3.2.1. Định nghĩa.
Cho C =AB_ là một đường cong trơn phẳng vàF(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) là một hàm vec-tơ xác định tại mọi điểm M(x, y)∈ C. Với mỗi phân hoạch
P ={A0, A1,· · · , Am} ⊂ C và mỗi cách chọn các điểm Mi ∈Ai−_1Ai, ta lập tổng ¯ σ(P) := m X 1 (P(Mi).∆xi+Q(Mi).∆yi). (3.4) Nếu tồn tại giới hạn
Z
_
AB
P(x, y)dx+Q(x, y)dy:= lim
ρ(P)→0σ¯(P) (3.5) không phụ thuộc vào cách chọn phân hoạchP và các điểmMi, thì giới hạn này được gọi là tích phân đường loại II của hàm vec-tơ F = (P, Q)trên AB_ .
Chú ý rằng, nếu xét cung BA_ thay vì cung AB_ , thì một phân hoạch P0 =
{A0
0, A0
1,· · · , A0
m} bây giờ phải có A0
0 =B và A0
m =A. Do đó, khi lập tổng ở (3.4) ta nhận được ¯σ(P0) với dấu ngược lại. Cuối cùng, khi qua giới hạn ta nhận được
Z _ BA P(x, y)dx+Q(x, y)dy=− Z _ AB P(x, y)dx+Q(x, y)dy.
Trường hợp đường cong khép kín. NếuC là đường cong kín, tức là A=B, thì khác với tích phân đường loại I, tích phân đường loại II lấy theo hai chiều khác nhau trênC sẽ cho ra hai giá trị có dấu ngược nhau. Vì vậy, trong trường hợp này cần chỉ rõ tích phân lấy theo chiều nào. Để thống nhất, người ta quy ước trên đường cong kín bất kỳ một chiều dương (+) và một chiều âm (-). Giả sử đường cong kínC xác định một hình phẳng giới nội D. Lúc đó, chiều (+) trên C là chiều mà đi dọc theo
nó sẽ thấy miềnDnằm về bên trái, còn chiều (-) là chiều ngược lại. Định nghĩa này cũng được áp dụng cho cả trường hợpC là hợp của một số hữu hạn đường cong kín rời nhau mà vẫn tạo ra hình phẳng D liên thông. Lúc đó, D được gọi là miền đa liên.
Với quy ước chiều như vậy, tích phân đường loại II của hàmF trên đường cong kín C theo chiều dương được ký hiệu là
I
C
P(x, y)dx+Q(x, y)dy,
còn theo chiều âm là
−
I
C
P(x, y)dx+Q(x, y)dy.
3.2.2. Cách tính tích phân đường loại IIGiả sử AB_ là đường cong phẳng có phương trình tham số