Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện mỗi ngày cày được 52 ha, vì vậy đội không những cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm được 4 ha nữa. Họ làm chung với[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ:
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH LỚP */ Bước 1: Lập hệ phương trình, bao gồm:
- Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn số đại lượng biết - Từ lập hệ phương trình biểu diễn tương quan đại lượng
*/ Bước 2: Giải hệ phương trình:
Giải hệ phương trình vừa lập
*/ Bước 3: Trả lời:
Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không trả lời
Chú ý: Tuỳ tập cụ thể mà ta lập phương trình bậc ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai.
Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế
Dạng 1: Toán quan hệ số.
Những kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số : ab10ab ( víi 0<a9; 0 b 9;a, bN)
+ Biểu diễn số có ba chữ số : abc100a 10b c ( víi 0<a9; 0b,c9;a, b, cN)
+ Tổng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2
+ Bình phương tổng hai số x, y là: (x + y)2.
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là:
1 xy.
Ví dụ 1:
Một số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị phân số
1
2 phân số cho Tìm phân số đó?
Giải:
Gọi tử số phân số x (đk: x3)
Mẫu số phân số x + Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị
Tử số x +
Mẫu số x + + = x + Được phân số
1
2 ta có phương trình
x 1 x
2(x 1) x
x 2( Thoả mÃn điều kiện toán)
Vy phõn s ban u ó cho
Ví dụ 2:
Tổng chữ số số có hai chữ số Nếu thêm vào số 63 đơn vị số thu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại Hãy tìm số đó?
Giải:
(2)Chữ số hàng đơn vị y (0<y9, yN)
Vì tổng chữ số ta có x + y = (1) Số xy10xy
Số viết ngược lại yx10yx
Vì thêm vào số 63 đơn vị số viết theo thứ tự ngược lại ta có
xy 63 yx 10x y 63 10y x 9x 9y 63(2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
x y x y 2x
9x 9y 63 x y x y
x
(thoả mÃn điều kiÖn) y
Vậy số phải tìm 18
Ví dụ 3:
Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương 85
Giải :
Gọi số bé x (xN) Số tự nhiên kề sau x +
Vì tổng bình phương 85 nên ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85
2 2
2
2
x x 2x 85 2x 2x 84 x x 42
b 4ac 4.1.( 42) 169 169 13
Phương trình có hai nghiệm
1
2
1 13
x 6(tho¶ m·n ®iỊu kiƯn)
1 13
x 7(lo¹i)
2
Vậy hai số phải tìm
Ví dụ 4:
Tìm hai số biết tổng 19 tổng bình phương chúng 185
Lời Giải:
Gọi số thứ x, (0< x<19) Ta có số thứ hai ( 19 – x)
Vì tổng bình phương chúng 185 ta có phương trình: x2 + ( 19 – x)2 =
185
Giải PTBH: x2 - 19x + 88 = được: x
1= 11, x2 =
Vậy hai số phải tìm 11
-Ví dụ 5:
Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị nhỏ chữ số hàng chục tích hai chữ số ln lớn tổng hai chữ số 34
Lời Giải:
Gọi chữ số phải tìm ab; a,b 9, a #
Vì chữ số hàng đơn vị nhỏ chữ số hàng chục ta có phương trình: a – b =
(3)Theo ta có hệ phương trình:
34 ) (
2
b a b a
b a
Giải hệ phương trình ta :
b a Vậy số phải tìm 86
-Ví dụ 6:
Trong dịp kỷ niệm 57 năm ngày thành lập nước CHXHCN Việt Nam 180 học sinh điều thăm quan diễu hành, người ta tính Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số học sinh phải điều động dùng loại xe nhỏ Biết ngế ngồi học sinh xe lớn nhiều xe nhỏ 15 chỗ ngồi Tính số xe lớn, loại xe huy động
Lời Giải:
Gọi số Xe lớn x ( chiếc), x nguyên dương Ta có số Xe nhỏ là: x +
Ta có số hoc sinh Xe lớn chở là: x
180
( HS) Ta có số hoc sinh Xe nhỏ chở là:
180
x ( tấn).
Vì Xe lớn chở số học sinh nhiều số Xe nhỏ 15 học sịnh ta có phương trình:
x
180
- 180
x = 15 ; Giải phương trình ta x = 4; Vậy số Xe lớn
-Ví dụ 7:
Một đội xe phải chở 168 thóc Nếu tăng thêm xe chở thêm 12 thóc xe xhở nhẹ lúc đầu Hỏi lúc đầu đội có xe
Lời Giải:
Gọi số Xe lúc đầu lúc đầu đội x ( chiếc), x nguyên dương Số thóc lúc đầu xe phải chở : x
168
( tấn) Số Xe sau tăng thêm xe là: ( x + ), ( Chiếc)
Sau tăng số xe thêm , số thóc thêm 12 số thóc xe cần phải chở là:
6 12 168
x (tấn).
Vì số thóc xe chở nhẹ sau tăng số xe thêm 12 ta có phương trình:
x
168
- 12 168
x = 1; Giải PTBH: x2 + 2x – 24 = ta được: x = 24;
Vậy số xe lúc đầu đội 24 Xe
(4)
Một phịng họp có 360 Ghế ngồi xếp thành dãy số Ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm số Ghế dãy tăng thêm 1, phịng có 400 Ghế Hỏi phịng họp có dãy Ghế, dãy có ghế
Lời Giải:
Gọi số dãy ghế phòng học x ( dãy), x nguyên dương Ta có số người dãy là: x
360
người Số dãy ghế sau tăng thêm dãy là: ( x + 1) Số người sau tăng thêm người dãy là: x
360
+
Vì sau tăng số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm 1, phịng có 400 Ghế ta có phương trình: ( x + 1) ( x
360
+ 1) = 400; Giải PTBH ta : x1 =
15, x2 = 24
Vậy số dãy 15 số ghế dãy 24…
-Ví dụ 9:
Cho số có hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần, thêm 25 vào tích hai chữ số số theo thứ tự ngược lạivới số đẵ cho
Lời Giải:
Gọi chữ số phải tìm xy; x, y nguyên dương, x,y 9, x#
Vì tổng hai chữ số nhỏ số lần ta có phương trình: ( x + y ) = xy Vì thêm 25 vào tích hai chữ số số theo thứ tự ngược lạivới số đẵ cho ta có phương trình: xy + 25 = yx
Theo ta có hệ phương trình:
yx xy
xy y x
25 ) (
; Giải hệ phương trình ta
y x Vậy số phải tìm 54
-Bài tập:
Bài 1: Đem số nhân với trừ 50 Hỏi số bao nhiêu? Bài 2: Tổng hai số 51 Tìm hai số biết
2
5 số thứ
6 số thứ hai
Bài 3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số Nếu đổi chỗ hai
chữ số hàng đơn vị hàng chụccho số giảm 45 đơn vị
Bài 4: Tìm hai số đơn vị tích chúng 150.
Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết số lập phương số tạo chữ số
hàng vạn chữ số hàng nghìn số cho theo thứ tự
Đáp số:
Bài 1: Số 19;
Bài 2: Hai số 15 36 Bài 3: Số 61
(5)Dạng 2: Toán chuyển động
Những kiến thức cần nhớ:
Nếu gọi quảng đường S; Vận tốc v; thời gian t thì: S = v.t;
s s
v ; t
t v
Gọi vận tốc thực ca nơ v1 vận tốc dịng nước v2 vận tốc ca nơ xi
dòng nước v = v1 + v2 Vân tốc ca nơ ngược dịng v = v1 - v2 Ví dụ 1:
Xe máy thứ quảng đường từ Hà Nội Thái Bình hết 20 phút Xe máy thứ hai hết 40 phút Mỗi xe máy thứ nhanh xe máy thứ hai km Tính vận tốc xe máy quảng đường từ Hà Nội đến Thái Bình?
Giải:
Gọi vận tốc x thứ x (km/h), đk: x>3; Vận tốc xe tứ hai x - (km/h)
Trong 20 phút (=
10
3 giờ) xe máy thứ 10
x(km)
Trong 40 phút (=
11
3 giờ) xe máy thứ 11
(x 3)(km)
Đó quảng đường tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phương trình
10 11
x (x 3) x 33
3 3 (thoả mãn điều kiện toán)
Vậy vận tốc xe máy thứ 33 km/h Vận tốc xe máy thứ hai 30 km/h Quảng đường từ Hà Nội đến Thái Bình 110 km
Ví dụ 2:
Đoạn đường AB dài 180 km Cùng lúc xe máy từ A ô tô từ B xe máy gặp ô tô C cách A 80 km Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút chúng gặp D cách A 60 km Tính vận tốc ô tô xe máy ?
Giải
Gọi vận tốc ô tô x (km/h), đk: x > Gọi vận tốc xe máylà y(km/h), đk: y > Thời gian xe máy để gặp ô tô
80 y (giờ)
Quảng đường ô tô 100 km nên thời gian ô tô
100 y (giờ)
ta có phương trình
100 80 x y (1)
Quảng đường xe máy 60 km nên thời gian xe máy
60 y (giờ)
Quảng đường ô tô lag 120 km nên thời gian ô tô
(6)Vì tơ trước xe máy 54 phút =
9
10nên ta có phương trình 120 60
(2) x y 10 .
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
100 80 100 80
x y x y
120 60 40 20 x y 10 x y 10
100 80 60 12
0
x y x 10 x 50
(tho¶ m·n ®iỊu kiƯn) 100 80
160 80 12 y 40
0
x y
x y 10
Vậy vận tốc ô tô 50 km/h Vận tốc xe máy 40 km/h
Ví dụ 3:
Một ô tô quảng đường dai 520 km Khi 240 km tơ tăng vận tốc thêm 10 km/h hết quảng đường cịn lại T ính vận tốc ban đầu ô tô biết thời gian hết quảng đường
Giải:
Gọi vận tốc ban đầu ô tô x (km/h), đk: x>0 Vận tốc lúc sau ô tô x+10 (km/h)
Thời gian ô tô hết quảng đường đầu
240 x (giờ)
Thời gian ô tô hết quảng đường đầu
280
x 10 (giờ)
Vì thời gian tơ hết quảng đường nên ta có phương trình
2
240 280
8 x 55x 300 x x 10
2
b 4ac ( 55) 4.( 300) 4225 4225 65
Phương trình có hai nghiệm
1
55 65 55 65
x 60(TMDK);x 5(loai)
2
Vậy vận tốc ban đầu tơ 60 km/h
Ví dụ 4:
Một Thuyền khởi hành từ bến sông A, sau 20 phút Ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền cách bến A 20 km Hỏi vận tốc thuyền, biết Ca nô chạy nhanh Thuyền 12 km/h
Lời Giải
Gọi vận tốc của Thuyền x ( km/h).(x> 0). Ta có vận tốc Ca nô x + 12 (km/h)
Thời gian Thuyền hết quãng đường 20 km là: x
20
(7)Thời gian Ca nô hết quãng đường 20 km là: 12 20
x ( h).
Vì sau 20 phút Ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền cách bến A 20 km, ta có phương trình: x
20
- 12 20
x = 16
; giải PTBH x2 + 12x – 45 =0 ta x = (TM).
Vậy vận tốc Ca nô 15 km/h
-Ví dụ 5:
Quãng đường AB dài 270 km Hai Ơ tơ khởi hành lúc từ A đến B Ơ tơ thứ chạy nhanh Ơ tơ thứ hai 12 km/h, nên đến trước Ơ tơ thứ hai 40 phút Tính vận tốc Ơ tơ
Lời Giải
Gọi vận tốc Ơ tơ thứ x ( km/h).(x> 12). Ta có vận tốc Ơ tơ thứ hai x - 12 (km/h)
Thời gian Ơ tơ thứ hết quãng đường AB là: x
270
( h) Thời gian Ơ tơ thứ hai hết quãng đường AB là: 12
270
x ( h).
Vì hai Ơ tơ xuất phát Ơ tơ thứ đến B trước Ơ tơ thứ hai 40 P nên ta có PT: 12
270
x - x
270
=
Giải PTBH ta x= 6+12 34
Vậy vận tốc Ơ tơ thứ 6+12 34 km/h, Ơ tơ thứ hai 12 34- km/h
-Ví dụ 6:
Một Tàu thuỷ chạy khúc sông dài 80 km, 20 phút Tính vận tốc Tàu thuỷ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước km/h
Lời Giải
Gọi vận tốc Tàu thuỷ nước yên lặng x ( km/h).(x> 4). Vận tốc Tàu thuỷ xuôi dòng: x + ( km/h)
Vận tốc Tàu thuỷ ngược dòng: x - ( km/h) Thời gian Tàu thuỷ xi dịng là:
80
x (h), Thời gian Tàu thuỷ ngược dòng là:
4 80
x (h).
Vì tổng thời gian xi dòng ngược dòng 20 phút đo ta có phương trình:
4 80
x + 80
x = 25
Giải PTBH: được: x = 20 (TM)
Vậy vận tốc Tàu thuỷ nước yên lặng là: 20 km/h
(8)
Hai Ơ tơ khởi hành lúc từ địa điểm A đến địa điểm B dài 240 km Mỗi Ơ tơ thứ chạy chanh Ơ tơ thứ hai 12 km/h nên đến địa điểm B trước Ơ tơ thứ hai 100 phút Tính vận tốc Ơ tơ
Lời Giải
Gọi vận tốc Ơ tơ thứ hai x ( km/h).(x> 0). Ta có vận tốc Ơ tô thứ x + 12 km/h Thời gian Ô tô thứ hai hết quãng đường AB là: x
240
( h) Thời gian Ô tô thứ hết quãng đường AB là: 12
240
x ( h).
Vì Ô tô thứ đến địa điểm B trước Ô tơ thứ hai 100 phút ta có PT: x
240
- 12 240
x = 3
Giải PTBH ta x= 36
Vậy vận tốc Ơ tơ thứ 48 km/h, Ơ tơ thứ hai 36 km/h
-Ví dụ 8:
Một Ca nơ xi dịng 42 km ngước dòng trở lại 20 km hết tổng cộng Biết vận tốc dịng chảy km/h Tính vận tốc Ca nơ lúc dịng nước n lặng
Lời Giải
Gọi vận tốc Ca nô nước yên lặng x ( km/h).(x> 2). Vận tốc Ca nơ xi dịng: x + ( km/h)
Vận tốc Ca nô xuôi dịng: x - ( km/h) Thời gian Ca nơ xi dịng là:
42
x (h). Thời gian Ca nơ ngược dịng là:
20
x (h).
Vì tổng thời gian xi dịng ngược dịng ta có phương trình:
2 42
x + 20
x = 5.
Giải PTBH: 5x2 - 62x + 24 = ta được: x = 12 (TM)
Vậy vận tốc Ca nô nước yên lặng là: 12 km/h
-Ví dụ 9:
Hai người xe đạp xuất phát lúc từ A đến B dài 30 km, vận tốc họ km/h nên đến B sớm muộn 30 phút Tính vận tốc người
Lời Giải
Gọi vận tốc người chậm x ( km/h).(x> 0). Ta có vận tốc người nhanh x + (km/h) Thời gian người nhanh từ A đến B
30
x (h). Thời gian người chậm từ A đến B x
30
(h) Vì hai người đến B sớm, muộn 30 phút ta có phương trình: x
30
- 30
(9)Giải PTBH: x2 + 3x – 180 = ta x = 12 ( TM)
Vậy vận tốc người nhanh 15km/h, vận tốc người chậm là:12 km/h
-Ví dụ 10:
Một người từ tỉnh A đến tỉnh B cách 78 km sau người thứ hai từ tỉnh B đến tỉnh A hai người gặp địa điểm C cách B 36 km Tính thời gian người từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc người thứ hai lớn vận tốc người thứ km/h
Lời Giải
Gọi vận tốc người từ A x ( km/h).(x> 0).
Thời gian người từ A, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp là: x
42
(h) Vận tốc người từ B x + ( km/h).
Thời gian người từ B, tính từ lúc khởi hành đến lúc gặp là: 36
x (h).
Vì hai người gặp C, người thứ hai sau người thứ ta có phương trình:
x
42
- 36
x =1;
Giải PTBH: x2 - 2x – 168 = ta x= 14 (TM).
Vậy thời gian người từ A từ lúc khởi hành đến lúc gặp là: thời gian người từ B từ lúc khởi hành đến lúc gặp là:
-Ví dụ 11:
Quãng đường AB dài 120 km Hai Ơ tơ khởi hành lúc từ A đến B,Ơ tơ thứ chạy nhanh Ơ tơ thứ hai 10 km/h nên đến B trước Ơ tơ thứ hai 24 phút Tính vận tốc xe
Lời Giải
Gọi vận tốc Ơ tơ thứ x ( km/h).(x> 0). Ta có vận tốc Ơ tơ thứ hai x – 10 ( km/h)
`Thời gian Ô tô thứ hết quãng đường AB là: x
120
( h) Thời gian Ơ tơ thứ hai hết quãng đường AB là: 10
120
x ( h).
Vì Ơ tơ thứ chạy nhanh Ơ tơ thứ hai 10 km/h nên đến B trước Ơ tơ thứ hai 24 phút ta có phương trình: 10
120
x - x
120
=5
Giải PT BH: x2 - 10x – 300 = ta x= 60 (TM)
Vậy vận tốc Ơ tơ thứ : 60 km/h Vận tốc Ô tô thứ hai : 50 km/h
-Ví dụ 12:
(10)đến B muộn dự định Tính vận tốc, thời gian dự định độ dài quãng đường AB
Lời Giải :
Gọi vận tốc dự định từ A đến B người x ( km/h).(x> 0) Gọi thời gian dự định từ A đến B người y (h).(y> 0) Ta có độ dài quãng đường AB x.y
Vì người tăng vận tốc thêm 10 km/h đến B sớm dự định ta có PT (1): (x + 10).(y-1) =xy
Vì người giảm vận tốc 10 km/h đến B muộn dự định ta có PT (2) (x - 10).(y+2) =xy
Theo ta có hệ phương trình: xy y x xy y x ) )( 10 ( ) )( 10 ( ; giải hệ phương trình ta
30 y x
Vậy vân tốc dự định 30 km/h, thời gian dự định giờ, Quãng đường AB 120 km
-Ví dụ 13:
Một Ca nơ xi dịng km ngược dòng 1km hết tất 3,5 phút Nếu Ca nơ xi 20 km ngược 15 km hết Tính vận tốc dịng nước vận tốc riêng Ca nô
Lời Giải :
Gọi vận tốc riêng Ca nô x ( km/p), ( x> 0)
Gọi vận tốc riêng dòng nước y ; ( km/p), ( y> 0) ; (x> y)
Ta có vận tốc Ca nơ xi dịng x+ y ( km/phút), ngược dòng x – y ( km/phút)
Thời gian Ca nơ xi dịng km x y
1
( P ) Thời gian Ca nô ngược dòng km x y
1
( P )
Vì tổng thời gian xi dịng km ngược dịng 1km hết tất 3,5 phút ta có phương trình ( 1) x y
1
+ x y
1
=3,5
Vì tổngthời gian Ca nơ xi dịng 20 km ngược 15 km hết ta có phương trình (2) x y
20
+ x y
15
=60
Theo ta có hệ phương trình:
60 15 20 1 y x y x y x y x
giải hệ phương trình ta 12 / 12 / y x
Vậy vận tốc dòng nước là:1/12 , Vận tốc riêng Ca nô là:7/12
(11)Bạn Hà dự định từ A đến B cách 120 km thời gian đẵ định Sau giờ, Hà nghỉ 10 phút, để đến B hẹn Hà phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc đầu Hà
Lời Giải :
Gọi vận tốc lúc đầu Hà x, ( km/h), ( x> 0); Thời gian Hà dự định từ A đến B x
120
( giờ);
Sau Hà quãng đường x km, quãng đường lại Hà phải ( 120 – x);
Thời gian Hà quãng đường lại ( 120 – x) 120
x x
( );
Vì đường Hà nghỉ 10 phút, để đến B hẹn Hà phải tăng vận tốc thêm km/h
nên ta có phương trình: x
120
= +
+ 120
x x
, giải PT BH: x2 + 42x – 4320 = ta được: x
1 = 48, x2 = - 90 ( loại )
Vậy vận tốc lúc đầu Hà 48 km/h
-Ví dụ 15:
Hai vật chuyển động đường trịn có đương kính 2m , xuất phát lúc từ điểm Nếu chúng chuyển động chiều 20 giây lại gặp Nếu chúng chuyển động ngược chiều giây lại gặp Tính vận tốc vật
Lời Giải
Gọi vận tốc Vật I x ( m/s).(x> 0).
Gọi vận tốc Vật II y ( m/s).(y> 0), (x>y).
Sau 20 s hai vật chuyển động quãng đường 20x, 20y ( m )
Vì chúng chuyển động chiều 20 giây lại gặp ta có phương trình: 20x – 20y = 20
Sau s hai vật chuyển động quãng đường 4x, 4y ( m )
Vì chúng chuyển động ngược chiều giây lại gặp ta có phương trình: 4x + 4y = 20
Theo ta có hệ phương trình:
20 4
20 20 20
y x
y x
Giải hệ PT ta được:
y x
;
Vậy vận tốc hai vật là: 3 (m/s) 2 (m/s).
Bài tập:
1 Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h Qua 15 phút ô tô thứ hai khởi hành từ A hướng với ô tô thứ với vận tốc 40 km/h Hỏi sau tơ gặp nhau, điểm gặp cách A km?
2 Một ca nơ xi dịng 50 km ngược dịng 30 km Biết thời gian xi dịng lâu thời gian ngược dịng 30 phút vận tốc xi dòng lớn vận tốc ngược dòng km/h Tính vận tốc lúc xi dịng?
(12)4 Một thuyền dịng sơng dài 50 km Tổng thời gian xi dịng ngược dịng 10 phút Tính vận tốc thực thuyền biết bè thả phải 10 xi hết dịng sơng
5 Một người xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc tơ khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe?
6 Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc bè nứa trôi tự từ A đến B Ca nô đến B quay lại A ngay, thời gian xi dòng ngược dòng hết 15 Trên đường ca nơ ngược A gặp bè nứa điểm cách A 50 km Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước?
Đáp án: 1
3 (giê)
8
2 20 km/h
3 Vận tốc ô tô thứ 60 km/h Vận tốc ô tô thứ hai 50 km/h 25 km/h
5 Vận tốc xe đạp 18(km/h), ô tô 36(km/h)
6 Vận tốc ca nô 15 km/h Vận tốc dòng nước km/h
Dạng 3: Tốn làm chung cơng việc
Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu đội làm xong công việc x ngày đội làm
1
x công
việc
- Xem tồn cơng việc
Ví dụ 1:
Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu?
Giải:
Ta có 25%=
1
Gọi thời gian người thứ hồn thành công việc x(x > 0; giờ) Gọi thời gian người thứ hai hồn thành cơng việc y(y > 0; giờ) Trong người thứ làm
1
x công việc
Trong người thứ hai làm
1
y cơng việc.
Hai người làm xong 16 Vậy hai người làm
1 16công
việc
Ta có phương trình:
(13)Người thứ làm giờ, người thứ hai làm 25%=
1
4 cơng việc
Ta có phương trình
3 xy 4(2)
Từ (1) (2) ta có hệ phương trình
1 1 3 1
x y 16 x y 16 x y 16
3 6
x y x y y 16
x 24
(thoả mÃn điều kiÖn) y 48
.
Vậy làm riêng người thứ hồn thành cơng việc 24 Người thứ hai hồn thành cơng việc 48
Ví dụ 2:
Hai thợ đào mương sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong cơng việc?
Giải :
Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x + (giờ) Mỗi đội làm
1
c«ng viƯc x
Mỗi đội làm
1
c«ng viƯc x 2
Vì hai đội sau 55 phút =
11 35
12 12(giờ) xong
Trong hai đội làm
12
35 công việc
Theo ta có phương trình
2
1 12
35x 70 35 12x 24x xx 2 35
2
12x 46x 70 6x 23x 35
Ta có
2
1
( 23) 4.6.( 35) 529 840 1369 1369 37
23 37 23 37
Vậy ph ơng trình có hai nghiệm x 5(thoa m·n); x 2(lo¹i)
12 12
Vậy đội thứ hồn thành cơng việc Đội hai hồn thành cơng việc
Chú ý:
+ Nếu có hai đối tượng làm công việc biết thời gian đại lượng hơn, đại lượng ta nên chọn ẩn đưa phương trình bậc hai
+ Nếu thời gian hai đại lượng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đưa dạng hệ phương trình để giải
Ví dụ 3:
Hai người thợ sơn cửa cho nhà ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày nghỉ người thứ hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm xong cơng việc?
Giải:
(14)Trong ngày người thứ làm
1
x công việc
Trong ngày người thứ hai làm
1
y công việc
Cả hai người làm xong ngày nên ngày hai người làm
1
2 công
việc Từ ta có pt
1 x +
1 y =
1 (1)
Người thứ làm ngày người thứ hai làm ngày xong cơng việc ta có pt:
4 1 xy (2)
Từ (1) (2) ta có hệ pt
1 1 1
x y x y x
(thoả mÃn đk)
4 y
1
x y x
Vậy người thứ làm xong cơng việc ngày Người thứ hai làm xong cơng việc ngày
Ví dụ 4:
Một đội máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực ngày cày 52 ha, đội khơng cày xong trước thời hạn ngày mà cày thêm Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch
Lời Giải:
Gọi diện tích mà đội phải cày theo kế hoạch x, ( ), ( x> 0) Thời gian đội dự định cày là: 40
x
( ) Diện tích mà đội thực cày là: ( x + ), ( ) Thời gian mà đội thực cày là: 52
4
x
( giờ)
Vì thực đội đẵ cày xong trước thời hạn ngày ta có phương trình: 40
x
-52
x
=
Giải PTBN ta x= 360 Vậy diện tích mà đội dự định cày theo kế hoạch là: 360
-Ví dụ 5:
Hai tổ cơng nhân làm chung 12 hoàn thành công việc định Họ làm chung với tổ thứ điều làm cơng việc khác, tổ thứ hai làm phần cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hồn thành cơng việc
Lời Giải:
Gọi thời gian tổ hai làm nmình hồn thành cơng việc x, ( giờ), x> 12 Trong tổ hai làm khối lượng công việc: x
1
(15)Sau hai tổ đẵ chung khối lượng công việc là: 12
=
( KLCV ) Phần cơng việc cịn lại tổ hai phải làm là: -
1
=
( KLCV )
Vì tổ hai hồn thàmh khối lượng cơng việc cịn lại 10 nên ta có phương trình:
3
: x = 10
Giải PTBN ta x= 15 Vậy thời gian tổ hai làm hồn thành khối lượng công việc là: 15
-Ví dụ 6:
Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc với mức 420 ngày cơng Hãy tính số cơng nhân đội, biết đội tăng thêm người số ngày để hồn thành cơng việc giảm ngày
Lời Giải:
Gọi số công nhân đội x, ( người ), x> 0, ( ngun dương ) Số ngày hồn thành cơng việc với x người là: x
420
( ngày ) Số công nhân sau tăng người là: x +
Số ngày hồn thành cơng việc với x + người là: 420
x ( ngày ).
Vì đội tăng thêm người số ngày để hồn thành cơng việc giảm ngày ta có phương trình:
x
420
- 420
x = Giải PTBH ta được: x1 = 15; x2 = - 20 ( loại ). Vậy số công nhân đội 15 người
-Ví dụ 7:
Hai đội xây dựng làm chung công việc dự đinh xong 12 ngày Họ làm chung với ngày đội điều động làm cơng việc khác, đội tiếp tục làm Do cải tiến kỹ thuật, suất tăng gấp đôi nên đội đẵ làm xong phần việc lại 3,5 ngày Hỏi đội làm sau ngày làm xong cơng việc nói ( với suất bình thường)
Lời Giải:
Gọi thời gian để đội I làm xong cơng việc x, ( ngày), x > 12 Gọi thời gian để đội II làm xong cơng việc y, ( ngày), y > 12 Trong ngày đội I đội II làm khối lượng công việc tương ứng là: x
1
, y
1
Vì hai đội dự định làm chung 12 ngày xong KLCV
do ta có phương trình ( 1) x
1
+ y
1
= 12
Phần công việc hai đội làm chung ngày 12
=
(KLCV) Phần việc lại đội II phải làm là: -
2
=
( KLCV) Vì suất tăng gấp đơi nên đội II đẵ làm xong
1
(16)do ta có phương trình:
y
1
=
Theo ta có hệ phương trình:
12 1 y y x
;Giải hệ phương trình ta được: 21 28 y x Vậy thời gian để đội I làm xong công việc là: 28 ( ngày )
Thời gian để đội II làm xong cơng việc là: 21 ( ngày)
-Ví dụ 8:
Hải Sơn làm công việc 20 phút xong Nếu Hải làm Sơn làm hai làm
3
khối lượng cơng việc Hỏi người làm cơng việc xong
Lời Giải:
Gọi thời gian Hải làm xong cơng việc x ( giờ), x > 22
Gọi thời gian Sơn làm xong cơng việc y ( giờ), y >
22
Năng suất Hải Sơn tính theo là: x
1
, y
1
Vì Hải Sơn làm cơng việc 20 phút xong ta có phương trình: x
1
+ y
1
=
Sau Hải làm KLCV là: x
1
; sau Sơn làm KLCV là: y
1
Vì Hải làm Sơn làm hai làm
3
KLCV ta có phương trình:
x
5
+ y
6
= 22
Theo ta có hệ phương trình: :
22 1 y x y x ;
Giải hệ phương trình ta được:
44 44 y x
Vậy Hải làm cơng việc trong: 44/3 , Sơn làm cơng việc trong: 44/3
(17)
Hai vịi nước chảy chung vào bể sau 45
đầy bể Mỗi lượng nước vòi I chảy 12
1
lượng nước chảy vòi II Hỏi vịi chảy riêng đầy bể
Lời Giải:
Gọi thời gian để vòi I chảy đầy bể x, ( giờ), x > 24
Gọi thời gian để vòi II chảy đầy bể y, ( giờ), y >
24
Trong vòi I vòi II chảy lượng nước tương ứng là: x
1
, y
1
( bể ) Vì hai vịi chảy sau
24
đầy bể ta có phương trình ( 1) : x
1
+ y
1
= 24
Vì lượng nước chảy vòi I
lượng nước chảy vịi II ta có phương trình ( ): x
1
=
y
1
;
Theo ta có hệ phương trình: :
24 1 y x y x
; Giải hệ phương trình ta được: 12 y x Vậy vịi I chảy đầy bể giờ, Vịi II chảy đầy bể 12
-Ví dụ 2: (Dạng tốn vòi nước chảy chung, chảy riêng )
Một Máy bơm muốn bơm đầy nước vào bể chứa thời gian quy định phải bơm 10m3 Sau bơm 3
1
dung tích bể chứa, người cơng nhân vận hành cho máy bơm công xuất lớn bơm 15 m3 Do bể bơm đầy
trước 48 phút so với thời gian quy định Tính dung tích bể chứa
Lời Giải:
Gọi dung tích bể chứa x, ( m3 ), x > 0.
Ta có thời gian dự định để bơ m đầy bể là: 10
x
( ) Thời gian để bơm
1
bể với công suất 10 m3/s là: 30 x
( giờ) Thời gian để bơm
2
bể cịn lại với cơng suất 15 m3/s là: 45
2x
Do công suất tăng bơm
2
bể lại nên thời gian thời gian bơm đầy trước 48 phút so với quy định ta có phương trình: 10
x
- (30
x
+ 45 2x
) =
; Giải PTBN ta x = 36 Vậy dung tích bể chứa 36 m3.
(18)
Hai vòi nước chảy vào bể sau 20 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vịi thứ hai chảy 12 phút đầy 15
2
bể Hỏi vịi chảy đầy bể
Lời Giải:
Gọi thời gian để Vòi thứ chảy đầy bể x, ( phút), x > 80 Gọi thời gian để Vòi thứ hai chảy đầy bể y, ( phút), y > 80 Cơng suất tính theo phút Vịi thứ là: x
1
( Bể ), vòi thứ hai y
1
( Bể )
Vì hai vịi chảy sau 20 phút = 80 Phút, đầy bể ta có phương trình ( 1) : x
1
+ y
1
= 80
Sau 10 phút Vòi chảy được: 10 x
1
( Bể ) ;Sau 12 phút Vòi chảy được: 12 y
1
( Bể )
Vì mở Vòi thứ chảy 10 phút Vòi thứ hai chảy 12 phút đầy
15
bể ta có phương trình: x
10
+ y
12
= 15
;
Theo ta có hệ phương trình:
15 12 10
80 1
y x
y x
Giải hệ phương trình ta được: x= 120 phút, y = 240 phút Vậy thời gian vòi chảy đầy bể 120 phút, vòi 240 phút
-Bài tâp:
1 Hai người thợ làm công việc xong 18 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm 1/3 cơng việc Hỏi người làm xong cơng việc?
2 Để hồn thành cơng việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác Tổ hồn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó?
3 Hai đội cơng nhân đào mương Nếu họ làm ngày xong công việc Nếu làm riêng đội haihồn thành cơng việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong công việc?
4 Hai bình rỗng giống có dung tích 375 lít ậ binmhf có vòi nước chảy vào dung lượng nước chảy Người ta mở cho hai vịi chảy vào bình sau khố vịi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc người ta phải tăng dung lượng vòi thứ hai thêm 25 lít/giờ
Tính xem vịi thứ chảy lít nước
Kết quả:
(19)Dạng 4: Tốn có nội dung hình học
Kiến thức cần nhớ:
- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác
1 S x.y
2
( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng)
- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a,b cạnh góc vng)
- Số đường chéo đa giác
n(n 3)
(n số đỉnh)
Ví dụ 1:
Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết tăng mỗi
(20)Gọi kích thước hình chữ nhật x y (cm; x, y > 0)
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu x.y (cm2) Theo ta có pt x.y = 40 (1)
Khi tăng chiều thêm cm diện tích hình chữ nhật Theo ta có pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48 3x + 3y + = 48 x + y = 13(2)
Từ (1) (2) suy x y nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = 0
Ta có ( 13)2 4.40 9 3
Phương trình có hai nghiệm
13 13
X 8; X
2
Vậy kích thước hình chữ nhật (cm) (cm)
Ví dụ 2:
Cạnh huyền tam giác vuông m Hai cạnh góc vng 1m Tính cạnh góc vng tam giác?
Giải:
Gọi cạnh góc vng thứ x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vng thứ hai x + (m)
Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình x2 + (x + 1)2 = 52 2
2x 2x 24 x x 12
2
1
1 4.( 12) 49 Ph ơng trình co hai nghiệm phan biƯt
1 7
x (tho¶ m·n); x 4(lo¹i)
2
Vậy kích thước cạnh góc vng tam giác vng m m
Ví dụ 3:
Tìm hai cạnh tam giác vuông biết cạn huyền 13 cm tổng hai cạnh góc vng 17
Lời Giải :
Gọi cạnh góc vng thứ tam giác x ( cm ), ( 0< x < 17 ) Ta có cạnh góc vng cịn lại là: ( 17 – x ), ( cm)
Vì cạnh huyền tam giác vng 13 ta có phương trình: x2 + ( 17 – x )2 =
132
Giải PTBH: x2 - 17x + 60 = ta được: x
1 = 12, x2 =
Vậy độ dài cạnh góc vng 12 cm, 5, cm
-Ví dụ 4:
Một khu vườn Hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn ( thuộc đất vườn ) rộng m, diện tích cịn lại để trồng trọt 4256 m2 Tính kích thước
( cạnh) khu vườn
Lời Giải :
Gọi cạnh khu vườn x, ( m ), x< 140 Ta có cạnh cịn lại khu vườn là: ( 140 – x)
Do lối xung quanh vườn rộng m nên kích thước cạnh cịn lại để trồng trọt là: ( x – ), (140 – x – ) ( m )
Vì diện tích cịn lại để trồng trọt 4256 m2 ta có phương trình: ( x – ) (140 – x –
(21)Giải PTBH: x2 - 140x + 4800 = ta x
2 = 80, x2 = 60 Vậy cạnh khu
vườn HCN 80 m, 60 m
-Ví dụ 5:
Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng khơng đổi
Lời Giải :
Gọi chiều rộng chiều dài ruộng hình chữ nhật x y, ( m ), (0< x< y < 125)
Vì chu vi ruộng hình chữ nhật 250 m ta có phương trình: x + y = 125 Vì chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng khơng đổi ta có phương trình:
2 x +
y
= 125 Theo ta có hệ phương trình:
125
125
y x
y x
, giải hệ phương trình ta
75 50
y x
Vậy dịên tích ruộng HCN là; 50 75 = 3750 m2.
-Ví dụ 6:
Cho tam giác vuông Khi ta tăng cạnh góc vng lên cm diện tích tăng 17 cm2 Nếu giảm cạnh góc vng cạnh cm cạn cm diện tích giảm đi
11cm2 Tìm cạnh tam giác vng đó. Lời Giải :
Gọi cạnh tam giác vuông x, y; ( cm ), x, y >
Vì tăng cạnh góc vng lên cm diện tích tăng 17 cm2 ta có phương
trình:
2
( x+ ) ( y + ) =
xy + 17
Vì giảm cạnh góc vng cạnh cm cạn cm diện tích giảm 11cm2 ta có phương trình: 2
1
( x - ) ( y - ) =
xy - 11 Theo ta có hệ phương trình:
25
15
y x
y x
, giải hệ phương trình ta được:
10
y x Vậy ta có cạnh tam giác là: 5, 10, 5 ( Cm)
-Bài tập :
Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó?
Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng không thay đổi
(22)Bài 4: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy sân biết rằng
nếu tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m diện tích khơng đổi?
Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao 35 m hai đáy 30 m 50 m người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các tim đừng đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm đường
1
4 diện tích hình thang
Đáp số:
Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2
Bài 2: Diện tích hình chữ nhật 3750 m2
Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh
Bài 4: Cạnh đày tam giác 36 m Bài 5: Chiều rộng đoạn đường m
Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng
Những kiến thức cần nhớ :
+ x% =
x 100
(23)x a a
100
x x x
Số dân năm sau lµ (a+a ) (a+a ) 100 100 100
Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58
Gọi lãi suất cho vay x (%),đk: x > Tiền lãi suất sau năm
x
2000000 20000
100 (đồng)
Sau năm vốn lẫn lãi 200000 + 20000 x (đồng) Riêng tiền lãi năm thứ hai
x
x x x2
(2000000 20000 ) 20000 200 (đồng) 100
Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (đồng)
200x2 + 40000x +2000000 (đồng)
Theo ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000
x2 + 200x – 2100 =
Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn)
Vậy lãi suất cho vay 10 % năm
Ví dụ 2:
Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ
Giải :
Gọi x số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600 Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch 600 – x (sản phẩm)
Số sản phẩm vượt mức tổ I x
18
100 (sản phẩm)
Số sản phẩm vượt mức tổ II x
21 (600 )
100
(sản phẩm)
Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ 120 sản phẩm ta có pt
x x
18 21(600 ) 120 100 100
x = 20 (thoả mãn yêu cầu toán) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I 200 (sản phẩm)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II 400 (sản phẩm)
Ví dụ 3:
Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai tổ vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất chi tiết máy
Lời Giải:
(24)Vì tháng thứ hai Tổ I vượt mức 15%, Tổ II sản xuất vượt mức 12%, hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy ta có phương trình (2) là: x + 100
15x
+ y + 100 20x
= 945
100 115
x + 100 112
y = 945
Theo ta có hệ phương trình: 945 100 112 100 115 800 y x y x
; Giải hệ phương trình ta được:
500 300 y x
Vậy tháng đầu tổ I sản xuất 300 chi tiết máy, tổ II sản xuất 500 chi tiết máy
-Ví dụ 4:
Năm ngối dân số hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2 % tỉnh B tăng 1,1 %, tổng dân số hai tỉnh năm 045 000 người Tính dân số tỉnh năm ngoái năm
Lời Giải:
Gọi dân số năm ngoái tỉnh A x ( x nguyên dương), x< triệu Gọi dân số năm ngoái tỉnh B y ( y nguyên dương), y< triệu
Vì dân số năm ngoái hai tỉnh năm ngoái triệu ta có phương trình (1) x + y =
Vì dân số năm tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1 % ta có phương trình (2) là:
100 , 1 x
+ 100 , 1 y
= 0, 045
Theo ta có hệ phương trình: 045 , 100 , 100 , y x y x
;Giải hệ phương trình ta được:
3033000 1012000 y x
Vậy dân số tỉnh A năm 012 000 người, tỉnh B 033 000 người
-Ví dụ 5:
Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 720 chi tiết máy Sang tháng thứ hai tổ vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 12%, cuối tháng hai tổ sản xuất 819 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất chi tiết máy
Lời Giải:
(25)Vì tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 12%, hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy ta có phương trình (2) là: x + 100
15x
+ y + 100 12x
= 819 100 115
x + 100 112
y = 819
Theo ta có hệ phương trình:
819 100
112 100
115
720
y x
y x
Giải hệ phương trình ta được:
300 420
y x
Vậy tháng đầu tổ I sản xuất 420 chi tiết máy, tổ II sản xuất 300 chi tiết máy
-Bài tập:
Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính
xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm
Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác
chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm?
Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp
dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu?
Kết quả:
Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2%
Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm
(26)Dạng 6: Các dạng toán khác
Những kiến thức cần nhớ :
-
m
V (V lµ thĨ tich dung dich; m lµ khối l ợng; D khối l ợng riêng) D
- Khối lượng nồng độ dung dịch =
Khèi l ỵng chÊt tan Khèi l ỵng dung m«i (m tỉng)
Ví dụ : (Bài trang 59 SGK)
Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước x (g) đk x > Nồng độ muối dung dịch
40 40% x
Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch trọng lượng dung dịch là:
40 240% x
Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình
2
40 40 10
280 70400 40 240 100 x x
x x
Giải pt ta x1 = -440 ( loại); x2 = 160 (thoả mãn đk toán)
Vậy trước đổ thêm nước dung dịch có 160 g nước
Ví dụ 2:
Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng mỗi
chất lỏng
Giải:
Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (g/cm3) Đk x > 0,2
Khối lượng riêng chất lỏng thứ x – 0,2 (g/cm3).
Thể tích chất lỏng thứ
3
8 (cm ) x
Thể tích chất lỏng thứ hai
3
6
0 2(cm ) x ,
Thể tích hỗn hợp
3
8
0 2(cm ) xx ,
Theo ta có pt
2
8 14
14 12 12 0 x , x ,
xx , , Giải pt ta kết
x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk)
Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm3)
Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3). Bài tập:
Bài 1: Một phịng họp có 240 ghế xếp thành dãy có số ghế Nếu
mỗi dãy bớt ghế phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành dãy ghế
Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 cuốn
thì số sách giá thứ
3
(27)Bài 3: Người ta trồng 35 dừa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m
chiều rộng 20 m thành hàng song song cách theo hai chiều Hàng trồng biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp?
Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người
không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng số trứng anh tơi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng số trứmg anh bán
2
3 đồng thơi” Hỏi
mỗi người có trứng?
Bài 5: Một hợp kim gồm đồng kẽm có gam kẽm Nếu thêm 15 gam
kẽm vào hợp kim hợp kim mà lượng đồng giảm so với lúc đầu 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim?
Kết quả:
Bài 1: Có 60 dãy ghế
Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng 5m