www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm : 150 phút , không kể thời gian giao đề Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho với m = Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1 − x2 = Câu II(3 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau 1 + cos x + cos x − cos x = sin x.sin x ( − log x ) log x − =1 − log x y + y + = x + ( x + 2) x − ( x + y − 5) x − y + y − = −Cn1 2Cn2 3Cn3 ( −1) nCnn Câu III (1 điểm) Tính tổng S = + − + + 2.3 3.4 4.5 ( n + 1)( n + ) Câu IV(1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a , góc tạo cạnh n bên mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 tính khoảng cách hai đường thẳng AA1 B1C1 theo a Câu V(1 điểm) Tính giới hạn L = lim x→2 − x − x2 + x2 − Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C1 ) : x + y = 13 đường tròn (C2 ) : ( x − 6) + y = 25 cắt A(2; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1 ), (C ) theo hai dây cung phân biệt có độ dài Câu VII( điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ − 1 − 1 − 1 ab bc ca biểu thức P = Hết Facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam ĐÁP ÁN KHẢO SÁT TOÁN LẦN 1, LỚP 12, NĂM HỌC 2015_2016 CÂU ĐIỂM NỘI DUNG Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = Câu I.1 (1 đ) Với m = ta y = x − x + x − 0,25 *TXĐ: D = ℝ * Sự biến thiên hàm số Giới hạn vô cực lim y = −∞ x →−∞ lim y = +∞ 0,25 x →+∞ Chiều biến thiên y ' = x − 12 x + = 3( x − x + 3) x = y' = ⇔ x = 0,25 Bảng biến thiên −∞ x + y' y +∞ - +∞ −∞ + -1 Hàm số đồng biến khoảng (−∞,1) (3, + ∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng (1, 3) Hàm số đạt cực đại x = yCD = y (1) = ; Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = y (3) = −1 * Đồ thị ( Tìm điểm đặc biệt vẽ dạng đồ thị) Facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam f(x) = ((x⋅x⋅x-6⋅x⋅x)+9⋅x)-1 0,25 -5 10 15 -2 -4 -6 -8 Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1 − x2 = Câu I.2 (1 đ) Ta có: y ' = x − 6( m + 1) x + 0,25 Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x2 ⇔ Phương trình y ' = có hai nghiệm pb x1 , x2 ⇔ Pt x − 2( m + 1) x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ ' = (m + 1)2 − > 0,25 m > −1 + ⇔ (1) m < −1 − Với ĐK (1), theo định lý Viet ta có: x1 + x = 2(m + 1); x1 x = 0,25 x1 − x2 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ ( m + 1) − 12 = ⇔ (m + 1) = m = −3 ⇔ m = (2) m = −3 Từ (1) (2) ta được: TMYCBT m = 0,25 Giải phương trình + cos x + cos x − cos x = sin x.sin x (1) (1) ⇔ + cos x + cos x − cos ( x + x ) = sin x.sin x 0,25 Câu Facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam II.1 ⇔ + 3cos x + cos x − ( cos x.cos x − sin x.sin x ) = sin x.sin x (1 đ) ⇔ + cos x + cos x − ( cos x.cos x + sin x.sin x ) = ⇔ + cos x + cos x − cos x = ⇔ + cos x + cos x = 0,25 ⇔ cos x + cos x = 0,25 cos x = ⇔ cos x = − π x = + kπ ⇔ ; k ∈ ℤ x = ± 2π + k 2π Giải phương trình ( − log x ) log x − Câu II.2 (1 đ) 0,25 = (1) − log x x > ĐKXĐ: x ≠ (*) x ≠ 0,25 Với ĐK (*), ta có : (1) ⇔ ( − log x ) ⇔ − =1 log x − log x 0,25 − log x − = (2) + log x − log x t ≠ (**) ) t ≠ −2 Đặt: t = log x ( ĐK: Khi phương trình (2) trở thành: t ≠ 2−t − = ⇔ t ≠ −2 2 + t 1− t t − 3t − = ⇔ t = −1 t = x= ⇒ x = 81 Facebook.com/mathvn.com 0,25 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam So sánh điều kiện nghiệm x = ; x = 81 y + y + = 3x + ( x + 2) x − (1) Giải hệ phương trình ( x + y − 5) x − y + y − = (2) Câu II.3 (1 đ) x ≥ y ĐKXĐ: (*) x ≥ 0,25 a = x + y Đặt b = x − y 0,25 (ĐK: b ≥ 0) Thay vào phương trình (2) ta được: (a − 5)b + a − b − = ⇔ (b + 1)(a − b − 4) = ⇔ a =b+4 ⇒ x + y = + x − y (3) Ta có: (1) ⇔ y + y = ( x − + 1)3 + ( x − + 1) 0,25 Xét hàm số: f (t ) = t + t đồng biến ℝ Do ta có: y = x − + (4) Từ (3) (4) ta được: x + y = + x − y x − + y = + x − + − y ⇔ y − = x − x − = y − ( y − 1) + y = + ( y − 1)2 + − y ⇔ x − = y − y − y − = y − y + ⇔ x − = y − 0,25 x = ⇔ y = x = Kết hợp với điều kiện (*), ta được: nghiệm hệ phương trình y = cho Câu III (1 đ) −1) nCnn −Cn1 2Cn2 3Cn3 ( + − + + 2.3 3.4 4.5 ( n + 1)( n + ) n Tính tổng S = Facebook.com/mathvn.com 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam C ( n + 1)! C k +1 n! Ta có = = = n +1 (3) k + k !( k + 1)( n − k ) ! n + ( k + 1) ! ( n + 1) − ( k + 1) ! n + k n ( −1) kCnk = ( −1) kCnk++22 ( k + 1)( k + ) ( n + 1)( n + ) k Áp dụng lần công thức (3) ta được: 0,25 k Cho k chạy từ đến n cộng vế đẳng thức ta có ( n + 1)( n + ) S = −C n+2 + 2C n+2 − 3C n+2 + + ( −1) nC n 0,25 n+2 n+2 = − ( Cn2+1 + Cn3+1 ) + ( Cn3+1 + Cn4+1 ) − ( Cn4+1 + Cn5+1 ) + + ( −1) nCnn++11 n = −Cn2+1 + Cn3+1 − Cn4+1 + + ( −1) Cnn++11 n ( = Cn0+1 − Cn1+1 − Cn0+1 − Cn1+1 + Cn2+1 − Cn3+1 + Cn4+1 − Cn5+1 + + ( −1) n +1 ) Cnn++11 = 0,25 − ( n + 1) − (1 − 1) = −n −n Vậy S = ( n + 1)( n + ) n −1 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a , góc tạo 0,25 cạnh bên mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A1B1C1) thuộc đường thẳng B1C1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A1B1C1 tính khoảng cách hai đường thẳng AA1 B1C1 theo a Câu IV Do AH ⊥ ( A1 B1C1 ) nên góc AA1 H góc AA1 (A1B1C1), theo giả thiết (1 đ) góc AA1 H 300 A B C K A1 C1 H B1 Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300 ⇒ AH = V ABC A1 B1C1 = AH S A1 B1C = a a a a3 ⋅ = Xét tam giác vuông AHA1 có AA1 = a, góc AA1 H =300 ⇒ A1 H = Facebook.com/mathvn.com a Do tam 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam giác A1B1C1 tam giác cạnh a, H thuộc B1C1 A1 H = a nên A1H 0,25 vuông góc với B1C1 Mặt khác AH ⊥ B1C1 nên B1C1 ⊥ ( AA1 H ) Kẻ đường cao HK tam giác AA1H HK khoảng cách AA1 B1 C1 Ta có AA1.HK = A1H.AH ⇒ HK = Tính giới hạn L = lim x→2 Câu V (1 đ) L = lim x→2 x →2 x →2 0,25 − x − + − x2 + x2 − x2 + − x2 + − = lim x →2 x2 − ( x − 4)[ ( x + 4) + x + + 4] = lim x →2 = ⇒L=− 0,25 − x − x2 + x2 − 6− x −2 2− x = lim x → ( x − 2)( x + 2)( − x + 2) x −4 −1 = lim x → ( x + 2)( − x + 2) =− 16 lim lim A1 H AH a = AA1 0,25 0,25 ( x + 4)2 + x + + 12 0,25 48 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C1 ) : x + y = 13 đường tròn (C2 ) : ( x − 6) + y = 25 cắt A(2; 3) Viết phương trình đường thẳng qua A cắt (C1 ), (C ) theo hai dây cung phân biệt có độ dài Câu VI (1 đ) Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng cần tìm với (C1) (C2) M N Gọi M ( x; y ) ∈ (C1 ) ⇒ x + y = 13 (1) Facebook.com/mathvn.com 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Vì A trung điểm MN nên N (4 − x; − y ) Do N ∈ (C2 ) ⇒ (2 + x) + (6 − y ) = 25 Câu (2) x = y = 2 x + y = 13 17 ⇒ M( −17 ; ) Từ (1) (2) ta có hệ ⇔ x = − 2 5 (2 + x) + (6 − y ) = 25 y = 0,25 Đường thẳng cần tìm qua A M có phương trình: x − y + = 0,25 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị VII (1 đ) 0,25 − 1 − 1 − 1 ab bc ca nhỏ biểu thức P = Đặt A = P 0,25 Ta có: (1 − ab )(1 − bc )(1 − ca ) A = − − 1 − = ab bc ca ( abc )2 Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân có : a + b) ( ( + a + b )( − a − b ) = (1 + a ) + (1 + b ) (1 + c ) − ab ≥ − = 4 ≥ Tương tự có: − bc ≥ (1 + c ) (1 + a )(1 + b ) 0,25 (1 + a ) (1 + c )(1 + b ) − ca ≥ (1 + b ) (1 + c )(1 + a ) 1 1 Do A ≥ 1 + 1 + 1 + a b c 0,25 Mà: 1 + 1 + 1 + ≥ 1 + ≥4 a b c abc Facebook.com/mathvn.com 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Do P = đạt a = b = c = Facebook.com/mathvn.com