Đề thi thử THPT môn Toán 2016 đề 3

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN - LỚP 12 SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian giao đề x+2 có đồ thị kí hiệu (C ) x −1 a) Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho Câu (2,0 điểm): Cho hàm số y = b) Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho AB = 2 Câu (1,0 điểm): a) Cho − π < α < cos α = π π   Tính giá trị biểu thức: P = cos  α −  − sin  α −  3 6   b) Đội văn nghệ lớp có bạn nam bạn nữ Chọn ngẫu nhiên bạn tham gia biểu diễn, tìm xác suất để bạn chọn có nam nữ, đồng thời số bạn nam nhiều số bạn nữ Câu (1,0 điểm): a) Giải phương trình: 31− x.27 x +1 = 81 ( ) b) Tính giá trị biểu thức: Q = log a a b − log ( a b ) + log a b ( b ) , biết a, b số thực dương khác Câu (1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x.log x khoảng (0;10) Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : y − = điểm A(0; 6), B(4; 4) Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C đường thẳng ∆ cho tam giác ABC vuông B Câu (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, cạnh AB = 2a Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G tam giác ABC, góc SA mặt phẳng ( ABCD ) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc đường thẳng AC mặt phẳng (SAB) Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp 3  I  ;  , tâm đường tròn nội tiếp J (1; 0) Đường phân giác góc BAC đường phân giác  16  góc ABC cắt K (2; −8) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ dương Câu (1,0 điểm): Giải bất phương trình: + x + 20 ≤ x + x + Câu (1,0 điểm): Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy + ≤ y Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x+ y x − xy + y 2 + 2y − x 6( x + y ) Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….…………………………………….…….….….; Số báo danh:…………… Facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GD& ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2, NĂM HỌC 2015-2016 TRƯỜNG THPT YÊN LẠC (Hướng dẫn chấm gồm trang) Môn : Toán HƯỚNG DẪN CHẤM I LƯU Ý CHUNG: - Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm thí sinh Khi chấm thí sinh bỏ qua bước không cho điểm bước - Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Thí sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau - Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai không điểm - Trong lời giải câu câu thí sinh không vẽ hình không cho điểm - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày a x+2 Khảo sát hàm số y = (C ) x −1 Điểm 1.0 * TXĐ: D = ℝ \ {1} * Giới hạn, tiệm cận: lim y = lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →+∞ 0.25 x →−∞ lim y = +∞; lim− y = −∞ ⇒ x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số x →1+ x →1 x −1 − x − −3 = < 0∀x ∈ D , suy hàm số nghịch biến ( x − 1) ( x + 1) khoảng (−∞;1) & (1; +∞) *BBT: x -∞ +∞ y’ Ta có y ' = +∞ 0.25 0.25 y -∞ *Đồ thị 0.25 Trang 1/6 – Facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam y -2 O x -2 -4 b Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B cho AB = 2 Phương trình hoành độ giao điểm (C) d: y=-x+m là: x ≠ x ≠ x+2 = −x + m ⇔  ⇔ 2 x −1  x + = − x + mx + x − m  x − mx + m + = (1) d cắt (C) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 − m + m + ≠ ⇔ ⇔ m − 4m − > 0(*) m − 4( m + 2) >  Khi d cắt (C) A( x1 ; − x1 + m), B ( x2 ; − x2 + m) , với x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Theo Viet, ta có = ( x1 + x2 ) − x1.x2  = ( m − 4m − ) Yêu cầu toán tương đương với :  m = −2 (thỏa mãn (*)) ( m − 4m − ) = 2 ⇔ m2 − 4m − 12 = ⇔  m = Vậy m = −2 m = π 1,0 điểm Cho − < α < cos α = Tính giá trị biểu thức: AB = a ( x2 − x1 ) + ( x1 − x2 ) 2 0.25 0.25 0.25 0.5 π < α < nên sin α = − − cos α = − Suy P = cos α cos b 0.25 π π   P = cos  α −  − sin  α −  3 6   Vì − 1.0 π + sin α sin π − sin α cos π + cos α sin π 0.25 4 3 P= − + + = 5 5 Đội văn nghệ lớp có bạn nam bạn nữ Chọn ngẫu nhiên bạn tham gia biểu diễn, tìm xác suất để bạn chọn có nam nữ, đồng thời số bạn nam nhiều số bạn nữ 0.25 0.5 Số cách chọn bạn là: C125 = 729 Để chọn bạn thỏa mãn yêu cấu toán, ta có hai khả sau: 0.25 -TH1: Chọn bạn nam bạn nữ, có C C = 35 cách chọn Trang 2/6 – Facebook.com/mathvn.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam -TH2: Chọn bạn nam bạn nữ, có C53 C72 = 210 cách chọn Vậy xác suất cần tìm là: P = a Giải phương trình: 31− x.27 x +1 35 + 210 245 = 729 729 0.25 0.5 = 81 Phương trình cho tương đương với : 31− x.3 32− x = 34 ⇔ − x = ⇔ x = −2 b ( ) = 81 ⇔ 31− x.3x +1 = 34 0.25 0.25 ( ) Tính giá trị biểu thức: Q = log a a b − log số thực dương khác ( ( a b ) + log a b ( b ) , biết a, b ) 0.5 Ta có Q = log a a b − log a a b + 3log b ( b ) 0.25  a b  1 = log a a b − log a a b + = log a   + = log a   + = −1 + = a a b 0.25 Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) = x.log x khoảng (0;10] 1.0 ( x +1 ) ( ) Hàm số cho liên tục (0;10] Ta có f '( x) = log x + x = log x + log e x ln10 f '( x) = ⇔ log x = − log e ⇔ x = e BBT: x 0.25 1/e f’(x) 0.25 - 10 + 0.25 f(x) − log e e log e ⇔x= e e Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : y − = điểm Từ BBT ta suy f '( x) = − 0.25 A(0; 6), B(4; 4) Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm C 1.0 đường thẳng ∆ cho tam giác ABC vuông B x−0 y −6 x y −6 Phương trình đường thẳng AB là: = ⇔ = 4−0 4−6 −1 − x = y − 12 ⇔ x + y − 12 = 0.25 C ∈ ∆ ⇒ C (t ; 2) ⇒ BA(−4; 2), BC (t − 4; −2) 0.25 Tam giác ABC vuông B nên BA.BC = ⇔ −4t + 16 − = ⇔ t = ⇒ C (3; 2) 0.25 (0;10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông, cạnh AB = a Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G tam giác ABC, góc SA mặt phẳng ( ABCD ) 300 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc đường thẳng AC mặt phẳng (SAB) Trang 3/6 – Facebook.com/mathvn.com 0.25 1.0 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam S H K A I B G O D M C Gọi M trung điểm BC, O giao điểm AC BD Ta có AM = AB + BM = a ⇒ AG = 2 5a Vì SG vuông góc với mặt đáy, AM = 3 nên góc SA mặt đáy SAG = 300 Xét tam giác vuông SGA, ta có tan SAG = tan 300 = SG 5a = ⇒ SG = AG 3 1 5a 15a (đvtt) S ABCD = 4a Suy VS ABCD = SG.S ABCD = 4a = 3 3 27 Hạ GI vuông góc với AB, I thuộc AB Nối S với I, hạ GK vuông góc với SI, K thuộc 2a SI Khi K hình chiếu vuông góc G (SAB) Ta có GI = MB = , 3 GK = GS GI GS + GI 0.25 = 0.25 0.25 10a 10a Gọi H hình chiếu vuông góc O lên (SAB), ta có OH = GK = Khi AH hình chiếu AO lên (SAB) suy góc AC (SAB) OAH Xét tam 0.25 OH 10a 11 = = ⇒ cos OAH = OA 2.a 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp giác vuông OHA, ta có sin OAH = 3  I  ;  , tâm đường tròn nội tiếp J (1; 0) Đường phân giác góc BAC  16  đường phân giác góc ABC cắt K (2; −8) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đỉnh B có hoành độ dương Trang 4/6 – Facebook.com/mathvn.com 1.0 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam A I -4 J -2 10 12 14 16 18 20 -1 B -2 C -3 -4 H -5 -6 -7 -8 K Gọi giao điểm AK đường tròn (I) H Xét tam giác BHJ có HJB = JAB + JBA (góc tam giác JAB) = JAC + JBC ( AJ, BJ đường phân giác) = CBH + JBC (nội tiếp chắn cung CH đường tròn (I)) 0.25 = HBJ Suy tam giác HJB cân H, HJ=HB HJB = HBJ (1) Lại có BJ, BK thứ tự phân giác phân giác góc ABC nên tam giác BKJ vuông B Suy HJB + HKB = 900 = HBJ + HBK (2) Từ (1) (2) suy HKB = HBK hay tam giác HBK cân H, HJ = HB = HK , H trung điểm JK, hay 0.25 3  H  ; −4  Tương tự 2  HJ = HC = HK 65     Ta có IH  0; −  ; HJ  − ;  16     B, C thuộc đường tròn (I;IH) (H; HJ) nên tọa độ B, C nghiệm hệ: 2  3    65   x −  +  y −  =   2  16   16   x = 5; y = −2  ⇔ ⇒ B(5; −2), C (−2; −2)   x = −2; y = −2 3   x −  + ( y + ) = + 16  AH qua J K nên phương trình đường thẳng AH là: x −1 y − = ⇔ x + y − = Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với AH, d − −8 − có véc tơ pháp tuyến n = −2 HJ = (1; −8 ) , phương trình đường thẳng d là: x − y − = Gọi M giao điểm d AH, Trang 5/6 – Facebook.com/mathvn.com tọa độ M nghiệm hệ: 0.25 0.25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam x − y −1 = x = 1  ⇔ ⇒ M (1;0) ≡ J M trung điểm AH nên A  ;   2  8 x + y − = y = 1  Kết luận: A  ;  , B (5; −2), C (−2; −2) 2  Giải bất phương trình: + x + 20 ≤ x + x + (1) 1.0 Bất phương trình cho tương đương với: x − 16 x + − + − x + 20 + x − ≥ ⇔ x2 + + + 16 − x + x + 20 0.25 + x−2≥0  4x +  4x + ⇔ ( x − 2)  − + 1 ≥ 2  x + + + x + 20  Từ (1) suy 4x + 4x + + − 0.25 x − ≥ x + 20 − x + > ⇒ x > 4x + + x + 20 + = ( x + 8) ( + x + 20 − x + )( x + + + x + 20 2 Do ) +1 > Vậy nghiệm bất phương trình x ≥ Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy + ≤ y Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x+ y x − xy + y 2 + 2y − x 6( x + y ) 0.25 0.25 1.0 x y −1 1  1  Do x > 0, y > 0, xy ≤ y − nên < ≤ = − = −  −  ≤ y y y y  y 2 x 1 t +1 t−2 t +1 Đặt t = ⇒ < t ≤ Khi P = − = − + 2 y t − t + 6t + t − t + 2(t + 1) − 3t Ta có P '(t ) = − 2(t + 1) 2 t2 − t + ( ) ⇒ t − t + = t (t − 1) + < 3; − 3t > 6; t + > , − 3t − 3t 1 1 > > ;− > − ⇒ P '(t ) > − >0 2( t + 1) 2 3 t −t +3 Vì < t ≤ ( 0.25 0.25 )  1 1 Vậy P(t ) đồng biến  0;  , suy P(t ) ≤ P   = +  4   30 0.25 7 1 Khi x = ; y = ta có P = + ⇒ MaxP = + ⇔ x = ; y = 2 30 30 0.25 Hết Trang 6/6 – Facebook.com/mathvn.com