TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC.. A.[r]
(1)TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC
A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức:
1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định nói
2) Phương pháp:
a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần:
+ Chứng minh A k với k số
+ Chỉ dấu “=” xẩy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần:
+ Chứng minh A k với k số
+ Chỉ dấu “=” xẩy với giá trị biến
Kí hiệu : A giá trị nhỏ A; max A giá trị lớn A B Các tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức I) Dạng 1: Tam thức bậc hai
Bài tập mẫu :
a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x +
(2)a) A = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 – - A = - x =
b) B = - 5(x
2
+
4
5x) + = - 5(x2
+ 2.x
2 5 +
4 25) +
9 5 =
9
5 - 5(x + 5)2
9
max B =
9
5 x =
2
b) Bài tập mẫu 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm P a > b) Tìm max P a <
Hướng dẫn giải
Ta có: P = a(x2 +
b
a x) + c = a(x + b 2a )2
+ (c -
2
b 4a )
Đặt c -
2
b
4a = k Do (x +
b 2a )2
nên:
a) Nếu a > a(x +
b 2a )2
P k P = k x = -
b 2a
b) Nếu a < a(x +
b 2a )2
P k max P = k x = -
b 2a
(3)đặt 3x - = y A = y2 – 4y + = (y – 2)2 + 1
min A = y = 3x - =
x = 3x - =
1 3x - = - x = -
3
b) B = x -
+ x -
B = x - + x - = B = x - + - x x - + - x = 1 B = (x – 2)(3 – x) x 3
2) Bài tập mẫu 2: Tìm GTNN C =
2
x - x + x - x -
Ta có C =
2
x - x + x - x -
=
2 2
x - x + + x - x x - x + + + x - x
= C = (x2 – x + 1)(2 + x – x2) + x – x2
x2 – x – 0 (x + 1)(x – 2) - x 2
3) Bài tập mẫu 3:
Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| |x-1+4-x| = (1) Và x x x 2 3 x x 3 x = (2)
Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| + = 4 Ta có từ (1) Dấu xảy 1 x
(2) Dấu xảy 2 x
(4)III Dạng 3: Đa thức bậc cao
1) Bài tập mẫu 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2
– 7x)( x2
– 7x + 12) Đặt x2 – 7x + A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36 - 36 Min A = - 36 y = x2
– 7x + = (x – 1)(x – 6) = x = x = 6 b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) +
= (x – y)2
+ (x – 1)2
+
x - y =
x = y = x - =
c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta có C + = (x2
– 2x + 1) + (y2
– 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Đặt x – = a; y – = b
C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a
b 2 +
2
b ) +
2
3b
4 = (a +
b 2)2
+
2
3b 0 Min (C + 3) = hay C = - a = b = x = y = 1
2) Bài tập mẫu 2: Tìm giá trị nhỏ của a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4
Đặt x + = y C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + = 2y4 + 12y2 + A = y = x = - 7
b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 D = x = 3
(5)1 Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN
Bài tập mẫu : Tìm GTNN A =
2
6x - - 9x = 2
- 2
9x - 6x + (3x - 1)
Vì (3x – 1)
2
(3x – 1)2
+ 2
1 2
(3x - 1) 4 (3x - 1) 4
A -
1
min A =
-1
2 3x – = x =
1
2 Phân thức có mẫu bình phương nhị thức:
a) Bài tập mẫu 1:
Tìm GTNN A =
2
3x - 8x + x - 2x +
+) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu
A =
2
2 2
3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) +
=
x - 2x + (x - 1) x - (x - 1) Đặt y =
1
x - 1 Thì
A = – 2y + y2 = (y – 1)2 + A = y =
1
x - 1 = x = 2 +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm
A =
2 2
2 2
3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2)
= 2
x - 2x + (x - 1) (x - 1)
(6)b) Bài tập mẫu 2
: Tìm GTLN B =
x
x 20x + 100
Ta có B = 2
x x
x 20x + 100(x + 10) Đặt y =
1
x + 10 x =
10 y thì
B = (
10 y ).y2
= - 10y2 + y = - 10(y2 – 2.y
1 20y +
1 400 ) +
1
40 = - 10
2 y - 10 + 40 40
Max B =
1
40
1 y -
10 = y =
1
10 x = 10
c) Bài tập mẫu 3: Tìm GTNN C =
2
2
x + y x + 2xy + y
Ta có: C =
2
2 2
2 2
1
(x + y) (x - y)
x + y 2 1 (x - y)
x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y)
A =
1
2 x = y 3 Các phân thức có dạng khác:
a)Bài tập mẫu : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A =
2
3 - 4x
x 1
Ta có: A =
2 2
2 2
3 - 4x (4x 4x 4) (x 1) (x - 2)
1
x x x
A = - x = 2
Ta lại có: A =
2 2
2 2
3 - 4x (4x 4) (4x + 4x + 1) (2x 1)
4
x x x
max A = x =
1
(7)Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1)
a) Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai
Từ x + y = x = – y
nên A = (1 – y)2
+ y2 = 2(y2 – y) + = 2(y2 – 2.y
1 +
1 4) +
1 2 = 2
2
1 1
y - +
2 2
Vậy A =
1
2 x = y =
1
b) Cách 2: Sử dụng đk cho, làm xuất biểu thức có chứa A
Từ x + y = x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2 x2
– 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:
2(x
2
+ y2) x2
+ y2
1
2 A =
1
2 x = y =
1
2)Bài tập mẫu 2: Cho x + y + z = 3
a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN B = xy + yz + xz
Từ Cho x + y + z = Cho (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1)
Ta có x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx = 21 ( x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz
– zx)
= 12
2 2
(x y) (x z) (y z)
x ❑2
(8)a) Từ (1) (2) suy
9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) x2
+ y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2) x2
+ y2
+ z2
A = x = y = z = 1 b) Từ (1) (2) suy
= x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx) xy+ yz + zx max B = x = y = z = 1
3) Bài tập mẫu 3: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > x + y + z =
Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Cơsi ta có: x+ y + z
3
3 xyz
1
3 27
xyz xyz
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có
x y y z z x 33x y y z x z 3 3x y y z z x
Dấu xảy x = y = z =
1
3 S
8
27 27 729
Vậy S có giá trị lớn
8
729 x = y = z =
4) Bài tập mẫu 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ
4 4
x y z
Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z)
Ta có
2
2 2 2 2
xy yz zx x y z 1x2y2z22
(9)áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho (x y z2, ,2 2) (1,1,1)
Ta có
2 2 2 2 4 2 2 4
(x y z ) (1 1 1 )(x y z ) (x y z ) 3(x y z )
Từ (1) (2) 3( x4y4z4)
4 4
3
x y z
Vậy
4 4
x y z có giá trị nhỏ
1
3 x= y = z = 3
D Một số ý:
1) Khi tìm GTNN, GTLN ta đổi biến
Bài tập mẫu : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y A = (y + 1)2
+ (y – 1)2
= 2y2
+ 2…
2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta thay đk biểu thức đạt cực trị đk tương đương biểu thức khác đạt cực trị:
+) -A lớn A nhỏ ;
+)
1
Blớn B nhỏ (với B > 0) +) C lớn C2 lớn
Bài tập mẫu: Tìm cực trị A =
4 2
x + x +
a) Ta có A > nên A nhỏ
1
(10) 2 2
4
x +
1 2x
1
A x + x + 1
1
A = x = max A = x = 0 b) Ta có (x2 – 1)2 x4
- 2x2 + x4
+ 2x2
(Dấu xẩy x2 = 1)
Vì x4 + >
2
2x
x +
2
2x
1 1
x +
max
1
A = x2
=
A =
1
2 x = 1
3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức khoảng biến, sau so sámh cực trị đó để để tìm GTNN, GTLN tồn tập xác định biến
Bài tập mẫu: Tìm GTLN B = y - (x + y) a) xét x + y 4
- Nếu x = A = - Nếu y 3 A 3 - Nếu y = x = A =
b) xét x + y A 0
So sánh giá trị A, ta thấy max A = x = 0; y = 4) Sử dụng bất đẳng thức:
Bài tập mẫu: Tìm GTLN A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52 Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2 (a2
+ b2)(x2 + y2) cho số 2, x , 3, y ta có: (2x + 3y)2 (22
+ 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 2x + 3y 26
Max A = 26
x y
=
2
y =
3x x2
+ y2
= x2
+ 3x
= 52 13x2
(11)Vậy: Ma x A = 26 x = 4; y = x = - 4; y = -
5) Hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn chúng nhau
Hai số có tích khơng đổi tổng chúng lớn chúng nhau
a)Bài tập mẫu 1: Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)
Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khơng đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn x2 – 3x + = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 = x = x = -
Khi A = 11 11 = 121 Max A = 121 x = x = - 2
b) Bài tập mẫu 2:
Tìm GTNN B =
(x + 4)(x + 9) x
Ta có: B =
2
(x + 4)(x + 9) x 13x + 36 36 x + 13
x x x
Vì số x
36
x có tích x. 36
x = 36 không đổi nên
36 x +
x nhỏ x =
36
x x = 6
A =
36
x + 13
x nhỏ A = 25 x = 6
6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức chứ không cần giá trị để xẩy đẳng thức
Bài tập mẫu: Tìm GTNN A =
m n
11
Ta thấy 11m tận 1, 5n tận
(12)khi m = 2; n = thÌ A = 121 124 = A = 4, chẳng hạn m = 2, n =
(13)Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/
Email: info@123doc.org
Đặt online biểu mẫu:
: