Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình l­ượng giác

IfN - • i l s SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 11 KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Người thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Lam To Toán Trường THPT Lê Quý Đôn Tên đề tài: thanhlamlqd(S)gmail.conn SÁNG KIEN KINH NGHIỆM 2012-2013 L TÊN ĐÈ TÀI: RÈN LUYỆN HỌC SINH LÓP 11 KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II ĐẶT VẮN ĐÈ: Phương trình lựợng giác (PTTG) kiến thức quan trọng chương trình môn Toán trung học phổ thông nói chung chương trình môn toán lóp 11 nói riêng.Trong đề thi Đại học Cao đẳng, phương trình lượng giác có mặt Tuy nhiên, đứng trước phương trình lượng giác học sinh thường lúng túng giải cách hay dùng công thức để giải Vì vậy, để học tốt phần này, việc đòi hỏi học sinh phải có kĩ biến đổi lượng giác thành thạo, mà đòi hỏi em phải biết nhận xét, quan sát, sử dụng công thức lượng giác phù họp để có hướng biến đổi đắn nhằm đưa PTLG cho PTLG đơn giản Vì vậy, năm dạy môn Toán lóp 11 nâng cao, suy nghĩ làm để giúp em có kĩ giải PTLG Với suy nghĩ đó, đứng ừước PTLG tập em phải biết quan sát, nhận xét mối liên hệ góc cung hàm số lượng giác có mặt phương tình từ sử dụng công thức lượng giác phù họp để tìm lời giải Giói hạn nghiên cứu đề tài: -Các dạng phương trình lượng giác: Cơ nâng cao -Một số phương trình lượng giác kì thi Đại học - Cao đẳng III Cơ SỞ LÍ LUẬN: Nhiệm vụ trọng tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trồ Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt kiến thức thuộc môn Toán học việc làm cần thiết Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững tri thức khoa học môn Toán cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết cách linh hoạt vào toán cụ thể Điều thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, ừong trình dạy học giáo viên cần giúp cho học sinh cách học biết sử dụng kiến thức học vào toán cụ thể Mục đích làm cho học sinh đứng ừước toán, em biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển toán toán đơn giản toán quen thuộc biết cách giải Đối vói toán giải PTLG vậy, dạy học sinh phần này, việc phải ừang bị cho em kiến thức cần thiết phương pháp giải dạng PTLG thường gặp, bên cạnh giáo viên cần phải dạy em cách nhận dạng toán, biết phân tích yếu tố cung góc, biết nhận xét hàm số lượng giác có mặt ừong toán để từ có bước biến đổi phù họp nhằm đưa toán cần giải một toán đơn giản IV Cơ SỞ THỰC TIỄN: Xuất phát từ thực tế giảng dạy phân môn Giải tích lóp 11 Cụ thể chương I - Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đối với phần PTLG, mục tiêu chương học sinh biết cách tìm nghiệm PTLG phương pháp giải số dạng PTLG đơn giản, kĩ năng, học sinh phải biết giải số dạng PTLG không phức tạp quy phương trình lượng giác biết cách giải Tuy nhiên, thực tế PTLG đề thi Đại học hầu hết PTLG không mẫu mực, số phương trình đòi hỏi biến đổi phức tạp Vì vậy, để học sinh học tốt phần này, việc rèn luyện cho học sinh kĩ biến đổi lượng giác thật thành thạo, giáo viên cần phải dạy học sinh cách sử dụng công thức học vào việc giải phương tình lượng giác cho phù họp V NỘI DUNG: Trước bắt tay vào việc giải phương trình lượng giác, em phải thuộc lòng tất công thức lượng giác học phải có kĩ biến đổi lượng giác thành thạo Tiếp đến, em phải nắm vững công thức nghiệm PTLG nắm vững phương pháp giải PTLG thường gặp Ngoài PTLG thường gặp mà học sinh học có cách giải riêng cho loại, em gặp phải lóp phương trình không nằm ừong dạng thường gặp, PTLG không mẫu mực Trong trình dạy phần cho học sinh, đặc biệt quan tâm đến việc phân tích yếu tố cung, góc hàm số lượng giác có mặt PTLG để từ hướng dẫn em nên sử dụng công thức lượng giác cho phù họp Sau xin vào cách phân tích để tìm lòi giải cho số PTLG không mẫu mực thông qua số ví dụ minh họa Dựa vào mối quan hệ cung: Trong giải PTLG, việc xem xét mối quan hệ cung việc làm cần thiết, từ kết họp với công thức lượng giác để đưa PTLG quen thuộc ỉà vấn đề then chốt Chứng ta xét vỉ dụ sau đế thấy việc xem xét mối ỉiên hệ cung quan trọng thể Bài 1: (DIIXD -1997) IfN - • il s .1 SÁNG KIEN KINH NGHIỆM , _ { ■ (A Tỉ ' ■ „ 13 , , 13 cung 2x cỏ thể đưa cung 4x công thức nhân đôi Với nhận xét ta có cách giải toán sau: Giải: Điều kiện: 4} ^ cos| X- — 1^0 ị n \ ị Cí> cos * - — Lcos * + — n , - n cos x + — 7^0 4y — cos2* + cos— íOo cos2* íOo sin2* ^ ±1 2{ 2j pt sin4 2x I cos4 2x - cos4 4x o sin2 2xcos2 2x - cos4 4x 1—sin2 4x = cos4 4x 2cos44x + sin2 4x - =02 o 2cos4 4x I (1 cos2 4x) - o 2cos4 4x cos2 4x 1-0 sin 2* = Oựhoa) Cí> cos 4* = cos 4x —> sin 4x - c— - — (loai) — cos 2* - (loai) > =& JI Chú ý: Đối với PTLG trên, việc nhận xét tổng hai cung ị [ ~ ~ x + ị — + x^ = — cần thiết, không cỏ nhận xét đó, mà quy đồng biầi đổi phương trình trở nên phức tạp Với nhận xét tong hai cung toán trên, giáo viên cỏ cho học sinh rèn luyện thêm toán tương tự sau: Bài 2: (ĐHGTVT -1999) Giải phương trình: sin4 * + cos4 * = -cot(x + —).cot(— x) Bài 3: (ĐHDBB-2003) Giải phương trình: 3cos4* 8cos6* + 2cos2* + = Giải: Nhận xét 1: Trong phương trình xuất cung 4x cung X, ta nghĩ đến việc đưa 4x cung X công thức nhân đôi, cụ thể sau: cos4a; = 2cos22a; = 2(2cos2 X l)2 -1 = 8cos4 X 8cos2 X Từ ta có cách giải sau: Cáchl: Phương trình c=»4cos6x 12cos4x + llcos2x = 0(pt bậc chẵn) Í=1 Đặt: í = cos2 ;t,0 < í < t Khi ta có: 4i3 -12i2 + llf-3 = 0 2_(thoadk) ~2 4cosỂ* 12cos4ж + llcos2ж = sin2 X - sin* = + COS2* Cí> = — 22 COS х-ĩ ĩ COS C > X- — Do đó: „ло COS 2x - X = кл л , 7Ĩ 2x = —b kn —h к— А Л coslx - ö X - — + k— X = 7Ĩ - Ị 7Ĩ ATííớì xét 2: Từ xuất lũy thừa bậc chẵn cosx ta nghĩ đến việc chuyến cung 2x công thức hạ bậc từ cung 4x ta chuyến cung 2x công thức nhân đôi, với hướng suy nghĩ đó, ta có cách giải khác sau: '1Л -2 ,4 -/l+cos2a:Y -fl+cos2*A „ Cách 2: pt 3(cos 2x 1) ———— + ———— +3 = л Cí> COS 2x 3cos 2x I 2cos2x „ _ 7ĩ7 х- — + Х- — + « 2x - к2л -1 71*71 к л^ 29 cos2x - cos 2x - cos2x(cos22x 3cos2x 2) - c_> X - кл К— Nhận xét 3: Từ xuất hệ sổ tỉ lệ xởi nhau, ta nghĩ đến việc nhóm hạng tử đưa phương trình tích Từ đó, ta có cách giải sau: Cách 3: pt 3(1 cos4x) 2COS2 x(4cos4 X 1) = о 3.2cos2 2x-2COS2 x(2cos2 X + l)(2cos2 X -1) - < > 6cos2 2x-2cos2 x(2cos2 x+1)COS2x - Cí> cos2x[3cos2x COS2 x(2cos2 X I 1)]- 3(2cos2 X 1) 2cos4 X- cos2 X - 0(1) COS2 X -1 2 ptỌ)a> -2cos x +5cos x = 0c=> 3/7 л о sinï = о о X = COS X — — ụoai j ĐS: х 2(— sin3x yỊ3cos3x) = 2sin2x Cí> sin(3x —) - sin 2x b) 2(cosa;+ y l s i a x) c os x- c os x- - j s m x + l c^ c os x+ - j 3s i a x- c os x- y l s i a x — 7Ĩ x _ _ y X Cí> cos(2x - —) = cos(x + —) Biến đổi tổng thành tích ngược lại: Trong PTLG nấỉ xuất tích hàm sổ lượng giác sin cos ta bìm đổi thành tống (mục đích tạo đại lượng giống để rút gọn) Nầi xuất tổng ta biến đổi thành tích (mục đích làm xuất nhân tử chung) Đặc biệt dùng công thức bỉm đối tống thành tích ta thường ghép cặp cho tổng hiệu hai cung Bài 1: Giải phương trình: sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x = Giải: Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) sin (hoặc cos)ta cần để ỷ đm cung để cho tỏng hiệu cung Cụ thể: pt o (sin 6x - sin x) + (sin 5* + sin 2x) + (sin 7x /X 4x + sin 3x) = 7x 5x _ 7x 3x _ 3* „ IX óx „ IX X » 2sin -cos—- + 2sin -cos—- + 2sin -cos:- 2 - Ix ( 5* * ì 3* 2 Cí>2sin - cos —— + cos _ +COS—21 V Xí 2 ^ = 0« 2sin—- 2cos—.cosx + cos — =0 i, 22) kln IfN X • il s SÁNG KIEN KINH NGHIỆM k2ĩĩ X71- — H -— 3 2n „ , _ { ■ (A Tỉ ' ■ «=±—+ „ kln , , cos— — 2COSX + = Bài 2: Giải phương trình: cos3x.cos3 * - sin3* sin3 * - yỉĩ Nhận xét: Đối với phương trình này, nầi ta sử dụng công thức nhân ba đưa đầi phương trình giải phức tạp, học sinh lại it nhớ công thức Vì vậy, giảo viên hướng dẫn học sinh khéo ỉẻo phân tích để áp dựng công thức biầi đổi tích thành tong Giải: 2 2-3ylĩ pt (cos3x cosx).cos * - (sin3x.sin x).sin X -1 / i 1-2 / _ ^ — 3*JĨ — cos x(cos 4x + cos2x) —sin x(cos2x - cos4x) = 2-3^2 cos X cos 4x + cos cos 2* - sin X cos 2x + sin X cos 4x - 2-2 2-2 2-3^2 2 3yJĨ » cos4*(cos x + sin x) + cos 2x(cos * sin *) = »cos4* + cos 2* = 4 Cí> cos4x + — (l + cos4x) = -—Ĩ2ỈẴ 4cos4x+2(l+cos4x) = 3-JĨ Cí> 6cos4* = 3^2 c=> cos4* = -2Ẽ- cos4* = cos— Cí> 4* = +— + k2ĩr 4 oX - 3/ĩ kn ± — + -7- 16 Cách 2: Ngoài cách trên, học sinh cỏ sử dụng công thức nhân ba, nhiên dùng công thức học sinh phải chứng minh việc chứng minh đơn giản Ta cỏ: cos3x.cos3 X sin3x.sin3 X = cos3x| —cos3x I —cosx l sin3x — sinx — sin3x IfN - • il s SÁNG KIEN KINH NGHIỆM , _ { ■ (A Tỉ ' ■ „ , , Bài 3: (ĐH-D2012) Giải phương trình: sin 3* + cos 3* sin * + cos X - ~ỊĨ cos 2x Nhận xét: Trong vế trải phương trình xuất cặp (sin3x sinx), (cos 3* + cos x), đồng thời 3x X 4x, ta nghĩ đến công thức bỉm đỗi tổng thành tích để xuất nhân tử chung cos 2x Giải: pt (sin 3x sin x) + (cos 3x I cos x) -Jĩ cos 2x - Cí> 2cos 2x.sin X I 2cos 2x.cosx cos 2x - 2sinx + 2cosx Vĩcos 2x - *J2 = Cí> cos 2x(2sin * + 2cos * - Vĩ) - 71 ĩ _ 2x - — + kn Cí > sin * + cos * = < = > 71 kn X-— + — IfN - • il s pt Cí> sin2 x.cos* + cos2 x.cos * + cos2 x-sinx - Cí> 2sin x.cos2x sinx I cos 2x.cosx 2cos2x - o sin x(2cos2 X 1) I cos 2x(cos X+2) = Cí> sin X cos 2x + cos 2x(cos X I 2) - Cí> cos 2x(sin * + cos X I 2) - sin(x + —) = yỉĩựoai) cos 2x - ^ V2sin(x + £) = -2 2x = — + kn 71 - 7Ĩ X - — + k— Bài 6: (ĐH-D2010) Giải phương trình: sin2x cos2x+3sinx cosx = Giải 2sin X cos X - (1 - sin2 x) + sin X - cos X - = o cosx(2sinx-l) + 2sin2 x+3sinx-2 = o cosx(2sinx-l) + (2sin x+4sinx)-(sinx+2) = (tách pt 3sinx - 4sinx sinx) Cí> cosx(2 sinx ) sinx(sinx ) (sinx ) = Cí> cos x(2sin X 1) (sin * + 2)(2sin X 1) - sin * = — « sinx + cosx = (2sin * -l)(cos* + sin* + 2) = 0o n sin* = sin — o sin(x + -) = -yỈ2(VN) sin* = sin — V2sin(* + -)= 71 , „ X c=> h kín * = — + k2n Nhận xét: Trong tập trên, để đưa phương trình cho phương trình tích ta khéo léo tách 3sinx - 4sinx sinx Bài 7: (ĐH-A2010) Ợ + sin* + cos 2x).sin(x + —) Giải phương trình: — 1+ tanx Giải:ĐK: cos x^ữvà tan X ^ Khi đổ: pt -Jĩ sin(x + —)(1 + sin * + cos 2x ) = (1 + tan x) cos X „ sinx + cosx Cí> (sin * + cos x)(l+sin * + cos 2x) - cos X cosx a> (sin* + cos x)(sinx + cos2x) - cos X Cí> sin * + cos * = sin* + cos2 x = *sin.x+cos.x = tan.x= (loại) *sinx +cos2 x = » 2sin2 X sin* = 0 cos * = (loai) Cí> sin* = sin(-—) n» 71 ,„ sinx = l sin* = — X h kỉ.71 In , „ X = h k LTĨ Chú ỷ: Trong phương trình6 trên, ta kết hợp nghiệm phương pháp biểu diễn nghiệm phương trình hệ điều kiện phương trình ban đầu qua hàm số lượng giác Bài 8: (ĐH-A2011) \ , l + SĨn2*+COS2* Giải phương trình: - 1+ cot X „ -= V2 sin x.sin 2x Giải: ĐK: sinx^Oc^>cosx^ ±1 o i # k pt (1+sin 2x+cos 2x).sin2 X - V2 SÌÍI2 X cosx »1 + sin 2x + cos 2x = 2V2.COS X (do sinx 0) Cí> 2sin*cos* + 2cos2 * V2 COS* = 0 2cos x(sin X+cos X -Jĩ) = cos * - ịthoà) x sin X + cos X- 4Ĩ ~ x _ L ị k l ĩ ĩ h o a ) Bài 9: (ĐH-A2012) Giải phương trình:sin 2x+cos 2x - 2cos X -1 Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy có xuất sinlx, 2cos.It cos2x+l ta nghĩ đến dùng công thức nhân đỗi bìm đổi sin2x, + cos 2x đế xuất nhân tử chung cos X Giải: pt o -\/3sm2.it+(cos2.it + l) 2COSX = o 2^sinx.cosx+2cos X 2cosx = y— 2cos*(v3sin* + cosx-l) = v ’ r cosx = r «»* = Ị- „í L^sinx + cosx = l r X = "7 X - — + k2n - _ X - *-—=±—+ k n 33 X + + ki n - k2n Ngoài việc rèn luyện cho học sinh kỹ giải PTLG, thông qua vi dụ giảo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ kết họp nghiệm PTLG cỏ điầi kiện Đế giúp em có kỹ tốt việc kết hợp nghiệm, thông qua sổ vỉ dụ giáo viên cỏ thể đúc kết lại sổ phương pháp bỉm thường dừng kết hợp nghiệm Cách 1: Biầi diễn nghiệm phươngtrình hệ điều kiện phương trình ban đầu qua mội hàm sổ lượng giác Vi dụ 1: (Tụp Toán học Tuồi trẻ thảng 11/2009) 12 Giải phương trình: + — cos X sin 2x sin 4x rsin*?i±l í sinx?í±l Giai: ĐK: ^sin2x^0e^ sinx^O o sinx^o ị sin 4x^0cos2x? cosx^O 2sin *?t0 pt Cí> 4sin x)-2~0 sinx^ Jĩ í0 sin * * + —2 *.cos2* + 2cos2* = o 4sinx(l-2sin2 x) + c^>sinx(2sin2x + sinx-l) = o sin* = 2sin2 X+ sinx 1=0 Giải phương trình: -hsin*(lH —. -—) = sin* cosx X cos — cosx IfN - • il s 1 SÁNG KIEN KINH NGHIỆM , _ { ■ (A Tỉ ' ■ 13 , , 13 x = — + kjĩ 12 5n, X = —— + kĩ i 12 sin 2x „ = 4 — -1 -— = o■ sin X cos X 7Ĩ —> sin 2x - — (thỏa mãn cík) sin 2x - sin — « Khi dùng phương pháp này, em cỏ thể kiần tra điầi kiện trình giải không cần phải đến kết cuối Chăng hạn, PTLG đề thi Đ H B 2003, A - 2011, ĐHXD -1997 Cách 2: Thử trực tiếp Vi dụ 1: Giải phương trình: cos 3x.tan5x-sin7x Giải: ĐK: cos 5x^0 pt cos 3* sin 5x - sin 7X cos 5* sin 8* + sin 2x - sin 12* + sin 2x sin 8* = sin 12* Cí> x=k- 71 , X — ——b k n — 20 10 *Với X - k— :cos5* = cosẼằĩL - cosỢc — + kín') = c o s í O c > k - 2m(m e Z) *Với X — — + —— thì: cos 5* = cos(— — k —) — 20 10 Vậy phương trình cho cỏ nghiệm là: x - k / T \ x - — + Vi dụ 2: Giải phương trình: 3sinx 2cosx-3(l tanx) Giải: ĐK: cosx-0 < >sinx^±l pt cos *(3 sin * + k— cosx 22 cos x) - 3(sin X + cos x)-l Cí> cos *(3 sin * + cos x) - cos X - 3sinx cos X Cí> cos x(3 sin X - cos X -1) - (3 sin X + cos X -1)-0 » (3sin* + 2cos* l)(cos* 1) = 0 cos X 1- 0(1) sin X + cos x-1- 0(2) X *(1) cos * = (thỏa đk), đỏ ta được: X - k2n *Thay cosx-0 sinx = ±1 vào (2) ta được: ± 3-1 = (vô ìý) Tức nghiệm (2) thỏa mãn kiện Cách 3: Biểu dỉễtt đường tròn lượng giác (ĐTLG) Khi gặp PTLG mà việc biếu dễn cung điều kiện cung đáp số không phức tạp, học sinh cỏ thể dừng ĐTLG để kết hợp nghíệmGiảo viên hướng dỗn học sinh biểu diễn ĐTLG cung không thỏa mãn điầi kiện (đảnh dấu "x ”) cung đáp sổ tìm (đánh dấu “o’y Những cung đánh dấu “o” mà không trừng xởi cung đánh dấu "x ” chinh cung thỏa mãn điểu kiện Ngoài vi dụ phần trên, giáo xiên cho học sinh rèn luyện thêm thông qua vi dụ sau: Ví dụ 1: ( Đ H — D 2011)Giải phương trình: sin2* + 2cos * - sin X- tan* + y/ĩ n Khi phurmgtrình cho ừ-ở thành: sin2 x y + cosx sin* = » 2cosx(sinx 1) (sinx 1) = Cí> (sin * + l)(2cos X -1) - sin x - - \ * = -~-+k2ĩĩ > x-± — + k2ĩỉ KL : Nghiệm phương trình là: X = ~r + k2n Vỉ dụ 2: ( Đ H - A 2006) 2Ícos6 X + sin6 v) sinX.cos* Giải phương trình —^ -J= -= V2 2sin* ^2 Giải: ĐK: sinx- ——< > 71 f 3JĨ X ^ -h m2ĩĩ (ffz,weZ) n 2tĩ Khi phương trình dã cho trở thành: x=—+kĩi ( t e Z ) (cos6 * + sin6 X) - sin X cos X = Cí> 1— sin2 x l J —sin x ~ Cí> 3sin2 2x + sin x - = o sin x ^ r KL: Nghiệm pt là: X = —■ + kln =l K i y V / ¥ 7' J • „7 sin* + sin2* IfN - • il s SÁNG KIEN KINH NGHIỆM , _ { ■ (A Tỉ ' ■ „ , , Khi đó: -= -lsin* + sin2* + sin3* = sin3* C5> 2sin 2x cos X+sin 2x = Cí> sin2x(2cosx + l)= 0 sin 2x = x=kCí> 'In , „ * = + f K JT 7Ĩ ) • X KL : Nghiệm cửa phương trình là: x = — + k n VI KÉT QUẢ NGHIÊN CỨU: 27 Trong năn giảng dạy môn Toán lóp 11 nâng cao, quan tâm đến việc dạy để giúp em học tốt phần phương trình lượng giác Vói mong muốn đó, từ tiết ôn tập công thức lượng giác đầu năm, yêu cầu tất học sinh phải học thật kĩ công thức lượng giác hiểu sâu sắc chất công thức, rèn luyện em kĩ biến đổi lượng giác thật thành thạo Để chuẩn bị cho việc giải PTLG sau này, lưu ý cho em số phép biến đổi đặc biệt, đẳng thức lượng giác thường gặp, cách biến đổi biểu thức lượng giác từ tổng sang tích ngược lại Vói cách làm đó, em gặp nhiều thuận lợi học phương trình lượng giác Cuối cùng, nhờ vào cách phân tích, nhận xét cụ thể phương trình lượng giác, hầu hết em giải PTLG đơn giản, học sinh khá, giỏi giải PTLG đề thi Đại học, Cao dăng Cụ thể, kết kiểm tra cuối chương I lớp 11A có 98% học sinh đạt điểm trung bình, lóp 1IC có 94% học sinh đạt điểm trung bình nhiều học sinh đạt điểm khá, giỏi VII KÉT LUẬN: Lượng giác nói chung đặc biệt phương trình lượng giác thiếu đề thi Đại học Cao đẳng Chính việc nắm bắt công thức lượng giác vận dụng chúng cách linh hoạt, đòi hỏi học sinh phải thành thạo kĩ năng, quan sát cách tinh tế làm Trên số kinh nghiệm thân dạy phần PTLG cho học sinh lóp 11 Bài tập PTLG đa dạng phong phú, đối vói toán lại có cách biến đổi khác Vì vậy, thông qua số ví dụ minh họa nêu trên, hy vọng giúp em có kỹ biến đổi phương trình lượng giác rút học kinh nghiệm cho thân ừong trình giải PTLG VIII KIÉN NGHỊ: 28 Nhằm giúp học sinh học tốt phần phương trình lượng giác thân có kiến nghị: - Trong phân phối chương trình môn Toán lóp 11 nâng cao, cấp nên tăng cường thêm số tiết cho nội dung - Giáo viên nên dành số tiết bám sát tăng cường có để ôn tập lại cho học sinh kiến thức lượng giác Ngoài ra, trình dạy chương Góc lượng giác công thức lượng giác lóp 10, công thức học, giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh số công thức lượng giác khác, công thức mà em hay gặp trình biến đổi để giải phương trình lượng giác IX TÀI LIỆU THAM KHẢO Tam Kì, ngày 12 tháng năm 2013 Người viết Nguyên Thị Thanh Lam ) Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 Cơ Nâng cao - Nhà xuất Giáo dục 2) Tạp chí Toán học Tuổi trc - Nhà xuất Giáo dục 3) DỒ thi Đại học - Cao đẳng năm 4) Đề dự bị Đại học — Cao đẳng năm 5) Tuyển tập chuyên đề lượng giác - Nguyễn Ngọc Thu - Nhà xuất Tre X MỤC LỤC — sotũcs - I II III IV V VI Tên đề tài Đăt vân đê Cơ sở lí luân Cơ sở thưc tiễn Nội dung Kết nghiên cứu Kết luân Kiến nghị Tài liêu tham khảo Muc luc vni IX X 29 Trang Trang Trang Trang Trang Trang 20 Trang 20 Trang 21 Trang 22 Trang 23 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Đỏc lâp - Tư - Hanh nhúc PIIII I ĐÁNH GIÁ, XÉP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm hoc: 2012 -2013 I Đánh giá xếp loại IIDKII Trường THPT LỂ QUÝ ĐÔN Tên đề tài: Rèn luyện học sinh lớp 11 kì giải phương trình lượng giác a) Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Lam Chức vụ: Giáo viên Tổ: Toán Nhận xét Chủ tịch HĐKH đề tài: Ưu điểm: b) Hạn chế: Đánh giá, xếp loại: 30 Sau thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Trường THPT Lê Quý Đôn thống xếp loại : Thư ký HĐKH: (Ký, ghi rõ họ tên) II Chủ tịch HĐKH (Ký, đóng dấu, ghi rõ họ tên) Đánh giá, xếp loại IIDKII Sở GD&ĐT Quảng Nam Sau thẩm định, đánh giá đề tài trên, HĐKH Sở GD&ĐT Quảng Nam thống xếp loại: Những người thẩm đỉnh: Chủ tịch IIDKII (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóngdắu, ghi rõ họ tên) PHIÉU CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 20122013 (Dành cho người tham gia đánh giá xếp loại SKKN) HỘI ĐỎNG KHOA HỌC Trừờng THPT Lê Quý i)ôn - Đề tài: Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ giải phương trình Ittọng giác - Họ tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Lam - Don vị: Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn - Điểm cụ thể: Phần Nhận xét 31người đánh giá xếp loại Điểm đề tài tối đa Tên đề tài Đăt vấn đề Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiễn Nội dung nghiên cứu Kết nghiên cứu Kết luận Đề nghị Phu iuc 10 Tài liệu tham khảo 11 Mục lục Thể thức văn bản, tả Tổng cộng 20(1 1 Căn số điểm đạt được, đề tài xếp loại: Người đánh giá xếp loại đề tài: (Ký, ghi rõ họ tên) Đỉễm đạt đươc [...]... về phương trình tích: Đây là loại phương trình phong phú và đa dạng nhất Phương trình loại này không có phương pháp giải cụ thể, mà chủ yếu dựa vào kinh nghiệm, khả năng biến đổi lượng giác của mỗi học sinh, mục đích cuối cùng là làm xuất hiện nhân tử chung Xu thế trong đề thi Đại học của các năm gần đây, phương trình lựợng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, ... phương trình lượng giác, hầu hết các em đã giải được các PTLG đơn giản, các học sinh khá, giỏi có thể giải được các PTLG trong các đề thi Đại học, Cao dăng Cụ thể, kết quả bài kiểm tra cuối chương I ở lớp 11A có 98% học sinh đạt điểm trên trung bình, lóp 1IC 2 có 94% học sinh đạt điểm trên trung bình và rất nhiều học sinh đạt điểm khá, giỏi VII KÉT LUẬN: Lượng giác nói chung và đặc biệt là phương trình. .. việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải PTLG, thông qua mỗi vi dụ trên giảo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng kết họp nghiệm trong PTLG cỏ điầi kiện Đế giúp các em có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm, thông qua một sổ vỉ dụ giáo viên cỏ thể đúc kết lại một sổ phương pháp pho bỉm thường dừng khi kết hợp nghiệm Cách 1: Biầi diễn nghiệm của phươngtrình hệ quả và điều kiện của phương trình. .. thông qua một số ví dụ minh họa nêu trên, hy vọng giúp các em có được kỹ năng biến đổi phương trình lượng giác và rút ra được bài học kinh nghiệm cho bản thân ừong quá trình giải PTLG VIII KIÉN NGHỊ: 28 Nhằm giúp học sinh học tốt hơn phần phương trình lượng giác bản thân tôi có kiến nghị: - Trong phân phối chương trình môn Toán lóp 11 nâng cao, các cấp nên tăng cường thêm số tiết cho nội dung này - Giáo... hoặc tăng cường nếu có để ôn tập lại cho học sinh các kiến thức về lượng giác Ngoài ra, trong quá trình dạy chương Góc lượng giác và công thức lượng giác ở lóp 10, ngoài các công thức đã học, giáo viên cần cung cấp thêm cho học sinh một số công thức lượng giác khác, đó là những công thức mà các em hay gặp trong quá trình biến đổi để giải phương trình lượng giác IX TÀI LIỆU THAM KHẢO Tam Kì, ngày 12... cửa phương trình là: x = — + k n VI KÉT QUẢ NGHIÊN CỨU: 27 Trong những năn giảng dạy bộ môn Toán ở lóp 11 nâng cao, tôi rất quan tâm đến việc dạy như thế nào để giúp các em học tốt phần phương trình lượng giác Vói mong muốn đó, ngay từ những tiết ôn tập về công thức lượng giác đầu năm, tôi yêu cầu tất cả các học sinh phải học thật kĩ công thức lượng giác và hiểu sâu sắc bản chất của mỗi công thức, rèn. .. Chủ tịch IIDKII (Ký, ghi rõ họ tên) (Ký, đóngdắu, ghi rõ họ tên) PHIÉU CHẤM ĐIỂM, XẾP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học 20122013 (Dành cho người tham gia đánh giá xếp loại SKKN) HỘI ĐỎNG KHOA HỌC Trừờng THPT Lê Quý i)ôn - Đề tài: Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ năng giải phương trình Ittọng giác - Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Lam - Don vị: Tổ Toán - Trường THPT Lê Quý Đôn - Điểm cụ thể: Phần Nhận... sinx = l 1 sin* = — 2 X h kỉ.71 6 In , „ X = h k LTĨ Chú ỷ: Trong phương trình6 trên, ta đã kết hợp nghiệm bằng phương pháp biểu diễn nghiệm của phương trình hệ quả và điều kiện của phương trình ban đầu qua cùng một hàm số lượng giác Bài 8: (ĐH-A2 011) 1 \ , l + SĨn2*+COS2* Giải phương trình: - 1+ cot X „ -= V2 sin x.sin 2x Giải: ĐK: sinx^Oc^>cosx^ ±1 o i # k pt (1+sin 2x+cos 2x).sin2 X - 2 V2... luyện các em kĩ năng biến đổi lượng giác thật thành thạo Để chuẩn bị cho việc giải PTLG sau này, tôi lưu ý cho các em một số phép biến đổi đặc biệt, các đẳng thức lượng giác thường gặp, cách biến đổi một biểu thức lượng giác từ tổng sang tích và ngược lại Vói cách làm đó, các em gặp rất nhiều thuận lợi khi học phương trình lượng giác Cuối cùng, nhờ vào cách phân tích, nhận xét cụ thể đối với mỗi phương. .. VIỆT NAM Đỏc lâp - Tư do - Hanh nhúc PIIII I ĐÁNH GIÁ, XÉP LOẠI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm hoc: 2012 -2013 I Đánh giá xếp loại của IIDKII Trường THPT LỂ QUÝ ĐÔN 1 Tên đề tài: Rèn luyện học sinh lớp 11 kì năng giải phương trình lượng giác 2 3 4 a) Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Lam Chức vụ: Giáo viên Tổ: Toán Nhận xét của Chủ tịch HĐKH về đề tài: Ưu điểm: b) Hạn chế: 5 Đánh giá, xếp loại: 30 Sau khi ... TÀI: RÈN LUYỆN HỌC SINH LÓP 11 KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II ĐẶT VẮN ĐÈ: Phương trình lựợng giác (PTTG) kiến thức quan trọng chương trình môn Toán trung học phổ thông nói chung chương trình. .. Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Đối với phần PTLG, mục tiêu chương học sinh biết cách tìm nghiệm PTLG phương pháp giải số dạng PTLG đơn giản, kĩ năng, học sinh phải biết giải số dạng... NGHIỆM Năm học 20122013 (Dành cho người tham gia đánh giá xếp loại SKKN) HỘI ĐỎNG KHOA HỌC Trừờng THPT Lê Quý i)ôn - Đề tài: Rèn luyện học sinh lớp 11 kĩ giải phương trình Ittọng giác - Họ tên