tài liệu tham khảo đại số banach và đại số đều trong giải tích phức, chương 2
Trang 1CHUONG 2
BIEN, BAO, HẠCH VÀ Bˆ - ĐẠI SỐ
Trong chương này ta tiếp tục ký hiệu A là đại số đều, Mạ là không gian các ideal cực đại
§ 2.1 Biên Shiloy
1 Định nghĩa biên Shilov
Tập con E của Mạ gọi là biên của tập A nếu mọi Ÿ e  có modul đạt cực đại trên E, 2.1.1 Bổ đề Nếu f¡ f; e A và giả sử V là tập con mở cơ sở của Mạ xác định bởi: V={w:|f;()J<1;1<j<n} Khi đó hoặc V giao với mọi biên của A hoặc mọi biên đóng E tập E\V cũng là biên của A Chứng mỉnh
Giả sử tổn tại một biên đóng E của A sao cho E\V không là biên cửa A
Ta cần chứng minh V giao với mọi biên của A Lấy f e A sao cho : Pha, =1 và || f |Ìzv <1
Nếu cân thì thay f bởi f", ta có thể giả sử | Ÿ Ÿ; |< 1 trên E\V
Bởi vì |Ÿ Ÿ;|< 1 trên V nên | Ÿ Ê; |< 1 khắp nơi trên E Vậy |ff¡|< I khắp nơi trên Mạ,
Từ đó suy ra tập mà trên đó modun Ê đạt cực đại bằng 1 nhất thiết phải
chứa V ( vì chỉ trên V mới có | f; |< 1) Vậy V giao với mọi biên của A
Bổ dé được chứng minh
Trang 22.1.2 Định lý ( Shilov )
Giao tất cả các biên đóng của A là biên của A Chứng mỉnh
Ký hiệu ô; là giao cửa tất cả các biên đóng của A Hiển nhiên © e ơ¿< mọi lân cận U của œ, tìm được fe A để tập hợp mà modun f đạt cực đại nằm tron trong U
Giả sử f<A sao cho| Ÿ |< 1 trên ô„, Chúng ta cẩn chứng minh |Ê | < 1
khắp nơi trên Mạ,
Nếu œ e Mạ xảy ra bất đẳng thức | f (@) | > 1 thì tìm được lân cận mở cơ
SỞ @ trong Mạ sao cho nó không giao với một biên đóng nào đó của tập A Giả sử Vị, , Vụ là họ các lân cận mở như vậy phử tập compact {| Ê| 2 1} Theo k bổ để 2.1.1 Mạ \(|Jv;) là biên của A Bởi vì |Ÿ | < 1 trên biên này nên jal | ÊJ< 1 khắp nơi trén My Định lý được chứng minh,
Giao của tất cả các biên đóng của đại số A gọi là biên Shilov của A, ký hiệu là ô¿ Biên Shilov là biên đóng nhỏ nhất cửa A
2 Liên hệ giữa biền Shilov va biên tôpô
Do nguyên lý cực đại đường tròn bA là biên của đại số P(A) Nếu ÀebA thi ham 1 + Az dat modun cực đại tại điểm z =^ Vì vậy tập bA được chứa trong biên bất kỳ của P(A) Như vậy biên Shilov của đại số P(A) trùng với biên tôpô của đĩa A,
2.1.3 Định lý
Trang 3Chifng minh
Giả sử tén tai p € Ma sao cho f (@) € bf (Ma) nhưng Ê(@) có khoảng cách đến f (4) 1A s6 dudng 8 Chon s6 phitc 1 sao cho X¢ f (Ma) nhung
|^A - Ÿ (@) |< ö/2 Do định lý 1.2.7 : phần tử ^ - f khả nghịch
1
Đặt g=(À-f}!, at g =( ) Khi đó g 7 ê=—— Bởi vì aw] s véi moi w € Aa, ta
cé |g leg < = Tuy nhién| go> R mâu thuẩn vì ô„ là biên
Định lý được chứng minh § 2.2 Hai định lý cơ bản
1 Hàm giải tích va phân tử của đại số Banach
Định lý sau đây tiếp cận sự ứng dụng của một hàm giải tích nào đó với
một phần tử của đại số Banach
2.2.1 Định lý
Cho f A và h là một hàm giải tích trong một lân cận của tập
Ÿ (Mạ)=ơ( Khi đó tổn tại phần tử g e A sao cho § = họÊ Chứng minh Theo céng thức tích phân Cauchy h(z¿)==- 2) Zo € O(f) 2ñl ï.Z—Zụ đối với mọi chu tuyến Ï' vây quanh o(f) Dat _ 1 _ 2= J h(z)(z-f) dz
Tích phân này tổn tại như tích phân Riemann thông thường, Xấp xĩ tích phân bởi
tổng Riemann hữu hạn chúng ta thấy
Trang 4@(8)=~— [b(2)(z~@())dz =h(@(f)), ọeMạ 2 r Vivay 8() = hof (@) v6i mọi peMy hay ô = hof Định lý được chứng minh 2 Bán kính phổ Bán kính phổ của phần tử f e A là số: sup { |^.|: € o(f)} Do định lý 1.2.7, bán kính phổ cổa f trùng với || Ê lJ, Định lý sau đây cho công thức tính bán kính phổ, 2.2.2 Định lý Bán kính phổ của phần tử f e A được tính theo công thức A ‹ n l/n IŸll, = lim|f n—>o Chứng mỉnh Với mọi số nguyên dương n ta có lỀ (|=| Ê"(@J'" < li "I” Do đó Hfllụ, Jim inf | f° ||”
Cho L là một phiếm hàm tuyén tinh lién tuc trén A D6i v6i A ¢o(f) dat
Trang 5Từ đó
Sup | L(£") |/ JA |"! <0
néu|Al>if ly,
Cố định 2 với | ^ | > || f | M, - Như đã chỉ ra biên trên cửa họ trên là bị
Trang 6§.2.3 Bao va hach 1 Bao của ideal
Cho J 14 một ideal của đại số A ta gọi tập tất cả các ideal cực đại cia A chứa J là bao ideal của J Nói cách khác bao ideal của J là tập tất cả các đồng cấu @ e Mạ sao cho @(f) =0 với mọi feJ Vì bao ideal của J là tập ()kerf nén
fe]
1a tap déng ctia Ma 2.3.1.Dinh ly
Cho J là ideal đóng của đại số A và B là bao tuyến tính của J và phân tử
đơn vị Khi đó B là đại số con đóng của đại số A và không gian Mạ các ideal
cực đại của đại số B nhận được từ Mạ bằng cách đồng nhất các điểm nằm trong bao ideal của J
Chứng mỉnh
Ta có thể giả thiết J là ideal chân chính Bởi vì tổng của một đại số con
đóng và một đại số con hữu hạn chiều là một đại số con đóng nên B là đại số con đóng của đại số A khi đó J là ideal cực đại của đại số B,
Với mọi eMA, qua +(@) ta ký hiệu thu hẹp của @ trên B, Khi đó + là ánh xạ tuyến tính liên tục không gian Mạ vào không gian Mạ Hiển nhiên ideal cực đại rt(@) trùng với ideal cực đại J trong B © @ thuộc bao ideal J Do đó + là 1 — 1 ởngoài bao ideal của J,
Giả sử e Mạ và w không trùng với ideal cực đại J Khi đó ta tìm được
f e Jsao cho w( = 1 Với mọi g e A đặt @(g) = w(gf) khi d6 œ là tuyến tính và
œ@(1) = 1 Nếu ø, g; e A thì
@(gi.8:) = W(¡.g:f) =(gi,g2f) = w(gifp(gaf) = @(g1).@()
Do đó e M„ và r(@) =t\nên + là ánh xạ MA lên Mp
Trang 7Định lý được chứng minh, 2.3.2 Định lý
Cho J là ideal đóng của đại số A Khi đó không gian các ideal cực đại của đại số A/1 trùng với bao ideal của J,
Chứng mỉnh
Anh xạ ơ liên hợp với ánh xạ tự nhiên A —> A/J xác định bởi hệ thức cQqy)()= (f+J),fe A, e Mạu
Dé dàng kiểm tra ơ là phép đồng phôi muốn tìm
2 Hạch
Cho E là một tập con của Mạ Ta gọi hạch của tập E là giao của tất cả các ideal cực đại xác định từ các điểm của E Hạch của E ký hiệu là ker Œ ) Như vậy
Ker(B)={fe A: fp=0}= () {£eA: pf) =0}
pee
Vi vay ker (E ) là tập đóng
Tập con E trong Mẹ gọi là một bao nếu E là bao của một ideal nào đó của A Nếu E là một bao thì E là bao của ideal ker(E)
Dễ dàng thấy hợp của hữu hạn các bao là bao, giao của tùy ý các bao là bao Vì vậy tập tất cả các bao có thể xét như họ các tập con đóng của một tôpô nào đó trên Mạ, Tôpô này gọi là tôpô bao — hạch Bao đóng của một tập con F cM, theo tôpô bao - hạch là bao của ideal ker(F) Khi đó : e Mạ không thuộc bao đóng theo tôpô bao - hạch của F © 3 f e A sao cho fip =0 ,o(f)#0
Trang 8§.2.4 B” Đại số giao hoán
1.Bˆ Đại số và định lý Gelfand-Naimark
Chúng ta có một vài tiên để mô tả đại số C(X) các hàm liên tục trên không gian Hausdorff X Trước hết là khái niệm xuất phát từ phép đặt một hàm f với liên hợp phức f cửa nó,
Ta gọi toán tử f —> f từ đại số A vào chính nó là một phép đối hợp nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau : với mọi f,g e A,À e ©
(i) f =f
(ii) (f+g) =f+g`
(iii) (Af) = XỶ
(iv) (£g)*=f.g°
Ta gọi một đại số Banach giao hoán là một BỶ - đại số giao hoán nếu
trên nó có một phép đối hợp thỏa mãn điều kiện || f † ||= || f J|?,f e A
Chúng ta có định lý sau
2.4.1.Định lý ( Gelfand - Naimark )
Cho A là một BỈ - đại số giao hoán Khi đó phép biến đổi Gelfand là
một đẳng cấu giữa A và C(Mạ), hơn nữa
f* =f (fed
Định lý Gelfand — Naimark cho ta mối liên hệ giữa biến đổi Gelfand, đối hợp và liên hợp phức, Để chứng minh định lý 2.4.1 cần một số bổ để
2.4.2.Bổ đề 1 =1
Chứng mỉnh
Trang 92.4.3 BS dé Nếu A là BỶ - đại số giao hoán và f e A thì || Ể |[=||f J|? và || Ý IỊ = ||f || Chứng mỉnh WP =P II= CĐ đŒ 9 |= ff? = If || ta có đẳng thức thứ nhất Mặt khác ||f ||? = || J|=lf” II = IIflƒ và vậy IIf = ILÝ II Bổ đề được chứng minh 244.B6 dé
Cho A là một BẺ đại số giao hoán, Nếu f e A thỏa mãn điểu kiện
f=f! thì || Ê ||= 1 Nếu phần tử g e A thỏa mãn điểu kiện g`= g thì @ là hàm
thực
Chứng minh
Trước hết giả sử f = f Khi đó (f°” = (f)” =f Vì vậy 1 = || Ýf || = || f ||? và tương tự 1 = ||” f' IỊ= l|f “II
Từ đó theo định lý 1.1.2 các phổ o(f)va o(f') déu được chứa trong đĩa đơn vị A Nếu ^ e ơ(f) thì ^ - f không khả nghịch nên TT h > se cũng không
khả nghịch do đó xe o(f!), Vì vậy 1 e o(f) thi] Af=1
Trang 10ch = OD" FON" _ oe o=0 2 n=0 n eA Giả sử g` = g và giả sử f = eŠ Ta có f =e =e*%=f' Theo phân đầu của chứng minh ơ(f) là tập con của đường tròn đơn vị, Bởi vì ơ(f) =f{M„) = cÑMu) nên 8(M,) là số thực Bổ để được chứng minh, Chứng mỉnh định lý 2.4.1
Theo hệ quả của định lý 2.2.3 và bổ để 2.4.3 phép biến đổi Gelfand xác định một đẳng cấu đại số A lên một đại số con  của đại số C(Mạ )
+f va h=ict Khi đó f = g + ¡h hơn nữa 2i f V6i moi f € A, dat g= g=g,h=h’ Vivayf =¢ -ih Sử dụng bổ để 2.4.4 ta nhận được
Công thức này chứng tỏ rằng nếu Ý e  thì Ê liên hợp phức của Ÿ cũng thuộc Â, Bởi vì  chứa các hằng số và phân biệt các điểm của compact Mạ nên theo định lý Stone-Weiefstrass dai số  trùng với C(Ma )
2 Compact hóa
Giả sử S là một không gian tôpô Ký hiệu CB(S) là đại số các hàm phức liên tục, bị chặn trên S Đại số CB(S) là B” đại số giao hoán với chuẩn
Trang 11va phép d6i hgp f° = f
Họ#, các hàm trên S gọi là tự liên hợp nếu f e 5, thì f e Ø,
Họ 5, gọi là phân biệt các điểm nếu mọi s # t thuộc S đêu có f e Z, để
f(s) # f(t)
Khéng gian t6p6 Hausdorff compact X goi là compact hóa của không
gian tôpô S nếu có một đơn ánh liên tục r từ không gian con S lên một không
gian con trù mật +(S) của X, Trong trường hợp này ta đồng nhất s € S véi
1() eX
Định lý sau đây là một ứng dụng của định lý Gelfand — Naimark 2.4.5 Định lý 19
Giả sử S là một không gian tôpô Khi đó tổn tại một song ánh giữa các compact hóa X của không gian S và các đại số con đóng tự liên hợp, phân biệt
các điểm A của CB(S) chứa các hằng số, Đại số A tương ứng với compact hóa
X lập nên từ các hàm thuộc CB(S) có thể thác triển liên tục được lên X
Compact hóa X tương ứng với đại số A là không gian các ideal cực đại của đại số này
Chứng mỉnh
Mỗi compact hóa X của S đặt tương ứng với đại số con A của đại số CB(S) 1A thu hep trên S của đại số C(X) Đại số này chứa các hằng số, tự liên hợp và phân biệt các điểm ( vì X là Hausdorff ),
Ngược lại, nếu A là một đại số con đóng tự liên hợp, phân biệt các điểm của đại số CB(S) chứa các hằng số, Khi đó A là BỈ - đại số con của CB(S), Theo định lý, Gelfand - Naimark đại số A dang cfu, đẳng cự với đại số C(MẠ } Mỗi s e S sinh ra một đồng cấu tác động theo qui luật
Ÿ(ts))=f) ,f 6A
Trang 12Anh xa t từ S vào Mạ là liên tục do phương pháp cho tôpô trên Mạ Vì đại số A phân biệt các điểm không gian S nên + là đơn ánh