Tính toán kết cấu ngoài giới hạn đàn hồi

Nếu thanh làm việc ở trạng thái chịu lực phức tạp thì phải tính giá trị ứng suất tương đương theo một thuyết bền nào đó rồi so sánh với ứng suất cho phép  .. Như vậy với cách tính này

NHIỆM VỤ XÁC ĐỊNH TTGH CỦA KẾT CẤU DẠNG TẤM CHỊU UỐN

I Khái quát chung về TTGH của kết cấu:

1 Khái niệm chung.

Trong những bài toán mà ta nghiên cứu thì việc tính toán độ bền là căn cứ vào ứng suất lớn nhất xuất hiện trong thanh phải nhỏ hơn giá trị ứng suất cho phép   mà chúng ta xây dựng trước đây

Ví dụ các bài toán về kéo, nén, uốn và xoắn thuần túy, ta có điều kiện bền là:

 

 

n

n o

o



















 max max

Trong đó: - o, o là những giới hạn nguy hiểm (có thể là giới hạn chảy đối với vật liệu dẻo và giới hạn bền với vật liệu giòn)

- n là hệ số an toàn

Nếu thanh làm việc ở trạng thái chịu lực phức tạp thì phải tính giá trị ứng suất tương

đương theo một thuyết bền nào đó rồi so sánh với ứng suất cho phép   Tính toán như thế gọi là tính toán độ bền theo ứng suất cho phép Như vậy với cách tính này thì chỉ cần một điểm, một số điểm hoặc một mặt cắt nào đó mà ứng suất của nó đạt đến giới hạn nguy hiểm o thì coi như kết cấu đã nguy hiểm và không còn sử dụng được nữa Cách tính theo ứng suất cho phép như vậy là đặt điều kiện vật liệu làm việc trong miền đàn hồi cho nên người ta còn gọi nó là phương pháp tính trong đàn hồi Thế nhưng trong thực tế những kết cấu làm bằng vật liệu dẻo thì trong trường hợp tuy tất cả các điểm trên một hoặc một vài mặt cắt ứng suất đạt tới giới hạn chảy, kết cấu vẫn còn khả năng chịu lực thêm, do vậy tính theo ứng suất cho phép ở trên là không phù hợp với nhiều bài toán thực tế và nó không tính hết khả năng chịu lực của kết cấu, không tiết kiệm được vật liệu

Với cách nhìn như vậy, song song với phương pháp ứng suất cho phép người ta đưa ra phương pháp tính theo trạng thái giới hạn hay tải trọng phá hủy

2 Phương pháp tính theo trạng thái giới hạn

Tính theo trạng thái giới hạn là phân tích sự làm việc của kết cấu cho đến khi phá hủy hoàn toàn hay bị biến hình toàn bộ kết cấu không còn có thể chịu tải được nữa Rõ ràng là với phương pháp này ta tận dụng hết khả năng của vật liệu và dĩ nhiên là rất tiết kiệm Song với việc tính theo trạng thái giới hạn (TTGH) đôi khi đưa đến những biến dạng quá lớn (vật làm việc ngoài miền đàn hồi), vượt quá giới hạn cho phép Do đó trong khi sử dụng phương pháp TTGH người ta chú trọng đặc biệt đến biến dạng Và đối với các chi tiết máy yêu cầu biến dạng nhỏ thì không dùng phương pháp TTGH mà phải sử dụng phương pháp ứng suất cho phép như trên Ngoài ra đối với những bài toán ứng suất thay đổi theo thời gian cũng không dùng phương pháp TTGH này được

Điều kiện bền theo phương pháp TTGH được đánh giá thông qua sự so sánh hệ

số an toàn và hệ số an toàn cho phép  n

P

P

n gh





Trong đó: - n là hệ số an toàn; Pgh là giá trị lớn nhất mà kết cấu chịu được; P là tải trọng thực tế tác dụng lên hệ kết cấu;  n là hệ số an toàn cho phép, phụ thuộc vào nhiều yếu tố và được xác định trước (thường được cho trong các sổ tay kĩ thuật

Cơ sở của cách tính theo TTGH là giả thiết về đồ thị quan hệ ứng suất và biến dạng Căn cứ vào biểu đồ thí nghiệm về kéo vật liệu dẻo, từ biểu đồ này người ta coi như lí tưởng hóa từ khi xuất hiện giới hạn chảy thì vật liệu làm việc ứng với thời kì chảy dẻo kéo dài mà không có thời kì củng cố nữa, đồng thời xem giới hạn chảy và giới hạn tỉ lệ trùng nhau

 ch

 th





 ch

 th









Sự lí tưởng hóa này cũng có cơ sở thực tế vì giai đoạn chảy rất lớn thường gấp 1020 lần so với giai đoạn tỉ lệ Biểu đồ này được gọi là biểu đồ đàn dẻo lí tưởng, thép tương đối phù hợp với biểu đồ này là sơ đồ prant

Theo sơ đồ này: ở giai đoạn đầu ứng suất nhỏ hơn giới hạn chảy ch thì vật liệu làm việc hoàn toàn đàn hồi, quan hệ ứng suất và biến dạng tuân theo định luật Hook và kết thúc tại điểm A(ch, ch) Sau đó thì vật liệu chuyển sang chảy dẻo, ứng suất tăng và giữ là hằng số, đồng thời biến dạng ở nơi nguy hiểm nhất của kết cấu sẽ tăng lên, hiện tượng này sẽ xuất hiện ở một nơi và cứ thế lan dần ra các nơi khác của kết cấu cho đến khi kết cấu bị phá hủy hoàn toàn hoặc bị biến hình toàn cục Khi đó ta nói kết cấu đã tới trạng thái giới hạn Tải trọng ứng với trạng thái giới hạn này của kết cấu được gọi là tải trọng giới hạn và kí hiệu là Pgh Đôi khi người ta bỏ qua cả giai đoạn đàn hồi, tức là xem giai đoạn này quá ngắn so với giai đoạn chảy dẻo Biểu đồ này là biểu đồ cứng dẻo lí tưởng Trong việc tính theo TTGH ngoài việc sử dụng biểu thức trên người ta cũng có thể sử dụng cách so sánh khác:

 

n

P P





max

 P gọi là tải trọng cho phép

II Cách xác định cận dưới của tải trọng giới hạn:

Đường lối chung:

Theo nguyên lý chung của định lý tĩnh ta có: Trạng thái ứng suất khả dĩ tĩnh luôn thỏa mãn điều kiện cân bằng và nằm trong hoặc trên mặt (đường) giới hạn (chảy dẻo)

Do đó, để xác định tải trọng giới hạn, ta dùng ngay điều kiện cân bằng, điều kiện dẻo dạng (3) và (4):

Điều kiện cân bằng: Øi (Q1, Q2, …) = 0 (3)

Điều kiện dẻo: fi (Q1, Q2, …) = C (4) C – Hằng số thực nghiệm

Để minh hoạ cho ý tưởng nêu trên, xét bài toán vỏ tròn xoay có chiều dày h không đổi chịu tải trọng đối xứng trục

Xét cân bằng của một phân tố được tách ra khỏi vỏ bởi hai mặt phẳng kinh tuyến

và hai mặt phẳng vĩ tuyến gần sát nhau (Như hình vẽ trên), ta nhận được 3 phương trình cân bằng là:

0 )

(

0 )

(

0 )

(

1 1

1 1

1 1

'























R R Q Cos R M R M d d

RZ R R Q d

d Sin R N R N

RY R RQ Cos

R N R N d d































(10)

Trong đó: Y, Z là cường độ của tải trọng ngoài tác dụng trong mặt phẳng kinh tuyến song song với các trục tọa độ R1, R2 là các bán kính cong của các đường cong chính

Từ điều kiện dẻo Mises ta có:

2 2 2

4 2 2

1

ch M

M M M h N N N N

h               (11) Khi các thành phần ứng lực trong vỏ nêu trên thỏa mãn điều kiện (11) thì xuất hiện một miền dọc theo đường vĩ tuyến mà ở đó vật liệu bị chảy dẻo hoàn toàn Điều kiện (11) cho phép ta dùng để xác định cận dưới của tải trọng giới hạn Thực tế thì lúc này, kết cấu hầu như hết khả năng chịu lực Do đó, với kết cấu phức tạp dạng tấm vỏ thì việc xác định cận dưới của tải trọng giới hạn cũng được coi như việc xác định tải trọng ứng với trường hợp kết cấu hoàn toàn hết khả năng chịu lực Điều này hoàn toàn phù hợp với thực tế

Bài toán xác định tải trọng giới hạn của kết cấu tấm vỏ là bài toán phức tạp Bài toán này không có thuật toán chung mà phải tùy từng kết cấu cụ thể

Thông thường, ta đặt thêm hàm phụ f(  ) (với  : phụ thuộc vào điều kiện biên) biểu thị sự quan hệ giữa các thành phần ứng lực với nhau Dùng phương trình cân bằng

và điều kiện biên về ứng lực có thể xác định được các hàm phụ được chọn Các hàm phụ này phải chọn sao cho điều kiện dẻo được thỏa mãn

III Ví dụ minh họa:

Tấm chữ nhật 4 biên tựa khớp chịu tải trọng tập trung tại điểm 14 Tìm những vị trí tấm bị “chảy dẻo” hoàn toàn theo bề dày ứng với cận dưới của trạng thái giới hạn

Các thông số tính toán như sau:

- Tấm kích thước: 18i x 12i (m)

- Môđun đàn hồi: E = 2,0.1011 (N/m2)

- Chiều dài đoạn chia: i = 0,5 (m)

- Chiều dày tấm: h = 0,01 (m)

- Hệ số poission:  = 0,25

- Ứng suất chảy của vật liệu: σch = 3,0.108 (N/m2)

Chịu tải trọng tập trung P= 10 5 N tại vị trí 14 ứng với x o =7i; y o =3i

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37 38 39 40

x

y

i 2i 3i 4i 5i 6i 7i 8i 9i 10i i

2i

4i

3i

5i

6i

7i

Bài làm:

Xét tấm chữ nhật bốn biên tựa khớp chịu tải trọng tập trung P tại điểm bất kỳ có tọa độ

xo; yo như hình vẽ

Xo=7i Yo=

3i

y

14

Trong trường hợp này ta thay lực bằng tải trọng phân bố trên diện tích vô cùng bé dxdy: P=q.dxdy => q P.

dx dy



Khi tính hệ số qmn theo công thức

0 0

4

a b mn

m x n y

hàm số q(x,y) bằng không ở khắp mọi nơi, trừ điểm có tọa độ x=xo; y=yo

đặt phần chuỗi trong công thức:

K=

q x y dxdy



Với trường hợp trường hợp tải tập trung:

.sinm x o.sinn y o

K P



Ta tính được:

4

mn

m x n y P

A

m n Dab

a b



Phương trình độ võng:

2

4

m x n y

P a b m x n y w

a b



Từ phương trình độ võng ta thay vào công thức tính mô men uốn và xoắn:

x

M D

x  y

y

M D

y  x

x y

 

Với  là hệ số Poison

3 2

Eh

D





 là độ cứng trụ của tấm

Suy ra:

2

4

m x n y m n

M

a b







;

2

4

m x n y n m

a b b a

M

a b







;

m x n y

a b





;

Điều kiện cận dưới của TTGH:

Mx2 + My2 – MxMy + 3Mxy2 = Md2 = (σch.h2/4)2 = σch2.h4/16 (*)

Thực hiện tính toán số bằng sự trợ giúp của phần mềm Visual basic như sau:

my

Function my(a, b, xo, yo, v, sovong, x, y)

Dim m, n, k1, k2 As Integer

my = 0

For k1 = 1 To sovong

m = k1 + 1

For k2 = 1 To sovong

n = k2 + 1

my = my + (Sin(m * 3.14 * xo / a) * Sin(n * 3.14 * yo / b)) * ((n ^ 2) / (b ^ 2) + v * (m ^ 2) / (a ^ 2)) * (Sin(m * 3.14 * x / a) * Sin(n * 3.14 * y / b)) / ((m ^ 2) / (a ^ 2) + (n

^ 2) / (b ^ 2)) ^ 2

Next k2

Next k1

End Function

mxy

Function mxy(a, b, sovong, x, y)

Dim m, n, k1, k2 As Integer

mxy = 0

For k1 = 1 To sovong

m = k1 + 1

For k2 = 1 To sovong

n = k2 + 1

mxy = mxy + (Cos(m * 3.14 * x / a) * Cos(n * 3.14 * y / b)) / ((m ^ 2) / (a ^ 2) + (n ^ 2) / (b ^ 2)) ^ 2

Next k2

Next k1

End Function

mx

Function mx(a, b, xo, yo, v, sovong, x, y)

Dim m, n, k1, k2 As Integer

mx = 0

For k1 = 1 To sovong

m = k1 + 1

For k2 = 1 To sovong

n = k2 + 1

mx = mx + (Sin(m * 3.14 * xo / a) * Sin(n * 3.14 * yo / b)) * ((m ^ 2) / (a ^ 2) + v * (n ^ 2) / (b ^ 2)) * (Sin(m * 3.14 * x / a) * Sin(n * 3.14 * y / b)) / ((m ^ 2) / (a ^ 2) + (n ^ 2) / (b ^ 2)) ^ 2

Next k2

Next k1

End Function