: Tỡm tt c cỏc s nguyờn t cú dng Gii: n(n 1) - ( n 1) n(n 1) (n 1)(n 2) -1= =p 2 *) n = p = 2, n = p = tha *) n > th thỡ hoc n- chn hoc n + chn nờn p l hp s Giỏ tr p cn tỡm l p = hoc p = Bi toỏn 3: Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng a, b phõn bit cho: v l mt ly tha ca mt s nguyờn t T gi thit ta cú vi Suy ta cú trng hp *TH1: Do (g/t) (vụ lý vỡ ) *TH2:p^k|ab-1 31 +)Nu thỡ a=b=1(t/m) +)Nu thỡ d dng suy vụ lý +)Nu v thỡ ta cú (do Mt khỏc t ta cú (Do vy suy p=3 (loi) Vy a=b=1 Bi toỏn4: Tỡm cỏc s nguyờn p cho cỏc s p+2, p+6, p+8, p+14 cng l nguyờn t t: p = 5k+r (0 r < 5) * nu r = => p+14 = 5k+15 chia ht cho * nu r = => p+8 = 5k + 10 chia ht cho * nu r = => p+2 = 5k+5 chia ht cho * nu r = => p+6 = 5k+10 chia ht cho * nu r = => p = 5k l nguyờn t k = p = 5, cỏc s l: 7,11,13,19 l cỏc s nguyờn t nờn tho iu kin bi Vy p = l giỏ tr cn tỡm Bi toỏn 5: Cho p,q l s nguyờn t khỏc CM: + (mod p.q) Ta cú p,q l s nguyờn t nờn Tng t ta cú Do nờn suy pcm Bi toỏn 6: Cm: nu Ta cú mt s nguyờn t thỡ m kt hp vi nguyờn t 32 l s ta cú Nờn Bi dng: Chng minh rng ch cú mt cp s nguyờn dng (a, b) a4 + 4b4 l s nguyờn t Tỡm s nguyờn t p cú dng n(n 1)(n 2) + ( n 1) Chng minh rng + 2n + 4n (n N ) l s nguyờn t thỡ n = * Cho p l s nguyờn t Chng minh k (k N) khụng l s chớnh phng Tỡm s nguyờn t p p -p+1 l lp phng mt s t nhiờn 6.a, tỡm tt c cỏc b, tỡm tt c cỏc s t nhiờn a,b : s t nhiờn n : l s nguyờn t l s nguyờn t VI/ ng dng s nguyờn t i sng: Toỏn hc khụng ch l lớ thuyt Nú cú vai trũ rt ln khoa hc ngy Trc kt thỳc chuyờn ta cựng th gión mt chỳt v cng hiu t u n gi ta hc s nguyờn t lam gỡ u tiờn l ngnh bo mt Chc hn rt nhiu ngi ó tng nghe qua vic dựng toỏn hc mt mó húa, vy cú th ó quờn, ch ny c to vi mc ớch gii thiu v ng dng ca toỏn hc mt mó húa, vỡ trỡnh cú hn Nhng khỏi nim toỏn hc cn thit - Hm s Eurler (kớ hiu l ): cho n t nhiờn, ú (n) = s cỏc s t nhiờn nh hn n v nguyờn t cựng vi n Vit di dng hp: A = { u| (n) = card(A) - Cn nguyờn thy: cho n t nhiờn, ú a c gi l cn nguyờn thy ca n nu: (i) 1 Z/pZ x > a^x l song ỏnh õy ta cú: Z/pZ l hp p lp tng ng xõy dng bi quan h ng d mod p Núi nụm na, ú l hp ca p hp, ú hp th i = {n| n = i (mod p)} Mt hm s f xõy dng nh vy c gi l hm m ng d Trong trng hp tng quỏt, f c nh ngha nh sau: f: Z/nZ > Z/nZ x > a^x (mod n) Cho trc x, a, vic xỏc nh s d ca a^x mod n, tc l tớnh f(x) l n gin v cú kh nng Tuy 33 vy, vic xỏc nh hm s ngc ca f, ngha l cho trc a, n v s d ca a^x chia cho n, xỏc nh s d ca x chia cho n khụng phi bao gi cng lm c iu ny ch cú th lm c nu f l song ỏnh, ú cng chớnh l ý ngha ca nh lý ny Nh vy, vic tỡm tt c cỏc cn nguyờn thy ca s cho trc s rt cú ý ngha nh lý sau õy giỳp chỳng ta - nh lý: Nu p nguyờn t, a l mt cn nguyờn thy ca p, ú vi mi b thuc Z/pZ cú th vit c di dng b = a^i ú < i < p-2 T nh lý ny suy ra: * b l cn nguyờn thy v ch (p-1,i)= 1, hay núi cỏch khỏc, hp cỏc cn nguyờn thy ca p = {a^i (mod p), (p-1,i)=1} * S cn nguyờn thy ca p = (p-1) * Nu ta bit cn nguyờn thy ca p, ú chỳng ta s bit tt c cỏc cn nguyờn thy ca p Nh vy, di mt s iu kin, hm s m ng d x > a^x (mod n) Z/nZ l mt song ỏnh Cn nhn mnh rng vic tớnh hm s ngc ca nú thỡ phc hn rt nhiu, c chỳng ta bit giỏ tr ca a Hm s ny l mt vớ d tt cho mt lp cỏc hm s m chỳng ta gi l hm s "hng nht": - n gin tớnh - Phc tớnh ngc li Tuy vy, hm s m ng d cú mt li th khỏc, ú l: Chỳng ta cú th tớnh hm s ngc ca nú mt cỏch d dng nu chỳng ta bit mt s thụng tin d dng vic gi mt V chớnh nhng hm s ny cú mt ý ngha quan trng vic mt mó húa Bõy gi chỳng ta s cựng tỡm hiu mt s phng phỏp mó húa: Chia s chỡa khúa: A v B mun cú chung chỡa khúa, h s chn: - p nguyờn t v cụng khai - a cn nguyờn thy ca p, a cụng khai - Mi ngui mt s mt Xa v Xb vi < Xa, Xb < p-1 A s gi cho B a^Xa (mod p) B s gi cho A a^Xb (mod p) Khi ú, A v B s cựng cú chung chỡa khúa K = a^(Xa.Xb) (mod p) * Mó húa "khụng chỡa khúa": Cho thụng tin (di dng s) M < p, A cn gi M cho B A chn a < p, (a,p-1)=1 (a mt) B chn b < p, (b,p-1)=1 (b mt) A gi cho B s C = M^a(mod p) 34 B gi li cho A s D = C^b (mod p) A tớnh a' cho < a' < p v a.a' = (mod p-1) (a' c gi l nghch o (mod p-1) ca a), sau ú gi cho B s E = D^a' = C^(b.a') = M^(a.b.a') B tớnh nghch o b' ca b, sau ú tớnh E^b' = M^(aba'b') = M (mod p) vỡ aa' = bb' = (mod p-1) v theo nh lý nh Fermat, M^(p-1) = (mod p) * Mó húa vi chỡa khúa cụng khai p nguyờn t, p cụng khai N ngi mun chia s thụng tin mt cỏch mt, h s chn: a cn nguyờn thy ca p (nh th hm s m ụng d ca a s l song ỏnh) mi ngi s mt Xn, vi < Xn < p-1 H cụng khai Yn = a^Xn (mod p) * H thng RSA õy l h thng mó húa khỏ thụng dng hin nay, ly tờn t thut toỏn RSA, Rivest, Shamir, Adelman tỡm vo nm 1977 Ngi s dng mun trao i thụng tin: - Chn s nguyờn t p v q - Tớnh n = pq - Chn d (ln) v nguyờn t cựng vi (n) = (p-1)(q-1) - Tớnh e nghch o ca d mod (p-1)(q-1) Cụng khai e v n A mun gi thụng tin M cho B, A s gi C = M^e (mod n) B mun tỡm li M s tớnh C^d = M^(ed) = M (mod n) Chỳ ý rng thụng tin b che giu õy l hai s p v q, nh chỳng ta u bit, cho trc s t nhiờn, vic phõn tớch thnh tha s nguyờn t ũi hi khong thi gian rt ln (vi nhng thut toỏn hin S nguyờn t cũn l ti chng iu ny cho thy toỏn hc khụng h khụ khan chỳt no Mt cm nhn cỏ nhõn v tiu thuyt: Ni cụ n ca cỏc s nguyờn t Trc bc sang tui 30, bn s cũn cú nhiu c hi nhỡn v tui th v bt u cú v th mụ t li i sng trng thnh ca mỡnh trc ú Cun tiu thuyt ny núi v s cụ n ca tui th v s ln lờn ca ni cụ n ú Rng, ta cũn bộ, mt li lm nh cng tr thnh mt bi kch ln, v ta s b nú lm cụ n chỳt chỳt Nhng nu ỳng l mt bi kch ln thỡ ni cụ n ú cú th l mt gỏnh nng sut ng i Rng, c trng thnh, ni cụ n cũn ú Vớ d nh: - Nu ta v nim tin, mt mi quan h thỡ khong trng thốm khỏt cú mt cỏi nm tay khụng cũn ú, mt cỏi ụm vụ hỡnh, mt li thỡ thm an i cũn nguyờn ú 35 Nu cỏi tụi ca ta l mt s nguyờn t, ch chia ht cho v chớnh bn thõn nú thỡ tm mụ hỡnh húa nh sau: Cỏi tụi = p Ni cụ n = n ta cú cụng thc ca cp s nguyờn t sinh ụi (twin prime) nh sau (p, n+p) => (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463) Thc toỏn hc cú nhiu hn cp s nguyờn t sinh ụi, rng n = cỏc s khỏc chen vo gia v dóy s cng i xa, n cng ln Cỳng ging nh ta ln lờn, s cụ n cng ln y khong cỏch gia cỏc s nguyờn t cng xa hn Vỡ ta cú nhiu hoi nghi hn cú nhiu ni s hn cú nhiu s dn vt hn cú nhiu s khụn ngoan hn cú nhiu s thụng thỏi hn cú nhiu li khuyờn hn Nhng cỏi tụi! Cú lý gỡ hn ta khụng bc n tht gn nhau? Kt: Vy y! Nhng s khụ khan cung nhng biu thc khú hiu phi chng l tt c ca toỏn hc? Mt nh cú th tỡm v p m ta khụng tỡm ra? S nguyờn t núi riờng hay s hc núi chung u cú nhng nột thỳ v riờng, c ỏo riờng Tp chuyờn ny hay muụn ngn chuyờn khỏc s khụng cú giỏ tr nu nh bn thõn mi ngi khụng tỡm c chỳt v p t cỏi mỡnh ang nghiờn cu Thỏi Bỡnh,ngy thỏng nm 2010 Lờ Huy Ton 36 ... 7, 23, 7 19, 50 39, 399 16801, 4 790 01 599 , 87178 291 199 , (OEIS|id=A088054) õy 2=2!; 3=2!+1; 5= 3! -1; = 3!+1; 23=4! -1; 7 19= 6! -1;50 39= 7! -1 399 16801 = 11!+1; 4 790 01 599 = 12!+1; 87178 291 199 = 14!+1,... n = tha bi toỏn b n 199 7 + n 199 6 + = (n 199 7 - n2) + (n 199 6 - n) + ( n2 + n +1) = n2(n 199 5 - 1) + n(n 199 5 - 1) + (n2 + n +1) = ( n2 + n)(n 199 5 - 1) + (n2 + n +1) Ta cú: n 199 5 - = (n3)665 - = (... (257,263,2 69) , (271,277,283), (347,353,3 59) , (367,373,3 79) , (557,563,5 69) , (587, 593 , 599 ), (607,613,6 19) , (647,653,6 59) , (727,733,7 39) , (94 1 ,94 7 ,95 3), (97 1 ,97 7 ,98 3) Tớnh đn thỏng 3-2006 B ba s Nguyờn