Đề thi thử đại học năm 2010 Môn: Toán Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) Sở gd & đt bắc ninh TRNG THPT lơng tài Đề thức PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH (7 im) Cõu I (2 im) Cho hm s y = f ( x) = x x Kho sỏt v v th (C) ca hm s Trờn (C) ly hai im phõn bit A v B cú honh ln lt l a v b Tỡm iu kin i vi a v b hai tip tuyn ca (C) ti A v B song song vi Cõu II (2 im) ( cos x sin x ) 1 Gii phng trỡnh lng giỏc: = tan x + cot x cot x 1 2 Gii bt phng trỡnh: log x x + + log x > log ( x + 3) 3 Cõu III (1 im) Tớnh tớch phõn: I = cos x ( sin x + cos x ) dx Cõu IV (1 im) Cho mt hỡnh tr trũn xoay v hỡnh vuụng ABCD cnh a cú hai nh liờn tip A, B nm trờn ng trũn ỏy th nht ca hỡnh tr, hai nh cũn li nm trờn ng trũn ỏy th hai ca hỡnh tr Mt phng (ABCD) to vi ỏy hỡnh tr gúc 450 Tớnh din tớch xung quanh v th tớch ca hỡnh tr Cõu V (1 im) Cho phng trỡnh x + x + 2m x ( x ) x ( x ) = m Tỡm m phng trỡnh cú mt nghim nht PHN RIấNG (3 im): Thớ sinh ch lm mt hai phn (Phn hoc phn 2) Theo chng trỡnh chun Cõu VI.a (2 im) Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C) v ng thng nh bi: (C ) : x + y x y = 0; : x + y 12 = Tỡm im M trờn cho t M v c vi (C) hai tip tuyn lp vi mt gúc 600 Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho t din ABCD vi A(2;1;0), B(1;1;3), C(2;-1;3), D(1;-1;0) Tỡm ta tõm v bỏn kớnh ca mt cu ngoi tip t din ABCD Cõu VII.a (1 im) Cú 10 viờn bi cú bỏn kớnh khỏc nhau, viờn bi xanh cú bỏn kớnh khỏc v viờn bi vng cú bỏn kớnh khỏc Hi cú bao nhiờu cỏch chn viờn bi cú ba mu? Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b (2 im) Trong mt phng ta Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú din tớch bng 12, tõm I thuc ng thng ( d ) : x y = v cú honh xI = , trung im ca mt cnh l giao im ca (d) v trc Ox Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh ch nht Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho mt cu (S) v mt phng (P) cú phng trỡnh l ( S ) : x + y + z x + y z + = 0, ( P) : x + y z + 16 = im M di ng trờn (S) v im N di ng trờn (P) Tớnh di ngn nht ca on thng MN Xỏc nh v trớ ca M, N tng ng Cõu VII.b (1 im) Cho a, b, c l nhng s dng tha món: a + b + c = Chng minh bt ng thc 1 4 + + + + a+b b+c c+a a +7 b +7 c +7 Ht P N Ni dung Cõ í u I im 2,00 1,00 Ta cú f '( x) = x3 x Gi a, b ln lt l honh ca A v B H s gúc tip tuyn ca (C) ti A v B l k A = f '(a ) = 4a 4a, k B = f '(b) = 4b 4b 3 Tip tuyn ti A, B ln lt cú phng trỡnh l: y = f ' ( a ) ( x a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f (a ) af' ( a ) ; y = f ' ( b ) ( x b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f (b) bf' ( b ) Hai tip tuyn ca (C) ti A v B song song hoc trựng v ch khi: k A = k B 4a 4a = 4b3 4b ( a b ) ( a + ab + b 1) = (1) Vỡ A v B phõn bit nờn a b , ú (1) tng ng vi phng trỡnh: a + ab + b2 = (2) Mt khỏc hai tip tuyn ca (C) ti A v B trựng 2 a + ab + b2 = a + ab + b = ( a b) 4 , 3a + 2a = 3b + 2b f ( a ) af ' ( a ) = f ( b ) bf ' ( b ) Gii h ny ta c nghim l (a;b) = (-1;1), hoc (a;b) = (1;-1), hai nghim ny tng ng vi cựng mt cp im trờn th l ( 1; 1) v ( 1; 1) Vy iu kin cn v hai tip tuyn ca (C) ti A v B song song vi l a + ab + b = a a b II cos x.sin x.sin x ( tan x + cot x ) cot x iu kin: T (1) ta cú: sin x cos x cos x + sin x = ( cos x sin x ) cos x.sin x = sin x cos x cos x sin x 2sin x.cos x = sin x x = + k cos x = ( k  x = + k ) 2,00 1,00 0,25 0,25 0,25 Giao vi iu kin, ta c h nghim ca phng trỡnh ó cho l x= + k ( k  ) 0,25 1,00 iu kin: x > Phng trỡnh ó cho tng ng: 0,25 1 log ( x x + ) + log 31 ( x ) > log 31 ( x + 3) 2 1 log ( x x + ) log ( x ) > log ( x + ) 2 log ( x ) ( x 3) > log ( x ) log ( x + 3) 0,25 x < 10 x2 x2 log ( x ) ( x 3) > log x > x x > ( ) ( ) ữ x+3 x+3 x > 10 Giao vi iu kin, ta c nghim ca phng trỡnh ó cho l x > 10 III 0,25 0,25 1,00 1,00 I = cos x sin 2 x ữdx = sin 2 x ữd ( sin x ) 2 0,50 12 12 1 = d ( sin x ) sin 2 xd ( sin x ) = sin x| sin x| = 0 20 40 12 IV 050 1,00 Gi M, N theo th t l trung im ca AB v CD Khi ú OM AB v O ' N CD Gi s I l giao im ca MN v OO t R = OA v h = OO Khi ú: IOM vuụng cõn ti O nờn: OM = OI = 0,25 h 2a IM = h= a 2 2 2 a a 3a a a + = Ta cú: R = OA = AM + MO = ữ + ữ = 8 ữ 2 2 a a a 3a a a = V = R h = = , v S xq = Rh=2 2 2 16 V 0,25 0,5 1,00 Phng trỡnh x + x + 2m x ( x ) x ( x ) = m (1) iu kin : x Nu x [ 0;1] tha (1) thỡ x cng tha (1) nờn (1) cú nghim nht thỡ cn cú iu kin x = x x = Thay x = m = 1 + m = m3 2 m = 1 vo (1) ta c: 0,25 * Vi m = 0; (1) tr thnh: ( x x ) =0 x= 0,25 Phng trỡnh cú nghim nht * Vi m = -1; (1) tr thnh x + x x ( x ) x ( x ) = ( ( ) ( ) x + x x ( x) + x +1 x x ( x) = x x + Vi + Vi ) +( x x ) =0 0,25 x x = x = x x = x = Trng hp ny, (1) cng cú nghim nht * Vi m = thỡ (1) tr thnh: x + x 24 x ( x) = x ( x) ( x x Ta thy phng trỡnh (1) cú nghim x = 0, x = ) =( x x ) nờn trng hp ny 0,25 (1) khụng cú nghim nht Vy phng trỡnh cú nghim nht m = v m = -1 VI a 2,00 1,00 ng trũn (C) cú tõm I(2;1) v bỏn kớnh R = Gi A, B l hai tip im ca (C) vi hai tip ca (C) k t M Nu hai tip tuyn ny lp vi mt gúc 60 thỡ IAM l na tam giỏc u suy IM = 2R=2 Nh th im M nm trờn ng trũn (T) cú phng trỡnh: 2 ( x ) + ( y 1) = 20 Mt khỏc, im M nm trờn ng thng , nờn ta ca M nghim ỳng ( x ) + ( y 1) = 20 (1) h phng trỡnh: x + y 12 = (2) 0,25 0,25 Kh x gia (1) v (2) ta c: x = ( y + 10 ) + ( y 1) = 20 y 42 y + 81 = 27 x= 27 33 Vy cú hai im tha bi l: M 3; ữ hoc M ; ữ 10 2 2 Ta tớnh c AB = CD = 10, AC = BD = 13, AD = BC = 0,25 0,25 1,00 0,25 Vy t din ABCD cú cỏc cp cnh i ụi mt bng T ú ABCD l mt t din gn u Do ú tõm ca mt cu ngoi tip ca t din l trng tõm G ca t din ny Vy mt cu ngoi tip t din ABCD cú tõm l G ;0; ữ, bỏn kớnh l 2 0,25 14 R = GA = VII a 0,50 1,00 S cỏch chn viờn bi tựy ý l : C189 Nhng trng hp khụng cú ba viờn bi khỏc mu l: + Khụng cú bi : Kh nng ny khụng xy vỡ tng cỏc viờn bi xanh v vng ch l + Khụng cú bi xanh: cú C139 cỏch + Khụng cú bi vng: cú C159 cỏch Mt khỏc cỏc cỏch chn khụng cú bi xanh, khụng cú bi vng thỡ cú C109 cỏch chn viờn bi c tớnh hai ln Vy s cỏch chn viờn bi cú c ba mu l: C109 + C189 C139 C159 = 42910 cỏch VI b 0,25 0,25 0,50 2,00 1,00 I cú honh xI = 9 v I ( d ) : x y = I ; ữ 2 Vai trũ A, B, C, D l nh nờn trung im M ca cnh AD l giao im ca (d) v Ox, suy M(3;0) AB = IM = ( xI xM ) + ( y I yM ) = S ABCD = AB AD = 12 AD = 9 + =3 4 S ABCD 12 = = 2 AB AD ( d ) , suy phng trỡnh AD: ( x 3) + ( y ) = x + y = M AD Li cú MA = MD = 0,50 Vy ta A, D l nghim ca h phng trỡnh: x + y = y = x + y = x + 2 2 2 ( x 3) + y = ( x 3) + y = ( x 3) + ( x ) = y = x x = x = hoc Vy A(2;1), D(4;-1), x = y = y = x +x xI = A C xC = xI x A = = I ; ữ l trung im ca AC, suy ra: 2 yC = yI y A = = y = y A + yC I Tng t I cng l trung im BD nờn ta cú: B(5;4) Vy ta cỏc nh ca hỡnh ch nht l (2;1), (5;4), (7;2), (4;-1) 0,50 1,00 Mt cu (S) tõm I(2;-1;3) v cú bỏn kớnh R = Khong cỏch t I n mt phng (P): d = d ( I,( P) ) = 2.2 + ( 1) + 16 0,25 =5 d > R Do ú (P) v (S) khụng cú im chung.Do vy, MN = d R = -3 = Trong trng hp ny, M v trớ M0 v N v trớ N0 D thy N0 l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn mt phng (P) v M0 l giao im ca on thng IN0 vi mt cu (S) Gi l ng thng i qua im I v vuụng gúc vi (P), thỡ N l giao im ca v (P) r ng thng cú vect ch phng l n P = ( 2; 2; 1) v qua I nờn cú phng 0,25 x = + 2t trỡnh l y = + 2t ( t Ă ) z = t Ta ca N0 ng vi t nghim ỳng phng trỡnh: ( + 2t ) + ( + 2t ) ( t ) + 16 = 9t + 15 = t = 15 = 13 14 Suy N ; ; ữ 3 uuuur uuur Ta cú IM = IN Suy M0(0;-3;4) 0,25 0,25 VII b 1,00 1 p dng bt ng thc x + y x + y ( x > 0, y > 0) 1 1 1 + ; + ; + Ta cú: a + b b + c a + 2b + c b + c c + a a + b + 2c c + a a + b 2a+b+c 0,50 Ta li cú: 2 = 2a + b + c + 4a 2b 2c 2 2a + b + c 2a + b + c + a + ( a 1) + ( b 1) + ( c 1) 2 2 ; 2b + c + a b + 2c + a + b c + 1 4 + + + + T ú suy a+b b+c c+a a +7 b +7 c +7 Tng t: ng thc xy v ch a = b = c = 0,50 ... yM ) = S ABCD = AB AD = 12 ⇔ AD = 9 + =3 4 S ABCD 12 = = 2 AB AD ⊥ ( d ) , suy phương trình AD: ( x − 3) + ( y − ) = ⇔ x + y − = M ∈ AD Lại có MA = MD = 0,5 0 Vậy t a độ A, D nghiệm... 4a − 4a = 4b3 − 4b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b − 1) = (1) Vì A B phân biệt nên a ≠ b , (1) tương đương với phương trình: a + ab + b2 − = (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng 2 a + ab + b2 −... a + ab + b2 − = a + ab + b − = ⇔ ( a ≠ b) ⇔ 4 , − 3a + 2a = − 3b + 2b f ( a ) − af ' ( a ) = f ( b ) − bf ' ( b ) Giải hệ ta nghiệm (a; b) = (-1;1 ), (a; b) = (1;-1 ), hai nghiệm tương ứng