Rẽ nhánh cho hệ động lực trơn từng khúc
RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG KHÚC Thầy hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Doanh Sinh viên:Vũ Quốc Uy Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN Ngày 24 tháng năm 2014 Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm 2014 / 24 Nội dung Khái niệm ví dụ Khái niệm Ví dụ Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Ổn định Rẽ nhánh Kết luận Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm 2014 / 24 Khái niệm ví dụ Khái niệm Khái niệm Về mặt vật lý, hệ có thay đổi đột ngột theo tham số (vận tốc, vị trí) tới ngưỡng, giới hạn Về mặt toán học, hệ động lực mà không gian pha phân hoạch biên chuyển (switching boundary) thành miền khác nhau, miền ứng với trường véc tơ (trơn) khác Hình 1: Mô tả quỹ đạo hệ động lực trơn khúc Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm 2014 / 24 Khái niệm ví dụ Khái niệm Hệ động lực trơn khúc Định nghĩa 1.1 Hệ động lực trơn khúc xác định tập hữu hạn phương trình vi phân thường x˙ = Fi (x, µ), với x ∈ Si , (1) đó, ∪i Si = D ⊂ Rn Si có phần khác rỗng Giao Σij := Si ∩ Sj đa tạp Rn−1 nằm biên ∂Sj ∂Si tập rỗng Mỗi véc tơ Fi trơn trạng thái x tham số µ, xác định dòng trơn ϕi (x, t) với tập mở U ⊃ Si Đặc biệt, dòng ϕi xác định hai phía biên ∂j Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm 2014 / 24 Khái niệm ví dụ Khái niệm Các lĩnh vực áp dụng Mô hình sinh thái, hệ động lực cạnh tranh thú mồi, Mạng lưới luật di truyền, Chuyển mạch diode, Bài toán điều khiển (điều khiển số), Phanh, khối lắc Va chạm, ma sát Kinh tế, Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm 2014 / 24 Khái niệm ví dụ Khái niệm Hệ Filippov Hình 2: Biên gián đoạn đặc trưng hệ hai chiều Filippov mô tả dáng điệu trường véc tơ hai phía Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm 2014 / 24 Khái niệm ví dụ Khái niệm Hệ lai Định nghĩa 1.2 Hệ lai trơn khúc bao gồm tập hợp hệ phương trình vi phân thường x˙ = Fi (x, µ), x ∈ Si , (2) với tập ánh xạ tái thiết lập x → Rij (x, µ), x ∈ Σij := S i ∩ S j (3) Hình 3: (a) Hệ lai (b) lớp toán va chạm hệ lai Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm 2014 / 24 Khái niệm ví dụ Khái niệm Hệ lai va chạm Định nghĩa 1.3 Hệ lai va chạm hệ lai trơn khúc với Rij : Σij → Σij , dòng bị ràng buộc địa phương để nằm phía biên, S i = Si ∪ Σij Hình 4: Mặt Σ quỹ đạo đa va chạm cho hệ lai va chạm với biên gián đoạn Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm 2014 / 24 Khái niệm ví dụ Ví dụ Bộ dao động song tuyến tính d 2u du +ζ + k1 u = cos(ωt), dt dt u < 0, (Miền S1 ) u > 0, (Miền S2 ) d 2u du + k2 u = cos(ωt), +ζ dt dt đó, u đặc trưng cho tọa độ vật thể Một ví dụ hệ song tuyến tính tìm hiểu [7], sử dụng để mô hình hóa dáng điệu chuyển động thuyền neo biển Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm 2014 / 24 Khái niệm ví dụ Ví dụ Bộ dao động song tuyến tính Và hệ song tuyến tính viết lại dạng hệ động lực cách đặt u = x1 , v = x2 t = x3 sau x˙1 = x2 , x˙2 = −2ζx2 − ki x1 + cos(x3 ), x˙3 = 1, (4) đó, giá trị ki phụ thuộc vào miền Si , với S1 = {x1 < 0}, S2 = x1 > Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 10 / 24 Khái niệm ví dụ Ví dụ Hệ động lực thú mồi khúc Xét hệ động lực thú mồi loài thú chia làm hai nhóm, nhóm sử dụng loại chiến thuật săn mồi khác chim ưng bồ câu Model I: n < Ca , dn dt dp dt = rn − Kn − anp, = −µp + αa np − αa n p 2C Model II: n > dn dt dp dt (5) C , a = rn − Kn − anp, = −µp + αa np − αC p 2 Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 (6) 11 / 24 Khái niệm ví dụ Ví dụ Hệ động lực thú mồi khúc Hình 5: Trường hợp αC > 8µ, (a) n3∗ < K , (b) n2∗ < K < n3∗ , (c) n1∗ < K < n2∗ (d) K < n1∗ Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 12 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Ổn định Ổn định Ổn định tiệm cận Ổn định cấu trúc Hình 6: Hình ảnh pha hai hệ tương đương topo không tương đương topo khúc Hình ảnh pha miền Si , i = 1, , tương đương topo với (a) (b) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 13 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Rẽ nhánh Các trường hợp rẽ nhánh cảm sinh gián đoạn thường gặp: Hình 7: Ví dụ rẽ nhánh cảm sinh gián đoạn: (a) rẽ nhánh với điểm cân biên; (b) rẽ nhánh lướt chu trình giới hạn; (c) rẽ nhánh trượt; (d) rẽ nhánh biên giao chữ thập Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 14 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn khúc liên tục Xét hệ hai chiều trơn khúc liên tục sau x˙1 = x2 x˙2 = −x1 + |x1 + µ| − |x1 − µ| −x2 − |x2 + µ| + |x2 − µ| (7) Hệ xấp xỉ trơn đối xứng hệ (7) x˙1 = x2 , x˙2 = −x1 + π2 arctan(ε(x1 + µ))(x1 + µ) − π2 arctan(ε(x1 − µ))(x1 − µ) −x2 − π2 arctan(ε(x2 + µ))(x2 + µ) + π2 arctan(ε(x2 − µ))(x2 − µ), Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 (8) 15 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn khúc liên tục Hệ xấp xỉ trơn bất đối xứng hệ (7) x˙1 = x2 , x˙2 = −x1 + π2 arctan(ε(x1 + µ))(x1 + µ) − π2 arctan(ε(x1 − µ))(x1 − µ) −x2 − π2 arctan(ε(x2 + µ))(x2 + µ) + π2 arctan(ε(x2 − µ))(x2 − µ) + 1ε , (9) Hình 8: Sơ đồ rẽ nhánh hệ trơn khúc (7) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 16 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn khúc liên tục Hình 9: Hệ rẽ nhánh đa giao (7) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 17 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn khúc liên tục Hình 10: Đường trị riêng hệ (7) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 18 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn khúc liên tục (Rẽ nhánh đa giao với điểm chuyển hướng) Xét hệ x˙1 = x1 + 2|x1 | + x2 , x˙2 = x1 + 2|x1 | + 12 x2 + µ, (10) hệ tuyến tính khúc, có biên chuyển Σ = {x ∈ R|x = 0} Hình 11: Hình ảnh pha sơ đồ rẽ nhánh hệ xấp xỉ trơn đối xứng hệ (10) đường trị riêng J (0) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 19 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn khúc liên tục Hình 12: Hình ảnh pha sơ đồ rẽ nhánh hệ xấp xỉ trơn với hệ (10) ε = 20 Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 20 / 24 Kết luận Kết luận Hệ khúc có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực sinh học, kinh tế, vật lý Đồ án tổng hợp kiến thức bản, ví dụ để giúp tiếp cận tới hệ động lực khúc Chúng có dáng điệu hệ động lực độc đáo, Có nhiều vấn đề chưa xử lý, nghiên cứu Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 21 / 24 Kết luận Tài liệu tham khảo A J van der Schaft, Johannes Maria Schumacher, An Introduction to Hybrid Dynamical Systems, Front Cover Springer, 2000 Bernardo, M., Budd, C.J., Champney, A.R, Bifurcations of dynamical systems with sliding:derivation of normal formal mappings, Physica 170,175-205,2001 Bernardo, M., Budd, C., Champneys, A.R., Kowalczyk,P., Piecewise-smooth dynamical systems Theory and Applications, Springer, Hardcover, 2008 John Hogan, Piecewise dynamical systems presentation, 2012 Jitka Kuhnova - Lenka Pribylova, A predator-prey model with allee effect and fast strategy evolution dynamics of predators using dove tactics, publication, Viện toán Ứng dụng &hawk Tin học - and ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆMathematical ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNG Ngày KHÚC 24 tháng năm2011 2014 22 / 24 Kết luận Kuznetsov Yu-1.A, Elements of applied bifurcation theory, 1998 R.I Leine, Bifurcations of equilibria in non-smooth continuous systems, 2006 R.I Leine, D.H.van Campen, Bifurcation phenomena in non-smooth dynamical systems, 2006 Pierre Auger, Rafael Bravo de la Parra, Serge Morand, Eva Sáanchez, A predator–prey model with predators using hawk and dove tactics, Mathematical Biosciences, Vol 9, 4: 307-329, 2001 Z Zhusubalyev, E Mosekilde, Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems, World Scientific, 2003 S V Drakunov and V I Utkin, Sliding mode control in dynamic systems, Internat J Control, 55, 1029-1037, 1992 Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 23 / 24 Kết luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô bạn ý lắng nghe! Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 24 / 24 [...]... ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 16 / 24 Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục Hình 9: Hệ rẽ nhánh đa giao (7) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 17 / 24 Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc. .. dụ về rẽ nhánh cảm sinh gián đoạn: (a) rẽ nhánh với điểm cân bằng trên biên; (b) rẽ nhánh lướt của chu trình giới hạn; (c) rẽ nhánh trượt; (d) rẽ nhánh biên giao nhau chữ thập Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 14 / 24 Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục Xét hệ hai... Hình ảnh pha và sơ đồ rẽ nhánh của hệ xấp xỉ trơn đối xứng của hệ (10) và đường trị riêng của J (0) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 19 / 24 Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục Hình 12: Hình ảnh pha và sơ đồ rẽ nhánh của hệ xấp xỉ trơn với hệ (10) và ε = 20 Viện... 10: Đường trị riêng của hệ (7) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 18 / 24 Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục (Rẽ nhánh đa giao với điểm chuyển hướng) Xét hệ x˙1 = x1 + 2|x1 | + x2 , x˙2 = x1 + 2|x1 | + 12 x2 + µ, (10) là hệ tuyến tính từng khúc, có biên chuyển Σ... và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn từng khúc liên tục Hệ xấp xỉ trơn bất đối xứng của hệ (7) x˙1 = x2 , x˙2 = −x1 + π2 arctan(ε(x1 + µ))(x1 + µ) − π2 arctan(ε(x1 − µ))(x1 − µ) −x2 − π2 arctan(ε(x2 + µ))(x2 + µ) + π2 arctan(ε(x2 − µ))(x2 − µ) + 1ε , (9) Hình 8: Sơ đồ rẽ nhánh của hệ trơn từng khúc (7) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG... Hình 6: Hình ảnh pha của hai hệ tương đương topo nhưng không tương đương topo từng khúc Hình ảnh pha trong mỗi miền Si , i = 1, , 4 là tương đương topo với nhau giữa (a) và (b) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 13 / 24 Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc Rẽ nhánh Rẽ nhánh Các trường hợp rẽ nhánh cảm sinh gián đoạn thường... NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 (6) 11 / 24 Khái niệm và ví dụ Ví dụ Hệ động lực thú mồi từng khúc Hình 5: Trường hợp αC > 8µ, (a) n3∗ < K , (b) n2∗ < K < n3∗ , (c) n1∗ < K < n2∗ và (d) K < n1∗ Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 12 / 24 Ổn định và rẽ nhánh của hệ động lực trơn từng khúc Ổn định Ổn định... và ε = 20 Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 20 / 24 Kết luận Kết luận Hệ từng khúc có những ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều lĩnh vực sinh học, kinh tế, vật lý Đồ án đã tổng hợp các kiến thức cơ bản, các ví dụ để giúp tiếp cận tới hệ động lực từng khúc Chúng có dáng điệu hệ động lực độc đáo, duy nhất Có nhiều vấn đề còn chưa được... dynamic systems, Internat J Control, 55, 1029-1037, 1992 Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 23 / 24 Kết luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô và các bạn đã chú ý lắng nghe! Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm 2014 24 / 24 ... tục Xét hệ hai chiều trơn từng khúc liên tục sau x˙1 = x2 x˙2 = −x1 + |x1 + µ| − |x1 − µ| −x2 − |x2 + µ| + |x2 − µ| (7) Hệ xấp xỉ trơn đối xứng của hệ (7) x˙1 = x2 , x˙2 = −x1 + π2 arctan(ε(x1 + µ))(x1 + µ) − π2 arctan(ε(x1 − µ))(x1 − µ) −x2 − π2 arctan(ε(x2 + µ))(x2 + µ) + π2 arctan(ε(x2 − µ))(x2 − µ), Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng 6 năm ... - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 (8) 15 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn khúc liên tục Hệ xấp xỉ trơn bất... hệ trơn khúc (7) Viện toán Ứng dụng & Tin học - ĐH BKHN RẼ NHÁNH CHO HỆ ĐỘNG LỰC TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 16 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực. .. TRƠN TỪNGNgày KHÚC 24 tháng năm 2014 19 / 24 Ổn định rẽ nhánh hệ động lực trơn khúc Rẽ nhánh Dáng điệu hệ động lực trơn khúc liên tục Hình 12: Hình ảnh pha sơ đồ rẽ nhánh hệ xấp xỉ trơn với hệ