Giả sử dòng vật chất với mật độ h(x, y, z), chịu tác động của trường lực
G(x, y, z). Hàm vec-tơh.G=F = (P, Q, R)được gọi là trường lực của dòng. Lượng của dòng chảy qua mặt S trong một đơn vị thời gian được gọi là thông lượng của dòng và được tính bởi Φ = Z Z S P dydz+Qdzdx+Rdxdy 3.4.5. Công thức Stokes
Định lý Stokes là mở rộng của Định lý Green cho đường cong kín trong không gian.
Định lý 3.3. Giả thiết S là mặt cong trơn định hướng, có biên là một đường cong kín đơn C, F = (P, Q, R) là hàm vec-tơ khả vi liên tục trên miền mở chứa S. Lúc đó, Z C P dx+Qdy+Rdz= Z Z S (Q0 x−P0 y)dxdy+ (R0 y−Q0 z)dydz+ (P0 z−Q0 x)dzdx.
Hệ quả 3.3. Giả thiết V là miền “đơn liên mặt” và các hàm P, Q, R liên tục cùng các đạo hàm riêng P0 y, P0 z, Q0 z, Q0 x, R0 x, R0
y. Khi ấy, các tính chất sau tương đương a) ∂Q ∂x = ∂P ∂y, ∂R ∂y = ∂Q ∂z , ∂P ∂z = ∂R ∂x, với mọi (x, y, z)∈V. b) I C
c)
Z
_
AB
P dx+Qdy+Rdz, vớiAB_ ⊂V, chỉ phụ thuộc vào hai mút A và B mà không phụ thuộc đường cong đi từ A đến B.
d) P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz là vi phân toàn phần của một hàm
U nào đó trong V.
3.4.6. Công thức Ostrogradski
Định lý Green cho ta công thức liên hệ giữa tích phân hai lớp và tích phân đường. Định lý Ostrogradski dưới đây cho ta công thức liên hệ giữa tích phân ba lớp và tích phân mặt.
Định lý 3.4. Giả thiết S là mặt cong kín, trơn từng mảnh, bao quanh miềnV trong
R3, được định hướng ra ngoài. Nếu hàm vec-tơ F = (P, Q, R) khả vi liên tục trên miền mở chứa V thì Z Z S P dydz +Qdzdx+Rdxdy = Z Z Z V µ ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z ¶ dxdydz.
Hệ quả 3.4. Giả thiết V là miền đơn liên trongR3 và F = (P, Q, R) là hàm vec-tơ khả vi liên tục trên V. Lúc đó, tích phân của F trên bất kỳ mặt cong kín trơn từng mảnh trong V bằng không khi và chỉ khi
∂P ∂x(x, y, z) + ∂Q ∂y(x, y, z) + ∂R ∂z(x, y, z) = 0, ∀(x, y, z)∈V. 3.5. Thực hành tính toán
Thực ra, để có thể tính toán được các tích phân đường, mặt ta luôn luôn phải đưa chúng về dạng tích phân một hoặc hai lớp. Cụ thể, để tính tích phân đường loại I ta dùng các công thức (3.1)-(3.3), tích phân đường loại II dùng các công thức (3.6)-(3.8), tích phân mặt loại I dùng các công thức (3.9), (3.11), (3.12) và tích phân mặt loại II dùng các công thức (3.13)-(3.15). Như vậy, để giải các bài toán cụ thể bằng tích phân đường, mặt trước hết chúng ta cần tìm ra biểu diễn chính xác của các đường, mặt liên quan, sau đó thiết lập công thức tích phân (một hoặc hai lớp) tương ứng và cuối cùng chúng ta mới dùng các lệnh của Maple để tính các tích phân này.
3.6. Bài tập
3.1. Tính tích phân đường loại I sau
Z
C
với C là đường tròn tâm I(0,1) bán kính2.
3.2. Dùng công thức Green tính các tích phân đường loại hai
I =
Z
_
AO
(2xsiny+y3+y2)dx+ (x2cosy+ 3xy2+ 1)dy,
với AO_ là đường gấp khúc ABO, với A(2,0), B(0,5) và O(0,0).
J =
Z
_
AO
(2xsiny+y3+x)dx+ (x2cosy+ 3xy2+ 1)dy,
với AO_ là đường gấp khúc ABCO, với A(2,0),B(1,5),C(0,3)và O(0,0). 3.3. Tính tích phân đường:
I
L
(x2+ 2y)dx+ (x+ 2y2)dy,
với L là đường Elipse: (x−1)2+ 4y2 = 1.
3.4. Đưa tích phân đường loại I sau về tích phân xác định
Z
C
(x2cos(xy) +yex)ds,
với C là đường tròn tâm I(0,1) bán kính2.
3.5. Đưa tích phân đường loại II sau về tích phân xác định
I
C
x2cos(xy)dx+yexdy,
với C là đường tròn tâm I(1,0) bán kính1.
3.6. Dùng công thức Green tính các tích phân đường
I x2+y2=4x (x+y)dx+ (xy+x−y)dy; I x2+y2=2y (xy+x+y)dx+ (x−y)dy
3.7. Cho S là mặt cầu đơn vị:
(S) :x2+y2+z2 = 1.
a) Hãy biểu diễn mặt cầu này dưới dạng tham số. Xác định một vec-tơ pháp của mặt S tại điểm M(x, y, z)∈ S.
b) Giả sử S là mặt vật chất và khối lượng riêng tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ S là
3.8. Cho mặt vật chất được biểu diễn dưới dạng hiển
(S) :x=y2+z2; (y, z)∈D,
trong đó D là phần tư thứ I của hình tròn tâm (0,0) bán kính 1. Cho biết khối lượng riêng tại mỗi điểm (x, y, z) ∈ S là ρ(x, y, z) = yz. Hãy tính khối lượng của mặt S
3.9. Đưa tích phân mặt loại I sau về tích phân hai lớp
Z Z
S
(x+ 2y+ 3z)dS,
với S là hợp của bốn mặt của tứ diện OABC, trong đó O(0,0,0), A(1,0,0),
B(0,1,0),C(0,0,1).
3.10. Tính khối lượng của mặt Parabol:
z = 4−x2−y2; z ≥0.
Biết khối lượng riêng tại mỗi điểm M(x, y, z)là ρ(x, y, z) =xy.
3.11. Tính thông lượng của trường vec-tơ →F = (0,0, R), với R(x, y, z) =x+y+z, qua mặt z=x2+y2; z≤1, được định hướng lên trên.
3.12. Hãy áp dụng Công thức Ostrogradsky để tính tích phân mặt
Z Z
S
x3dydz+y3dzdx+z3dxdy.
Trong đóS là mặt cầu x2+y2+z2 = 4, hướng ra ngoài. 3.13. Đưa tích phân mặt loại II sau về tích phân hai lớp
Z Z
S
xdydz+ydzdx+zdxdy,
với S là hợp của bốn mặt ngoài của tứ diện OABC, trong đó O(0,0,0), A(1,0,0),
B(0,1,0),C(0,0,1).
3.14. Dùng công thức Ostrogradski tính tích phân mặt
Z Z
S
x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,
với S là phía ngoài của nửa mặt cầu trên: x2+y2+z2 = 1, z ≥0. 3.15. Tính tích phân mặt
I =
Z Z
S
xzdydz+x2ydzdy+y2zdzdx
với S là mặt ngoài của vật thể giới hạn bởi các mặt x2+y2 = 1, z = 0, z = 2. 3.16. Tính tích phân mặt
I =
Z Z
S
zdxdy,