www.VNMATH.com SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2011-2012 Môn thi: TOÁN, khối D Thời gian làm : 180 phút, không kể thời gian phát đề I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc âm tạo với trục hoành góc 450 Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: 2sin x(cos x − sin x) = sin x + cos x x2 − y − = ( x, y ∈ R ) Giải hệ phương trình (x + y − 1) − (x − y )2 − = Câu III (1,0 điểm) Tìm ∫ (1 + sin x) cos x dx π sin( x + ) Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A' B ' C ' có AC = a, BC = 2a, ∠ACB = 120 , AC ' tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 60 , G trọng tâm tam giác AB' C ' Tính thể tích khối tứ diện GABC Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn hàm số: y = x − x + II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy , lập phương trình đường thẳng qua M (1;3) cách điểm I (3;−1) khoảng 2 Trong hệ toạ độ Oxy , lập phương trình đường tròn qua A(− 2;1) tiếp xúc với trục toạ độ Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình: log (3 x + 2) + = log (2 x + 3) B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x + y − x + y + = Lập phương trình tiếp tuyến (C ) qua điểm M (1;3) Trong hệ toạ độ Oxy , lập phương trình tắc elip qua điểm M (2;3) có phương trình đường chuẩn x + = 4 x − y − 125 = Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: log (2 x + y ) − log (2 x − y ) = Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh……………………….; Số báo danh…………………… www.VNMATH.com ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2011 Môn thi: TOÁN, khối D ( Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN Đáp án Câu I 1.(1.0 điểm) (2.0 • Tập xác định: D = R điểm) • Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y ' = x − x Điểm 0.25 y ' = ⇔ x = 0; x = Hàm số đồng biến khoảng (−∞;0) ; (2;+∞) nghịch biến khoảng (0;2) -Cực trị:Hàm số đạt cực đại x=0; ycđ=0; hàm số đạt cực tiểu x = ; yct = − 0.25 -Giới hạn tiệm cận: lim y = − ∞ , lim y = + ∞ x → -∞ - Bảng biến thiên: x → +∞ x y’ −∞ + y 0 - −∞ • Đồ thị: +∞ + +∞ 0.25 -4/3 y -1 O x 0.25 -4/3 -2 -4 2.(1.0 điểm) Vì tiếp tuyến có hệ số góc âm tạo với trục hoành góc 45 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = −1 y ' = −1 ⇔ x − x = −1 0.25 ⇔ x =1 với x = ⇒ y = − 0.25 0.25 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = −( x − 1) − hay y = − x + 3 Trang 1/4 0.25 www.VNMATH.com Câu Đáp án II 1.(1.0 điểm) (2.0 phương trình cho tương đương với điểm) sin x cos x = sin x + cos x ⇔ sin x − sin x = sin x + cos x π cos x = sin x ⇔ sin(3x − ) = sin x sin x − 2 π π x = + kπ 3 x − = x + k 2π (k ∈ Z ) ⇔ (k ∈ Z ) ⇔ x = π + k π 3 x − π = π − x + k 2π π π ⇔ x = +k (k ∈ Z ) π π Vậy phương trình có nghiệm x = + k (k ∈ Z ) ⇔ Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 2.(1.0 điểm) Điều kiện : x − y ≠ (x + y )( x − y ) = Hệ cho tương đương với: ( x y ) + − − −3 = ( x − y )2 ab = Đặt a = x + y, b = x − y (b ≠ 0) ta có (a − 1) − b − = a = 1 a b = b = ⇔ ⇔ ( thoả mãn) a = − a a − 2a + − −3=0 b = −8 III (1.0 điểm) x = x + y = y = x − y = ⇔ ⇔ x + y = − x = − 35 x − y = −8 y = 29 (1 + sin x) cos xdx = ∫ (sin x + cos x) (cos x − sin x)dx I =∫ π sin( x + ) Đặt t = sin x + cos x → dt = (cos x − sin x )dx 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 I = ∫ t dt = 0.25 t +c= (sin x + cos x) + C 3 Vậy I = (sin x + cos x) + C 0.25 I= Trang 2/4 www.VNMATH.com IV (1.0 điểm) Ta có S ∆ABC = B’ A’ a2 AC.BC sin ∠ACB = 2 0.25 Vì CC ' ⊥ ( ABC ) nên C’ ∠( AC ' , ( ABC )) = ∠C ' AC = 600 G 0.25 ⇒ CC ' = AC tan 60 = a 2a d (G , ( ABC )) = CC ' = 3 a3 ( đơn vị thể tích) VGABC = d (G , ( ABC )).S ∆ABC = 3 a3 ( đơn vị thể tích) Vậy VGABC = B A C V Tập xác định D = R (1.0 2x ' điểm) y = − 0.25 0.25 0.25 x +1 y' = ⇔ x= 0.25 Ta có bảng biến thiên x −∞ y’ +∞ + - y Từ bảng biến thiên ta có max y = − x = 2a − 4b a +b 2 0.25 VIa 1.(1.0 điểm) (1.0 Phương trình đường thẳng qua M có dạng a ( x − 1) + b( y − 3) = điểm) d ( I , ∆) = ⇔ 0.25 − (∆ ) với a + b ≠ =2 b = ⇔ 3b = 4a với b = chọn a = ta có x − = Với 3b = 4a chọn = ; b = ta có 3x + y − 15 = Vậy có hai đường thẳng thoả mãn đề là: x − = 3x + y − 15 = 2.(1.0 điểm) Gọi I (a; b) tâm đường tròn đường tròn qua A tiếp xúc với trục toạ độ nên IA = d ( I , Ox) = d ( I , Oy) ⇔ (a + 2) + (b − 1) = b = a ( x + 1) + ( y − 1) = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 a = −1 a = −5 ⇔ b = b = Có hai đường tròn thoả mãn 0.25 0.25 Và ( x + 5) + ( y − 5) = 25 Trang 3/4 0.25 www.VNMATH.com VIIa Điều kiện x > − (*) (1.0 điểm) phương trình cho ⇔ log 5(3x + 2) = log (2 x + 3) 0.25 ⇔ 5(3 x + 2) = (2 x + 3) 0.25 x = 8x − x − x + = ⇔ x = − Đối chiếu với điều kiện ta x = Vậy phương trình có nghiệm x = 0.25 VIb 1.(1.0 điểm) (1.0 Đường tròn có tâm I (3;−1) bán kính R = điểm) Phương trình tiếp tuyến qua A(1;3) có dạng a ( x − 1) + b( y − 3) = b = =2⇔ 3b = 4a a2 + b2 với b = chọn a = ta có x − = Với 3b = 4a chọn = ; b = ta có 3x + y − 15 = Vậy có hai tiếp tuyến là: x − = 3x + y − 15 = d ( I , ∆) = ⇔ 2a − 4b 0.25 (∆ ) với a + b ≠ 0.25 0.25 0.25 0.25 2.(1.0 điểm) 4 + =1 y x a b Gọi phương trình ( E ) : + = (a > b > 0) Từ giả thiết ta có a b a = c 2 Ta có (2) ⇔ a = 8c ⇒ b = a − c = 8c − c = c(8 − c) Thay vào (1) ta c = ⇔ 2c − 17c + 26 = ⇔ 13 c = (1) 0.25 ( 2) + =1 8c c (8 − c ) 0.25 0.25 * Nếu c = a = 16, b = 12 ⇒ ( E ) : x2 y + = 16 12 39 13 x2 y2 * Nếu c = a = 52, b = ⇒ (E) : + = 52 39 / VIIb 2 x + y > Điều kiện: (1.0 2 x − y > điểm) log (2 x + y ) + log (2 x − y ) = Hệ phương trình cho tương đương với log (2 x + y ) − log (2 x − y ) = log (2 x + y ) = ⇔ log (2 x − y ) = 2 x + y = 25 ⇔ 2 x − y = 15 15 x = x = ( thoả mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có nghiệm ⇔ ⇔ y = 10 y = 10 3 Hết -Gv: Trần Văn Hưng Trang 4/4 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ... Trang 2/4 www.VNMATH.com IV (1.0 điểm) Ta có S ∆ABC = B A a2 AC.BC sin ∠ACB = 2 0.25 Vì CC ' ⊥ ( ABC ) nên C’ ∠( AC ' , ( ABC )) = ∠C ' AC = 600 G 0.25 ⇒ CC ' = AC tan 60 = a 2a d (G , ( ABC...www.VNMATH.com ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 2011 Môn thi: TOÁN, khối D ( Đáp án - thang điểm gồm 04 trang) ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM SỞ GD&ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN... −3 = ( x − y )2 ab = Đặt a = x + y, b = x − y (b ≠ 0) ta có (a − 1) − b − = a = 1 a b = b = ⇔ ⇔ ( thoả mãn) a = − a a − 2a + − −3=0 b = −8 III (1.0 điểm)