Tiểu luận môn xử lý ảnh

Các giá trị 7 được tính toán bằng cách cắm các tọa độ của điểm vào phương trình cho các đoạn thẳng Hình 6.5 Phương pháp chia nhỏ file cho polylines hình 6.6 khoan hình dung cho đoạn đườn

MỤC LỤC

Danh mục bảng biểu

Hình 6.1 Các mã chuỗi đại diện cho các hướng dẫn liên kết giữa điểm cạnh

Hình 6.2 Một đường cong và mã chuỗi của nó.

hình 6.4 Sơ đồ cho thấy khoảng cách vuông góc của một điểm từ một đoạn thẳng Các giá trị

7 được tính toán bằng cách cắm các tọa độ của điểm vào phương trình cho các đoạn thẳng Hình 6.5 Phương pháp chia nhỏ file cho polylines

hình 6.6 khoan hình dung cho đoạn đường thẳng phù hợp

hình 6.7 Một ước tính góc xấu được sản xuất bởi một cạnh kết hợp từ dưới lên mà bị mất vị trí góc thật sự có thể được sửa chữa bằng cách tách và hợp nhất đèo mà chia phân đoạn đầu tiên tại một điểm gần gũi hơn với các góc đúng và sau đó hợp nhất hai phân đoạn thành một đoạn thẳng duy nhất

Hình 6.8: Phần Conic được xác định bởi giao nhau một hình nón với một chiếc máy bay hình 6.9 Cắt hình nón là gần đúng định nghĩa giữa ba điểm

hình 6.10: Một đường conic được xác định bởi hai điểm kết thúc và tiếp tuyến từ ba đỉnh của xấp xỉ polyline, cộng thêm một điểm bổ sung

hình 6.11 Các hình thức hướng dẫn cho một hình nón.

hình 6.12 Minh hoạ về sự khác biệt giữa việc lắp đặt một đường cong bằng cách sử dụng hồi quy bình phương least- và lắp một đường cong bằng cách sử dụng phương pháp mạnh mẽ để một tập hợp dữ liệu có chứa giá trị ngoại lai

hình 6.13 Một tương tự vật lý để minh họa độ nhạy của phương pháp bình phương nhỏ nhất

để tách Ngay cả một outlier duy nhất làm cho một giải pháp bình phương nhỏ nhất vô dụng Hình 6.14: lập bản đồ hình ảnh tham số không gian của một điểm trong Hough biến đổi

Hình 6.15 : Đường Viền cho Bài tập 6.5.

Hình 6.16 sơ đồ minh hoa bài tập

Chương 6 Đường viền

Cạnh phải được liên kết thành một đại diện cho một ranh giới khu vực Đại diện này được gọi

là một đường viền Các đường viền có thể được mở hoặc đóng cửa Đường nét khép kín tươngứng với ranh giới khu vực, và các điểm ảnh trong khu vực có thể được tìm thấy bởi một thuậttoán điền Một đường viền mở có thể là một phần của một ranh giới khu vực Những khoảngtrống có thể xảy ra trong một ranh giới khu vực vì sự tương phản giữa các vùng có thể không

đủ để cho phép các cạnh dọc theo ranh giới được tìm thấy bởi một máy dò cạnh Ngưỡng pháthiện cạnh có thể đã được đặt quá cao, hoặc độ tương phản cùng một số phần của ranh giới cóthể là quá yếu so với các khu vực khác của hình ảnh mà không có ngưỡng duy nhất hoạt động

ở khắp mọi nơi trong hình ảnh Mở đường nét cũng xảy ra khi các mảnh vỡ dòng được liên kếtvới nhau, ví dụ, khi mảnh vỡ dòng được liên kết cùng một cơn đột quỵ trong một bản vẽ hoặcmẫu chữ viết tay

Một đường viền có thể được biểu diễn như là một danh sách có thứ tự các cạnh hoặc bởi mộtđường cong Một đường cong là một mô hình toán học cho một đường viền Ví dụ về đườngcong bao gồm các đoạn đường và thanh chốt khối Có một số tiêu chí cho một đại diện đườngviền tốt:

Hiệu quả: Các đường viền phải là một đơn giản, đại diện nhỏ gọn.

Độ chính xác: Các đường viền nên phù hợp chính xác các tính năng hình ảnh.

Tính hiệu quả: Các đường viền nên phù hợp với các hoạt động được mỗi hình thành trong

giai đoạn sau của ứng dụng

Tính chính xác của các đại diện đường viền được xác định bởi đường cong được sử dụng để

mô hình hóa các đường viền, bởi hiệu suất của thuật toán vừa vặn đường cong, và bởi tínhchính xác của các ước tính về vị trí cạnh Các đại diện đơn giản nhất của một đường viền làmột danh sách có thứ tự các cạnh của nó Sự đại diện này là chính xác như các ước tính vị trícho các cạnh, nhưng là đại diện nhỏ gọn nhất và có thể không cung cấp một đại diện hiệu quảcho phân tích hình ảnh tiếp theo Lắp mô hình đường cong phù hợp với các cạnh làm tăng độchính xác, vì lỗi ở vị trí rìa đang giảm đi thông qua tính trung bình, và nó làm tăng hiệu quảbằng cách cung cấp một đại diện thích hợp hơn và nhỏ gọn hơn cho các hoạt động tiếp theo

Ví dụ, một tập các cạnh nằm dọc theo một con đường có thể được đại diện một cách hiệu quảnhất bằng cách lắp một đường dây để các cạnh Đại diện này giúp đơn giản hoá các tính toánsau này, chẳng hạn như xác định các định hướng hoặc chiều dài của đường, và tăng độ chínhxác, vì trung bình bình phương lỗi giữa đường dự kiến và dòng thực sẽ nhỏ hơn so với các lỗigiữa các dòng đúng và bất kỳ mép

Phần đầu tiên trong chương này trình bày sự khác biệt giữa tiểu hình học của đường congtrong mặt phẳng Phần thứ hai cung cấp một tập hợp các kỹ thuật để tính toán tính đường viềnnhư chiều dài, tiếp tuyến, và độ cong từ danh sách các cạnh, mà không cần lắp một mô hìnhđường cong với các cạnh Cácphần còn lại bao gồm mô hình đường cong và kỹ thuật cho phùhợp các mô hình để các đường nét

Trước khi tiếp tục, một số thuật ngữ phải được xác định Một danh sách interpolatesa đườngcong của điểm nếu đường đi qua các điểm sấp xĩ lắp một đường cong thành một danh sách cácđiểm với đường cong đi qua gần các điểm, nhưng không nhất thiết phải đi qua một cách chínhxác thông qua các điểm Trong các phần sau, chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách giả sử rằng cáccạnh được cung cấp bởi một thuật toán phát hiện cạnh là chính xác và sẽ phù hợp đường cong

để các điểm cạnh sử dụng phương pháp nội suy Các cạnh được cung cấp bởi phát hiện cạnh

áp dụng các hình ảnh thực sẽ không được chính xác Sẽ có một số lỗi trong các vị trí ước tínhcủa cạnh Phần sau sẽ trình bày phương pháp đường cong xấp xỉ

Định nghĩa 6.1 Một danh sách cạnh là một tập hợp có thứ tự các điểm cạnh hoặc các mảnh

vỡ

Định nghĩa 6.2 Một đường viền là một danh sách cạnh hoặc đường cong đã được sử dụng để

đại diện cho các danh sách cạnh

Định nghĩa 6.3 Một ranh giới là đường viền khép kín bao quanh một khu vực.

Trong chương này, thuật ngữ edges sẽ thường tham khảo các điểm cạnh Định hướng cạnh

không được sử dụng bởi hầu hết các đường cong thuật toán phù hợp Trong vài trường hợp cácthuật toán có sử dụng các định hướng cạnh, nó sẽ được rõ ràng từ các bối cảnh edges chỉ hạn

để cạnh mảnh.

6.1 Hình học của đường cong

Đường cong phẳng có thể được biểu diễn theo ba cách khác nhau: sự rõ ràng dạng y = f (x),hình thức tiềm ẩn f (x, y) = 0, hoặc các dạng tham số (x (u), y (u)) đối với một số tham số u.Các hình thức rõ ràng là rất hiếm khi được sử dụng trong máy tầm nhìn từ một đường congtrong mặt phẳng xy có thể xoay xung quanh trong một cách mà có thể có nhiều hơn một điểmtrên đường cong cho mỗi giá trị x

Các hình thức tham số của một đường cong sử dụng hai chức năng, xiu) và y (u), của mộttham số u xác định điểm dọc theo đường cong từ điểm khởi đầu của đường cong tại = (x (u1),

y (u1)) để điểm cuối p2 = (x (u2), y (u2)) - Chiều dài của một đường cong được xác định bởi

Các vector đơn vị tiếp tuyến là

trong đó p (u) = (x (u), y (u)) Độ cong của đường cong là đạo hàm của các tiếp tuyến: n (u) - p

"(u)

Hãy xem xét ba điểm dọc theo đường cong: p (ii + A), p (u), và p («- A) Hãy tưởng tượng mộtvòng tròn đi qua ba điểm, trong đó xác định duy nhất một vòng tròn Trong giới hạn như A ->

0, vòng tròn này là vòng tròn mật tiếp Các vòng tròn mật tiếp chạm với đường cong tại p («),

và trung tâm của vòng tròn nằm dọc theo dòng chứa bình thường với các đường cong Độcong là nghịch đảo của bán kính của vòng tròn mật tiếp

6.2 Đường cong kỹ thuật số

Trong phần này, chúng tôi trình bày một tập hợp các thuật toán để tính toán các yếu tố hìnhhọc của đường cong, như chiều dài đường viền, định hướng tiếp tuyến, và độ cong, trong danhsách các điểm cạnh Độ dốc và độ cong rất khó để tính chính xác trong lĩnh vực kỹ thuật số, từcác góc độ giữa các điểm ảnh lân cận được lượng lên đến 45 °

Ý tưởng cơ bản là để ước tính định hướng tiếp tuyến sử dụng điểm cạnh mà không phải là liền

kề trong danh sách cạnh Điều này cho phép một tập hợp lớn hơn của thể định hướng tiếptuyến

Cho Pj = (xi, Ui) là tọa độ của cạnh tôi trong danh sách cạnh Fc dốc là (góc) vector hướnggiữa các điểm đó là k cạnh nhau Bên trái & -slope là hướng từ PTO pi; bên phải là fc dốc làhướng từ p ^ để pi + fc Độ cong là sự khác biệt giữa bên trái và bên phải -slopes ^.

Giả sử có được n cạnh điểm (x ±, yi), , (xn, yn) trong danh sách cạnh Chiều dài của mộtđường cong kỹ thuật số có thể được xấp xỉ bằng cách thêm chiều dài của các phân đoạn riêng

D = yj {yn - yi) 2 + (xn - xi) 2 (6.4)

6.2.1 Mã Chuỗi

Mã chuỗi là một ký hiệu để ghi danh sách các điểm cạnh dọc theo một đường viền Các mãchuỗi xác định hướng của một đường viền ở mỗi cạnh trong danh sách cạnh Hướng đượclượng tử hóa thành một trong tám hướng, như thể hiện trong hình 6.1 Bắt đầu từ đỉnh đầu tiêntrong danh sách và sẽ chiều kim đồng hồ xung quanh đường viền, hướng đến cạnh tiếp theođược xác định bằng cách sử dụng một trong các mã chuỗi tám Hướng là mã chuỗi cho 8-lánggiềng của cạnh Các mã chuỗi đại diện cho một danh sách cạnh bởi các tọa độ của cạnh đầutiên và danh sách các mã chuỗi dẫn đến cạnh tiếp theo Một đường cong và mã chuỗi của nóđược thể hiện trong hình 6.2

Các mã chuỗi có một số đặc tính hấp dẫn Quay của một đối tượng bằng 45 ° có thể dễ dàngthực hiện Nếu đối tượng được quay bằng nx 45 °, sau đó các mã cho các đối tượng xoay thuđược bằng cách thêm n mod 8 để mã gốc Các dẫn xuất của các mã chuỗi, còn được gọi là mãkhác biệt, thu được bằng cách sử dụng khác nhau đầu tiên, là một mô tả ranh giới xoay bấtbiến Một số đặc điểm khác của một khu vực, chẳng hạn như khu vực và góc, có thể được tínhtrực tiếp bằng cách sử dụng mã chuỗi Các giới hạn của đại diện này là

Hình 6.1 Các mã chuỗi đại diện cho các hướng dẫn liên kết giữa điểm cạnh

Hình 6.2 Một đường cong và mã chuỗi của nó.

các tập hạn chế các hướng sử dụng để đại diện cho các tiếp tuyến tại một điểm Sự hạn chế này

có thể được loại bỏ bằng cách sử dụng một trong những đại diện cong trình bày trong các phầnsau Khi một đường cong đã được trang bị cho các danh sách các cạnh, bất kỳ của các đạilượng hình học được trình bày tại mục 6.1 có thể được tính toán từ các công thức toán học chocác đường cong

6.2.2 Đại diện dốc

Các đại diện dốc của một đường viền, còn được gọi là cốt truyện, giống như một phiên bảnliên tục của mã chuỗi Chúng tôi muốn đại diện cho một đường viền bằng cách sử dụng hướngtiếp tuyến tùy ý, chứ không phải là thiết lập giới hạn của đường tiếp tuyến cho phép bởi các

mã chuỗi Giả sử rằng chúng ta bắt đầu vào đầu của danh sách cạnh và tính toán chiều dài tiếpxúc và hồ quang bằng cách sử dụng các công thức đã trình bày cho các đường cong kỹ thuật

số Chúng tôi có thể vẽ các tiếp tuyến so với góc chiều dài để có được một đại diện cho cácđường viền trong không gian là một sự đại diện của hình dạng của các đường viền Ví dụ, mộtđường viền bao gồm các đoạn thẳng và cung tròn sẽ giống như một chuỗi các đoạn trong vòngtròn Đoạn đường thẳng nằm ngang trong cốt truyện tương ứng với đoạn thẳng trong cácđường đồng mức; đoạn thẳng ở hướng khác trong âm mưu Ws tương ứng với cung tròn Một

số phần của cốt truyện mà không phải là đường thẳng tương ứng với nguyên thủy đường congkhác

Các đường viền có thể được chia thành các đoạn thẳng và cung tròn bằng phân đoạn những

thành đường thẳng Phương pháp này đã được sử dụng bởi nhiều nhà nghiên cứu, và có một sốphiên bản của phương pháp này để tách một đường viền vào các phân đoạn.Một người có thể sử dụng cốt truyện như một mô tả nhỏ gọn của các hình dạng của các đườngđồng mức ban đầu Trong hình 6.3, ta thấy có một đường viền và cốt truyện của nó Đối vớimột đường viền khép kín, cốt truyện là định kỳ.

6.2.3 độ dốc

Hàm mật độ dốc là biểu đồ của dốc (góc tiếp tuyến) dọc theo một đường viền Đây có thể làmột mô tả hữu ích cho công nhận Tương quan hàm mật độ dốc của một đường viền mô hìnhvới hàm mật độ dốc cho một đường viền được chiết xuất từ một hình ảnh cho phép định hướngcủa các đối tượng được xác định Điều này cũng cung cấp một phương tiện để công nhận đốitượng

6.3 Đường cong vừa vặn

Phần còn lại của chương này sẽ bao gồm bốn mô hình đường cong và các phương pháp cho phù hợp các mô hình để cạnh điểm Các mô hình bao gồm:

• đoạn thẳng

• Thông tư arcs

• phần Conic

• đường splines

Bất kỳ thuật toán phù hợp phải giải quyết hai câu hỏi:

1 Phương pháp nào được sử dụng để phù hợp với những đường cong để các cạnh?

2 Làm thế nào là sự gần gũi của các phù hợp đó?

Phần 6.4 đến 6.7 sẽ bao gồm các kỹ thuật cho các mô hình đường cong phù hợp với các cạnh với giả định rằng các vị trí cạnh là đủ chính xác các điểm cạnh được chọn có thể được sử dụng

để xác định sự phù hợp Mục 6.8 trình bày các phương pháp tiếp mạnh mẽ hơn mà có thể xử lýcác sai sót trong các địa điểm cạnh.

Hãy di là khoảng cách của điểm cạnh tôi từ một dòng

Có một số các biện pháp về sự tốt lành của sự phù hợp của một đường cong để các điểm cạnh ứng cử viên Tất cả của họ phụ thuộc vào các lỗi giữa các đường cong được trang bị và các điểm ứng

cử viên hình thành các đường cong Một số phương pháp thường được sử dụng làm theo

Hệ số sai số tuyệt đối tối đa bao sẽ đo nhiêu điểm đi chệch khỏi đường cong trong trường hợp xấu

nhất:

MAE = max | c j? | (6.5) i

Có nghĩa là lỗi bình phương đưa ra một biện pháp tổng thể của độ lệch của đường cong từ điểm

cạnh:

1 n

Số thay đổi dấu hiệu lỗi là một chỉ số tốt của appropri-ateness của đường cong như một mô hình cho

các cạnh trong đường viền

Tỷ lệ chiều dài đường cong để kết thúc khoảng cách điểm là một biện pháp tốt của sự phức tạp của

những đường cong

Các lỗi tối đa bình thường cung cấp một biện pháp unitless của lỗi trong phụ thuộc vào chiều dài củađường cong Nói cách khác, một số lượng nhất định độ lệch từ một đường cong có thể được bình đẳngđáng kể, trong một số ứng dụng, như gấp hai lần độ lệch từ một đường cong mà là hai lần như lâu dài.Nếu mô hình đường cong là một đoạn thẳng, sau đó nó không phải là cần thiết để tính toán chiều dài

hồ quang; D khoảng cách giữa các điểm cuối có thể được sử dụng:

D = \] {yn - yi) 2 + (xn - £ i) 2 (6.8)

Thay đổi dấu hiệu là một dấu hiệu cho thấy rất hữu ích của sự tốt lành của sự phù hợp Phù hợp vớimột danh sách các cạnh điểm với một đường thẳng và kiểm tra các số thay đổi dấu Mộtthay đổi dấu hiệu cho thấy danh sách của các cạnh có thể được mô hình hóa bởi một đoạn thẳng, haithay đổi dấu hiệu cho thấy các cạnh nên được mô hình bởi một đường cong bậc hai, ba thay đổi dấuhiệu cho thấy một đường cong khối, và như vậy Nhiều dấu hiệu thay đổi cho thấy một sự gia tăngnhỏ trong sự phức tạp của đường cong sẽ không cải thiện đáng kể phù hợp A phù hợp có mộtmẫu ngẫu nhiên để thay đổi dấu Chạy sai sót của cùng một dấu chỉ ra một lỗi hệ thống tronglắp; có thể là do các mô hình đường cong sai Trong các phần sau, chúng ta sẽ sử dụng cácphương pháp phù hợp đường cong đơn giản để giải thích việc sử dụng các polyline, cung tròn,đường conic, và các mô hình spline khối Mục 6.8 sẽ trình bày các phương pháp phù hợpđường cong mạnh mẽ hơn, sử dụng polylines như ví dụ tiểu học; nhưng, về nguyên tắc, bất kỳ

kiểu mẫu trước gửi trong các phần sau đây có thể được sử dụng với bất kỳ của đường congphương pháp phù hợp trình bày trong Phần 6.8.

Sự lựa chọn của các đường cong mô hình phù hợp phải được hướng dẫn bởi các ứng dụng.Việc sử dụng các đoạn đường thẳng (polylines) là thích hợp nếu cảnh bao gồm các đườngthẳng và là điểm khởi đầu cho việc lắp các mô hình khác Thông tư cung tròn là một đại diện

có ích cho việc ước lượng độ cong, vì các đường cong được tách ra thành các phần với từngphần theo độ cong không đổi Cắt hình nón cung cấp một cách thuận tiện để đại diện cho chuỗicác đoạn thẳng và cung tròn, cũng như vòng cung elip và hyperbol, và rõ ràng đại diện cho cácđiểm uốn Đường Splines là tốt cho mô hình đường cong mượt mà và không ép buộc các ướctính của các vectơ tiếp tuyến và độ cong là liên tục

6.4 Đại diện Polyline

Một polyline là một chuỗi các đoạn ghép nối đuôi nhau Các đại diện polyline cho một đườngviền phù hợp với danh sách cạnh với một chuỗi các đoạn Polyline nội suy một tập con đượclựa chọn trong những điểm lợi thế trong danh sách cạnh Các kết thúc của mỗi đoạn thẳng làđiểm cạnh trong danh sách cạnh ban đầu Mỗi mô hình đoạn đường chạy của các cạnh tiếpgiáp giữa các điểm cuối của nó Các điểm nơi đoạn đường thẳng được nối được gọi là đỉnh.Lưu ý rằng polylines những đường cong hai chiều trong mặt phẳng ảnh, như là tất cả cácđường cong được thảo luận trong chương này, và các đỉnh là các điểm trong mặt phẳng ảnh

Các thuật toán polyline mất như là đầu vào một danh sách có thứ tự các điểm cạnh {{xi, yi),(x2, y2), • • •, (xn, yn)} - Các tọa độ điểm cạnh có thể được máy tính giải quyết tiêu điểm ảnh(xem Phần 5.7) Kể từ khi đoạn đường thẳng là phù hợp các cạnh được chọn là đỉnh cần phảiđược tính toán một cách chính xác

hình 6.4 Sơ đồ cho thấy khoảng cách vuông góc của một điểm từ một đoạn thẳng Các giá trị

7 được tính toán bằng cách cắm các tọa độ của điểm vào phương trình cho các đoạn thẳng

Công thức cho một đoạn đường đó xấp xỉ một danh sách các điểm cạnh và tham gia các điểm cạnh đầu tiên và cuối cùng (xi, yi) và (xk, yk) có thể được bắt nguồn bằng việc khẳng định độ dốc của đường giữa các điểm kết thúc là cùng là độ dốc của đường giữa điểm đầu và một điểmtùy ý theo hướng:

r = Xi (yi - yk) + yi (xk - xx) + ykx1 - yixk, (6.11)

và D là khoảng cách giữa các điểm kết thúc (Tham khảo Hình 6.4.) Các dấu hiệu của r có thểđược sử dụng để tính toán số lượng dấu hiệu thay đổi C Khoảng cách bình thường là d / D.Các lỗi bình thường tối đa là tuyệt đối s = (6.12)

trong đó d {là khoảng cách giữa các dòng và vị trí của các ¿cạnh thứ trong danh sách cạnh.Các lỗi tối đa bình thường thường được sử dụng như là thước đo cho sự tốt lành của sự phùhợp của một đoạn thẳng cho một tập các cạnh Tất cả những công thức giả định rằng chiếuvuông góc của một điểm trên một đường thẳng là trong phân khúc dòng; đó là, cả trên đườngdây và giữa các điểm cuối của đoạn thẳng Đây là trường hợp đối với các tình huống trongsuốt chương này, nhưng trong các trường hợp khác các công thức có thể cần phải được sửa đổi

để tính toán khoảng cách của các điểm từ điểm cuối gần nhất của đoạn thẳng Có hai phươngpháp để polylines phù hợp: tách từ trên xuống và kết hợp từ dưới lên

6.4.1 Tách Polyline

Việc chia tách thuật toán đệ quy trên xuống thêm đỉnh, bắt đầu với một đường cong ban đầu.Hãy xem xét các đường cong thể hiện trong hình 6.5 Các đường cong ban đầu là đoạn đườnggiữa các điểm cạnh đầu tiên và cuối cùng, A và B Các điểm trong danh sách cạnh đó là xanhất từ các đường thẳng được tìm thấy Nếu các lỗi tối đa bình thường là ở trên một ngưỡngthì một đỉnh được lắp tại các điểm cạnh xa nhất từ các đoạn thẳng, dán nhãn là điểm C tronghình 6.5 Các thuật toán tách được đệ quy áp dụng cho hai phân đoạn đường mới và danh sáchcạnh Danh sách cạnh được phân chia thành hai danh sách tương ứng với hai đoạn thẳng Cácđiểm cạnh trong danh sách mà là xa nhất từ mỗi đoạn được tìm thấy, và đỉnh mới được giớithiệu nếu điểm quá xa đoạn đường thẳng Các thuật toán tách polyline chấm dứt khi các lỗi tối

đa bình thường, đối với tất cả các điểm cạnh dọc theo polyline, là dưới ngưỡng Thủ tục đệquy này là rất hiệu quả Tách phân khúc cũng được gọi là phân khu đệ quy.

Hình 6.5 Phương pháp chia nhỏ file cho polylines

hình vuông phù hợp với các đoạn đường đến điểm cạnh và cập nhật các thông số của các đoạnthẳng tăng dần khi mỗi điểm cạnh mới được xử lý Các thuật toán phù hợp tính toán dư bìnhphương giữa các đoạn thẳng và các điểm cạnh Khi lỗi vượt quá một ngưỡng, một đỉnh đượcgiới thiệu và một phân khúc mới được bắt đầu từ điểm cuối của đoạn cuối cùng

Các thuật toán ban nhạc khoan dung sử dụng một phương pháp khác nhau để xác định vị trícủa các đỉnh Hai đoạn thẳng song song với đường thẳng xấp xỉ điểm cạnh tại một e khoảngcách từ đoạn đường trung tâm được tính toán (Xem Hình 6.6) Giá trị của e đại diện cho sốlượng tuyệt đối của độ lệch từ dòng trang bị được dung thứ Cạnh được thêm vào phân khúcdòng hiện tại miễn là các cạnh mới là bên trong chiếc nhẫn chịu đựng Các tham số của đường

thẳng có thể được tính toán lại như các cạnh mới được thêm vào phân vùng Các đoạn thẳngTạo xấp xỉ không

hình 6.6 khoan hình dung cho đoạn đường thẳng phù hợp

không phải vẫn song song với các mặt của các ban nhạc khoan dung Các đỉnh vào cuối củaphân khúc này là điểm khởi đầu cho các phân đoạn tiếp theo Cách tiếp cận này thường dẫnđến quá nhiều phân đoạn Vị trí và góc độ góc không được ước lượng chính xác từ một đỉnhkhông được tạo ra cho đến khi các thuật toán đã được xử lý cạnh tới ranh giới của ban nhạcbao dung

6.4.3 Chia và hợp nhất

Các phương pháp từ trên xuống các phân khu đệ quy và phương pháp từ dưới lên về việc sápnhập có thể được kết hợp như tách và hợp nhất các thuật toán Chia nhỏ và phương pháp sápnhập chỉ thành công phần nào khi được sử dụng bởi chính họ, nhưng tính chính xác của xấp xỉphân khúc dòng vào một danh sách các cạnh có thể được cải thiện bằng cách đan xen hợp nhất

và các hoạt động chia tay Hình 6.7 cho thấy một ví dụ mà một tách tiếp theo một hợp nhất cóthể sửa chữa một đỉnh nặng đặt

Ý tưởng cơ bản là để xen vào tách và hợp nhất đèo Sau khi phân chia đệ quy, cho phép phânđoạn liền kề sẽ được thay thế bởi một phân khúc duy nhất được các điểm kết thúc đầu tiên vàcuối cùng nếu các phân khúc mới phù hợp với các cạnh với lỗi ít hơn bình thường Lưu ý rằng

nó là cần thiết để sử dụng bình thường lỗi vì nhiều đoạn đường thẳng sẽ luôn luôn phù hợp vớimột danh sách các cạnh với ít lỗi hơn cho một phân khúc dòng đơn Sau khi sáp nhập phân

khúc, phân khúc mới có thể được tách ra ở một thời điểm khác nhau Ứng dụng thay thế củatách và hợp nhất tiếp tục cho đến

hình 6.7 Một ước tính góc xấu được sản xuất bởi một cạnh kết hợp từ dưới lên mà bị mất vị trí

góc thật sự có thể được sửa chữa bằng cách tách và hợp nhất đèo mà chia phân đoạn đầu tiên tại một điểm gần gũi hơn với các góc đúng và sau đó hợp nhất hai phân đoạn thành một đoạn thẳng duy nhất

6.4.4-làm việc Cùng thuật toán

Làm việc cùng thuật toán xấp xỉ với một đường viền bằng một chuỗi các dòng như sự chia rẽ

và phương pháp mô tả ở trên hợp nhất, nhưng hoạt động trên các danh sách con ngắn của cáccạnh Các thuật toán bắt đầu ở một đầu của một danh sách các điểm cạnh, lấy một số số cốđịnh của các cạnh, và phù hợp với một đoạn thẳng giữa các điểm cạnh đầu tiên và cuối cùng.Nếu phù hợp là xấu, các thuật toán hiện một phân chia tại điểm lỗi tối đa và lặp đi lặp lại vớicác phân khúc gần đầu của chạy Nói cách khác, các thuật toán rơi trở lại cho đến khi nó tìmthấy một đoạn đường tốt xấp xỉ với một số trình tự ban đầu của các cạnh Các thuật toán làmcho các phân đoạn hiện nay phân khúc trước đó, và tiếp tục với các điểm cạnh còn lại Cácthuật toán cũng kiểm tra xem nếu phân đoạn hiện nay có thể được sáp nhập với các phân đoạntrước Thuật toán là giống như một tách và hợp nhất các thuật toán, nhưng nó không bắt đầuvới toàn bộ danh sách các cạnh và không lãng phí thời gian làm rất nhiều việc chia tách Cácthuật toán bước nhảy cùng, làm việc trên chạy kích thước khiêm tốn của các cạnh Các thuậttoán được đưa ra như là thuật toán 6.1

Thuật toán 6.1 làm việc Cùng thuật toán cho nhiều đường khớp nối

1 Bắt đầu với các cạnh k đầu tiên trong danh sách.

2 Phù hợp với một đoạn thẳng giữa các cạnh đầu tiên và cuối cùng trong danh sách phụ chứa.

3 Nếu các lỗi tối đa bình thường là quá lớn, rút ngắn danh mục phụ đến mức sai số tối đa Quay trở lại bước 2.

4 Nếu các dòng phù hợp thành công, so sánh sự định hướng của các dòng seg¬ment hiện tại với các phân khúc dòng trước đó Nếu các dòng có định hướng tương tự, thay thế cho hai đoạn thẳng với một phân khúc dòng đơn.

5 Thực hiện các phân khúc dòng hiện tại đoạn đường trước đó và trước cửa sổ của các cạnh

để có k cạnh trong sublist Quay trở lại bước 2.

Các thuật toán bước nhảy cùng, thúc đẩy các cửa sổ của các cạnh của một k.If liên tục phù hợpcủa một đoạn thẳng để các cạnh là không đủ tốt, các thuật toán rơi trở lại điểm của sai số tối

đa Kể từ khi các thuật toán chỉ xem xét một ngắn hạn của các cạnh, đó là hiệu quả hơn so vớiphân khu đệ quy nguyên chất hoặc tách và hợp nhất các thuật toán, mà sẽ bắt đầu với toàn bộdanh sách các cạnh và lãng phí rất nhiều thời gian chia tách danh sách cạnh vào phần quản lý

6.5 đường tròn Arcs

Sau một danh sách các cạnh là xấp xỉ bởi các đoạn đường, trình tự phụ của các đoạn đường cóthể được thay thế bởi các cung tròn nếu muốn Thay thế các đoạn đường bằng cung tròn liênquan đến việc cung tròn phù hợp thông qua các điểm kết thúc của hai hoặc nhiều đoạn thẳng.Nói cách khác, phù hợp cung tròn được thực hiện trên đỉnh của polyline Đại diện cho cácđường viền như là một chuỗi các đoạn và cung tròn phá vỡ các đường viền thành các phần vớitừng phần theo độ cong không đổi Nhiều thuật toán phân tích hình ảnh sử dụng thông tincong

Cũng như chúng ta có nguồn gốc công thức ngầm cho đoạn đường giữa hai điểm, chúng ta cầnphải lấy được công thức tiềm ẩn cho một vòng tròn qua ba điểm Phương trình ngầm cho mộtvòng tròn với bán kính trung tâm rand (x0,Y0) là

(x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2 (6.13)

Hãy xem xét ba điểm p 1 = (x1,y1), p 2 = (x2, y2), và p 3 = (x3, y3) chuyển đổi nguồn gốc của các

hệ thống phối hợp để chỉ p 1 Trong hệ thống coodinate mới,

3 x ’

0 +x’ 0 + y’ 3 - 2y ’

3 y ’

0 + y’ 0 - r 2 = 0 (6.19) Điều này mang lại ba phương trình phi tuyến cho ba ẩn số x ’

0 ; y ’

0 , và r Trừ các phương trình

đầu tiên từ các phương trình thứ hai và thứ ba:

2x' 2 x' 0 + 2y' 2 y' 0 = x’ 2 2 + y’ 2 2 (6.20)

2x’ 3 x’ 0 + 2y’ 3 y’ 0 = x’ 3 + y’ 3 (6.21)

Điều này mang lại hai phương trình tuyến tính trong hai ẩn x' 0 và y' 0) Nào là tọa độ của các

trung tâm của vòng tròn trong khoảng cách x'-y' Thêm (x’, y’) vào (x'0, y'0) để có được trung

tâm của vòng tròn trong các hệ tọa độ ban đầu Tính bán kính của vòng tròn từ r 2 = X’ 0 + Y’ 0

Để tính toán các lỗi trong việc lắp đặt một cung tròn, xác định khoảng cách của điểm Q từvòng tròn như khoảng cách của Q từ vòng tròn dọc theo một đường đi qua trung tâm của vòng

tròn Hãy bán kính của vòng tròn được r tính khoảng cách q với các tọa độ (x i , y i ) từ điểm Q đến trung tâm (x 0 , y 0 ) của các vòng tròn:

(6.22)Khoảng cách từ điểm Q để các cung tròn là

d = q – r (6.23)

Bây giờ chúng ta có một công thức cho lắp một cung tròn đến ba điểm, chúng ta cần mộtphương pháp để đánh giá sự tốt lành của sự phù hợp vì vậy chúng tôi có thể xác định có haykhông các cung tròn là một xấp xỉ tốt hơn để các cạnh hơn so với đoạn đường thẳng Nếu tỷ lệchiều dài của đường viền để khoảng cách giữa các điểm kết thúc đầu tiên và cuối cùng là hơnmột ngưỡng, sau đó nó có thể là có thể thay thế các đoạn thẳng với một cung tròn Các cungtròn là phù hợp giữa các điểm kết thúc đầu tiên và cuối cùng và một điểm khác Có một sốphương pháp để lắp một cung tròn với một chuỗi các polylines, tùy thuộc vào cách trung điểmđược chọn:

1 Sử dụng các đỉnh polyline đó là xa nhất từ đường nối các điểm kết thúc đầu tiên và cuốicùng

2 Sử dụng các điểm cạnh đó là xa nhất từ đường nối các điểm kết thúc đầu tiên và cuối cùng

3 Sử dụng các đỉnh polyline mà là ở giữa của dãy các đỉnh giữa các điểm kết thúc đầu tiên vàcuối cùng

4 Sử dụng các điểm cạnh đó là ở giữa của danh sách các cạnh giữa các điểm kết thúc đầu tiên

và cuối cùng

Tính toán khoảng cách ký kết giữa tất cả các điểm cạnh và cung tròn Tính toán sai số tuyệt đối tối đa và số lượng thay đổi dấu Nếu các lỗi tối đa bình thường là dưới một ngưỡng và số lượng thay đổi dấu hiệu là lớn, sau đó chấp nhận cung tròn; nếu không, giữ xấp xỉ polyline Các thuật toán thay thế cho đoạn thẳng với cung tròn được vạch ra trong thuật toán 6.2.

Thuật toán 6.2 Thay thế dòng phân đoạn theo đường tròn Arcs

1 Khởi tạo các cửa sổ của đỉnh để ba điểm kết thúc của hai đoạn đường đầu tiên trong polyline.

2 Tính tỉ lệ chiều dài của một phần của đường viền tương ứng với hai đoạn thẳng với khoảng cách giữa các điểm kết thúc Nếu tỷ lệ này là nhỏ, sau đó rời khỏi phân khúc dòng đầu tiên không thay đổi, thúc đẩy

3 Phù hợp với một vòng tròn qua ba đỉnh

4.Tính sai số tối đa bình thường và số thay đổi dấu.

5 Nếu các lỗi tối đa bình thường là quá lớn hoặc số lượng thay đổi dấu hiệu là quá nhỏ, sau đó rời khỏi phân khúc dòng đầu tiên không thay đổi, quảng cáo cửa sổ các đỉnh, và quay lại bước 2.

6 Nếu phù hợp với vòng tròn thành công, sau đó cố gắng để bao gồm các đoạn đường tiếp theo trong vòng cung tròn Lặp lại bước này cho đến khi có phân đoạn đường hơn có thể được gộp vào cung tròn này.

7 Trước cửa sổ để ba đỉnh polyline tiếp theo sau khi kết thúc của cung tròn và quay lại bước 2.

Sau khi chạy Algorithm 6.2 trên polyline, đường viền sẽ được đại diện bởi một phẫn nộ chuỗi các đoạnvà cung tròn Nó có thể là bất tiện vì có hai nguyên thủy đường cong khác nhau trongcác đại diện Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày phần hình nón, cho phép phân khúc dòng, vòng cung ,vòng tròn, và nguyên thủy khác để cùng tồn tại trong cùng một đại diện Cắt hình nón cũng cung cấp sự chuyển trơn tru giữa các phần, nếu muốn, cũng như các đại diện rõ ràng của các góc

6.6 Phần Conic

Phần này mô tả làm thế nào để gần đúng danh sách các điểm cạnh với mặt cắt hình nón Như với cung tròn, phương pháp này giả định rằng các điểm cạnh đầu tiên được xấp xỉ bởi một polyline và thay thế trình tự phụ các đoạn đường bằng các đường conic Các tiềm ẩn (đại số) dưới dạng một hình nón là:

f(x, y) = ax2+ 2hxy + by2 + 2ex + 2gy + c = 0 (6.24)

Có ba loại cắt hình nón: hyperbolas, parabol và elip Vòng kết nối là một trường hợp đặc biệtcủa elip Hình học, cắt hình nón được xác định bởi giao nhau một hình nón với một chiếc máybay như thể hiện trong hình 6.8

Cắt hình nón có thể phù hợp giữa ba đỉnh của polyline xấp xỉ thông đến một đường viền Các địa điểm mà cắt hình nón được tham gia được gọi là hải lý Splines Conic là một chuỗi các mặtcắt hình nón được ghép cuối để

Hình 6.8: Phần Conic được xác định bởi giao nhau một hình nón với một mặt phẳng.

kết thúc, với tiếp tuyến bằng nhau ở hải lý để cung cấp một quá trình chuyển đổi trơn tru ởgiữa khu vực lân cận của đường cong Hãy để các đỉnh polyline là Vi Xấp xỉ nón được thểhiện trong hình 6.9

Mỗi đường conic trong một spline nón được xác định bởi hai điểm kết thúc, hai tiếp tuyến, vàmột trong những điểm bổ sung Các nút thắt Ki có thể được đặt giữa các đỉnh của polyline:

nơi mà V i nằm giữa 0 và 1 Các tiếp tuyến được định nghĩa bởi các tam giác với đỉnh V i , V i+1 ,

và Vi+2 Các điểm nữa là

như thể hiện trong hình 6.10

Có một số trường hợp đặc biệt của các đường conic có thể được xử lý một cách thống nhất

theo đại diện này Nếu V i +1 = 0, sau đó ith phần thứ của spline nón là đoạn đường từ K i đến

V i+1 Nếu Vi = 1 và V i+1 = 0 và K i và K i+1 , và V i+1 sụp đổ đến các điểm giống nhau và có mộtgóc trong chuỗi các mặt cắt hình nón Các tính chất này đặc biệt cho phép các đoạn đường vàgóc để được đại diện một cách rõ ràng trong một spline nón, mà không cần đến nguyên thủykhác nhau hoặc cờ đặc biệt

Các thuật toán trình bày ở đây để tính toán splines nón sử dụng hình thức hướng dẫn của mộtđường conic, đại diện cho một đường conic bằng ba dòng

hình 6.9 Cắt hình nón là gần đúng định nghĩa giữa ba điểm

hình 6.10: Một đường conic được xác định bởi hai điểm kết thúc và tiếp tuyến từ ba đỉnh của

xấp xỉ polyline, cộng thêm một điểm bổ sung.

là những dòng có chứa các hợp âm AB.The gia đình cắt hình nón được phân chia bởi p.

Các thuật toán cho việc lắp đặt một đường conic vào một danh sách các điểm cạnh bắt đầu vớimột polyline và phân loại các đỉnh như góc, đỉnh mềm, hoặc hải lý Đỉnh mềm có góc gần180°, và các đoạn đường thẳng liền kề gần cộng tuyến và có thể được thay thế bằng mộtđường conic Một chuỗi các đỉnh mềm tương ứng với một chuỗi các đoạn với dần dần thay đổi

sự định hướng rằng nhiều khả năng được trang bị để cạnh điểm lấy mẫu dọc theo một đường

cong trơn tru Góc có góc đỉnh trên 180 ° + T 1 hoặc dưới 180 ° - T 1 trong đó T 1 là một ngưỡng,

và sẽ không phải là một phần của hình nón Hải lý được đặt dọc theo một đoạn thẳng có đỉnhmềm ở hai đầu được đặt nghiêng theo hướng ngược nhau Mộtđường conic không thể có mộtuốn, vì vậy hai cắt hình nón phải được tham gia vào các nút Các vị trí của các nút dọc theođoạn thẳng được xác định bởi những góc tương đối của các đỉnh mềm ở hai đầu của đoạn

thẳng Hãy để các góc của hai đỉnh mềm V i và V i + 1 với A i và A i + 1 tương ứng Nếu A i = A i + 1,

sau đó các nút được đặt nằm giữa các đỉnh, có nghĩa là v = 1/2 trong phương trình 6.25 Nếu

góc là không giống nhau, sau đó các vị trí nút nên được thiên vị đi từ đỉnh với góc lớn hơn, kể

từ khi hình nón có thể không uốn cong ra khỏi đoạn đường đủ nhanh để theo góc Các giá trịcho v trong phương trình 6.25 có thể được thiết lập bằng cách sử dụng công thức

(6.32)

Mỗi chuỗi các đoạn tham gia của đỉnh mềm được thay thế bởi một hướng dẫn conic qua đỉnhđầu tiên và cuối cùng (hay hải lý) Các tiếp tuyến được xác định bởi sự định hướng của cácphân khúc dòng đầu tiên và cuối cùng Các tiếp tuyến và điểm kết thúc xác định bốn trong sốnăm bậc tự do cho conic Cônic được quy định đầy đủ bằng cách để nó đi qua các đỉnh mềm ởgiữa của dãy.

6,7 đường cong Spline

Spline hạn đề cập đến một chức năng đại diện sử dụng đa thức từng phần theo Splines xảy ratrong nhiều ứng dụng Trong phân tích dữ liệu, splines được sử dụng để phù hợp với một tậphợp các điểm dữ liệu khi không có mô hình chức năng có sẵn [245] Trong đồ họa máy tính vàCAD, splines được sử dụng để đại diện cho đường cong dạng tự do Trong thị giác máy,splines cung cấp một biểu mục đích chung cho các đường cong khi không có mô hình đơngiản là đủ

Một spline có thể được làm từ bất kỳ lớp học của các chức năng ghép nối đuôi nhau Các hìnhthức phổ biến nhất của spline là spline khối, mà là một chuỗi các đa thức từng phần theo khối

Cơ quan đại diện cong trình bày trong các phần trước, chẳng hạn như trình tự của đoạn thẳng,cung tròn, và cắt hình nón, là những ví dụ khác của spline Splines khối cho phép các đườngcong phức tạp hơn để được đại diện sử dụng các đoạn spline ít Splines khối được sử dụngrộng rãi trong các chương trình vẽ máy tính cho đường cong dạng tự do và cho đại diện chonhân vật vạch ra trong các phông chữ Kể từ splines khối được sử dụng rất rộng rãi, nó có thể

là cần thiết cho một chương trình máy tầm nhìn để phù hợp với mô hình đường cong thànhmột danh sách cạnh Từ giao diện tương tác đồ họa cho các thao tác đường cong spline khốicũng được biết đến, một đường viền đại diện là một spline khối có thể được sửa đổi bằng taybởi người sử dụng nếu cần thiết Đây là một xem xét rất quan trọng, vì kết quả của việc lắp đặtmột đường cong với các cạnh có thể không bao giờ được hoàn hảo

Một điểm cần làm rõ là sự khác biệt giữa hình học và tương đương para¬metric Hai đườngcong hình học tương đương nếu chúng là những đường cùng một tập hợp điểm Nói cách khác,hai đường cong hình học là tương đương nếu chúng tương ứng với các hình dạng tương tự(hoặc thiết lập các điểm) trong không gian Hai đường cong parametrically tương đương nếuphương trình của họ là giống hệt nhau Nói cách khác, hai đường cong là parametrically tươngđương nếu đại diện của họ sử dụng cùng một công thức với các thông số tương tự Tươngđương tham số là mạnh hơn tương đương hình học

Hai đường cong có thể được hình học tương đương, nhưng có đại diện tham số khác nhau.Đây là một khái niệm quan trọng cho đường cong phù hợp trong thị giác máy Một hệ thốngthị giác máy có thể sản xuất ra một đại diện dựa trên splines khối đó là rất gần (hình học) đểcác đại diện thực sự của một ranhgiới đối tượng, nhưng các đại diện có thể không được ở tất

cả tương tự như trong một ý nghĩa tham số Trong các ứng dụng như nhận dạng đối tượng