Tai lieu toan cao cap giai tich4 . Tai lieu dung cho sinh vien dai hoc nam hai. Noi dung : Chuong 1 : Tich phan boi Chuong 2 : Tich phan chua tham so Chuong 3 : Tich phan duong Chuong 4 : Tich phan mat
GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH IV Huỳnh Thế Phùng, Khoa Toán, ĐHKH Huế Ngày 26 tháng năm 2006 Mục lục Chương Tích phân bội 1.1 Tích phân Riemann hộp đóng Rn 1.1.1 Hình hộp - Phân hoạch 1.1.2 Định nghĩa tích phân Riemann 1.1.3 Các tính chất 1.1.4 Định lý khả tích Lebesgue 1.2 Tích phân tập 1.2.1 Tập đo Jordan 1.2.2 Tích phân Riemann tập bị chặn - Tính chất 1.3 Định lý Fubini 10 1.3.1 Công thức tổng quát 10 1.3.2 Công thức tính tích phân hai lớp 11 1.3.3 Công thức tính tích phân ba lớp 12 1.4 Phép đổi biến tích phân bội 13 1.4.1 Công thức tổng quát 13 1.4.2 Đổi biến sang toạ độ cực 14 1.4.3 Đổi biến sang toạ độ trụ toạ độ cầu 15 1.5 Ứng dụng tích phân bội 16 1.5.1 Thể tích vật thể trụ, diện tích hình phẳng 16 1.5.2 Diện tích mặt cong 16 1.5.3 Khối lượng, trọng tâm phẳng 17 1.5.4 Khối lượng, trọng tâm cố thể 18 1.6 Thực hành tính toán 18 1.6.1 Tích phân bội 18 1.6.2 Tích phân lặp 19 1.7 Bài tập 20 Chương Tích phân phụ thuộc tham số 22 2.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận 22 2.2 Tích phân với cận hàm tham số 23 2.3 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 24 2.3.1 Hội tụ - Hội tụ 24 2.3.2 Các tiêu chuẩn hội tụ 24 2.3.3 Tính chất tích phân hội tụ 25 2.4 Một số tích phân quan trọng 26 2.4.1 Hàm Gamma 26 2.4.2 Hàm Beta 26 2.4.3 Tích phân Dirichlet 27 2.5 Thực hành tính toán 27 2.6 Bài tập 28 Chương Tích phân đường - Tích phân mặt 29 3.1 Tích phân đường loại I 29 3.1.1 Định nghĩa 29 3.1.2 Các tính chất 30 3.1.3 Cách tính 31 3.1.4 Ứng dụng 31 3.2 Tích phân đường loại II 32 3.2.1 Định nghĩa 32 3.2.2 Cách tính tích phân đường loại II 33 3.2.3 Ý nghĩa vật lý tích phân đường loại II 34 3.2.4 Công thức Green 34 3.2.5 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường 35 3.3 Tích phân mặt loại I 35 3.3.1 Định nghĩa 35 3.3.2 Cách tính 36 3.3.3 Ứng dụng 37 3.4 Tích phân mặt loại II 37 3.4.1 Mặt hai phía định hướng 37 3.4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II 38 3.4.3 Cách tính 38 3.4.4 Ý nghĩa vật lý tích phân mặt loại II 39 3.4.5 Công thức Stokes 39 3.4.6 Công thức Ostrogradski 40 3.5 Thực hành tính toán 40 3.6 Bài tập 40 Chương TÍCH PHÂN BỘI 1.1 Tích phân Riemann hộp đóng Rn 1.1.1 Hình hộp - Phân hoạch Ta gọi hộp Rn tập hợp có dạng n D= Ij , (1.1) đó, Ij khoảng R (tức có dạng (aj , bj ), (aj , bj ], [aj , bj ), [aj , bj ]) Nếu Ij khoảng đóng (mở) D gọi hộp ◦ đóng (mở) Dễ thấy với D hộp D D hộp mở (có thể rỗng) đóng Khoảng Ij gọi suy biến tập điểm D gọi hộp k chiều có k khoảng Ij không suy biến Lúc đó, k < n ta gọi D hộp suy biến, D gọi hộp không suy biến ngược lại ◦ Dễ thấy D hộp suy biến D = ∅ D gọi hộp mở tương đối k chiều k khoảng không suy biến cấu tạo nên D khoảng mở Chẳng hạn hộp mở tương đối chiều R2 hình chữ nhật mở mặt phẳng có cạnh song song với trục toạ độ, hộp mở tương đối chiều R2 đoạn thẳng (không kể mút) song song với trục toạ độ, hộp mở tương đối hai chiều R3 hình chữ nhật (không kể cạnh) có cạnh song song với trục toạ độ, hộp mở tương đối chiều tập điểm Có thể kiểm tra hộp đóng n chiều biểu diễn dạng hợp 3n hộp mở tương đối (có chiều từ đến n) rời nhau!! Với hộp D cho (1.1), ta gọi giá trị n Vol(D) := λ(Ij ), (1.2) ◦ ¯ có với λ(Ij ) ký hiệu độ dài khoảng Ij , thể tích D Rõ ràng, D, D D thể tích hộp tích không hộp suy biến Ta dễ dàng chứng minh kết sau Bổ đề 1.1 Giả sử D1 , D2 , · · · , Dm hộp có phần rời cho hợp chúng hộp D Rn Lúc m Vol(D) = Vol(Dk ) Bây xét hộp đóng n D= [aj , bj ] = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × · · · × [an , bn ] Phân hoạch P D gồm n phân hoạch đoạn [a1 , b1 ], · · · , [an , bn ] : a1 = x10 < x11 < · · · < x1k(1) = b1 ; a2 = x20 < x21 < · · · < x2k(2) = b2 ; ··· an = xn0 < xn1 < · · · < xnk(n) = bn Lúc P xác định họ P(D) gồm m = k(1) × k(2) × · · · × k(n) hộp đóng có phần rời Ta gọi đường kính phân hoạch P giá trị sau ρ(P) := max{xij − xij−1 | ≤ j ≤ k(i); ≤ i ≤ n} Cuối cùng, môt phân hoạch Q gọi mịn phân hoạch P (hay P thô Q) với E ∈ Q(D) tồn E ∈ P(D) cho E ⊂ E Lúc ta ký hiệu P Q 1.1.2 Định nghĩa tích phân Riemann Cho f hàm bị chặn hình hộp D P phân hoạch D ta đặt bk := sup{f (x) | x ∈ Dk }, ak := inf{f (x) | x ∈ Dk }; Dk ∈ P(D) Lúc đó, tổng m S ∗ (f ; P) := m bk Vol(Dk ); k=1 S∗ (f ; P) := ak Vol(Dk ) k=1 gọi tổng Darboux tổng Darboux f D tương ứng với phân hoạch P Ta chứng minh tính chất sau tổng Darboux: a) S ∗ (f ; P) ≥ S∗ (f ; P) với phân hoạch P b) Nếu Q phân hoạch mịn P S∗ (f ; P) ≤ S∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; Q) ≤ S ∗ (f ; P) c) Với phân hoạch P Q D ta có S∗ (f ; P) ≤ S ∗ (f ; Q) Cho f hàm bị chặn hộp đóng D Ta gọi tích phân tích phân f D giá trị sau − f := inf S ∗ (f ; P) f := sup S∗ (f ; P); P P −D D đây, sup inf lấy tất phân hoạch D Rõ ràng, ta luôn − có f ≤ f Hàm f gọi khả tích D −D D − f= −D f = I D Lúc đó, I gọi tích phân Riemann hàm f hộp D ký hiệu cách sau f; D f (x)dx; D f (x1 , x2 , · · · , xn )dx1 · · · dxn D hay ··· f (x1 , x2 , · · · , xn )dx1 · · · dxn D Đặc biệt, trường hợp hay chiều người ta thường thay ký hiệu tích phân D D hay , gọi tích phân hai lớp hay ba lớp Cụ thể, với D n = ta có D f (x, y)dxdy với n = f (x, y, z)dxdydz D Ví dụ 1.1 Tích phân hàm hằng, hàm Dirichlet Định lý 1.1 Hàm bị chặn f khả tích D với > tồn phân hoạch P cho S ∗ (f ; P) − S∗ (f ; P) < 1.1.3 Các tính chất a) Nếu f khả tích D α ∈ R hàm αf khả tích D αf = α f D D b) Nếu f, g hàm khả tích D f ± g khả tích D (f ± g) = D f± D g D c) Nếu f, g khả tích D, đồng thời f (x) ≤ g(x) với x ∈ D, f≤ D g D d) Nếu f hàm khả tích D m ≤ f (x) ≤ M với x ∈ D m Vol(D) ≤ f (x)dx ≤ M Vol(D) D 1.1.4 Định lý khả tích Lebesgue Một tập S ⊂ Rn gọi có độ đo (n−chiều) không với dãy hình hộp đóng (Dk )k cho ∞ ∞ Dk S⊂ k=1 > tồn Vol(Dk ) < k=1 Rõ ràng định nghĩa ta lấy hình hộp mở thay cho hình hộp đóng Ta dễ dàng kiểm tra khẳng định sau: a) Nếu S1 ⊂ S2 S2 có độ đo không S1 b) Nếu Sn có độ đo không với n ∈ N, ∪Sn có độ đo không Từ suy tập không đếm có độ đo không c) Một hình hộp có độ đo không suy biến Định lý 1.2 (Lebesgue) Một hàm f bị chặn hình hộp đóng D khả tích tập điểm gián đoạn f có độ đo không Để chứng minh định lý ta cần số kết bổ trợ Giả sử f hàm bị chặn tập D ⊂ Rn Với x ∈ D δ > ta đặt ω(f, x, δ) := sup{|f (y) − f (y )| : y, y ∈ D ∩ B(x; δ)} Ta gọi dao độ hàm f x giá trị sau ω(f, x) := lim ω(f, x, δ) = inf ω(f, x, δ) δ→0+ δ>0 Bổ đề 1.2 Hàm f liên tục x0 ∈ D ω(f, x0 ) = Bổ đề 1.3 Giả sử f hàm bị chặn hình hộp đóng D số dương cho ω(f, x) < với x ∈ D Lúc tồn phân hoạch P D mà S ∗ (f ; P) − S∗ (f ; P) < Vol(D) Bổ đề 1.4 Cho f hàm bị chặn tập đóng D Lúc đó, với số dương tập hợp sau đóng {x ∈ D | ω(f, x) ≥ } ˜ hai hình hộp, f hàm xác định D Ta định nghĩa Bây cho D ⊂ D hàm mở rộng: f (x), x ∈ D, f˜(x) := ˜ \ D 0, x∈D Lúc đó, áp dụng Định lý Lebesgue ta thấy f khả tích D f˜ khả ˜ ˜ f˜ = tích D f D D Hệ 1.1 Nếu f g hàm khả tích hình hộp D hàm f.g Hệ 1.2 (Định lý giá trị trung bình) Giả sử f g hàm khả tích hình hộp D thoả mãn m ≤ f (x) ≤ M ; g(x) ≥ 0; ∀x ∈ D, với m M số Khi đó, tồn µ ∈ [m, M ] cho f (x)g(x)dx = µ D g(x)dx D Hệ 1.3 Nếu f hàm khả tích hình hộp D hàm |f | Hơn nữa, ta có f (x)dx ≤ D |f (x)|dx D 1.2 Tích phân tập 1.2.1 Tập đo Jordan Cho G ⊂ Rn Ta gọi hàm χG : Rn → R xác định χG (x) = x ∈ G, x ∈ G hàm đặc trưng tập hợp G Tập hợp bị chặn G ⊂ Rn gọi đo Jordan tồn hình hộp đóng D ⊃ G cho hàm χG khả tích D Lúc số Vol(G) := χG D gọi thể tích G Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: - Thể tích tập đo Jordan G không phụ thuộc việc chọn hình hộp D chứa - Mọi hình hộp đo thể tích trùng với định nghĩa thể tích cho Công thức (1.2) - Một tập tích không có độ đọ không (xem Bài tập 1.4) Tuy nhiên, tập có độ đo không không đo Jordan, nên không tích không Định lý 1.3 Tập bị chặn G đo Jordan ∂G có độ đo không Điều ∂G tập hợp điểm gián đoạn hàm χG Hệ 1.4 a) Nếu G tập đo Jordan D hình hộp chứa G D \ G đo Jordan Lúc đó, Vol(D \ G) = Vol(D) − Vol(G) b) Nếu G1 G2 đo Jordan, hợp, giao, hiệu chúng Hơn nữa: Vol(G1 ∪ G2 ) = Vol(G1 ) + Vol(G2 ) − Vol(G1 ∩ G2 ) 1.2.2 Tích phân Riemann tập bị chặn - Tính chất Cho G ⊂ Rn f hàm số xác định hình hộp đóng D ⊃ G Ta nói hàm f khả tích G hàm f.χG khả tích D viết f := G f χG D Cũng định nghĩa độ đo Jordan, định nghĩa hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn hình hộp D Nếu G tập đo Jordan f hàm khả tích D, f khả tích G Sau số tính chất tích phân tập đo Định lý 1.4 Cho G tập đo f, g hàm khả tích G Lúc đó, a) Với số thực α, hàm αf khả tích G αf = α G f G 28 −x xe y2 * Tính đạo hàm hàm F (y) = dx : y2 [> F:= y − > int((x/y∧2)*exp(-x∧2/y∧2),x=0 1); xe F := y− > − x2 y y2 dx [> diff(F(y),y); − 2.6 e − y2 y3 Bài tập 2.1 Tính đạo hàm tích phân phụ thuộc tham số: x3 −x F (x) := ln(y +1) arctan(1 + xy)dy; G(y) := cos x cos(x2 + y)dx sin y 2.2 Tính tích phân ∞ sin ax x ∞ dx, cos ax dx, (1 + x2 )2 ∞ 2.3 Chứng minh tích phân G(y) = ∞ sin(x2 ) cos(2ax)dx −∞ e−(x−y) dx hội tụ (−∞, β], với β ∈ R, không hội tụ R 2.4 Chứng minh Công thức Frullani ∞ f (ax) − f (bx) b dx = f (0) ln x a ∞ đó, f hàm liên tục tích phân A (a > 0, b > 0), f (x) dx có nghĩa với A > x 2.5 Sử dụng Tích phân Dirichlet Công thức Frullani để tính tích phân sau ∞ sin4 (ax) − sin4 (bx) dx, x ∞ sin ax cos bx dx, x ∞ sin ax sin bx dx x 2.6 Dùng hàm Gamma Beta để tính tích phân sau √ a ∞ ∞ √ dx dx x 2 √ x a − x dx, dx, , , n (1 + x) 1+x − xn 0 0 π π ∞ ∞ p−1 2 x ln x 2n −x2 sin x cos xdx, x e dx, tann xdx, dx 1+x 0 0 Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT 3.1 Tích phân đường loại I 3.1.1 Định nghĩa Cho C = AB đường cong trơn (trong mặt phẳng không gian), f hàm xác định điểm M ∈ C Ta nói phân hoạch C tập hợp P = {A0 , A1 , · · · , Am } ⊂ C cho A0 = A, Am = B cặp cung Ai−1 Ai , Ai Ai+1 có điểm chung Ai Ký hiệu ∆si độ dài cung Ai−1 Ai ρ(P) := max{∆s1 , ∆s2 , · · · , ∆sm } Trên cung Ai−1 Ai ta chọn điểm Mi lập tổng m σ(P) := f (Mi ).∆si Nếu tồn giới hạn f ds := lim σ(P) AB ρ(P)→0 không phụ thuộc vào cách chọn P điểm Mi , giới hạn gọi tích phân đường loại I hàm f AB f gọi khả tích C 30 3.1.2 Các tính chất Từ định nghĩa tích phân đường loại I, ta có tính chất sau mà việc kiểm chứng khó khăn: Giả sử f g hai hàm khả tích AB, λ số thực Lúc a) f khả tích cung BA f ds = f ds AB BA Khi A = B, tức C đường cong kín, có hai chiều từ A đến C Tuy nhiên, nhờ tính chất nên việc lấy tích phân theo hai chiều cho kết b) λf khả tích AB f ds λf ds = λ AB AB c) f ± g khả tích AB f ± gds = AB d) Nếu f ≥ AB f ds ± AB gds AB f ds ≥ e) |f | khả tích AB |f |ds ≥ AB f ds AB f) Nếu β ≥ f (M ) ≥ α với M ∈ AB, β.s(AB) ≥ f ds ≥ α.s(AB) AB Đặc biệt, f liên tục tồn M0 ∈ AB cho f ds = f (M0 ).s(AB) AB g) Nếu C ∈ AB f khả tích AB f khả tích hai cung AC CB Hơn nữa, lúc f ds = AB f ds + AC f ds CB 31 3.1.3 Cách tính Giả sử AB đường cong phẳng có phương trình tham số AB : x = x(t), t ∈ [a, b], y = y(t); với hàm x(t), y(t) khả vi liên tục Từ định nghĩa tích phân đường sử dụng công thức vi phân cung: ds = x (t)2 + y (t)2 dt, ta chứng minh công thức tính tích phân đường loại I b f (x, y)ds = AB f (x(t), y(t)) x (t)2 + y (t)2 dt (3.1) a Nếu AB đường cong trơn không gian ta có công thức tương tự: b f (x(t), y(t), z(t)) x (t)2 + y (t)2 + z (t)2 dt f (x, y, z)ds = (3.2) a AB Trường hợp đường cong phẳng AB đồ thị hàm số y = g(x), x ∈ [a, b], từ (3.1) ta có b f (x, y)ds = AB f (x, g(x)) + g (x)2 dx (3.3) a Cuối AB đường cong trơn khúc công thức đúng, cách lấy tích phân cung nhỏ cộng lại 3.1.4 Ứng dụng a) Diện tích mặt cong Giả sử C đường cong phẳng f (x, y) ≥ với (x, y) ∈ C Lúc đó, từ định nghĩa ta suy mặt cong S = {(x, y, z) | (x, y) ∈ C; f (x, y) ≥ z ≥ 0} không gian có diện tích mặt tích phân đường loại I f C Tức DT (S) = f (x, y)ds C b) Khối lượng, trọng tâm dây Cho dây chất điểm biểu thị đường cong C (phẳng không gian), với khối lượng riêng chất 32 điếm M ∈ C f (M ) ≥ Lúc đó, lập luận quen thuộc, khối lượng dây toạ độ trọng tâm I dây tính m= f ds; C xI = m x.f ds, yI = C m 3.2 Tích phân đường loại II 3.2.1 Định nghĩa y.f ds, · · · C Cho C = AB đường cong trơn phẳng F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) hàm vec-tơ xác định điểm M (x, y) ∈ C Với phân hoạch P = {A0 , A1 , · · · , Am } ⊂ C cách chọn điểm Mi ∈ Ai−1 Ai , ta lập tổng m σ ¯ (P) := (P (Mi ).∆xi + Q(Mi ).∆yi ) (3.4) Nếu tồn giới hạn P (x, y)dx + Q(x, y)dy := lim σ ¯ (P) ρ(P)→0 AB (3.5) không phụ thuộc vào cách chọn phân hoạch P điểm Mi , giới hạn gọi tích phân đường loại II hàm vec-tơ F = (P, Q) AB Chú ý rằng, xét cung BA thay cung AB, phân hoạch P = {A0 , A1 , · · · , Am } phải có A0 = B Am = A Do đó, lập tổng (3.4) ta nhận σ ¯ (P ) với dấu ngược lại Cuối cùng, qua giới hạn ta nhận P (x, y)dx + Q(x, y)dy = − BA P (x, y)dx + Q(x, y)dy AB Trường hợp đường cong khép kín Nếu C đường cong kín, tức A = B, khác với tích phân đường loại I, tích phân đường loại II lấy theo hai chiều khác C cho hai giá trị có dấu ngược Vì vậy, trường hợp cần rõ tích phân lấy theo chiều Để thống nhất, người ta quy ước đường cong kín chiều dương (+) chiều âm (-) Giả sử đường cong kín C xác định hình phẳng giới nội D Lúc đó, chiều (+) C chiều mà dọc theo 33 thấy miền D nằm bên trái, chiều (-) chiều ngược lại Định nghĩa áp dụng cho trường hợp C hợp số hữu hạn đường cong kín rời mà tạo hình phẳng D liên thông Lúc đó, D gọi miền đa liên Với quy ước chiều vậy, tích phân đường loại II hàm F đường cong kín C theo chiều dương ký hiệu P (x, y)dx + Q(x, y)dy, C theo chiều âm − P (x, y)dx + Q(x, y)dy C 3.2.2 Cách tính tích phân đường loại II Giả sử AB đường cong phẳng có phương trình tham số x = x(t), t ∈ [a, b], y = y(t); AB : với hàm x(t), y(t) khả vi liên tục P (x, y), Q(x, y) hàm liên tục Lúc đó, từ biểu thức (3.5) ta có công thức tích phân đường loại II sau b P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t) dt (3.6) a Trường hợp AB đồ thị hàm y = f (x), x ∈ [a, b] ta có b P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB P (x, f (x)) + Q(x, f (x))f (x) dx (3.7) a Đặc biệt, AB đoạn thẳng đường thẳng y = y0 b P (x, y)dx + Q(x, y)dy = AB P (x, y0 )dx a Bây giả sử AB đường cong không gian, cho hệ x = x(t), AB : y = y(t) t ∈ [a, b], z = z(t); (3.8) 34 P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) hàm xác định, liên tục AB Bằng thủ tục tương tự, ta có định nghĩa tích phân đường loại II hàm vec-tơ (P, Q, R) cung AB có công thức tính tương tự: b P dx + Qdy + Rdz = P (· · · )x (t) + Q(· · · )y (t) + R(· · · )z (t) dt a AB 3.2.3 Ý nghĩa vật lý tích phân đường loại II Giả thiết mặt phẳng R2 có trường lực F , tức điểm (x, y) ∈ R2 có lực tác động F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) Hãy tính công chất điểm có khối lượng đơn vị di chuyển từ A đến B cung AB Rõ ràng, với phân hoạch P = {A0 , A1 , · · · , Am } cung AB với cách chọn điểm Mi ∈ Ai−1 Ai , công lực sinh điểm vật chất di chuyển từ A đến B xấp xỉ tổng m ω(P) = (P (Mi ).∆xi + Q(Mi ).∆yi ) Như vậy, cách hợp lý, ta định nghĩa công W lực sinh điểm vật chất di chuyển cung AB giới hạn ω(P) ρ(P) → 0, mà tích phân đường loại II F AB Tóm lại, ta có W = P (x, y)dx + Q(x, y)dy AB 3.2.4 Công thức Green Định lý 3.1 Cho D miền giới nội, có biên C gồm nhiều đường cong kín, trơn khúc Giả sử P (x, y), Q(x, y) hàm liên tục với đạo hàm riêng cấp miền chứa D ∪ C Lúc đó, P (x, y)dx = − C D ∂P dxdy; ∂y Q(x, y)dy = C D ∂Q dxdy ∂x Vì vậy, D ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy = P (x, y)dx + Q(x, y)dy C Áp dụng định lý cho trường hợp P (x, y) = −y Q(x, y) = x ta có công thức tính diện tích miền D: (xdy − ydx) m(D) = dxdy = xdy = − ydx = C D C C 35 3.2.5 Điều kiện để tích phân không phụ thuộc đường Định lý 3.2 Cho P (x, y), Q(x, y) hai hàm liên tục với đạo hàm riêng cấp miền đơn liên D Lúc đó, mệnh đề sau tương đương: ∂Q ∂P a) (x, y) = (x, y), với (x, y) ∈ D ∂y ∂x b) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, với đuờng cong kín C ⊂ D C c) P (x, y)dx + Q(x, y)dy, với AB ⊂ D, phụ thuộc vào hai mút A B AB mà không phụ thuộc đường cong từ A đến B d) P (x, y)dx + Q(x, y)dy vi phân toàn phần hàm U D Hệ 3.1 Nếu P (x, y)dx + Q(x, y)dy vi phân toàn phần hàm U (x, y) miền đơn liên D, P (x, y)dx + Q(x, y)dy = U (B) − U (A) AB ∂P ∂Q = với (x, y) ∈ R2 , P (x, y)dx + Q(x, y)dy vi ∂y ∂x phân toàn phần hàm sau R2 : Hệ 3.2 Nếu x U (x, y) = y P (u, y0 )du + x0 y = Q(x, v)dv + C y0 x Q(x0 , v)dv + y0 3.3 Tích phân mặt loại I 3.3.1 Định nghĩa P (u, y)du + C x0 Cho S mặt cong trơn không gian, f hàm xác định điểm M ∈ S Ta nói phân hoạch S tập hợp mảnh cong P = {S1 , S2 , · · · , Sm } cho Si ∩ Sj = ∅, với i = j ∪Si = S Ký hiệu ∆Si ρ(Si ) diện tích đường kính mảnh cong Si Ta gọi đường kính phân hoạch P giá trị ρ(P) := max{ρ(S1 ), ρ(S2 ), · · · , ρ(Sm )} 36 Trên mảnh Si ta chọn điểm Mi (xi , yi , zi ) lập tổng m σ(P) := f (Mi ).∆Si Nếu tồn giới hạn f (x, y, z)dS := lim σ(P) ρ(P)→0 S không phụ thuộc vào cách chọn P điểm Mi , giới hạn gọi tích phân mặt loại I hàm f S f gọi khả tích S 3.3.2 Cách tính Giả sử S mặt cong trơn, có hệ phương trình tham số x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D, z = z(u, v), f hàm liên tục S Lúc đó, f khả tích S Mặt khác, từ định nghĩa từ công thức tính diện tích mặt cong (1.3) ta thiết lập công thức tính tích phân mặt loại I sau f (x, y, z)dS = S f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) a b − a, b dudv, (3.9) D đó, a = (xu , yu , zu ) b = (xv , yv , zv ) Nếu ký hiệu vec-tơ v = a × b, tức v = (A, B, C); A= yu zu z x x y ; B= u u ; C= u u , yv zv z v xv xv y v (3.10) công thức (3.9) viết lại √ f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A2 + B + C dudv, f (x, y, z)dS = S (3.11) D Đặc biệt, S mặt trơn cho dạng hiển S = {(x, y, g(x, y)) | (x, y) ∈ D}, ta có công thức đơn giản hơn: f (x, y, z)dS = S f (x, y, g(x, y)) D + gx (x, y)2 + gy (x, y)2 dxdy (3.12) 37 3.3.3 Ứng dụng Tương tự tích phân đường loại I, tích phân mặt loại I sử dụng để tính khối lượng toạ độ trọng tâm mặt cong Cụ thể, mặt vật chất biểu thị mặt cong trơn S, với khối lượng riêng chất điếm M ∈ S f (M ) ≥ 0, khối lượng mặt toạ độ trọng tâm I mặt tính m= f (x, y, z)dS; S xI = m x.f dS, yI = S m y.f dS, zI = S 3.4 Tích phân mặt loại II 3.4.1 Mặt hai phía định hướng m z.f dS S Giả sử S mặt cong trơn, điểm M ∈ S ta có hai vec-tơ pháp tuyến đơn vị đối chiều n+ (M ) n− (M ) Nếu ta cho M di chuyển đường cong kín đơn AA S giữ cho n+ (M ) biến thiên liên tục, n+ (M ) xuất phát từ giá trị n+ (A) kết thúc giá trị n+ (A) n− (A) Nếu trường hợp vec-tơ pháp kết thúc n+ (A) S gọi mặt hai phía Trường hợp ngược lại, tồn đường cong kín AA mà di chuyển theo pháp tuyến kết thúc n− (A), S gọi mặt phía Những mặt thông thường mặt phẳng, mặt cầu, mặt cong hiển z = f (x, y) mặt hai phía, “lá Moebius” mặt phía Ở đây, ta xét mặt hai phía Mặt hai phía, điểm M xác định vec-tơ pháp n+ (M ) n− (M ), gọi mặt định hướng Hướng n+ gọi hướng dương hướng ngược lại hướng âm Giả sử S mặt định hướng Lúc đó, người ta quy định hướng cho đường cong kín C ⊂ S theo quy tắc “vặn nút chai” Cụ thể, hướng dương C hướng mà theo (với thân người hướng theo vec-tơ n+ ) ta thấy mảnh cong giới hạn C nằm phía tay trái Đối với mặt hai phía trơn mảnh, việc định hướng tiến hành mảnh cho hướng đường biên chung hai mảnh kề ngược Đối với mặt cong kín mặt cầu, mặt ê-lip, người ta thường định hướng “ra ngoài” “vào trong”; mặt cho dạng hiển z = f (x, y) người ta thường định hướng “lên trên” “xuống dưới” 38 3.4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II Cho S mặt cong trơn, định hướng, với n+ (M ) = (nx (M ), ny (M ), nz (M )) vec-tơ pháp đơn vị theo hướng dương điểm M ∈ S Lúc đó, với hàm vec-tơ F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) xác định S, ta có tương ứng hàm số f xác định S f (x, y, z) = F (x, y, z).n+ (x, y, z) = P (x, y, z)nx + Q(x, y, z)ny + R(x, y, z)nz Nếu tồn tích phân mặt loại I hàm f S, giá trị gọi tích phân mặt loại II hàm vec-tơ F S, hàm vec-tơ F gọi khả tích loại II S viết P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S P (x, y, z)nx + Q(x, y, z)ny + R(x, y, z)nz dS S Rõ ràng, mặt S định hướng ngược lại tích phân nhận đổi dấu 3.4.3 Cách tính Giả sử S mặt cong trơn, có hệ phương trình tham số x = x(u, v), y = y(u, v), (u, v) ∈ D, z = z(u, v), F = (P, Q, R) hàm vec-tơ liên tục S Lúc đó, F khả tích loại II S Tại điểm (x, y, z) ∈ S vec-tơ a = (xu , yu , zu ) b = (xv , yv , zv ) lập thành cặp vec-tơ phương tiếp diện Vì vec-tơ v định nghĩa (3.10) vec-tơ pháp mặt cong (x, y, z) Trước tiên giả sử v n+ hướng Lúc n+ = √ (A, B, C) A2 + B + C Từ định nghĩa ta có P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S S P.A + Q.B + R.C √ A2 + B + C dS P.A + Q.B + R.C dudv = D (3.13) 39 Trường hợp S định hướng ngược lại, n+ trái chiều với v, tích phân có thêm dấu trừ: P dydz + Qdzdx + Rdxdy = − S P.A + Q.B + R.C dudv (3.14) D Đặc biệt, S mặt cho dạng hiển z = g(x, y), (x, y) ∈ D, định hướng lên trên, P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S D R − P.gx − Q.gy dxdy (3.15) Nếu S mặt trơn mảnh tính tích phân mảnh cộng lại 3.4.4 Ý nghĩa vật lý tích phân mặt loại II Giả sử dòng vật chất với mật độ h(x, y, z), chịu tác động trường lực G(x, y, z) Hàm vec-tơ h.G = F = (P, Q, R) gọi trường lực dòng Lượng dòng chảy qua mặt S đơn vị thời gian gọi thông lượng dòng tính Φ= P dydz + Qdzdx + Rdxdy S 3.4.5 Công thức Stokes Định lý Stokes mở rộng Định lý Green cho đường cong kín không gian Định lý 3.3 Giả thiết S mặt cong trơn định hướng, có biên đường cong kín đơn C, F = (P, Q, R) hàm vec-tơ khả vi liên tục miền mở chứa S Lúc đó, P dx + Qdy + Rdz = C S (Qx − Py )dxdy + (Ry − Qz )dydz + (Pz − Qx )dzdx Hệ 3.3 Giả thiết V miền “đơn liên mặt” hàm P, Q, R liên tục đạo hàm riêng Py , Pz , Qz , Qx , Rx , Ry Khi ấy, tính chất sau tương đương a) ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R = , = , = , với (x, y, z) ∈ V ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x b) P dx + Qdy + Rdz = 0, với đuờng cong kín C ⊂ V C 40 c) P dx + Qdy + Rdz, với AB ⊂ V , phụ thuộc vào hai mút A B mà AB không phụ thuộc đường cong từ A đến B d) P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz vi phân toàn phần hàm U V 3.4.6 Công thức Ostrogradski Định lý Green cho ta công thức liên hệ tích phân hai lớp tích phân đường Định lý Ostrogradski cho ta công thức liên hệ tích phân ba lớp tích phân mặt Định lý 3.4 Giả thiết S mặt cong kín, trơn mảnh, bao quanh miền V R3 , định hướng Nếu hàm vec-tơ F = (P, Q, R) khả vi liên tục miền mở chứa V P dydz + Qdzdx + Rdxdy = S V ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z dxdydz Hệ 3.4 Giả thiết V miền đơn liên R3 F = (P, Q, R) hàm vec-tơ khả vi liên tục V Lúc đó, tích phân F mặt cong kín trơn mảnh V không ∂P ∂Q ∂R (x, y, z) + (x, y, z) + (x, y, z) = 0, ∀(x, y, z) ∈ V ∂x ∂y ∂z 3.5 Thực hành tính toán Thực ra, để tính toán tích phân đường, mặt ta luôn phải đưa chúng dạng tích phân hai lớp Cụ thể, để tính tích phân đường loại I ta dùng công thức (3.1)-(3.3), tích phân đường loại II dùng công thức (3.6)-(3.8), tích phân mặt loại I dùng công thức (3.9), (3.11), (3.12) tích phân mặt loại II dùng công thức (3.13)-(3.15) Như vậy, để giải toán cụ thể tích phân đường, mặt trước hết cần tìm biểu diễn xác đường, mặt liên quan, sau thiết lập công thức tích phân (một hai lớp) tương ứng cuối dùng lệnh Maple để tính tích phân 3.6 Bài tập 3.1 Tính tích phân đường loại I sau (x2 y + xy )ds, C 41 với C đường tròn tâm I(0, 1) bán kính 3.2 Dùng công thức Green tính tích phân đường loại hai (2x sin y + y + y )dx + (x2 cos y + 3xy + 1)dy, I= AO với AO đường gấp khúc ABO, với A(2, 0), B(0, 5) O(0, 0) (2x sin y + y + x)dx + (x2 cos y + 3xy + 1)dy, J= AO với AO đường gấp khúc ABCO, với A(2, 0), B(1, 5), C(0, 3) O(0, 0) 3.3 Tính tích phân đường: (x2 + 2y)dx + (x + 2y )dy, L với L đường Elipse: (x − 1)2 + 4y = 3.4 Đưa tích phân đường loại I sau tích phân xác định (x2 cos(xy) + yex )ds, C với C đường tròn tâm I(0, 1) bán kính 3.5 Đưa tích phân đường loại II sau tích phân xác định x2 cos(xy)dx + yex dy, C với C đường tròn tâm I(1, 0) bán kính 3.6 Dùng công thức Green tính tích phân đường (x + y)dx + (xy + x − y)dy; x2 +y =4x (xy + x + y)dx + (x − y)dy x2 +y =2y 3.7 Cho S mặt cầu đơn vị: (S) : x2 + y + z = a) Hãy biểu diễn mặt cầu dạng tham số Xác định vec-tơ pháp mặt S điểm M (x, y, z) ∈ S b) Giả sử S mặt vật chất khối lượng riêng điểm (x, y, z) ∈ S x + y Hãy tính khối lượng mặt S 42 3.8 Cho mặt vật chất biểu diễn dạng hiển (S) : x = y + z ; (y, z) ∈ D, D phần tư thứ I hình tròn tâm (0, 0) bán kính Cho biết khối lượng riêng điểm (x, y, z) ∈ S ρ(x, y, z) = yz Hãy tính khối lượng mặt S 3.9 Đưa tích phân mặt loại I sau tích phân hai lớp (x + 2y + 3z)dS, S với S hợp bốn mặt tứ diện OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) 3.10 Tính khối lượng mặt Parabol: z = − x2 − y ; z ≥ Biết khối lượng riêng điểm M (x, y, z) ρ(x, y, z) = xy → 3.11 Tính thông lượng trường vec-tơ F = (0, 0, R), với R(x, y, z) = x + y + z, qua mặt z = x2 + y ; z ≤ 1, định hướng lên 3.12 Hãy áp dụng Công thức Ostrogradsky để tính tích phân mặt x3 dydz + y dzdx + z dxdy S Trong S mặt cầu x + y + z = 4, hướng 3.13 Đưa tích phân mặt loại II sau tích phân hai lớp xdydz + ydzdx + zdxdy, S với S hợp bốn mặt tứ diện OABC, O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) 3.14 Dùng công thức Ostrogradski tính tích phân mặt x2 dydz + y dzdx + z dxdy, S với S phía nửa mặt cầu trên: x2 + y + z = 1, z ≥ 3.15 Tính tích phân mặt xzdydz + x2 ydzdy + y zdzdx I= S với S mặt vật thể giới hạn mặt x2 + y = 1, z = 0, z = 3.16 Tính tích phân mặt I= zdxdy, S với S phía mặt z = − x2 − y bị chắn mặt x2 + y = 2x [...]... 2a2 (x2 − y 2 ) Dễ thấy H là hình gồm 4 phần có diện tích bằng nhau, mỗi phần nằm trong một góc phần tư của mặt phẳng toạ độ Phương trình của phần đường cong trong góc phần tư thứ nhất, theo toạ độ cực là r2 = 2a2 cos(2θ), θ ∈ [0, 4 ] Vì vậy dùng phép đổi biến sang toạ độ cực ta có √ π π a 2 cos(2θ) 4 4 a2 2 S= dxdy = 4 dθ rdr = 4a cos(2θ)dθ = 2 H 0 0 0 15 1 .4. 3 Đổi biến sang toạ độ trụ và toạ độ... ={(x, y) | + y 2 ≤ x + y}, 4 √ D ={(x, y) | 4 x + 4 4y ≤ 1; x ≥ 0; y ≥ 0} 1.9 Tính tích phân ba lớp (1 + x + y)dxdydz, V với V là miền giới hạn bởi các mặt phẳng: x = 0, y = 0, z = 0 và 3x + 6y − 2z = 6 1.10 Tính tích phân ba lớp xdxdydz, V với V là miền giới hạn bởi các mặt z = 0 và z = x2 + y 2 − 1 1.11 Tính thể tích vật thể V , giới hạn bởi (các) mặt a) 2z = x2 + y 2 , y + z = 4; b) x2 + y 2 = 2x, x... thức Để biết giá trị của nó ta phải dùng hàm định giá value hoặc hàm evalf 19 Ví dụ: [> m:= Doubleint(x∧2*exp(x*y),x=-1 1, y=0 2); 2 1 m := 0 [> value(m); x2 e(xy) dxdy −1 1 2 3 (−2) e + e 4 4 [> evalf(m); 1. 948 76 548 7 b Tích phân bội 3 Để tính tích phân bội 3 của hàm f (x, y, z) trên hình hộp ∆ = [a, b] × [c, d] × [e, g] ta dùng lệnh (trơ) Tripleint (không có lệnh tripleint) Cú pháp: [> Tripleint(f(x,... d] và có đạo hàm đúng bằng g Nói cách khác, +∞ +∞ = f (x, y)dx a y a fy (x, y)dx 2 .4 Một số tích phân quan trọng 2 .4. 1 Hàm Gamma Hàm Gamma hay Tích phân Euler loại I là tích phân phụ thuộc tham số ∞ Γ(p) = xp−1 e−x dx, p > 0 (2 .4) 0 Sử dụng các kết quả về hội tụ đều ta chứng minh được các tính chất sau: a) Tích phân (2 .4) hội tụ trên (0, +∞) và hội tụ đều trên [p0 , p1 ] với mọi p1 > p0 > 0 b) Hàm Γ(p)... R 2 .4 Chứng minh Công thức Frullani ∞ 0 f (ax) − f (bx) b dx = f (0) ln x a ∞ trong đó, f là hàm liên tục và tích phân A (a > 0, b > 0), f (x) dx có nghĩa với mọi A > 0 x 2.5 Sử dụng Tích phân Dirichlet và Công thức Frullani để tính các tích phân sau ∞ 0 sin4 (ax) − sin4 (bx) dx, x ∞ 0 sin ax cos bx dx, x ∞ 0 sin ax sin bx dx x 2.6 Dùng các hàm Gamma và Beta để tính các tích phân sau √ a ∞ 1 ∞ 4 √... liên tục tại điểm (0, 0) và 1 1 dx 0 2.2 0 π π f (x, y)dy = = − = 4 4 1 1 f (x, y)dx dy 0 0 Tích phân với cận là hàm của tham số Cho f (x, y) liên tục trên ∆ = [a, b] × [c, d], các hàm α, β : [c, d] → [a, b] Lúc đó, với mỗi y ∈ [c, d] ta có β(y) G(y) = f (x, y)dx α(y) là tích phân phụ thuộc tham số y với cận là các hàm theo y Định lý 2 .4 Nếu f (x, y) liên tục trên ∆, α và β liên tục trên [c, d] thì G... phân lặp a Tích phân lặp 2 lớp Để tính tích phân b y2(x) dx a f (x, y)dy y1(x) ta dùng lệnh [> int(int(f(x,y), y=y1(x) y2(x)), x=a b); Ví dụ: [> int(int(x*exp(y), y=1 x∧2), x=0 2); 1 1 4 e − 2e − 2 2 [> evalf(%); 1. 948 76 548 7 b Tích phân lặp 3 lớp Tương tự, để tính tích phân b y2(x) dx a z2(x,y) dy y1(x) f (x, y, z)dz z1(x,y) ta dùng lệnh [> int(int(int(f(x,y,z),z=z1(x,y) z2(x,y)),y=y1(x) y2(x)),x=a b);... 4; b) x2 + y 2 = 2x, x + z = 2, x − z = 2; c) (x2 + y 2 + z 2 )3 = 3xyz; d) (x2 + y 2 )2 + z 4 = y; x2 y 2 + + z2 4 9 e) 2 = x2 y; y 23 z 32 f) x + + = 1; 2 3 g) x2 + y 2 = 2x, z = x2 + y 2 , z = 0 2 3 1.12 Đổi biến sang toạ độ trụ và viết lại cận của tích phân I = với V là miền giới hạn bởi các mặt: a) x2 + y 4 = z, b) x = z2 + y2, z = 2 x = 6 − z2 − y2 V f (x, y, z)dxdydz, Chương 2 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC... bản phẳng sau đây m= f (x, y)dxdy; G xI = 1.5 .4 1 m xf (x, y)dxdy; yI = G 1 m yf (x, y)dxdy G Khối lượng, trọng tâm của cố thể Cho T ⊂ R3 là một cố thể không đồng chất trong không gian, có tỷ khối tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ T là f (x, y, z) ≥ 0 Cũng dưới giả thiết T đo được và f khả tích ta cũng có công thức tính khối lượng của cố thể m= f (x, y, z)dxdydz (1 .4) T và các toạ độ của trọng tâm I(xI , yI ,... hàm (f ◦ g)(x)|D(x)| cũng khả tích trên G và f (y)dy = g(G) (f ◦ g)(x)|D(x)|dx G 14 Định lý này cho phép chúng ta có thể đưa việc tính tích phân trên một miền có dáng điệu “xấu” về việc tính tích phân trên một miền khác có hình thù “đẹp” hơn Các mục tiếp theo sẽ cho chúng ta thấy các ứng dụng cụ thể của định lý này 1 .4. 2 Đổi biến sang toạ độ cực Ta đã biết phép đổi biến từ toạ độ đê-các vuông góc sang