Tài liệu tham khảo môn Toán Đại số và Hình học

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC.. A.[r]

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC

A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức:

1) Khái niệm: Nếu với giá trị biến thuộc khoảng xác định mà giá trị biểu thức A luôn lớn (nhỏ bằng) số k tồn giá trị biến để A có giá trị k k gọi giá trị nhỏ (giá trị lớn nhất) biểu thức A ứng với giá trị biến thuộc khoảng xác định nói

2) Phương pháp:

a) Để tìm giá trị nhỏ A, ta cần:

+ Chứng minh A  k với k số

+ Chỉ dấu “=” xẩy với giá trị biến b) Để tìm giá trị lớn A, ta cần:

+ Chứng minh A  k với k số

+ Chỉ dấu “=” xẩy với giá trị biến

Kí hiệu : A giá trị nhỏ A; max A giá trị lớn A B Các tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức I) Dạng 1: Tam thức bậc hai

Bài tập mẫu :

a) Tìm giá trị nhỏ A = 2x2 – 8x + b) Tìm giá trị lớn B = -5x2 – 4x +

a) A = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 –  - A = -  x =

b) B = - 5(x

2

+

4

5x) + = - 5(x2

+ 2.x

2 5 +

4 25) +

9 5 =

9

5 - 5(x + 5)2

9

max B =

9

5  x =

2 

b) Bài tập mẫu 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x2 + bx + c a) Tìm P a > b) Tìm max P a <

Hướng dẫn giải

Ta có: P = a(x2 +

b

a x) + c = a(x + b 2a )2

+ (c -

2

b 4a )

Đặt c -

2

b

4a = k Do (x +

b 2a )2

nên:

a) Nếu a > a(x +

b 2a )2

P  k  P = k  x = -

b 2a

b) Nếu a < a(x +

b 2a )2

P  k  max P = k  x = -

b 2a

đặt 3x - = y A = y2 – 4y + = (y – 2)2 +  1

min A =  y =  3x - = 

x = 3x - =

1 3x - = - x = -

3 

 



 





b) B = x -

+ x -

B = x - + x - = B = x - + - x  x - + - x = 1  B =  (x – 2)(3 – x)    x  3

2) Bài tập mẫu 2: Tìm GTNN C =

2

x - x +  x - x -

Ta có C =

2

x - x +  x - x -

=

2 2

x - x +  + x - x x - x + + + x - x

= C =  (x2 – x + 1)(2 + x – x2)   + x – x2

 x2 – x –  0  (x + 1)(x – 2)   - x 2 

3) Bài tập mẫu 3:

Tìm giá trị nhỏ : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x|  |x-1+4-x| = (1) Và x  x  x 2 3 x  x 3  x = (2)

Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|  + = 4 Ta có từ (1)  Dấu xảy 1 x

(2)  Dấu xảy 2 x

III Dạng 3: Đa thức bậc cao

1) Bài tập mẫu 1: Tìm giá trị nhỏ a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x2

– 7x)( x2

– 7x + 12) Đặt x2 – 7x + A = (y – 6)(y + 6) = y2 – 36  - 36 Min A = - 36  y =  x2

– 7x + =  (x – 1)(x – 6) =  x = x = 6 b) B = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + = (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) +

= (x – y)2

+ (x – 1)2

+  

x - y =

x = y = x - =



 



c) C = x2 + xy + y2 – 3x – 3y = x2 – 2x + y2 – 2y + xy – x – y Ta có C + = (x2

– 2x + 1) + (y2

– 2y + 1) + (xy – x – y + 1) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) Đặt x – = a; y – = b

C + = a2 + b2 + ab = (a2 + 2.a

b 2 +

2

b ) +

2

3b

4 = (a +

b 2)2

+

2

3b  0 Min (C + 3) = hay C = -  a = b =  x = y = 1

2) Bài tập mẫu 2: Tìm giá trị nhỏ của a) C = (x + 8)4 + (x + 6)4

Đặt x + = y  C = (y + 1)4 + (y – 1)4 = y4 + 4y3 + 6y2 + 4y + + y4 - 4y3 + 6y2 - 4y + = 2y4 + 12y2 +   A =  y =  x = - 7

b) D = x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + = (x4 – 6x3 + 9x2 ) + (x2 – 6x + 9) = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2  D =  x = 3

1 Phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai: Biểu thức dạng đạt GTNN mẫu đạt GTLN

Bài tập mẫu : Tìm GTNN A =

2

6x - - 9x = 2

- 2

9x - 6x + (3x - 1)  



Vì (3x – 1)

2

 (3x – 1)2

+   2

1 2

(3x - 1) 4 (3x - 1) 4

 

  

   A  -

1

min A =

-1

2  3x – =  x =

1

2 Phân thức có mẫu bình phương nhị thức:

a) Bài tập mẫu 1:

Tìm GTNN A =

2

3x - 8x + x - 2x +

+) Cách 1: Tách tử thành nhóm có nhân tử chung với mẫu

A =

2

2 2

3x - 8x + 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) +

=

x - 2x + (x - 1)   x - (x - 1) Đặt y =

1

x - 1 Thì

A = – 2y + y2 = (y – 1)2 +   A =  y = 

1

x - 1 =  x = 2 +) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng số với phân thức không âm

A =

2 2

2 2

3x - 8x + 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2)

= 2

x - 2x + (x - 1)  (x - 1) 

b) Bài tập mẫu 2

: Tìm GTLN B =

x

x 20x + 100

Ta có B = 2

x x

x 20x + 100(x + 10) Đặt y =

1

x + 10  x =

10 y thì

B = (

10 y ).y2

= - 10y2 + y = - 10(y2 – 2.y

1 20y +

1 400 ) +

1

40 = - 10

2 y - 10       + 40  40

Max B =

1

40 

1 y -

10 =  y =

1

10  x = 10

c) Bài tập mẫu 3: Tìm GTNN C =

2

2

x + y x + 2xy + y

Ta có: C =

2

2 2

2 2

1

(x + y) (x - y)

x + y 2 1 (x - y)

x + 2xy + y (x + y) 2 (x + y)

  

 

   

 A =

1

2  x = y 3 Các phân thức có dạng khác:

a)Bài tập mẫu : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) A =

2

3 - 4x

x 1

Ta có: A =

2 2

2 2

3 - 4x (4x 4x 4) (x 1) (x - 2)

1

x x x

   

   

    A = -  x = 2

Ta lại có: A =

2 2

2 2

3 - 4x (4x 4) (4x + 4x + 1) (2x 1)

4

x x x

  

   

    max A =  x =

1 

Ta có A = (x + y)(x2 – xy + y2) + xy = x2 + y2 (vì x + y = 1)

a) Cách 1: Biểu thị ẩn qua ẩn kia, đưa tam thức bậc hai

Từ x + y =  x = – y

nên A = (1 – y)2

+ y2 = 2(y2 – y) + = 2(y2 – 2.y

1 +

1 4) +

1 2 = 2

2

1 1

y - +

2 2

 



 

 

Vậy A =

1

2  x = y =

1

b) Cách 2: Sử dụng đk cho, làm xuất biểu thức có chứa A

Từ x + y =  x2 + 2xy + y2 = 1(1) Mặt khác (x – y)2  x2

– 2xy + y2 (2) Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:

2(x

2

+ y2)   x2

+ y2

1

2  A =

1

2  x = y =

1

2)Bài tập mẫu 2: Cho x + y + z = 3

a) Tìm GTNN A = x2 + y2 + z2 b) Tìm GTLN B = xy + yz + xz

Từ Cho x + y + z =  Cho (x + y + z)2 =  x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = (1)

Ta có x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz – zx = 21 ( x ❑2 + y ❑2 + z ❑2 - xy – yz

– zx)

= 12

2 2

(x y) (x z) (y z)

      

    x ❑2

a) Từ (1) (2) suy

9 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz)  x2

+ y2 + z2 + 2(x2 + y2 + z2) = 3(x2 + y2 + z2)  x2

+ y2

+ z2

 A =  x = y = z = 1 b) Từ (1) (2) suy

= x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz)  xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)  xy+ yz + zx   max B =  x = y = z = 1

3) Bài tập mẫu 3: Tìm giá trị lớn S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > x + y + z =

Vì x,y,z > ,áp dụng BĐT Cơsi ta có: x+ y + z

3

3 xyz



1

3 27

xyz xyz

   

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có

x y   y z   z x  33x y   y z   x z   3 3x y   y z   z x 

Dấu xảy x = y = z =

1

3  S 

8

27 27 729

Vậy S có giá trị lớn

8

729 x = y = z =

4) Bài tập mẫu 4: Cho xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ

4 4

x y z

Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho số (x,y,z) ;(x,y,z)

Ta có    

2

2 2 2 2

xy yz zx   x y z  1x2y2z22

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho (x y z2, ,2 2) (1,1,1)

Ta có

2 2 2 2 4 2 2 4

(x y z ) (1 1 1 )(x y z ) (x y z ) 3(x y z )

Từ (1) (2)  3( x4y4z4)

4 4

3

x y z

   

Vậy

4 4

x y z có giá trị nhỏ

1

3 x= y = z = 3 

D Một số ý:

1) Khi tìm GTNN, GTLN ta đổi biến

Bài tập mẫu : Khi tìm GTNN A =(x – 1)2 + (x – 3)2 , ta đặt x – = y A = (y + 1)2

+ (y – 1)2

= 2y2

+  2…

2) Khi tìm cực trị biểu thức, ta thay đk biểu thức đạt cực trị đk tương đương biểu thức khác đạt cực trị:

+) -A lớn  A nhỏ ;

+)

1

Blớn  B nhỏ (với B > 0) +) C lớn  C2 lớn

Bài tập mẫu: Tìm cực trị A =  

4 2

x + x +

a) Ta có A > nên A nhỏ

1

 2 2

4

x +

1 2x

1

A  x +  x + 1 

1

A =  x =  max A =  x = 0 b) Ta có (x2 – 1)2  x4

- 2x2 +   x4

+  2x2

(Dấu xẩy x2 = 1)

Vì x4 + > 

2

2x

x +  

2

2x

1 1

x +

   

 max

1

A =  x2

=

 A =

1

2  x = 1

3) Nhiều ta tìm cực trị biểu thức khoảng biến, sau so sámh cực trị đó để để tìm GTNN, GTLN tồn tập xác định biến

Bài tập mẫu: Tìm GTLN B = y - (x + y) a) xét x + y  4

- Nếu x = A = - Nếu y 3  A  3 - Nếu y = x = A =

b) xét x + y  A  0

So sánh giá trị A, ta thấy max A =  x = 0; y = 4) Sử dụng bất đẳng thức:

Bài tập mẫu: Tìm GTLN A = 2x + 3y biết x2 + y2 = 52 Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by)2 (a2

+ b2)(x2 + y2) cho số 2, x , 3, y ta có: (2x + 3y)2 (22

+ 32)(x2 + y2) = (4 + 9).52 = 262 2x + 3y  26

Max A = 26

x y

=

2



 y =

3x  x2

+ y2

= x2

+ 3x    

  = 52  13x2

Vậy: Ma x A = 26  x = 4; y = x = - 4; y = -

5) Hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn chúng nhau

Hai số có tích khơng đổi tổng chúng lớn chúng nhau

a)Bài tập mẫu 1: Tìm GTLN A = (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2)

Vì (x2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x2) = 22 khơng đổi nên tích (x2 – 3x + 1)(21 + 3x – x2) lớn x2 – 3x + = 21 + 3x – x2 x2 – 3x – 10 =  x = x = -

Khi A = 11 11 = 121  Max A = 121  x = x = - 2

b) Bài tập mẫu 2:

Tìm GTNN B =

(x + 4)(x + 9) x

Ta có: B =

2

(x + 4)(x + 9) x 13x + 36 36 x + 13

x x x



  

Vì số x

36

x có tích x. 36

x = 36 không đổi nên

36 x +

x nhỏ  x =

36

x  x = 6

 A =

36

x + 13

x  nhỏ A = 25  x = 6

6)Trong tìm cực trị cần tồn giá trị biến để xẩy đẳng thức chứ không cần giá trị để xẩy đẳng thức

Bài tập mẫu: Tìm GTNN A =

m n

11 

Ta thấy 11m tận 1, 5n tận

khi m = 2; n = thÌ A = 121 124 =  A = 4, chẳng hạn m = 2, n =

Bộ phận bán hàng: 0918.972.605(Zalo)

Đặt mua tại: https://xuctu.com/

FB: facebook.com/xuctu.book/

Email: info@123doc.org

Đặt online biểu mẫu:

: