đại số banach và đại số đều trong giải tích phứcc, chương 2

tài liệu tham khảo đại số banach và đại số đều trong giải tích phức, chương 2

CHUONG BIEN, BAO, HẠCH VÀ Bˆ - ĐẠI SỐ Trong chương ta tiếp tục ký hiệu A đại số đều, Mạ không gian ideal cực đại § 2.1 Biên Shiloy Định nghĩa biên Shilov Tập E Mạ gọi biên tập A Ÿ e  có modul đạt cực đại E, 2.1.1 Bổ đề Nếu f¡ f; e A giả sử V tập mở sở Mạ xác định bởi: V={w:|f;()Jo : Lư < lim supM'^|A[» 2-0 Bởi điểu với A thỏa mãn HÀ =|^\| |A^\ > ||Ÿ IM, nén lim sup|f [“^ < [f lu, Vậy chứng minh ||, Im, == lim ñmlr° [ Định lý chứng minh 2.2.3 Hệ Biến đổi Gelfand f — Ê đẳng cự < ||f? | = | f lỄ với f e A Chứng Nếu f —› Ý đẳng cấu | Ể | = |IÈ”llu, =lÊlu, =l#IÍ Ngược lại || f? || = || f |Ÿ f e A |f? n ||/=||f|? n véimoin21 Vì |fIElf ll?” > lif llyq, theo định lý 2.2.2 tic f—> f đẳng cự Định lý chứng minh 22 §.2.3 Bao va hach Bao ideal Cho J 14 ideal đại số A ta gọi tập tất ideal cực đại cia A chứa J bao ideal J Nói cách khác bao ideal J tập tất đồng cấu @ e Mạ cho @(f) =0 với feJ Vì bao ideal J tập ()kerf nén fe] 1a tap déng ctia Ma 2.3.1.Dinh ly Cho J ideal đóng đại số A B bao tuyến tính J phân tử đơn vị Khi B đại số đóng đại số A không gian Mạ ideal cực đại đại số B nhận từ Mạ cách đồng điểm nằm bao ideal J Chứng mỉnh Ta giả thiết J ideal chân Bởi tổng đại số đóng đại số hữu hạn chiều đại số đóng nên B đại số đóng đại số A J ideal cực đại đại số B, Với eMA, qua +(@) ta ký hiệu thu hẹp @ B, Khi + ánh xạ tuyến tính liên tục không gian Mạ vào không gian Mạ Hiển nhiên ideal cực đại rt(@) trùng với ideal cực đại J B © @ thuộc bao ideal J Do + — ởngoài bao ideal J, Giả sử e Mạ w không trùng với ideal cực đại J Khi ta tìm f e Jsao cho w( = Với g e A đặt @(g) = w(gf) d6 œ tuyến tính œ@(1) = Nếu ø, g; e A @(gi.8:) = W(¡.g:f) =(gi,g2f) = w(gifp(gaf) = @(g1).@() Do e M„ r(@) =t\nên + ánh xạ MA lên Mp Như đồng điểm Mạ thuộc bao ideal cla J thi t xác định ánh xạ — Í từ khơng gian nhận lên Mạ Ánh xạ đồng phôi 23 Định lý chứng minh, 2.3.2 Định lý Cho J ideal đóng đại số A Khi khơng gian ideal cực đại đại số A/1 trùng với bao ideal J, Chứng mỉnh Anh xạ liên hợp với ánh xạ tự nhiên A —> A/J xác định hệ thức cQqy)()= (f+J),fe A, e Mạu Dé dàng kiểm tra phép đồng phôi muốn tìm Hạch Cho E tập Mạ Ta gọi hạch tập E giao tất ideal cực đại xác định từ điểm E Hạch E ký hiệu ker Œ ) Như Ker(B)={fe A: fp=0}= () {£eA: pf) =0} pee Vi vay ker (E ) tập đóng Tập E Mẹ gọi bao E bao ideal A Nếu E bao E bao ideal ker(E) Dễ dàng thấy hợp hữu hạn bao bao, giao tùy ý bao bao Vì tập tất bao xét họ tập đóng tơpơ Mạ, Tơpơ gọi tơpơ bao — hạch Bao đóng tập F cM, theo tôpô bao - hạch bao ideal ker(F) Khi : e Mạ khơng thuộc bao đóng theo tơpơ bao - hạch F © f e A cho fip =0 ,o(f)#0 Tôpô bao hach 1a T, — t6p6 ( tap diém tập đóng ), nói chung tơpơ yếu tơpơ cảm sinh tôpô yếu xét (gọi tơpơ Gelfand) Tơpơ bao - hạch Hausdorff f từ đại số A vào thỏa mãn điều kiện sau : với f,g (i) f phép đối hợp e A,À e © =f (ii) (f+g) =f+g` (iii) (Af) = XỶ (iv) (£g)*=f.g° Ta gọi đại số Banach giao hoán BỶ - đại số giao hốn có phép đối hợp thỏa mãn điều kiện | f † ||= | f J|?,f e A Chúng ta có định lý sau 2.4.1.Định lý ( Gelfand - Naimark ) Cho A BỈ - đại số giao hốn Khi phép biến đổi Gelfand đẳng cấu A C(Mạ), f* =f (fed Định lý Gelfand — Naimark cho ta mối liên hệ biến đổi Gelfand, đối hợp liên hợp phức, Để chứng minh định lý 2.4.1 cần số bổ để 2.4.2.Bổ đề =1 Chứng mỉnh 1° =1,1"=(1'1)'-(’) =17 =1 25 2.4.3 BS dé Nếu A BỶ- đại số giao hoán f e A || Ể |[=||f J|? | Ý IỊ = ||f|| Chứng mỉnh WP =P II= CĐđŒ |= ff? = If | ta có đẳng thức thứ Mặt khác | f ||? = | J|=lf” I = IIflƒ IIf = ILÝ I Bổ đề chứng minh 244.B6 dé Cho A BẺ đại số giao hoán, Nếu f e A thỏa mãn điểu kiện f=f! | Ê ||= Nếu phần tử g e A thỏa mãn điểu kiện g`= g @ hàm thực Chứng minh Trước hết giả sử f = f Khi (f°” = (f)” =f Vì = | Ýf | = | f ||? tương tự = ||” f' IỊ= l|f “II Từ theo định lý 1.1.2 phổ o(f)va o(f') déu chứa đĩa đơn vị A Nếu ^ e ơ(f) ^ - f khơng khả nghịch nên TT h > se khơng khả nghịch xe o(f!), Vì e o(f) thi] Af=1 Theo dinh ly 1.2.7 ta cé: |] f | = Nếu h phần tử đại số 20 Banach chuỗi yt a hội tụ đến phần tử mà ta ký hiệu e" thỏa mãn n=0 !t điều kiện ê* =e* Nn ^^ oo Pn ^ (vied =3 —=e") hz n! e" 1a khả nghịch nghịch đảo e” Theo bổ để 2.3.3 phép đối hợp f—>f Hiên tục, 26 ch = OD" o=0 FON" _ oe n=0 eA n Giả sử g` = g giả sử f = eŠ Ta có f =e =e*%=f' Theo phân đầu chứng minh ơ(f) tập đường tròn đơn vị, Bởi ơ(f) =f{M„) = cĐMu) nên 8(M,) số thực Bổ để chứng minh, Chứng mỉnh định lý 2.4.1 Theo hệ định lý 2.2.3 bổ để 2.4.3 phép biến đổi Gelfand xác định đẳng cấu đại số A lên đại số  đại số C(Mạ ) V6i moi f € A, dat g= g=g,h=h’ Vivayf f +f va h=ict 2i Khi f = g + ¡h =¢ -ih Sử dụng bổ để 2.4.4 ta nhận Công thức chứng tỏ Ý e Â Ê liên hợp phức Ÿ thuộc Â, Bởi  chứa số phân biệt điểm compact Mạ nên theo định lý Stone-Weiefstrass dai số  trùng với C(Ma ) Compact hóa Giả sử S khơng gian tơpơ Ký hiệu CB(S) đại số hàm phức liên tục, bị chặn S Đại số CB(S) B” đại số giao hốn với chuẩn |rl,=sp|f©) 27 va phép d6i hgp f° = f Họ#, hàm S gọi tự liên hợp f e 5, f e Ø, Họ 5, gọi phân biệt điểm s # t thuộc S đêu có f e Z, để f(s) # f(t) Khéng gian t6p6 Hausdorff compact X goi compact hóa khơng gian tơpơ S có đơn ánh liên tục r từ không gian S lên không gian trù mật +(S) X, Trong trường hợp ta đồng s € S véi 1() eX Định lý sau ứng dụng định lý Gelfand — Naimark 2.4.5 Định lý 19 Giả sử S khơng gian tơpơ Khi tổn song ánh compact hóa X khơng gian S đại số đóng tự liên hợp, phân biệt điểm A CB(S) chứa số, Đại số A tương ứng với compact hóa X lập nên từ hàm thuộc CB(S) thác triển liên tục lên X Compact hóa X tương ứng với đại số A không gian ideal cực đại đại số Chứng mỉnh Mỗi compact hóa X S đặt tương ứng với đại số A đại số CB(S) 1A thu hep S đại số C(X) Đại số chứa số, tự liên hợp phân biệt điểm ( X Hausdorff ), Ngược lại, A đại số đóng tự liên hợp, phân biệt điểm đại số CB(S) chứa số, Khi A BỈ - đại số CB(S), Theo định lý, Gelfand - Naimark đại số A dang cfu, đẳng cự với đại số C(MẠ } Mỗi s e S sinh đồng cấu tác động theo qui luật Ÿ(ts))=f) ,f 6A 28 Anh xa t từ S vào Mạ liên tục phương pháp cho tơpơ Mạ Vì đại số A phân biệt điểm không gian S nên + đơn ánh Nếu g e C(M,) va phép biến đổi Gelfand phần tử đồng khơng S g = Mạ Vìvậy r(S) trù mật Mạ 29 ... minh § 2. 2 Hai định lý Hàm giải tích va phân tử đại số Banach Định lý sau tiếp cận ứng dụng hàm giải tích với phần tử đại số Banach 2. 2.1 Định lý Cho f A h hàm giải tích lân cận tập Ÿ (Mạ)=ơ(... tổng đại số đóng đại số hữu hạn chiều đại số đóng nên B đại số đóng đại số A J ideal cực đại đại số B, Với eMA, qua +(@) ta ký hiệu thu hẹp @ B, Khi + ánh xạ tuyến tính liên tục không gian Mạ vào... ứng với đại số A đại số CB(S) 1A thu hep S đại số C(X) Đại số chứa số, tự liên hợp phân biệt điểm ( X Hausdorff ), Ngược lại, A đại số đóng tự liên hợp, phân biệt điểm đại số CB(S) chứa số, Khi