BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO -ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011 Môn thi: TOÁN; Khối D Thời gian làm : 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x +1 x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành Câu II (2,0 điểm) s in2x + cos x − sin x − =0 tan x + 2 Giải phương trình log (8 − x ) + log ( + x + − x ) − = (x ∈ ¡ ) Giải phương trình Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 4x − dx 2x + + Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) · vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a x − ( y + 2) x + xy = m ( x, y ∈ ¡ ) Câu V (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x + x − y = − 2m PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh làm hai phần (phần A B) Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) đường thẳng chứa phân giác góc A có phương trình x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A C Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng d : x +1 y z − = = Viết phương trình −2 đường thẳng ∆ qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d cắt trục Ox Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết : z − (2 + 3i ) z = − 9i B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tỏa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) đường tròn (C) : x + y2 − 2x + 4y − = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) điểm M N cho tam giác AMN vuông cân A Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x −1 y − z = = mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z = Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng ∆, bán kính tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = x + 3x + đoạn [0;2] x +1 Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………… …….Số báo danh: ……………… BÀI GIẢI GỢI Ý Câu I : Khảo sát vẽ đồ thị (C) D = R \ {-1} y/ = > với x ∈ D ( x + 1) lim y = +∞ lim+ y = −∞ ⇒ x = -1 TCĐ x →−1− lim y = x →±∞ BBT : x →−1 ⇒ y = TCN x -∞ / y -1 + y + +∞ +∞ -∞ Hàm số đồng biến khoảng xác định, cực trị y Đồ thị hàm số : -1 O x Pt hoành độ giao điểm : 2x + = kx + 2k + x +1 ⇔ kx2 + (3k - 1)x + 2k = (x = -1 không nghiệm) Ycbt : ⇔ k ≠ ∆ = k2 - 6k + > ⇔ k < − 2 ∨ k > + 2 k ≠ (*) Khoảng cách từ A B đến Ox kx A = kxB (loai ) − 3k ⇔ k( ) + 4k + = k k ( x A + xB ) + k + = ⇔ yA=yB ⇔ kx A + 2k + = kxB + 2k + ⇔ ⇔ k = – (thỏa đk (*) ) Câu II : 1) Vậy YCBT ⇔ k = – sin x + cos x − sin x − = đk : tg x ≠ − ; cosx ≠ tan x + Pt ⇔ sin2x + 2cosx − sinx − = ⇔ 2sinxcosx + 2cosx − (sinx + 1) = ⇔ 2cosx (sinx + 1) − (sinx + 1)= ⇔ (2cosx − 1)(sinx + 1) = π x = ± + k 2π cos x = π ⇔ so đk ta có nghiệm pt : x = + k 2π (k ∈ Z) ⇔ π sin x = −1 x = − + k 2π log (8 − x ) − log ( + x + − x) = (x ∈ [-1;1]) 2) ⇔ log (8 − x ) = + log ( + x + − x) ⇔ − x2 = 4( + x + − x ) (*) Đặt t = + x + − x (*) thành (t −2)2 (t2 + 4t + 8) = ⇔ t = ⇔ 1+ x + 1− x = Câu III : I= ∫ ⇔ x = (nhận) 4x −1 dx 2x +1 + 2 x + + => (t - 2)dt = dx (2t − 8t + 5)(t − 2) 10 34 dt = (2t − 12t + 21 − )dt = + 10 ln => I = ∫ ∫ t t 3 Đặt t = Câu IV : Gọi H hình chiếu S xuống BC Vì (SBC) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC) Ta có SH = a Thể tích khối (SABC) = 1 SVABC SH = ( 3a.4a).a = 2a 3 3 Ta có : Tam giác SAC vuông S SA = a 21 ; SC = 2a; AC = 5a S B Diện tích ∆(SAC) = a 21 H J 3VSABC 3.2a 3 6a d(B,(SAC)) = = = S ∆SAC a 21 I C A Câu V : u = x − x (dk u ≥ − ) Đặt v = x − y (v ∈ ¡ ) v = − m − u v = (1 − 2m) − u u + v = − 2m ⇔ ⇔ −u + u Hệ thành : = m (1) uv = m −u + u = m(2u + 1) 2u + −2u − 2u + / −u + u −1 − −1 + Đặt f(u) = ;f (u)=0 ⇔ u = (loại) hay u = , u ≥ − ; f/(u) = (2u + 1) 2u + 2 −1 + − u +∞ 2 ( x − x )(2 x − y ) = m Hệ ( x − x ) + (2 x − y ) = − 2m f/(u) + − 2− f(u) − –∞ Vậy hệ có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm thuộc − ; +∞ ÷ ⇔ m ≤ Câu VIa : uuuur Gọi M trung điểm AC, ta có BM = 2− 3 uuur 7 BG ⇔ M ;1÷ 2 Gọi N điểm đối xứng B qua phân giác ∆ góc A H giao điểm ∆ với đường thẳng BN Đường thẳng BN có phương trình : x + y + = x + y + = ⇒ H (−1; −2) x − y −1 = => Tọa độ H nghiệm hệ phương trình : x N = xH − x B = ⇒ N (2; −5) y N = y H − y B = −5 H trung điểm BN ⇔ Đường thẳng AC qua điểm M, N nên có pt : 4x – y – 13 = A giao điểm đường thẳng ∆ đường thẳng AC nên tọa độ A nghiệm x − y − 13 = ⇒ A(4;3) x − y −1 = hệ : xC = xM − x A = ⇒ C (3; −1) yC = yM − y A = −1 M trung điểm AC ⇔ uuuur Gọi M giao điểm đường thẳng ∆ với Ox ⇒ M (m; 0; 0) ⇒ AM = (m – 1; -2; -3) uuuur uur uuuur AM ⊥ d ⇔ AM ad = ⇔ m = -1 ⇒ AM = (-2; -2; -3) Vậy pt ∆ x −1 y − z − = = 2 Câu VII.a : Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) Khi z − (2 + 3i) z = – 9i ⇔ a + bi – (2 + 3i)(a –bi) = – 9i −a − 3b = a = ⇔ 3b − 3a = −9 b = −1 ⇔ –(a + 3b) + (3b –3a)i = –9i ⇔ Vậy z = –i Câu VI.b : Đường tròn (C) có tâm I (1; -2), R = 10 uur AI (0; −2) Vì I A cách M, N nên MN ⊥ AI, pt MN có dạng : y = b MN = d A / MN = b d I / MN = b + 2 MN 2 d I2/ MN + ÷ = R ⇔ b + 2b − = ⇒ b = v b = −3 Vậy Pt : ∆1 : y = ; ∆2 : y = − Phương trình tham số đường thẳng ∆ x = + 2t y = + 4t z = t I ∈ (∆) ⇔ I (1 + 2t; + 4t; t) d (I, P) = 2(1 + 2t ) − (3 + 4t ) + 2t = ⇔ t = hay t = -1 ⇒ I1 (5; 11; 2) ⇒ Pt mặt cầu (S) : (x – 5)2 + (y – 11)2 + (z – 2)2 = ⇒ I2 (-1; -1; -1) ⇒ Pt mặt cầu (S) : (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = Câu VII.b : Ta có : y/ = 2x2 + 4x / 17 ; y = ⇔ x = v x = – (loại) mà y(0) = y(2) = ( x + 1) Vậy GTLN 17 GTNN 3 ... (ABC) Ta có SH = a Thể tích khối (SABC) = 1 SVABC SH = ( 3a. 4a) .a = 2a 3 3 Ta có : Tam giác SAC vuông S SA = a 21 ; SC = 2a; AC = 5a S B Diện tích ∆(SAC) = a 21 H J 3VSABC 3. 2a 3 6a d (B, (SAC))... + 3i) (a –bi) = – 9i a − 3b = a = ⇔ 3b − 3a = −9 b = −1 ⇔ – (a + 3b) + ( 3b – 3a) i = –9i ⇔ Vậy z = –i Câu VI .b : Đường tròn (C) có tâm I (1; -2 ), R = 10 uur AI (0; −2) Vì I A cách M, N nên... N nên MN ⊥ AI, pt MN có d ng : y = b MN = d A / MN = b d I / MN = b + 2 MN 2 d I2/ MN + ÷ = R ⇔ b + 2b − = ⇒ b = v b = −3 Vậy Pt : ∆1 : y = ; ∆2 : y = − Phương trình tham số đường thẳng