XỬ LÝ ẢNH WAVELET 2D

Lêi nãi ®Çu Trong c¸c hƯ thèng th«ng tin liªn l¹c vµ m¹ng viƠn th«ng, khèi xư lý tÝn hiƯu sè ®ãng mét vai trß rÊt quan träng ViƯc xư lý tÝn hiƯu ®· ®ỵc c¸c nhµ khoa häc nghiªn cøu vµ ®a nhiỊu ph¬ng ph¸p kh¸c §· tõ l©u chóng ta quen thc víi viƯc xư lý tÝn hiƯu theo phÐp biÕn ®ỉi Fourier, ®©y lµ ph¬ng ph¸p kinh ®iĨn víi rÊt nhiỊu øng dơng Tuy vËy, tríc nh÷ng ®ßi hái cµng cao cđa khoa häc vµ cc sèng, phÐp biÕn ®ỉi Fourier ®· béc lé nh÷ng h¹n chÕ viƯc ph©n tÝch nh÷ng tÝn hiƯu “kh«ng dõng” tøc lµ yªu cÇu vỊ thêi gian Trong bèi c¶nh ®ã, phÐp ph©n tÝch Wavelet ®êi nh mét ®¸p øng h÷u hiƯu BiÕn ®ỉi Wavelet dùa trªn c¬ së khoa häc läc sè cã nhiỊu ®Ỉc ®iĨm vµ tÝnh chÊt vỵt tréi so víi biÕn ®ỉi Fourier kinh ®iĨn Kü tht Wavelet cung cÊp kh¶ n¨ng ph©n tÝch “cơc bé” chÝnh x¸c vµ râ rµng h¬n §Ỉc biƯt nhê sư dơng c«ng ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i, biÕn ®ỉi Wavelet còng hoµn thiƯn h¬n biÕn ®ỉi Fourier vÊn ®Ị ph©n tÝch vµ tỉng hỵp tÝn hiƯu ViƯc nghiªn cøu vỊ Wavelet ®· ®ỵc c¸c nhµ khoa häc thùc hiƯn tõ rÊt l©u nhng vÉn cha khai th¸c hÕt kh¶ n¨ng cđa nã c¸c øng dơng kh¸c Nghiªn cøu vỊ Wavelet rÊt cã tiỊm n¨ng c¸c lÜnh vùc khư nhiƠu vµ nÐn tÝn hiƯu (©m thanh, h×nh ¶nh, video), xư lý tiÕng nãi, xư lý tÝn hiƯu rada, ph©n tÝch y häc, Trong ph¹m vi mét b¸o c¸o chuyªn ®Ị kh«ng thĨ chun t¶i hÕt néi dung cđa mét kh¸i niƯm, mét ph¬ng ph¸p cßn kh¸ míi mỴ vµ phøc t¹p nh Wavelet Trong ph¹m vi chuyªn ®Ị nµy chóng em chØ tr×nh bµy mét c¸ch s¬ lỵc vỊ wavelet Chóng em xin ch©n thµnh c¶m ¬n ThÇy gi¸o TiÕn sü Ng« V¨n Sü ®· híng dÉn vµ cung cÊp kiÕn thøc ®Ĩ chóng em cã thĨ hoµn thµnh chuyªn ®Ị nµy Nhãm sinh viªn 98§T1 §µo Anh KiƯt Hµ Nh V©n T«n ThÊt Lª Huy Bïi Xu©n TiÕn Ngun B¶o Ch¸nh Ph¹m Ngäc Quang PhÇn Tỉng quan Giíi thiƯu Wavelet 1.1 §Þnh nghÜa vµ lÞch sư ph¸t triĨn Wavelet (sãng con) lµ mét d¹ng sãng tån t¹i kho¶ng thêi gian giíi h¹n vµ cã gi¸ trÞ trung b×nh b»ng kh«ng H×nh 1.1 C¸c d¹ng wavelet kh¸c Tht ng÷ “wavelet” ®ỵc Alfred Haar ®Ị cËp ®Çu tiªn vµo n¨m 1909 b¶n ln c¬ng khoa häc cđa m×nh TiÕp theo wavelet ®ỵc nghiªn cøu vỊ mỈt lý thut theo ®óng ý nghÜa hiƯn t¹i cđa nã t¹i “Trung t©m vËt lý lý thut Marrseille” bëi Jean Morlet vµ c¸c céng sù §Õn n¨m 1980, cÊu tróc tỉng qu¸t h¬n cđa wavelet ®Ĩ h×nh thµnh c¬ së cho hµm b×nh ph¬ng kh¶ tÝch ®ỵc nghiªn cøu cïng víi c¸c tht to¸n hiƯu qu¶ ®Ĩ tÝnh to¸n khai triĨn nã Nèi tiÕp viƯc nghiªn cøu vÊn ®Ị lý thó nµy, c¸c nhµ khoa häc kh¸c ®· t×m nhiỊu wavelet ®Ĩ x©y dùng c¬ së trùc chn cho hµm kh¶ tÝch b×nh ph¬ng §iĨn h×nh nh Matlat vµ Meyer víi ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i hay cÊu tróc wavelet cđa Daubechies liªn quan ®Õn ph¬ng ph¸p dµn läc ®ỵc sư dơng xư lý tÝn hiƯu sè 1.2 TÝnh u viƯt cđa wavelet a PhÐp biÕn ®ỉi Fourier ViƯc biÕn ®ỉi tÝn hiƯu tõ miỊn thêi gian sang mét miỊn kh¸c nh»m xư lý tÝn hiƯu ®ỵc thn lỵi ®· ®ỵc thùc hiƯn tõ rÊt l©u vµ mét nh÷ng ph¬ng ph¸p kinh ®iĨn lµ phÐp ph©n tÝch Fourier BiÕn ®ỉi Fourier ph©n tÝch tÝn hiƯu thµnh nh÷ng ®êng sin liªn tơc ë c¸c tÇn sè kh¸c XÐt theo quan ®iĨm to¸n häc th× phÐp biÕn ®ỉi nµy chun viƯc biĨu diƠn tÝn hiƯu tõ miỊn thêi gian sang miỊn tÇn sè Biªn ®é Biªn ®é §èi víi nhiỊu tÝn hiƯu, phÐp ph©n tÝch Fourier thùc sù h÷u Ých v× néi dung tÇn sè Thêi gian BiÕn ®ỉi Fourier TÇn sè H×nh 1.2 PhÐp biÕn ®ỉi Fourier cđa tÝn hiƯu rÊt quan träng Tuy nhiªn, biÕn ®ỉi Fourier cã mét ®iĨm h¹n chÕ lín lµ chun sang miỊn tÇn sè th× th«ng tin vỊ thêi gian bÞ mÊt ®i Nh×n vµo biÕn ®ỉi Fourier cđa mét tÝn hiƯu ta kh«ng thĨ biÕt ®ỵc thêi ®iĨm x¶y mét sù kiƯn riªng biƯt nµo ®ã §èi víi c¸c tÝn hiƯu dõng (Ýt thay ®ỉi theo thêi gian) th× h¹n chÕ nµy kh«ng thùc sù quan träng Tuy nhiªn quan t©m ®Õn nh÷ng tÝn hiƯu dÞch chun vµ nhÊt thêi th× phÐp biÕn ®ỉi Fourier kh«ng nhËn ®ỵc c¸c ®Ỉc tÝnh quan träng (®é tr«i, diƠn biÕn, nh÷ng thay ®ỉi ®ét ngét, ®iĨm b¾t ®Çu vµ kÕt thóc) cđa tÝn hiƯu Cưa sỉ BiÕn ®ỉi Fourier thêi gian ng¾n Thêi gian TÇn sè Biªn ®é b BiÕn ®ỉi Fourier thêi gian ng¾n (STFT) §Ĩ kh¾c phơc khiÕm khut nµy, Dennis Gabor (1946) ®· sư dơng phÐp biÕn ®ỉi Fourier ®Ĩ chØ ph©n tÝch mét vïng nhá cđa tÝn hiƯu t¹i mét thêi ®iĨm vµ gäi lµ kü tht lÊy cưa sỉ tÝn hiƯu ViƯc chØnh sưa nµy cđa Gabor, ®ỵc biÕt ®Õn víi c¸i tªn lµ “biÕn ®ỉi Fourier thêi gian ng¾n”, ®Ĩ ¸nh x¹ mét tÝn hiƯu thµnh mét hµm hai chiỊu thêi gian - tÇn sè Thêi gian H×nh 1.3 PhÐp biÕn ®ỉi Fourier thêi gian ng¾n (STFT) ¦u ®iĨm cđa STFT lµ ®· phÇn nµo biĨu diƠn ®ỵc tÝn hiƯu miỊn kÕt hỵp thêi gian - tÇn sè Nã cung cÊp c¸c th«ng tin nµo vµ ë tÇn sè nµo cã c¸c sù kiƯn cđa tÝn hiƯu x¶y Tuy nhiªn, chóng ta chØ quan s¸t ®ỵc c¸c th«ng tin nµy víi mét sù chÝnh x¸c h¹n chÕ cưa sỉ thêi gian ®ỵc chóng ta chän cè ®Þnh tõ ®Çu vµ cã kÝch thíc cè ®Þnh cho tÊt c¶ c¸c tÇn sè Trong ®ã nhiỊu tÝn hiƯu yªu cÇu c¸ch gi¶i qut mỊm dỴo h¬n, tøc lµ ph¶i sư dơng c¸c cưa sỉ víi kÝch thíc thay ®ỉi ®Ĩ x¸c ®Þnh ®ỵc chÝnh x¸c h¬n c¸c th«ng tin vỊ thêi gian vµ tÇn sè W Thêi gian Tû lƯ Biªn ®é Biªn ®é c BiÕn ®ỉi Wavelet BiÕn ®ỉi Wavelet u viƯt h¬n so víi STFT ë chç nã cung cÊp mét kü tht lÊy cưa sỉ víi kÝch thíc cã thĨ thay ®ỉi ®ỵc Ph©n tÝch Wavelet cho phÐp sư dơng kho¶ng thêi gian dµi trªn ®o¹n tÝn hiƯu mµ chóng ta mong mn cã th«ng tin tÇn sè thÊp chÝnh x¸c h¬n vµ sư dơng kho¶ng thêi gian ng¾n h¬n ë n¬i mn cã th«ng tin tÇn sè cao Hay ®¬n gi¶n h¬n, ph©n tÝch Wavelet cung cÊp kh¶ n¨ng ®Þnh vÞ tÇn sè vµ thêi gian tèt h¬n so víi phÐp ph©n tÝch Fourier Tuy nhiªn cÇn ®Ỉc biƯt lu ý lµ biÕn ®ỉi Wavelet kh«ng ¸nh x¹ tÝn hiƯu sang miỊn BiÕn ®ỉi Wavelet TÇn sè Thêi gian H×nh 1.4 PhÐp biÕn ®ỉi Wavelet thêi gian - tÇn sè mµ thay vµo ®ã lµ miỊn thêi gian - tû lƯ (time - scale) d Kh¶ n¨ng cđa phÐp biÕn ®ỉi Wavelet Mét tÝnh n¨ng u viƯt n÷a cđa phÐp biÕn ®ỉi Wavelet lµ kh¶ n¨ng thùc hiƯn ph©n tÝch cơc bé (local analysis) tøc lµ kh¶ n¨ng ph©n tÝch khoanh vïng ®èi víi c¸c tÝn hiƯu lín §iỊu nµy ®Ỉc biƯt h÷u Ých cÇn ph©n tÝch nh÷ng biÕn ®éng kh«ng ®đ lín ®Ĩ nhËn ra, ®ã lµ nh÷ng ®iĨm chun tiÕp cđa tÝn hiƯu gi÷a c¸c vïng tÇn sè kh¸c hay lµ sù x©m nhËp ®ét ngét cđa nhiƠu vµo tÝn hiƯu (chóng chØ tån t¹i kho¶ng thêi gian rÊt bÐ) ®iĨm ®øt g·y ®ét ngét cđa sãng h×nh sin ChÝnh nhê kh¶ n¨ng ph©n tÝch cơc bé mµ phÐp biÕn ®ỉi Wavelet cã thĨ béc lé ® ỵc nh÷ng khÝa c¹nh mµ c¸c phÐp biÕn ®ỉi kh¸c bá qua ph©n tÝch tÝn hiƯu, ®ã chÝnh lµ diƠn biÕn (trend) cđa tÝn hiƯu, ®iĨm ®øt g·y, nh÷ng ®iĨm dõng ®¹o hµm bËc cao, nh÷ng ®iĨm kh¸c phÐp tù ®ång d¹ng (self similarity) H¬n n÷a, còng chÝnh bëi kh¶ n¨ng “nh×n” d÷ liƯu theo c¸c c¸ch kh¸c (ph©n tÝch d÷ liƯu theo nh÷ng ®iĨm ®Ỉc biƯt) mµ phÐp biÕn ®ỉi Wavelet cßn cã thĨ ®ỵc dïng ®Ĩ nÐn hay khư nhiƠu cho tÝn hiƯu mµ kh«ng lµm mÊt ®i nh÷ng phÈm chÊt c¬ b¶n cđa tÝn hiƯu PhÇn C¬ së to¸n häc C¸c kh¸i niƯm - C, R, Z, N lÇn lỵt lµ tËp hỵp sè phøc, sè thùc, sè nguyªn vµ sè tù nhiªn - Cn, Rn t¬ng øng víi tËp hỵp bé d÷ liƯu n phÇn tư (x 1, x2, , xn) sè phøc hay sè thùc - ChØ sè * lµ ký hiƯu cđa liªn hiƯp phøc: (a + jb)* = (a - jb) víi j2 = -1; a, b ∈ R - ChØ sè T lµ ký hiƯu chun vÞ cđa ma trËn hay vector - ChØ sè * víi vector hay ma trËn ®ỵc hiĨu lµ chun vÞ kÝn (nghÜa lµ chun vÞ vµ lÊy liªn hỵp phøc) Kh«ng gian vector Mét kh«ng gian vector trªn tËp hỵp sè phøc hay sè thùc lµ mét tËp hỵp vector E, víi phÐp céng vµ phÐp nh©n v« híng Víi x, y ∈ E; α, β∈ C (hay R) th× nh÷ng tÝnh chÊt sau ®ỵc tháa m·n: a Ho¸n vÞ: x + y = y + x b KÕt hỵp: (x + y) + z = x + (y + z); (αβ)x = α(βx) c Ph©n phèi: α(x + y) = αx + αy; (α + β)x = αx + βx d Céng (0 ∈ E): x + = + x víi x ∈ E e Tån t¹i phÇn tư ®¶o -x cho x + (-x) = víi ∀ x ∈ E f Nh©n 1: 1.x = x.1 víi ∀x ∈ E g Trêng hỵp x, y lµ mét tËp hỵp phÇn tư hay lµ mét chi: x = (x1, x2, , xn); y = (y1, y2, , yn) th× cã thªm c¸c tÝnh chÊt sau: • x + y = (x1 + y1, x2 + y2, , xn + yn) • αx = (αx1, αx2, , αxn) • TËp M cđa E lµ kh«ng gian cđa E nÕu: ∀x, y ∈ M th× (x + y) ∈ M ∀x ∈ M vµ α ∈ C hay R th× αx h Cho S ⊂ E, b¾c cÇu (span) cđa S, ký hiƯu lµ span(S) lµ kh«ng gian cđa E bao gåm tÊt c¶ c¸c tỉ hỵp tun tÝnh cđa c¸c vector thc S, vÝ dơ víi sè chiỊu h÷u h¹n n  Span(S) = ∑ α i x i | α i ∈ C hc R, x i ∈ S   i =1  Vector x1, x2, , xn lµ ®éc lËp tun tÝnh nÕu n ∑α x i =1 i i = , ®iỊu kiƯn lµ αi = víi ∀i Ngỵc l¹i lµ phơ thc tun tÝnh TÝch v« híng TÝch v« híng kh«ng gian E trªn C hay R ®ỵc ®Þnh nghÜa lµ hµm trÞ sè phøc ®Þnh nghÜa trªn E*E víi nh÷ng tÝnh chÊt sau: a = + b = α c * = d ≥ vµ = nÕu vµ chØ nÕu x ≡ TÝch v« híng chn: +∞ < f , g >= ∫ f * (t ).g(t )dt vµ < x, y >= −∞ +∞ ∫x * [ n].y[ n] n = −∞ Module cđa vector ®ỵc ®Þnh nghÜa dùa trªn tÝch v« híng: x = < x, x > Kho¶ng c¸ch gi÷a hai vector x vµ y lµ: x − y Trong kh«ng gian vector cÇn chó ý: • BÊt ®¼ng thøc Cauchy - Swharz: < x, y >≤ x y ; dÊu “=” x¶y x = αy • BÊt ®¼ng thøc tam gi¸c: x + y ≤ x + y ; dÊu “=” x¶y x = αy • Lt h×nh b×nh hµnh: 2 x + y + x − y = 2( x + y ) * §Þnh nghÜa tÝnh trùc giao cđa hai vector x vµ y dùa trªn tÝch v« híng: x vµ y trùc giao nÕu vµ chØ nÕu: = Hai vector trùc giao ®ỵc ký hiƯu lµ: x ⊥ y, chóng tháa m·n ®Þnh lý Pitago: 2 x+y = x + y Mét vector ®ỵc xem lµ trùc giao víi tËp hỵp c¸c vector S = {y i} nÕu = víi ∀x Ký hiƯu lµ x ⊥ S Tỉng qu¸t, hai kh«ng gian S 1, S2 ®ỵc gäi lµ trùc giao nÕu mäi vector thc S1 ®Ịu trùc giao víi mäi vector thc S2 vµ ®ỵc ký hiƯu lµ S1 ⊥ S2 Mét tËp hỵp vector {x1, x2, , xn} gäi lµ trùc giao nÕu xi ⊥ xj víi i ≠ j NÕu vector cã ®¬n vÞ chn th× ta cã hƯ thèng trùc chn vµ nã tháa m·n: = δ[i-j] Vector hƯ thèng trùc chn lµ ®éc lËp tun tÝnh nªn Σαixi = Mét hƯ thèng trùc chn kh«ng gian E lµ c¬ së trùc chn nÕu nã biĨu diƠn (span) ®ỵc E * Kh«ng gian tÝch v« híng ®Çy ®đ Mét kh«ng gian vector cïng víi phÐp to¸n tÝch v« híng ®ỵc gäi lµ kh«ng gian tÝch v« híng XÐt chi vector {xn} kh«ng gian E ®ỵc gäi lµ héi tơ t¹i x nÕu x n − x → n → ∞ Chi vector {xn} ®ỵc xem lµ chi Cauchy nÕu x n − x m → ∞ m, n → ∞ NÕu mçi chi Cauchy E héi tơ t¹i mét vector E th× E ®ỵc gäi lµ ®Çy ®đ Mét kh«ng gian tÝch v« híng ®Çy ®đ ®ỵc gäi lµ kh«ng gian Hilbert C¬ së trùc chn §Ĩ mét tËp hỵp vector {xi} = S thc E lµ c¬ së trùc chn cÇn xÐt xem tËp hỵp c¸c vector cã trùc chn vµ ®Çy ®đ kh«ng Nãi thªmvỊ kh¸i niƯm ®Çy ®đ: Cã thĨ coi lµ ®Çy ®đ nÕu mçi vector y E ®Ịu cã thĨ viÕt díi d¹ng tỉ hỵp tun tÝnh cđa c¸c vector x thc S y = ∑αkxk k víi αi lµ hƯ sè Fourier t¬ng øng víi {xi}, ®ỵc tÝnh bëi αk = Kh«ng gian cã sè chiỊu h÷u h¹n (Cn hay Rn) cã tËp hỵp trùc chn kÝch thíc n lµ ®đ ®Ĩ cã c¬ së trùc chn Khi kh¶o s¸t kh«ng gian cã sè chiỊu v« h¹n (kh«ng ®đ ®Ĩ cã tËp hỵp trùc chn) Khi cã mét hƯ thèng trùc chn {x1, x2, , } thc E th× nh÷ng ph¸t biĨu sau lµ t¬ng ®¬ng: a TËp hỵp {x1, x2, , } lµ c¬ së trùc chn cđa E b NÕu = víi i = 1, 2, th× y = c Víi mçi y thc E th× cã ®¼ng thøc Parseval: y d Mçi y1, y2 thc E: = PhÇn = ∑ < xi , y > ∑< x ,y i >* < x i , y > PhÐp biÕn ®ỉi Wavelets PhÐp biÕn ®ỉi Wavelets lµ mét bíc c¶i tiÕn tiÕp theo cđa phÐp ®ỉi Fourier thêi gian ng¾n Nh chóng ta ®· ph©n tÝch ë mơc tríc phÐp biÕn ®ỉi Fourier thêi gian ng¾n kh«ng thĨ hiƯn tÝnh linh ho¹t ®Þnh vÞ c¸c thµnh phÇn mét tÝn hiƯu v× kÝch thíc cưa sỉ ph©n tÝch kh«ng thay ®ỉi ®ỵc, ®ã tÝn hiƯu chØ ®ỵc ph©n tÝch ë mét ®é ph©n gi¶i thêi gian vµ ®é ph©n gi¶i tÇn sè cè ®Þnh §iỊu nµy ®ỵc kh¾c phơc phÐp biÕn ®ỉi Wavelets, cưa sỉ sư dơng ®Ĩ ph©n tÝch tÝn hiƯu cã thĨ ®ỵc phãng to hay thu nhá (“zoom in” or “zoom out” ) bëi mét thao t¸c ®¬n gi¶n lµ thay ®ỉi hƯ sè tû lƯ (scale factor ), ®ång thêi cưa sỉ ®ã cã thĨ dÞch chun ®ỵc th«ng qua mét hƯ sè dÞch chun τ ( shifl factor ) hµm c¬ së wavelets PhÐp biÕn ®ỉi wavelets cho phÐp ta ph©n tÝch nh÷ng kho¶ng thêi gian dµi ®Ĩ cho sù CWT H×nh 3.1: BiĨu diƠn tÝn hiƯu b»ng CWT chÝnh x¸c ®èi víi th«ng tin tÇn sè thÊp vµ ph©n tÝch kho¶ng thêi gian ng¾n ta mn thĨ hiƯn th«ng tin ë tÇn sè cao Chóng ta cã thĨ nhËn thÊy sù kh¸c gi÷a phÐp biÕn ®ỉi wavelets so víi phÐp biÕn ®ỉi Fourier thêi gian ng¾n lµ phÐp biÕn ®ỉi wavelets kh«ng thĨ hiƯn tÝn hiƯu miỊn thêi gian tÇn sè mµ thĨ hiƯn tÝn hiªu miỊn thêi gian - tû lƯ (time - scale), ®ã biÕn scale tû lƯ nghÞch víi tÇn sè cđa tÝn hiƯu `Kh¸c víi phÐp biÕn ®ỉi Fourier dùa trªn mét hµm c¬ së lµ hµm sin nªn cã kho¶ng thêi gian tån t¹i v« h¹n (- ∞ ,+ ∞ ) phÐp biÕn dỉi wavelets dùa trªn mét hµm c¬ së cã kho¶ng thêi gian tån t¹i giíi h¹n vµ cã gi¸ trÞ trung b×nh b»ng kh«ng Mét vÝ dơ vỊ hµm c¬ së cđa ph©n tÝch wavelets ®ỵc thĨ hiƯn h×nh 3.2: PhÐp biÕn ®ỉi wavelets ph©n tÝch mét tÝn hiƯu thµnh nh÷ng phiªn b¶n cã t¬ng quan H×nh 3.2: Hµm c¬ së phÐp biÕn ®ỉi wavelets tû lƯ vµ dÞch tõ mét hµm wavelets ban ®Çu cßn gäi lµ hµm wavelets mĐ (motherwavelets) BiÕn ®ỉi wavelets ®ỵc ®Þnh nghÜa lµ tỉng trªn toµn trơc thêi gian cđa tÝn hiƯu nh©n víi phiªn b¶n ®ỵc dÞch vµ tû lƯ tõ mét hµm c¬ së wavelets : C(a, τ ) = ∞ ∫ s(t )Ψ * (a, t )dt (3.1) −∞ KÕt qu¶ cđa phÐp biÕn dỉi wavelets lµ tËp hỵp c¸c hƯ sè wavelets C §ã lµ mét hµm hai biÕn theo hƯ sè tû lƯ a (scale) vµ ®é dÞch τ (translation) NÕu nh©n c¸c hƯ sè víi phiªn b¶n scale vµ dÞch hỵp lý cđa mother wavelets, chóng ta sÏ kh«i phơc tÝn hiƯu gèc ban ®Çu Trong phÐp biÕn ®ỉi wavelets cã sù t¬ng øng gi÷a hƯ sè co gi¶n vµ tÇn sè nh sau: • HƯ sè co gi¶n nhá → wavelets nÐn ph©n tÝch thµnh phÇn tÇn sè cao cđa tÝn hiƯu → ph©n tÝch chi tiÕt cđa tÝn hiƯu • HƯ sè co gi¶n lín → wavelets tr¶i réng ph©n tÝch thµnh phÇn tÇn sè thÊp cđa tÝn hiƯu → ph©n tÝch c¸c ®Ỉc ®iĨm th« cđa tÝn hiƯu  BiÕn ®ỉi wavelets liªn tơc cđa s(t) CWT(a, τ ) = ∫ s(t )Ψ ( a t −τ )dt a (3.2) víi ψ(t) lµ hµm wavelets mĐ vµ ψ ((t-τ)/a)/a1/2 lµ hµm wavelets  §Ỉt at’ = t ph¬ng tr×nh 3.2 trë thµnh: CWT(a, τ ) = τ ∫ s(at' )Ψ(t'− a )dt' a (3.3) MiỊn tÇn sè MiỊn thêi gian STFT t ω ω0 4π/T T aT ω t Wavelet ω 4π/aT ψ(at) ω ω0/a 4π/aT ψ(at) t H×nh 3.3 So s¸nh gi÷a STFT vµ Wavelet ω0 4π/T ω  Tuy nhiªn cã mét sù kh¸c c¬ b¶n gi÷a STFT vµ phÐp biÕn ®ỉi wavelet Trong STFT t¹i tÇn sè ω , ®é r«ng cưa sỉ sÏ thay ®ỉi theo sù t¨ng gi¶m cđa sè chu kú tÝn hiƯu Cßn biÕn ®ỉi wavelets ®é réng cđa cưa sỉ thay ®ỉi tïy theo sù nÐn hay gi¶n cđa tÝn hiƯu, vµ tÇn sè phơ sÏ thay ®ỉi tõ ω → ω 0/a øng víi ®é réng cưa sỉ thay ®ỉi tõ T → aT  Trong STFT vµ wavelets th× ®é ph©n gi¶I tÇn sè tû lƯ víi ®é réng cđa cưa sỉ  Trong hµm wavelet mĐ Ψ (t ) cã thĨ lµ hµm thùc hay hµm phøc, ®ã phỉ cđa phÐp biÕn ®ỉi wavelet lµ thùc hay phøc ViƯc sư dơng wavelet cã thĨ cã mét sè øng dơng phỉ pha cđa nã cã chøa th«ng tin cã Ých  C¸c vÝ dơ vỊ Ψ (t ) vµ phÐp biÕn ®ỉi cđa chóng: (i) Hµm Gausian ®iỊu biÕn (Morlet) Ψ (t ) = e iω t e −t 2 Ψ (t ) = 2π e (ω −ω ) (ii) Ψ (t ) = 2π ω e Hµm Harr 1,  Ψ (t ) = − 0  Ψ (ω ) = je (iii) /2 (3.4) §¹o hµm bËc hai cđa hµm Gausian Ψ(t ) = (1 − t )e (iii) , , , −j −t −ω 2 ≤ t ≤ 1/ 1/ ≤ t ≤ t ∉ [ 0,1] ω (3.5) (3.6) sin (ω / 4) ω /4 Shannon Ψ (t ) = sin(π / 2)  3πt  cos  π /2   1 Ψ (ω ) =  0 , , π < ω < 2π ω ∉ ( π ,2π ) (3.7) Re{ψ(t)} ψ(ω) t ω ψ(t) ω0 ψ(ω) t ω -30 -20 -10 10 20 30 ψ(ω) ψ(t) − 3 t − 2 H×nh 3.4 C¸c hµm wavelet vµ phÐp biÕn ®ỉi wavelet -1/ ψ(t) ψ(t/2-1) -1/ -1 t t -1/ H×nh 3.5 Haar wavelet vµ hµm wavelet Tõ h×nh 3.4 vµ 3.5 ta cã thĨ suy c¸c tÝnh chÊt cđa phÐp biÕn ®ỉi wavelet T¹i ω = ⇒ Ψ (ω ) = ⇔ ∫ Ψ (t)dt = 0, nãi c¸ch kh¸c th× thµnh phÇn mét chiỊu b»ng kh«ng C¸c tÝn hiƯu trªn lµ c¸c tÝn hiƯu läc th«ng d¶i C¸c tÝn hiƯu gi¶m nhanh vỊ kh«ng t tiÕn ®Õn v« tËn  TÝnh chÊt mét lµ hƯ qu¶ cđa ®iỊu kiƯn cÇn cđa phÐp biÕn ®ỉi wavelet, ®iỊu kiƯn nµy ®¶m b¶o wavelet cã phÐp biÕn ®ỉi ngỵc  Cã c¸ch nhËn xÐt vỊ biĨu thøc 3.2 §©y lµ tÝch v« híng, hay t¬ng quan chÐo gi÷a s(t) vµ Ψ (t / a ) / a øng víi ®é dÞch pha τ / a §©y lµ tÝn hiƯu cđa bé läc th«ng d¶i cã ®¸p øng xung Ψ (−t / a) / a vµ tÝn hiƯu vµo lµ s(t) t¹i thêi ®iĨm τ / a  Do biĨu thøc 3.3 gièng víi biĨu thøc 3.2 nªn ta cã thĨ xem ®©y lµ tÝch v« híng hai t¬ng quan chÐo gi÷a tÝn hiƯu ®· ®ỵc nÐn gi¶n s(at) vµ aΨ (t ) , øng víi ®é dÞch pha τ /a Tõ biĨu thøc 3.3 ta thÊy CWT còng lµ tÝn hiƯu cđa bé läc th«ng d¶i cã ®¸p øng xung a Ψ (−t ) , øng víi tÝn hiƯu vµo lµ s(at) t¹i thêi ®iĨm τ /a Re{ψ(t)} ψ(ω)  Tõ nh÷ng nhËn xÐt kh¸c trªn dÉn ®Õn cã nh÷ng c¸ch sư dơng kh¸c nhauvỊ phÐp biÕn ®ỉi wavelet tïy thc vµo gi¶i tht vµ øng dơng §iĨm chÝnh ë ®©y lµ t¬ng quan chÐo gi÷a tÝn hiƯu s(t) vµ hµm t wavelet mĐ còng chÝnh lµ ngâ cđa bé läc th«ng ω ®ỉi WT d¶i cã ®¸p øng xung Ψ (−t / a) a vµ tÝn hiƯu lµ s(t) Nãi c¸ch kh¸c phÐp biÕn thùc hiƯn viƯc nÐn gi·n tÝn hiƯu s(t) sau ®ã cho tÝn hiƯu ®i quaωbé läc th«ng d·i ψ(t) ψ(ω)  Cã phÐp biÕn ®ỉi wavelet kh¸c BiÕn ®ỉi wavelet t liªn tơc (CWT) ω  t −τ  CWT(a, τ ) = ∫ s(t ).Ψ dt (3.8) -30 -20 -10 10 20 30 a  a  Trong ®ã biÕn t, ®é tû lƯ a, ®é dÞch τ tÊt c¶ ®Ịu liªn tơc ψ(ω) BiÕn ®ỉi wavelet rêi r¹c (DPWT) ψ(t) −m DPWT(m,n) = a s(t )Ψ ( a −m t − nτ ) dt (3.9) ∫ 0 − 3 t Trong ®ã c¸c th«ng sè a, τ ®ỵc rêi r¹c hãa, a = a 0m , vµ τ = nτ a 0m víi a0 , τ lµ c¸c − 2 −m kho¶ng lÊy mÉu, m ,n lµ c¸c sè nguyªn C¶ s(t) vµ Ψ (a t ) vÉn cßn liªn tơc §Ĩ viƯc H×nh 3.4 C¸c hµm wavelet vµ phÐp biÕn ®ỉi wavelet tÝnh to¸n ®¹t ®ỵc hiƯu qu¶ ta thêng chän a0 = 2, τ = kÕt qu¶ ta ®ỵc ®é gi·n nhÞ ph©n -1/ ψ(t/2-1) m − m vµ ®é dÞchψ(t) n BiÕn ®ỉi wavelet thêi gian rêi r¹c -1/ −m / −m a t s (k ) Ψ ( a k − nτ ) t (3.10) 0DTWT(m,n) = ∑ k §©y lµ hµm rêi r¹c theo thêi gian cđa biĨu thøc 3.9, víi t =kT vµ kho¶ng thêi gian -1/ Fourier rêi r¹c Lu ý víi a0 = 2, DTWT lÊy mÉu -1 T = BiĨu thøc 3.10 t¬ng tù nh chi m -m chØ tån t¹i ë tõng mÉu , víi k lµ mét sè nguyªn BiÕn ®ỉi wavelet rêi r¹c H×nh 3.5 Haar wavelet vµ hµm wavelet s (k )Ψ ( − m k − n ) DWT(m,n) = 2-m/2 ∑ (3.11) k Trong ®ã hµm Ψ (k ) cã thĨ lµ hµm rêi r¹c Khi Ψ (k ) lµ hµm rêi r¹c cđa Ψ (t ) , th× DWT gi«ng Phần Kỹ thuật biến đổi wavelet 4.1 Biến đổi wavelet liên tục Về mặt toán học trình phân tích Fourier biễu diễn hàm : 10 ∞ F (ω ) = ∫ s (t ) e − jωt dt (4.1) −∞ Đây tổng toàn trục thời gian tín hiệu s (t ) nhân với hàm mũ phức Kết phép biến đổi hệ số Fourier F (ω ) , nhân hệ số với tín hiệu sin tần số thích hợp ω khôi phục lại tín hiệu gốc ban đầu Hình sau minh họa kết phép biến đổi Fourier : Tín hiệu Các thành phần sin với tần số khác Tương tự vậy, phép biến đổi wavelet liên tục (CWT) đònh nghóa tổng toàn trục thời gian tín hiệu nhân với phiên dòch tỷ lệ hàm wavelet ψ : C ( a, τ ) = ∞ ∫ s(t )ψ (a,τ , t )dt (4.2) −∞ Kết phép biến đổi CWT tập hợp hệ số wavelet C, hàm hai biến theo hệ số tỷ lệ (a) độ dòch (τ ) Tín hiệu Các wavelet thành phần với hệ số tỷ lệ độ dòch khác Các bước để thực biến đổi wavelet liên tục Thực phép biến đổi CWT gồm có năm bước, thực chất trình tạo hệ số wavelet C , hàm hai biến theo hệ số co giản a độ tỷ lệ τ Chọn hàm wavelet sở so sánh với đoạn tín hiệu gốc thời gian Chúng ta tính giá trò C độ tương quan wavelet sở đoạn tín hiệu so sánh Hệ số C lớn nghóa đồng dạng chúng cao, kết qủa phụ thuộc hình dạng wavelet chọn 11 Dòch wavelet phía phải lặp lại bước hết tín hiệu cần phân tích Thực giãn wavelet lặp lại bước từ đến Làm lại bước từ đến với tất tỉ lệ Khi hoàn tất có hệ số với độ tỷ lệ khác đoạn toàn tín hiệu Biến đổi wavelet liên tục tín hiệu s(t) tương ứng Ψ (t ) :  t −τ  CWT(a, τ ) = (4.3) ∫ s(t ).Ψ dt  a  a với : a gọi tỷ lệ τ dòch chuyển tònh tiến hàm wavelet dọc theo trục thời gian (khoảng dòch tính từ gốc) Ψ (t ) hàm wavelet mẹ t −τ Ψ( ) hàm wavelet sở hay wavelet a a Trong ứng dụng phép biến đổi bất kỳ, điều quan trọng phép biến đổi phải có biến đổi ngược Việc xây dựng lại tín hiệu hoàn hảo yêu cầu mã hóa hình ảnh, sau nén, hình ảnh giải mã gần giống hình ảnh ban đầu Các hệ thống nhận dạng mẫu thường sử dụng phép 12 biến đổi để lấy phần mẫu Các phép biến đổi cần phải có biến đổi ngược để đảm bảo tính đơn nhất, nghóa ứng với phép biến đổi ta có mẫu Nếu phép biến đổi bến đổi ngược, với phép biến đổi ta có nhiều mẫu khác Điều kiện để biến đổi CWT có biến đổi ngược phải thỏa mãn Đònh lý phân giải đồng : Đònh lý: Một phép biến đổi tín hiệu chiều s(t) thành tín hiệu wavelet hai chiều theo a τ phép biến đổi thuận nghòch phép biến đổi phép biến đổi đồng cự (bảo toàn lượng) với thừa số không đổi C Ψ cho phương trình : ∞ Ψ (ω ) CΨ = ∫ dω < ∞ (4.4) ω Khi ta có biến đổi ngược CWT : s(t) = C ψ víi a ∉ R+\[0] +∞ ∞ ∫ ∫ −∞ a >0 CWT (a, τ )  t −τ  Ψ  da.dt a  a a (4.5) , C Ψ lµ h»ng sè phơ thc vµo Ψ (t ) 4.2 Phép biến đổi wavelet thông số rời rạc (DPWT) - Trong CWT hệ số (a, τ ) biến liên tục, việc tính hệ wavelet tất giá trò a τ việc làm khó khăn không cần thiết, mà ta cần lấy số hữu hạn giá trò a τ Với (a, τ ) rời rạc ta biễu diễn CWT s(t) nghóa ta khôi phục s(t) từ CWT ( a, τ ) với (a, τ ) biến rời rạc, phép biến đổi gọi biến đổi wavelet thông số rời rạc (DPWT) - Các thông số rời rạc (a, τ ) xác đònh công thức sau : a = a0m , τ = n τ a0m ; m,n: nguyên ta có phương trình phép biến wavelet thông số rời rạc : DPWT(m,n) = m ,n (t ) dt (4.6) Ψm,n (t ) = a 0− m / Ψ (a 0− m / t − nτ ) , Ψ∞ (t ) = Ψ (t ) với a0 , τ ∫ s(t )Ψ số xác đònh khoảng thời gian lấy mẫu Lưu ý s(t) Ψ (t ) hàm liên tục theo thời gian - Phương trình biến đổi ngược DPWT : DPWT (m, n)Ψm ,n (t ) s(t) = c∑∑ m n 13 (4.7) c : số phụ thuộc vào hàm Ψ (t ) - Daubechies ứng dụng đònh lý khung để thiết lập lại điều kiện khôi phục tín hiệu DPWT DPWT (m, n) = s(t ), Ψm,n (t ) = ∫ s (t ).Ψm,n (t )dt (4.8) §iỊu kiƯn ®Ĩ kh«i phơc tÝn hiƯu s(t)= ∑∑ DPWT (m, n)Ψm,n (t ) (4.9) Thay c¸c hµm theo thêi gian bëi c¸c vector, dƠ dµng nhËn r»ng ®Ĩ biĨu thøc trªn kh«ng ®ỉi th× Ψm,n (t ) ph¶i lµ phÇn tư cđa khung → Ψm,n (t ) lµ phÇn tư cđa khung ®èi ngÉu NÕu Ψm,n (t ) t¹o thµnh mét khung th× chóng ph¶i tu©n theo bÊt ®¼ng thøc sau: A s (t ) ≤ ∑∑ s (t ), Ψm ,n (t ) 2 ≤ B s (t ) (4.10) víi < A ≤ B < ∞ C¸c h»ng sè A,B lµ c¸c biªn khung vµ chØ phơ thc Ψm,n (t ) Ta cã s (t ) = ∫ s (t ) dt < ∞ (4.11) s (t ) ∉ L2 ( R ) C¸c biªn ë biĨu thøc (3.20) ®¶m b¶o tÝn hiƯu kh«i phơc ỉn ®Þnh vỊ mỈt sè häc Sau ®©y lµ b¶ng tãm t¾t c¸c kÕt qu¶ cđa viƯc øng dơng ®Þnh lý khung ®èi víi phÐp biÕn ®ỉi DPWT, ®Ỉc biƯt lµ ®èi víi DPWT ngỵc: 1) Sù lùa chän ( a , τ ) viƯc lÊy mÉu c¸c biÕn lªn tơc a = a 0m, τ = nτ o a 0m qut ®Þnh kh¶ n¨ng biÕn ®ỉi ngỵc cđa DPWT NÕu líi lµ mÉu qu¸ th«, th× sÏ kh«ng cho phÐp kh«i phơc hoµn h¶o tÝn hiƯu 2) Tån t¹i gi¸ trÞ ngìng ( a , τ ) ®èi víi hµm Ψ (t ) cho tríc, gi¸ trÞ nµy bÐ h¬n gi¸ trÞ øng víi hµm Ψm,n (t ) lu«n t¹o khung 3) Cã thĨ lùa chän ( a , τ ) ®Ĩ A ≈ B, ®ã s(t) = NÕu A = B th× s(t) = ∑∑ s(t ), Ψm,n (t ) Ψm,n (t ) A+ B m n (4.12) ∑∑ s(t ), Ψm,n (t ) > Ψm,n (t ) A m n (4.13) NÕu A = B = th× Ψm,n (t ) lµ c¸c hµm trùc chn c¬ b¶n Trong c¸c s¬ ®å lÊy mÉu thùc tÕ ngêi ta thêng chän a0 = 2, τ = ®ã: -m/2 (4.14) Ψm ,n (t ) = Ψ (2 − m t − n) H×nh sau tr×nh bµy s¬ ®å líi lÊy mÉu nhÞ nguyªn víi hƯ sè tû lƯ b¸t ph©n vµ ®é dÞch nhÞ nguyªn Do biÕn ®ỉi Fourier cđa Ψ ( at ) / a , lµ Ψ (ω / a ) / a a , nªn tÇn sè trung t©m vµ ®é réng b¨ng tÇn sÏ tØ lƯ víi 1/a øng víi hƯ sè tû lƯ lµ a V× vËy Q cđa tÊt c¶ c¸c hµm wavelet sÏ kh«ng ®ỉi = logt©m a / ®é réng b¨ng tÇn = const Q = tÇn sèmtrung -2 -1 Líi lÊy mÉu nhÞ nguyªn 14 H»ng sè Q ®Ỉc trng cho kh¶ n¨ng ph©n tÝch cđa c¸c hµm wavelet Khi a thay ®ỉi nh÷ng qu·ng t¸m th× tÇn sè trung t©m vµ ®é réng b¨ng tÇn còng thay ®ỉi nh÷ng qu·ng t¸m Khi hµm Ψm,n (t ) trùc chn th× Ψm ,n (t ), Ψkl (t ) = δ m −k δ n −l - (4.15) VÝ dơ vỊ hµm trùc chn víi c¸c th«ng sè rêi r¹c sau: Haar wavelet 1  Ψ (t ) = − 0  1  Ψm,n (t ) = − 0  , , , , , , Shannon Wavelet Hµm wavelet mĐ Hµm wavelet Ψm,n (t ) = − m / cã phỉ Ψ (t ) = ≤ t < 0.5 0.5 ≤ t ≤ tcßn l¹i (4.16) m n ≤ t < m n + m−1 (4.17) m n + m −1 ≤ t < m n + m cßn t l¹i sin ( πt / )  3πt  cos  πt /   ( ( ( ) ) (4.18) sin π m t − n /  3π − m  cos t−n  −m π t −n /2   2 m / e − jωn.2 Ψm,n (ω ) =  0 ) m , , ( ) (4.19) − m π < ω < − m 2π ω ∉ ( − m π ,2 −m 2π ) (4.20) Tõ ph¬ng tr×nh trªn ta thÊy râ rµng Ψm,n (ω ) vµ Ψk ,l (ω ) kh«ng chång lªn víi k ≠ m Hai hµm wavelet trªn cã kh¸c vỊ ®Ỉc tÝnh ®Þnh vÞ Hµm Haar wavelet cã ®Þnh vÞ thêi gian tèt nhng ®Þnh vÞ tÇn sè kÐm Phỉ cđa nã kh«ng cã ®iĨm kh«ng víi ω → ∞ Ngỵc l¹i hµm Shannon wavelet cã ®Þnh vÞ thêi gian kÐm, cßn ®Þnh vÞ tÇn sè tèt v× nã cã phỉ cđa bé läc th«ng d¶i lý tëng Phần Dàn lọc phân tích khôi phục tín hiệu Chuỗi Fuorier rời rạc công cụ kinh điển để phân tích tín hiệu lại có số nhược điểm (đã phân tích phần trước) Cơ sở rời rạc với nhiều thuận lợi việc xử lý tín hiệu thõa mãn hai yêu cầu xung đột, nhận phân giải tốt theo tần số đònh vò tốt theo thời gian Vì hai nguyên nhân thực tiễn tính toán nên tập hợp hàm sở phải có cấu trúc Thông thường, 15 tập hợp hàm sở vô hạn có từ số hữu hạn nguyên mẫu phiên dòch theo thời gian chúng Chính điều đưa đến dàn lọc rời rạc để thực khai triển có cấu trúc nói Dàn lọc điểm trọng tâm để phát triển xử lý tín hiệu số đặc biệt để thiết kế hàm sở (hay lọc) Quá trình lọc Wavelet thực biến đổi DWT tín hiệu vào S hàm Wavelet sở cho tập hệ số Khi thực DWT tín hiệu S với hàm Wavelet sở có thang tỉ lệ khác ta gọi dàn lọc Dàn lọc có khả tái tạo hoàn hảo, nghóa phân tích tín hiệu thành thành phần băng tín hiệu khôi phục hoàn hảo tín hiệu ngõ vào sau tổng hợp Các hàm sở dài biểu diễn cho chi tiết lớn, phẳng (tần số thấp) Các hàm sở ngắn biểu diễn vùng có chi tiết nhỏ (tần số cao) LỌC MỘT TẦNG: Các thành phần xấp xỉ chi tiết Hầu hết tín hiệu, nội dung tần số thấp thành phần quan trọng Nó thành phần giống tín hiệu nên nhận tín hiệu Nội dung tần số cao sắc thái tín hiệu Ví dụ ta xét tiếng nói người, ta loại bỏ thành phần tần số cao nhận biết giọng nói nội dung lời nói Tuy nhiên ta loại bỏ thành phần tần số cao nghe tiếng lắp bắp, tiếng rít Chính ta thường nói thành phần xấp xỉ thành phần chi tiết Thành phần xấp xỉ : gồm thành phần tần số thấp phẳng, thu thực DWT với hàm sở có thang tỉ lệ cao Thành phần chi tiết : gồm thành phần tần số cao, thu thực DWT với hàm sở có thang tỉ lệ nhỏ Quá trình lọc tầng biểu diễn hình vẽ bên : Tuy nhiên, tín hiệu số thực, ta thực trình đầu thành phần xấp xỉ chi tiết có số mẫu số mẫu tín hiệu ban đầu Như vậy, dung lượng số liệu tăng gấp đôi (độ dư lớn) Ví dụ ta có tín hiệu S gồm 16 1000 mẫu thi sau phân tích ta 1000 mẫu thành phần xấp xỉ 1000 mẫu thành phần chi tiết Vậy sau trình phân tích, ta có tổng cộng 2000 mẫu Để khắc phục vấn đề này, người ta đề vấn đề giảm mẫu Trong thực giảm mẫu phải kí hiệu thành phần tín hiệu để tính toán trình sau Quá trình lọc tầng biểu diễn lại hình sau: Giảm mẫu: Với chuỗi x[n], giảm mẫu N lần kết giảm mẫu y[n] cho công thức : y[n]=x[Nn] (cứ N mẫu lấy mẫu) Trong miền Fuorier, ta có : Y ( e jω ) = N −1 ∑ X(e j(ω−2kπ) / N ) N k =0 DÀN LỌC TRONG PHÂN TÍCH ĐA MỨC Quá trình phân tích lặp lặp lại liên tục với thành phần xấp xỉ Do tín hiệu cắt thành thành phần có độ phân giải thấp hơn, gọi phân tích Wavelet Xét hình bên: Số mức phân tích: Về mặt lý thuyết trình phân tích lặp lặp lại liên tục Nhưng thực tế, trình phân tích tiếp diễn chi Cây phân tích Wavelet tiết riêng biệt gồm mẫu hay pixel đơn Như vậy, ta chọn số mức phân tích tùy thuộc vào tính chất tín hiệu hay phù hợp với tiêu chuẩn entyropy… 17 DÀN LỌC TRONG KHÔI PHỤC TÍN HIỆU Ở phần trước, ta xét cách dùng biến đổi Wavelet rời rạc để phân tích tín hiệu thành phần xấp xỉ chi tiết Bây giờ, ta xét cách tổng hợp thành phần để khôi phục lại tín hiệu ban đầu Quá trình gọi khôi phục hay tổng hợp tín hiệu Quá trình vận dụng toán học để tổng hợp tín hiệu gọi biến đổi Wavelet rời rạc ngược IDWT Sơ đồ thực tổng hợp Wavelet sau : cD1 cD2 cA1 cA2 Sơ đồ trình tổng hợp tín hiệu S= cA1 + cD1 = cA2 + cD2 + cD1 Trong cA2 cD2 thành phần xấp xỉ chi tiết sau phân giải cA (phân giải mức 2) Các thành phần cA2,cD2 cD1 trước qua lọc khôi phục cần phải tăng mẫu để co phổ lại (do trình giảm mẫu kéo dãn phổ) ĐIỀU KIỆN ĐỂ KHÔI PHỤC TÍN HIỆU CỦA DÀN LỌC Trong trình giảm mẫu, phổ bò kéo dãn có nhiều phiên gập thêm vào Chúng gọi gập phổ bò dòch tần số Như vậy, để khôi phục tín hiệu hoàn hảo ta cần phải loại bỏ thành phần phổ gập Xét dàn lọc hai kênh sau : y1 H1 G1 2 x x^ H0 y0 G0 Cấu trúc dàn lọc hai kênh Trong : H0 G0 lọc thông thấp, H1 G1 lọc thông cao Các giảm mẫu hai lần : x[n] Y(z)=1/2[X(z1/2)+X(z-1/2)] 18 Các tăng mẫu hai lần : x[n] Y(z)=X(z2) Tăng mẫu theo sau giảm mẫu : x[n] Y[z]=1/2[X(z)+X(-z)] 2 Do đó, theo cấu trúc dàn lọc : ^ X(z) = [ H (z)G (z) + H1 (z)G (z)].X(z) + [ H (−z)G (z) + H1 (−z)G (z)].X(−z) 2 ^ Trong biểu thức này, X(z) tổng hai thành phần : Phần thứ hai chứa X(z) gọi phần gập Để loại bỏ phần gập, ta phải đặt điều kiện : H0(-z)G0(z)+H1(-z)G1(z)=0 ^ Và X (z ) khác X(z) với độ trễ 1: ^ X(z) = cz −1 X(z) Tương đương : H (z)G (z) + H1 (z)G (z) = 2cz −1 Thì dàn lọc gọi có khả tái tạo hoàn hảo Ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i PhÇn H×nh 6.1 biĨu diƠn s¬ ®å khèi ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i , bao gåm bé läc th«ng thÊp (g(l)) , bé läc th«ng cao (h(l)) vµ c¸c bé chia hai Trong s¬ ®å nµy s(n) ®ỵc ph©n tÝch thµnh c¸c b¨ng dn1 , dn2 , , dnL vµ cn , cn2 , cnL , vµ cã thĨ coi ®©y lµ thµnh phÇn mét chiỊu L→∞ C¸c ( ↓ 2) vµ ( 2) tỵng trng cho c¸c bé gi¶m mÉu vµ t¨ngmÉu s(n) ↓2 0.5 0.5 ↓2 dn1 Cn1 ↓2 Cn2 ↓2 0.25 0.25 0.5 ↓2 dn2 ↓2 dnL H×nh 6.1 S¬ ®å khèi ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i 19 CnL §é ph©n gi¶i cđa tÝn hiªu lµ mét tht ng÷ cã liªn quan ®Õn néi dung tÇn sè cđa tÝn hiƯu §èi víi tÝn hiƯu th«ng thÊp , néi dung tÇn sè cđa nã Ýt h¬n th× ®é ph©n gi¶I bÐ h¬n Trong MRA néi dung tÇn sè cđa chi C nm gi¶m m t¨ng cho ®Õn ®¹t ®Õn thµnh phÇn mét chiỊu øng víi ®é ph©n gi¶i thÊp nhÊt Chi dnm lµ phÇn tÇn sè cao ViƯc gi¶m mÉu xng mét nưa còng gièng nh viƯc nÐn chi cßn mét nưa Tuy nhiªn cã bé läc th«ng thÊp ®Ỉt tríc bé gi¶m mÉu nªn d¶i th«ng cđa tÝn hiƯu còng gi¶m mét nưa vµ lµm gi¶m ®é ph©n gi¶i H×nh 6.2 biĨu diƠn s¬ ®å kh«i phơc tÝn hiƯu tõ c¸c b¨ng §Ĩ ®¬n gi¶n ta gi¶ cnL ↑2 + Σ + Σ + + + ↑2 0.5 dn + ↑2 ↑2 L s(n) 0.5 0.25 0.5 ↑2 Σ dn1 dn2 H×nh 6.2 S¬ ®å kh«i phơc tÝn hiƯu tõ c¸c b¨ng sư kh«ng cã c¸c bé m· ho¸ TÝn hiƯu s(n) ban ®Çu cã thĨ ®ỵc kh«i phơc tõ c¸c b¨ng Cnm , dnm 6.2 DPWT vµ ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i (MRA): XÐt s¬ ®å h×nh 6.3 : s(t) ∫s(t)Φ(t-λ)dt s(n) f(λ) _ g (l ) Cn1 h(l) ↓ dn1 TÇng tronggi¶i MRA §©y lµ tÇng ®Çu H×nh s¬ ®å6.3 ph©n tÝch®Çu ®a ph©n h×nh 6.1 PhÐp tÝnh tÝch v« híng ®Ỉt s(n) kh«ng gian thÝch hỵp ®ỵc biĨu diƠn bëi Φ(t-n) ®Ĩ c¸c thµnh phÇn dnm ®óng lµ DPWT cđa s(t) Ta cã : s(n)=f(λ=nT)=s(t)Φ(t-τ)dt dn1 = ∑h(l)s(n-l) Theo ®Þnh nghÜa , DPWT(m,n) cđa s(t) , víi hµm wavelet t¬ng øng Ψ(t) lµ: DPWT(m,n) = ∫s(t)Ψ(t)dt §iỊu kiƯn ®Ĩ dnm =DPWT(m,n) lµ: 20 Ψmn(t) = m−2 _ ∑ h (l ) Φ ( t m −1 − p + + l − 2n) _ _ Víi : Φ (t ) = 2∑ g (i)Φ(2t − p + i + 1) i Hai ph¬ng tr×nh lµ c¸c ph¬ng tr×nh scale x¸c ®Þnh Φ(t)vµ ψ(t) th«ng qua ph©n tÝch c¸c hƯ sè läc §Ĩ kh«i phơc hoµn h¶o mét tÝn hiƯu th× c¸c hƯ sè tỉng hỵp ph¶i tho¶ m·n c¸c ®iỊu kiƯn sau :  g(l)=g(p-l-1) h(l)=h(p-l-1) Thay vµo hai ph¬ng tr×nh trªn : ⇒ Φ(t)=2∑g(l)Φ(2t-l) ⇒ Ψ mn(t)=2∑h(l)Φ( ( t m −1 − l − 2n ) Hµm Φ(t) lµ hµm nÐn gi·n kÕt hỵp víi läc th«ng thÊp g(l) hayg(l) , phơc vơ cho viƯc nÐn gi·n thêi gian cđa chi s(n) Lóc nµy : _ c nm ∑ g (i )c 2mn + p −l −1 _ d nm = ∑ h(l )c 2mn + p =l =1 ë phÇn ®Çu ta xem s(n) nh lµ c¸c mÉu cđa tÝch v« híng gi÷a s(t) vµ Φ(t) Tuy nhiªn thùc tÕ s(n) thêng ®ỵc lÊy mÉu trùc tiÕp tõ s(t) , víi s(t) lµ phÇn tÝn hiƯu sau läc th«ng thÊp Khi ®ã ph¬ng tr×nh (6.1) kh«ng cßn thâa vµ d nm≠ DPWT(m,n) cđa s(t) Thay vµo ®ã dnm = DPWT(m,n) cđa s(t) Víi : _ s (t ) = ∑ s (n)Φ (t − n) n _ ∫ s(t )Φ(t − m)dt = ∑ s(n)∫ Φ(t − n)Φ(t − m)dt _ ⇒ s (m) = ∫ s (t )Φ(t − m) dt ph¬ng tr×nh trªn chØ r»ng s(n) lµ c¸c mÉu cđa tÝch v« híng cđa s(t) vµ hµm Φ(t-n) 6.3 Nguyªn lý ®a ph©n gi¶i: + Ph©n tÝch ®a ph©n gi¶i lµ ph©n tÝch tÝn hiƯu s(t) thµnh c¸c thµnh phÇn tØ lƯ kh¸c (tÇn sè ) øng víi mçi phÇn tØ lƯ lµ mét kh«ng gian V m C¸c kh«ng gian nµy lµ nh÷ng hµm thêi gian tho· ®iỊu kiƯn sau : {0}⊂ ⊂V2⊂ V1⊂ V0⊂ V-1⊂ V-2 ⊂ L2R)(R) C¸c kh«ng gian b¾t ®Çu b»ng kh«ng gian rçng vµ më réng ®Õn kh«ng gian cđa hµm kh¶ tÝch b×nh ph¬ng NÕu s(t) ë kh«ng gian VI th× s(2t) ë kh«ng gian Vi-1vµ ngỵc l¹i + Sù tån t¹i c¸c hµm trùc chn tØ lƯ : Tån t¹i mét hµm trùc chn tØ lƯ Φ(t)∈V0 cho tËp hỵp : {Φmn(t)=2-m/4Φ(2-mt-n:n nguyªn }lµ hµm trùc chn c¬ b¶n VÝ dơ: 21 Gi¶ sư Vmlµ kh«ng gian cđa c¸c hµm kh«ng ®ỉi tõng thêi ®o¹n : 1 0 Φ(t) =  ≤ t ≤1 t ∉ [ 0,1] Φmn(t) Φ00(t) t 2mn 2m(n+1) H×nh 6.4 C¸c hµm trùc chn c¬ b¶n t Tõ h×nh vÏ ta thÊy Φmn(t) t¹o hµm trùc chn c¬ b¶n kh«ng gian Vm ∫ Φ mn (t )Φ mk dt = δ n−k BÊt kú s(t) nµo thc Vm ®Ịu cã thĨ ®ỵc biĨu diƠn nh lµ phÇn hỵp tun tÝnh cđa Φmn(t) + C¸c hµm c¬ b¶n ®ỵc x¸c ®Þnh bëi c¸c ph¬ng tr×nh sai ph©n tØ lƯ Do Φmn(t) kÐo dµi kh«ng gian V0 vµ Φ1n kÐo dµi kh«ng gian V-1vµ V-1 chøa V0 , Φ00(t)=Φ(t) lµ phÇn hỵp tun tÝnh cđa Φ 1n(t)= 2Φ (2t − n) hay p −1 Φ(t ) = 2∑ g (l )Φ(2t − l ) l =0 Ph¬ng tr×nh trªn lµ ph¬ng tr×nh sai ph©n tØ lƯ víi g(l) lµ c¸c hƯ sè kÕt hỵp V-1(ω) V0 (ω) W0(ω) ω 0.5B B H×nh 6.5 Phỉ cđa kh«ng gian 6.4 Tỉng kÕt: 22 Tõ c¸c d÷ liƯu thu thËp ®ỵc ta cã s¬ ®å chi tiÕt ph©n tÝch MRA : s(t) _ C n ↓ 2 g (l ) _ _ ↓ 2 g (l ) _ h(l ) h(l ) ↓ dn1 ↓ 2 g (l ) _ _ cnL h(l ) ↓ ↓ dn2 dnL H×nh 6.6 Ph©n tÝch MRA + ViƯc ph©n tÝch ®ỵc tiÕp tơc cho ®Õn ®¹t ®Õn c nl , ®©y lµ thµnh phÇn mét chiỊu cđa s(t) H×nh 6.6 biĨu diƠn s¬ ®å khèi ph©n tÝch MRA sư dơng tht to¸n matlab + Mét nh÷ng øng dơng cđa MRA lµ nÐn ©m hay h×nh ¶nh B»ng c¸ch ph©n gi¶i s(t) thµnh c¸c thµnh phÇn cã ®é ph©n gi¶i kh¸c Bé m· ho¸ cã thĨ thªm bit vµo ®Ĩ biƠu diƠn c¸c chi thÊp h¬n, cã chiỊu dµi ng¾n h¬n nhê gi¶m mÉu thµnh c«ng vµ gi¶m bit ®èi víi c¸c chi cao h¬n ®Ĩ nÐn thµnh c«ng §Çu thu sÏ kh«i phơc tÝn hiƯu tõ c¸c chi ®ỵc m· ho¸ Ngỵc l¹i víi trªn ta cã s¬ ®å kh«i phơc tÝn hiƯu: ↑2 _ + g (l ) ∑ _ ↑2 g (l ) + _ + ∑ ↑2 + _ h(l ) h(l ) ↑2 ↑2 dnL dnL-1 H×nh 6.7 C¸c tÇng kh«i phơc tÝn hiƯu _ g (l ) + ∑ + _ h(l ) ↑2 dn1 + ViƯc lùa chän c¸c hƯ sè g(l) vµ h(l) x¸c ®Þnh Φ(t) vµ Ψ(t) Tuy nhiªn c¸c hµm nµy kh«ng cã vai trß nµo MRA , ta vÉn cã thĨ thùc hiƯn MRA mµ kh«ng cÇn ®Õn Φ(t) vµ Ψ(t) + Hµm Ψmn(t) t¹o hµm trùc chn c¬ b¶n thu gän nÕu g(l) ,h(l) tho· m·n c¸c ®iỊu kiƯn ỉn ®Þnh 23 [...]... x[n] Y(z)=X(z 2) 2 Tăng mẫu theo sau giảm mẫu : x[n] Y[z]=1/2[X(z)+X(-z)] 2 2 Do đó, theo cấu trúc dàn lọc : ^ X(z) = 1 [ H 0 (z)G 0 (z) + H1 (z)G 1 (z)].X(z) + 1 [ H 0 ( z)G 0 (z) + H1 ( z)G 1 (z)].X(−z) 2 2 ^ Trong biểu thức này, X(z) là tổng của hai thành phần : Phần thứ hai chứa X(z) gọi là phần gập Để loại bỏ phần gập, ta phải đặt điều kiện : H 0(- z)G0(z)+H 1(- z)G1(z)=0 ^ Và nếu X (z ) chỉ khác X(z)... ®Ỉt s(n) trong kh«ng gian con thÝch hỵp ®ỵc biĨu diƠn bëi Φ(t-n) ®Ĩ c¸c thµnh phÇn dnm ®óng lµ DPWT cđa s(t) Ta cã : s(n)=f(λ=nT)=s(t)Φ(t-τ)dt dn1 = 2 ∑h(l)s(n-l) Theo ®Þnh nghÜa , DPWT(m,n) cđa s(t) , víi hµm wavelet t¬ng øng Ψ(t) lµ: DPWT(m,n) = ∫s(t)Ψ(t)dt §iỊu kiƯn ®Ĩ dnm =DPWT(m,n) lµ: 20 Ψmn(t) = 2 m−2 2 _ ∑ h (l ) Φ ( 2 t m −1 − p + 1 + l − 2n) _ _ Víi : Φ (t ) = 2∑ g (i) (2 t − p + i + 1) i... g (i )c 2mn + p −l −1 _ d nm = 2 ∑ h(l )c 2mn + p =l =1 ë phÇn ®Çu ta xem s(n) nh lµ c¸c mÉu cđa tÝch v« híng gi÷a s(t) vµ Φ(t) Tuy nhiªn trong thùc tÕ s(n) thêng ®ỵc lÊy mÉu trùc tiÕp tõ s(t) , víi s(t) lµ phÇn tÝn hiƯu sau khi läc th«ng thÊp Khi ®ã ph¬ng tr×nh (6 . 1) kh«ng cßn thâa vµ d nm≠ DPWT(m,n) cđa s(t) Thay vµo ®ã dnm = DPWT(m,n) cđa s(t) Víi : _ s (t ) = ∑ s (n)Φ (t − n) n _ ∫ s(t ) (t... Φ00(t)=Φ(t) lµ phÇn hỵp tun tÝnh cđa Φ 1n(t)= 2Φ (2 t − n) hay p −1 Φ(t ) = 2∑ g (l ) (2 t − l ) l =0 Ph¬ng tr×nh trªn lµ ph¬ng tr×nh sai ph©n tØ lƯ víi g(l) lµ c¸c hƯ sè kÕt hỵp V- 1( ) V0 ( ) W 0( ) ω 0 0.5B B H×nh 6.5 Phỉ cđa kh«ng gian con 6.4 Tỉng kÕt: 22 Tõ c¸c d÷ liƯu thu thËp ®ỵc ta cã s¬ ®å chi tiÕt ph©n tÝch MRA : s(t) _ C 1 n ↓ 2 2 g (l ) _ _ ↓ 2 2 g (l ) _ 2 h(l ) 2 h(l ) ↓ 2 dn1 ↓ 2 2 g (l ). .. scale x¸c ®Þnh Φ(t)vµ ψ(t) th«ng qua ph©n tÝch c¸c hƯ sè läc §Ĩ kh«i phơc hoµn h¶o mét tÝn hiƯu th× c¸c hƯ sè tỉng hỵp ph¶i tho¶ m·n c¸c ®iỊu kiƯn sau :  g(l)=g(p-l- 1) h(l)=h(p-l- 1) Thay vµo hai ph¬ng tr×nh trªn : ⇒ Φ(t)=2∑g(l) (2 t-l) ⇒ Ψ mn(t)=2∑h(l) ( ( t 2 m −1 − l − 2n ) Hµm Φ(t) lµ hµm nÐn gi·n kÕt hỵp víi läc th«ng thÊp g(l) hayg(l) , phơc vơ cho viƯc nÐn gi·n thêi gian cđa chi s(n) Lóc nµy :... DPWT (m, n) = s(t ), Ψm,n (t ) = ∫ s (t ). Ψm,n (t )dt (4 . 8) §iỊu kiƯn ®Ĩ kh«i phơc tÝn hiƯu s(t)= ∑∑ DPWT (m, n)Ψm,n (t ) (4 . 9) Thay c¸c hµm theo thêi gian bëi c¸c vector, dƠ dµng nhËn ra r»ng ®Ĩ biĨu thøc trªn kh«ng ®ỉi th× Ψm,n (t ) ph¶i lµ phÇn tư cđa khung → Ψm,n (t ) lµ phÇn tư cđa khung ®èi ngÉu NÕu Ψm,n (t ) t¹o thµnh mét khung th× chóng ph¶i tu©n theo bÊt ®¼ng thøc sau: A s (t ) ≤ ∑∑ s (t ), ... hiƯu: ↑2 _ + 2 g (l ) ∑ _ ↑2 2 g (l ) + _ + ∑ ↑2 + _ 2 h(l ) 2 h(l ) ↑2 ↑2 dnL dnL-1 H×nh 6.7 C¸c tÇng kh«i phơc tÝn hiƯu _ 2 g (l ) + ∑ + _ 2 h(l ) ↑2 dn1 + ViƯc lùa chän c¸c hƯ sè g(l) vµ h(l) x¸c ®Þnh Φ(t) vµ Ψ(t) Tuy nhiªn c¸c hµm nµy kh«ng cã vai trß nµo trong MRA , ta vÉn cã thĨ thùc hiƯn MRA mµ kh«ng cÇn ®Õn Φ(t) vµ Ψ(t) + Hµm Ψmn(t) t¹o ra hµm trùc chn c¬ b¶n thu gän nÕu g(l) ,h(l) tho· m·n c¸c... DPWT(m,n) = m ,n (t ) dt (4 . 6) Ψm,n (t ) = a 0− m / 2 Ψ (a 0− m / 2 t − nτ 0 ) , Ψ∞ (t ) = Ψ (t ) với a0 , τ ∫ s(t ) 0 là các hằng số xác đònh khoảng thời gian lấy mẫu Lưu ý s(t) và Ψ (t ) vẫn là các hàm liên tục theo thời gian - Phương trình của biến đổi ngược DPWT : DPWT (m, n)Ψm ,n (t ) s(t) = c∑∑ m n 13 (4 . 7) c : là hằng số phụ thuộc vào hàm Ψ (t ) - Daubechies đã ứng dụng đònh lý khung để thiết lập... Ψm,n (t ) Ψm,n (t ) A+ B m n (4 .1 2) 1 ∑∑ s(t ), Ψm,n (t ) > Ψm,n (t ) A m n (4 .1 3) NÕu A = B = 1 th× Ψm,n (t ) lµ c¸c hµm trùc chn c¬ b¶n Trong c¸c s¬ ®å lÊy mÉu thùc tÕ ngêi ta thêng chän a0 = 2, τ 0 = 1 khi ®ã: -m/2 (4 .1 4) Ψm ,n (t ) = 2 Ψ (2 − m t − n) H×nh sau tr×nh bµy s¬ ®å líi lÊy mÉu nhÞ nguyªn víi hƯ sè tû lƯ b¸t ph©n vµ ®é dÞch nhÞ nguyªn Do biÕn ®ỉi Fourier cđa Ψ ( at ) / a , lµ Ψ ( / a ). .. víi c¸c th«ng sè rêi r¹c sau: 1 Haar wavelet 1  Ψ (t ) = − 1 0  1  Ψm,n (t ) = − 1 0  , , , , , , 2 Shannon Wavelet Hµm wavelet mĐ Hµm wavelet con Ψm,n (t ) = 2 − m / 2 cã phỉ Ψ (t ) = 0 ≤ t < 0.5 0.5 ≤ t ≤ 1 tcßn l¹i (4 .1 6) 2 m n ≤ t < 2 m n + 2 m−1 (4 .1 7) 2 m n + 2 m −1 ≤ t < 2 m n + 2 m cßn t l¹i sin ( πt / 2 )  3πt  cos  πt / 2  2  ( ( ( ) ) (4 .1 8) sin π 2 m t − n / 2  3π − m  ... Ψ ( ) =  0 , , π < ω < 2π ω ∉ ( π ,2π ) (3 . 7) Re{ψ(t)} ( ) t ω ψ(t) ω0 ( ) t ω -30 -20 -10 10 20 30 ( ) ψ(t) − 3 t − 2 H×nh 3.4 C¸c hµm wavelet vµ phÐp biÕn ®ỉi wavelet -1/ ψ(t) ψ(t/2- 1). .. Y(z)=1/2[X(z1/ 2)+ X(z-1/ 2)] 18 Các tăng mẫu hai lần : x[n] Y(z)=X(z 2) Tăng mẫu theo sau giảm mẫu : x[n] Y[z]=1/2[X(z)+X(-z)] 2 Do đó, theo cấu trúc dàn lọc : ^ X(z) = [ H (z)G (z) + H1 (z)G (z)].X(z)... Ψ (t ) vµ phÐp biÕn ®ỉi cđa chóng: (i) Hµm Gausian ®iỊu biÕn (Morlet) Ψ (t ) = e iω t e −t 2 Ψ (t ) = 2π e ( −ω ) (ii) Ψ (t ) = 2π ω e Hµm Harr 1,  Ψ (t ) = − 0  Ψ ( ) = je (iii) /2 (3 .4)