a) AC là tia phân giác của DAH. Hai tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại I. Chứng minh điểm I cách đều hai cạnh AB, AC. Cho ABC có trung tuyến AM đồng thời [r]
(1)CHUYÊN ĐỀ III QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định lý 1
Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn
Trong tam giác ABC, AC > AB
B C
2 Định lý 2
Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Trong tam giác ABC, B C thì AC > AB.
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng So sánh hai góc tam giác Phương pháp giải:
- Xét hai góc cần so sánh hai góc tam giác - Tìm cạnh lớn hai cạnh đối diện hai góc - Kết luận
1A So sánh góc tam giác ABC, biết AB = cm,
BC = cm, AC = cm
1B So sánh góc tam giác MNP, biết MN = 8cm,
NP = cm, MP = 10 cm
2A Cho tam giác ABC có AC > AB So sanh hai góc ngồi đỉnh B
và C
2B Cho tam giác DEF có DE = cm, DF = cm So sánh hai góc ngồi tại
các đỉnh E F
3A Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ BD vng góc với
AC D, CE vng góc với AB E So sánh hai DBC ECB
3B Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc B C cắt
nhau I So sánh IBC ICB
Dạng So sánh hai cạnh tam giác Phương pháp giải:
- Xét hai cạnh cần so sánh hai cạnh tam giác - Tìm góc lớn hai góc đối diện với hai cạnh - Kết luận
4A So sánh cạnh tam giác ABC, biết A = 80°, B = 40°
4B. So sánh cạnh tam giác PQR, biết P = 70°, R = 50°
5A Cho tam giác ABC vuông A, điểm K nằm A C So sánh độ
dài BK BC
5B Cho tam giác MNP vuông N Trên tia đối tia PN lấy điểm Q So
(2)6A Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ BD vng góc với
AC D, CE vng góc với AB E Gọi H giao điểm cửa BD CE So sánh độ dài HB HC
6B Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc B C cắt
nhau I Từ I vẽ IH vng góc với BC So sánh độ dài HB HC
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
7 Cho tam giác QMN có OM = cm, ON = cm, MN = cm So sánh góc tam giác OMN
8 Chứng minh tam giác vuông, cạnh huyền lớn cạnh góc vng
9 Cho tam giác ABC cân A có A = 50° So sánh độ dài AB BC
10 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ AH vng góc với BC H So sánh HAB HAC
11 Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt BC D So sánh ADB ADC
12 Cho tam giác ABC có A = 90°, C = 30° Điểm D thuộc cạnh AC cho ABD = 20° So sánh độ dài cạnh BDC
13 Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB So sánh độ dài cạnh tam giác BMC
14 Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc vói BC H So sánh:
a) BA BH; b) DA DC
15 Cho tam giác ABC có A > 90° Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC Chứng minh DE < DC <BC
16 Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia Bx nằm hai tia BA BC Trên tia Bx lấy điểm D nằm tam giác ABC Chứng minh
DC < DB
17* Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại
D Chứng minh DB < DC
18* Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC Chứng
minh MAB MAC .
HƯỚNG DẪN
1A. Ta có AB < BC < AC => C A B 1B. Ta có NP < MN < MP => M P N
2A Ta có AC > AB => B C , góc ngồi đỉnh B nhỏ góc
ngồi đỉnh C
2B Ta có DE < DE => FE, góc ngồi đỉnh E nhỏ góc
ngồi đỉnh F
3A Vì AB < AC nên ACB ABC .
(3) 90
ECB ABC, từ ta có
DBC ECB
3B Vì AB < AC nên ACB ABC , với
chú ý
,
2
ABC ACB
IBC ICB
Từ ta có IBC ICB
4A Tính C = 60°, B C A => AC < AB < BC.
4B Tính Q = 60°, R Q P => PQ < PR < QR. 5A Chú ý BKC góc ngồi AKB
nên BKC >A = 90° > C
BK < BC
5B Tương tự 5A, ta có MP < MQ.
6A Áp dụng 3A, ta có HBC HCB => HB < HC. 6B Dùng kết 3B, ta có IBC ICB => IB < IC.
Mà HB2 = IB2 - IH2, HC2 = IC2 - IH2 Suy HB < HC.
7 Ta có OM < ON < MN =>N M O .
8 Trong tam giác vng, góc vng góc lớn nên cạnh huyền
(đối diện với góc vng) cạnh lớn
9 Tính B C = 65°, C A => AB > BC. 10 Ta có AB < AC => ABCACB
Chú ý HAB 90 ABC
90
HAC ACB, từ ta có
<
HAB HAC
11 Chú ý:
2
(4)
BAC ADCABC
Mà AB < AC => ABCACB
nên ADB ADC
12 Tính DBC 40 , BDC = 110 DCB 30 , từ ta có
DB < DC < BC
13 Ta có DCM BCA 60
Chú ý BMC góc ngồi tam giác AMC nên BMC BAC 60
Do BMC MBC MCB MB < MC < BC
14 a) Ta có ABD = HBD (cạnh huyền - góc nhọn), từ BA = BH
b) Chứng minh DA = DH, lại có tam giác DHC vuông H nên DH < DC => DA < DC
15 Chú ý DEClà góc ngồi tam giác DAC nên DEC DAC > 90
=> DE < DC
Tương tự ta có BDC DAC > 90 => DC < BC, DE < DC < BC
16 Do Bx nằm BA BC nên
(5)giác ABC nên CA nằm CD CB, DCB ACB
Từ DCB > DBDCB DBC =>DC < DB.
17* Trên cạnh AC lấy điểm E cho
AB = AE, chứng minh ABD = AED (c.g.c)
=> DECxBD ACB > và DB = DE. Từ DB = DE < DC
18* Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao
cho MA = MD, chứng minh MAB = MDC (c.g.c)
MAB MDC => , ý CD = AB < AC => MAC MDC Do MAB MAC
CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
(6)1 Quan hệ đường vng góc đường xiên
Định lý Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn
AH a => AH < AC, AH < AD (Với C, D điểm thuộc a)
2 Quan hệ đường xiên hình chiếu
Định lý Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng
đến đường thẳng đó:
• Đường xiên có hình chiếu lớn lớn
AH a, HD > HC => AD > AC • Đường xiên lớn có hình chiếu lớn
AH a, AD > AC => HD > HC • Nếu hai đường xiên hai hình chiếu
ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên AB = AC HB = HC (hình vẽ)
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng So sánh hai đường xiên hai hình chiếu Phương pháp giải: Vận dụng Định lý 2.
1A. Cho tam giác ABC có AB <AC Kẻ AH vng góc với BC H So
sánh độ dài HB HC
1B Cho tam giác MNP có MN = cm, MP = cm Kẻ MK vng góc với
NP K So sánh độ dài KN KP
2A Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AB, AC lấy các
điểm M, N
a) Chứng minh MN < BN < BC
b) Có thể nói BN có hình chiếu xuống AC AN cịn CM có hình chiếu xuống AC AC nên CM > BN không?
2B Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, N (M
nằm A, N) So sánh độ dài BM, BN, BC
3A Cho tam giác ABC có AB > AC Kẻ AH vng góc với BC H, điểm
D thuộc đoạn AH So sánh:
a) DB DC; b) DB AB
3B Cho tam giác MNP có MN < MP Kẻ MK vng góc với NP K.
Trên tia đối tia MK lấy điểm Q So sánh độ dài QN QP,
Dạng Quan hệ đường vng góc đường xiên
Phương pháp giải: Sử dụng định lý đường vng góc ngắn đường xiên
(từ điểm đến đường thẳng)
4A Cho tam giác ABC, điểm D nằm A C (BD khơng vng góc
(7)4B Cho tam giác ABC, điểm M nằm B C Gọi H K chân các
đường vng góc kẻ từ M đến đường thẳng AB AC So sánh BC tổng MH + MK
5 Cho tam giác ABC khơng vng Kẻ BD vng góc với AC D, kẻ CE vng góc với AB E Chứng minh BD + CE < AB + AC
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
6 Cho tam giác ABC vuông B Trên cạnh BC lấy điểm D E (D nằm B E)
a) So sánh độ dài đoạn thẳng AB, AD, AE, AC
b) Vẽ BI, BK, BH vng góc với AD, AE, AC So sánh góc ABH, ABK, ABI
7 Cho tam giác OMN vuông O Lấy điểm P cạnh OM, điểm Q cạnh ON Chứng minh PQ < MQ < MN
8 Cho tam giác ABC cân A Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC, điểm D thuộc cạnh BC (D khác H) Chứng minh AH < AD < AB
9 Cho tam giác ABC có B C góc nhọn Gọi D điểm thuộc cạnh BC, gọi H K chân đường vng góc kẻ từ B c đến đường thẳng AD So sánh:
a) BH BD Có BH BD không? b) HC BK BD <
BC
10 Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Gọi E F chân đường vuông góc kẻ từ A C đến đường thẳng BM
a) Chứng minh ME = MF b) So sánh AB
BE BF
11 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia CB lấy điểm D a) So sánh AD AB
b) Vẽ BE AC DF AB So sánh BE DF
HƯỚNG DẪN
1A Đường xiên AB < AC nên hình chiến HB < HC 1B Đường xiên MN < MP nên hình chiếu KN < KP. 2A Hình chiếu AM < AB nên đường
xiên MN < BN
Hình chiếu AN < AC nên đường xiên BN < BC
Bởi MN < BN < BC
(8)2B Tương tự 2A, ý: AM < AN < AC.
3A a) Đường xiên AB > AC nên hình chiếu
HB > HC
Hình chiếu HB > HC nên đường xiên DB > DC
b) BA BD có hình chiếu AH DH Mà AH > BH => BA > BD
3B Tương tự 3A, ý KN < KP.
4A AE đường vng góc, AD đường
xiên nên AE < AD
CF đường vng góc, CD đường xiên nên CF < CD
Do AE + CF < AD + CD = AC
4B Tương tự 4A, ý MH < MB, MK < MC. 5 Chứng minh được:
BD < AB, CE < AC
Do BD + CE < AB + AC
6 a) Tương tự 2B, ta có: AB < AD < AE < AC
b) Chứng minh ADBAEB ACB Mà ADBABI AEB; ABK ACB; ABH Suy ABH ABK ABI
7 Do = POQ 90° nên MPQ góc tù Xét MPQ có MPQ lớn nên MQ > PQ
Xét MQN có MQN tù nên MN > MQ
8 Ta có AH < AD (quan hệ đường vng góc, đường xiên)
Nếu D thuộc đoạn HC => HD < HC, AD < AC = AB
(9)9 a) Ta có BH BD (đương vng góc ngắn đường xiên)
BH = BD H D AD BC
b) Xét MPQ có BK2 = BH2 + HK2 Xét CHK có CH2 = CK2 + HK2 Mà BD <
BC
nên BH < CK Vậy BK < HC
10 a) Chứng minh MAE =MCF (ch- gn) => ME = MF
b) Do ME = MF nên BE + BF = BM - ME + BM + MF = 2BM Mặt khác AB < BM => AB <
BE BF
11 a) Kẻ AHBC H
Ta có AB = AC => HB = HC Lại có D thuộc tia đối tia CB Vậy HD > HC =HB => AD > AB b) Diện tích ABC =
1
2 AH BC;
Diện tích ABD =
2AH.BD. Mà BC < BD
Suy Diện tích ABC < Diện tích ABD Lại có:
Diện tích ABC =
2 AC.BE; Diện tích ABD =
2AB.DF
Suy
2 AC.BE <
2AB.DF Từ đó, ta có: BE < DF.
CHỦ ĐỀ QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong tam giác, độ dài cạnh lớn giá trị tuyệt đối hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại Cụ thể: |AB - AC| < BC < AB + AC
(10)Dạng Khẳng định có tồn hay khơng tam giác biết độ dài ba cạnh
Phương pháp giải:
- Tồn tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c nếu: a b c
b a c c a b
|b - c | < a < b + c
- Trong trường hợp xác định a số lớn ba số a, b, c điều kiện để tồn tam giác cần: a < b + c
1A Bộ ba độ dài tạo thành độ dài cạnh tam
giác?
a) cm; 10 cm; 12 cm, b) m; m; m c) m; m; m
1B Bộ ba độ dài tạo thành độ dài cạnh tam
giác?
a) cm; cm; cm b) m; m; m c) m; 10 m; 15 m
2A Một tam giác cân có cạnh cm Tính hai cạnh lại, biết
chu vi tam giác 20 cm
2B Tính chu vi tam giác cân biết độ dài hai cạnh 3,9 cm
và 7,9 cm
3A Cho tam giác ABC có BC = cm, AC = cm Tìm độ dài cạnh AB,
biết độ dài số nguyên (cm)
3B Cho tam giác MNP có MN = m, NP = m, độ dài cạnh MP số
nguyên Tính độ dài MP
Dạng Chứng minh bất đẳng thức độ dài
Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức tam giác biến đổi bất
đẳng thức
- Cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a< b => a + c < b + c
- Cộng vế hai bất đẳng thức chiều:a b
a c b d c d
4A tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB.
a) So sánh MC với AM + AC
b) Chứng minh MB + MC < AB + AC
4B Cho tam giác ABC, tia đối tia AC lấy điểm K.
a) So sánh AB với KA + KB
b) Chứng minh AB + AC < KB + KC
5A Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác.
a) So sánh MB + MC với BC
b) Chứng minh MA + MB + MC >
AB BC CA
5B Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC.
(11)b) Chứng minh AD <
AB BC CA
6A Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D sao
cho BD = BA Chứng minh DC > AB
6B Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia CA lấy điểm D.
Chứng minh DB > DC
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
7 Có hay khơng tam giác với độ dài cạnh
a) m; m; m? b) cm; cm; 10 cm?
8 Tìm chu vi tam giác cân, biết hai cạnh bằng: a) cm cm; b) cm cm
9 Cho tam giác ABC có AB = cm, AC = cm, độ dài cạnh BC số nguyên Tính độ dài BC
10 Cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác, tia BO cắt cạnh AC I
a) So sánh OA IA + IO, từ suy OA + OB < IA + IB; b) Chứng minh OA + OB < CA + CB
c) Chứng minh
AB BC CA
< OA + OB + OC < AB + BC + CA
11 Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D, cạnh AC lấy E cho AE = AB
a) So sánh DB DE
b) Chứng minh AC - AB > DC - DB
12* Cho tam giác ABC Gọi M là
trung điểm BC
a) Chứng minh AM <
AB AC b) Cho bốn điểm A, B, C, D hình vẽ Gọi thứ tự trung điểm AC BD Chứng minh AB + BC + C + DA > 4MN
HƯỚNG DẪN
1A. a) Có, 12 < + 10 b) Khơng, + =
c) Có, < +
1B. a) Có, < + b) Khơng, > +
b) Khơng, +10 = 15
2A Nếu cạnh cho (6cm) cạnh đáy hai cạnh lại cm
cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
Nếu cạnh cho (6 cm) cạnh bên hai cạnh cịn lại cm cm, thỏa mãn bất đẳng thức tam giác
2B Nhận xét: Cạnh thứ ba tam giác cân hai cạnh
(12)Loại trường hợp cạnh thứ ba 3,9 cm 3,9 + 3,9 < 7,9 Trường hợp cạnh thứ ba 7,9 cm thỏa mãn bất đẳng thức tam giác 7,9 < 7,9 + 3,9 Từ tính chu vi tam giác 19,7 cm
3A Chú ý |AC - BC| < AB < AC + BC => < AB <8 Do AB số
nguyên nên AB = cm
3B Tương tự 3A, ta có
2 < MP < => MP 3cm
4A a) AMC có MC < AM + AC b) Dùng kết câu a, ta có MB + MC' < MB + MA + AC = AB + AC
4B Tương tự 4A.
5A a) MBC có MB + MC > BC b) Tương tự ý a, ta có
MA + MC > AC, MA + MB > AB Cộng vế ba bất đẳng thức
2(MA + MB + MC) >AB + BC + CA MA + MB + MC >
AB BC CA
Chú ý kết M tam giác hai cạnh AB AC Riêng M thuộc BC
BM + MC = BC
5B a) ABD có AD < BA + BD
b) Tương tự ý a, ta có : AD < CA + CD Cộng trừ hai vế bất đẳng thức
=> 2AD < BA + BC + AC => ĐPCM
6A ADC có DC > AD - AC = AB
6B Tương tự 6A.
7 a) Khơng, + = b) Có, + > 10 Tương tự 2B, ta có:
a) Chu vi tam giác + + = 17cm b) Chu vi tam giác + + = 18cm
9 Tương tự 3A, ta có < BC < => BC = 4cm
10 a) OIA có OA < IA + IO, OA + OB < IA + IO + OB = IA + IB b) Tương tự ý a, chứng minh IA + IB < CA + CB
(13)tương tự OB + OC < AB + AC, OC + OA < BA + BC
Cộng vế ba bất đẳng thức, ta OA + OB + OC < AB + BC + CA
Kết hợp với kết 5A, ta có ĐPCM
11 a) Chứng minh
ADB = ADE (c.g.c) => DB = DE b) EDC có EC > DC - DE
Chú ý AC - AB = AC - AE = DC - DE = DC - DB
Từ ta có AC - AB > DC - DB
12* a) Trên tia đối tia MA lấy điểm D
sao cho MD = MA Chứng minh MAB = MDC (c.g.c) => AB = CD ACD có AC + CD > AD, ý AD = 2AM, AB = CD nên
2AM < AB + AC =>AM < A
AB C
b) Sử dụng kết ý a) ta có:
BA + BC > 2BM, DA + DC > 2DM
Suy AB + BC + CD + DA > 2(MB + MD) (1) Trong BMD, lại có
MB + MD > 2MN (2)
Từ (1) (2), ta có ĐPCM
(14)
CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1- Đường trung tuyến tam giác • Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC
• Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến
2 Tính chất ba đường trang tuyến tam giác
Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm
Điểm gọi trọng tâm tam giác đó, điểm cách đỉnh khoảng
2
3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh
(15)ABC
2
AG BG CG AD BE CF
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Sử dụng tính chất trọng tâm tam giác
Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt tỉ số liên quan tới trọng tâm tam
giác
Ví dụ Nếu ABC có trung tuyến AM trọng tâm G ta có AG =
2
3 = AM , AG = 2GM; GM =
3AM;
1A Cho ABC có hai đường trung tuyến BD, CE a) Tính tỉ số ,
BG CG BD CE
b) Chứng minh BD + CE > BC
1B Cho ABC có BC = cm, đường trung tuyến BD, CE cắt G Chứng minh BD + CE > 12 cm
2A Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt G.
Trên tia đối tia PB lấy điểm E cho PE = PG Trên tia đối tia QG lấy điểm F cho QF = QG Chứng minh:
a) GB = GE, GC = GE; b) EF = BC EF//BC
2B. Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE cắt G.
Trên tia đối tia DG lấy điểm M cho D trung điểm đoạn thẳng MG Trên tia đối tia EG lấy điểm N cho E trung điểm GN Chứng minh:
a) GN = GB, GM = GA; b) AN = MB AN // MB
Dạng Chứng minh điểm trọng tâm tam giác
Phương pháp giải: Để chứng minh điểm trọng tâm tam giác, ta
có thể dùng hai cách sau:
- Chứng minh điểm giao điểm hai đường trung tuyến tam giác - Chứng minh điểm thuộc đường trung tuyến tam giác thỏa mãn tỉ lệ tính chất trọng tâm tam giác
3A Cho ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB Lấy G thuộc cạnh AC cho AG =
1
3 AC Tia DG cắt BC E Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng cắt F Gọi M giao điểm EF CD
Chứng minh:
a) G trọng tâm BCD;
b) BED = FDE, từ suy EC = DF; c) DMF = CME;
(16)3B Cho ABC Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = 2CM Vẽ điểm D cho C trung điểm AD Gọi N trung điểm BD, Chứng minh:
a) M trọng tâm tam giác ABD; b) Ba điểm A, M, N thẳng hàng;
c) Đường thẳng DM qua trung điểm AB
4A Cho ABC với đường trung tuyến AD Trên tia AD lấy điểm E cho AD = DE, tia BC lấy điểm M cho BC = CM Chứng minh C trọng tâm AEM
4B Cho ABC Trên đường trung tuyến AM tam giác đó, lấy hai điểm D, E cho AD = DE = EM Chứng minh E trọng tâm ABC
5A Cho ABC Vẽ trung tuyến BM Trên tia BM lấy hai điểm G, K cho BG =
2
3BM G trung điểm BK Gọi E trung điểm CK; GE cắt AC I Chứng minh:
a) I trọng tâm KGC; b) CI = 3 AC.
5B Cho ABC, M trung điểm AC Trên đoạn BM lấy điểm K cho KM =
1
2 KB Điểm H thuộc tia đối tia MK cho BH = 2BK Gọi
I điểm thuộc cạnh AC IC =
3 CA Đường KI cắt HC E. a) Chứng minh I trọng tâm HKC E trung điểm HC E
b) Tính tỉ số ,
IE IC
IK MC Chứng minh ba điểm H, I, F thẳng hàng ( I
là trung điểm KC)
6A Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn.
Gọi M, N trung điểm BC, CD Đoạn thẳng AM, AN cắt BD I K Chứng minh:
a) I trọng tâm ABC K trọng tâm ADC;
b) BI = IK = KD
6B Cho tam giác ABC, đường trưng tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy
điểm E cho DE = BD Gọi P, Q điểm BE cho BP = PQ = QE Chứng minh:
a) CP, CQ cắt AB, AE trung điểm AB,AE b) CP//AQ CQ//AP
Dạng Vấn đề đường trung tuyến tam giác vuông, tam giác cân, tam giác
Phương pháp giải: Chú ý tính chất tam giác vuông, tam giác cân,
tam giác
7A Cho ABC vuông A, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA
a) Tính ABD
(17)c) Chứng minh AM = 2BC
7B Cho ABC vuông A, AB = cm, AC = cm Tính khoảng cách từ trọng tâm G ABC tới đỉnh, tam giác
8A Cho ABC , trung tuyến AM = 2 BC.
a) Chứng minh BMA2MAC CMA 2MAB . b) Tính BAC
8B Cho hình vẽ, biết ABC có hai đường trung tuyến BN,CP vng góc với G Tia AG cắt BC I BC = cm
Tính độ dài GI,AG
9A Cho ABC cân A có đường trung tuyến AM a) Chứng minh AM BC
b) Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm Tính độ dài đoạn vng góc kẻ từ B xuống AC
9B Cho ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến BM, trọng tâm G Tính độ dài GM
10A Cho ABC có hai đường trung tuyến BM, CN a) Chứng minh ABC cân A BM = CN b) Ngược lại BM = CN, chứng minh:
i) GB = GC, GN = GM; ii) BN = CM;
iii) ABC cân A
10B Cho ABC có hai đường trung tuyến BM CN cắt G Biết BM = CN Chứng minh AG BC
11A Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết AM = BN = CP Chứng ABC
11B Cho ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt G Biết AG = BG = CG Chứng minh ABC
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
12 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho
AE = 2AB Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = BC Chứng minh:
a) A trọng tâm CDE;
b) Đường thẳng CA qua trung điểm DE
13 Cho bốn điểm A, B,C, D khơng thẳng hàng hình vẽ Gọi O giao điểm AC BD Trung điểm BD AC M, N Chứng minh AC + DB > 2MN
14 Cho ABC vuông A, AB = cm, AC = cm a) Tính BC
(18)c) Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DC Chứng minh BCE vuông
15 Cho ABC vuông A, trung tuyến AM Biết AB = 6cm, AC = 8cm
a) Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh AMB = DMC
b) Chứng minh BAC = DCA c) Tính AM
D0 Chứng minh AM <
AB AC
16 Cho ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vng góc với nhau, trọng tâm G Biết AM = 4,5 cm, BN cm Tính độ dài cạnh ABC
HƯỚNG DẪN
1A Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD,CE G.
GBC có: GB + GC > BC (bất đẳng thức tam giác) Mà GB =
2
3BD, GC =
3CE nên:
3BD +
3CE > BC.
Do BD + CE > 2 BC.
1B Tương tự 1A.
BD + CE >
2 = 12 cm.
2A a) Vì G trọng tâm ABC nên BG = 2GP, CG = 2GQ Lại có PE = PG, QF = QG nên GE = 2GP, GF = 2GQ Do BG = GE,CG = GF b) Suy GBC = GEF (c.g.c) Từ ta có EF = BC GEF GBC => EF // BC
2B Tương tự 2A.
3A a) Vì AD = AB nên A trung điểm BD
=> CA đường trung tuyến BCD Mà AG =
1
3AC => G trọng tâm BCD b) Ta có : BD || EF => BDE DEF
và DE || BC => BED EDF
=>BED = FDE (g.c g) => BE = DF
(hai cạnh tương ứng) (1) Mặt khác G trọng tâm BCD nên E trung điểm BC
=> BE = EC (2)
(19)d) Do DMF = CME => MD = MC => M trung điểm DC => BM trung tuyến BCD
=> G BM => B, G, M thẳng hàng
3B Tương tự 3A.
a) M thuộc đường trung tuyến BC ABD mà BM = 2CM nên M trọng tâm ABD
Do M thuộc trung tuyến AN => Ba điểm A, M, N thẳng hàng b) DM trung tuyến thứ ba
ABD nên DM qua trung điểm AB
4A Theo đề ta có AD = DE nên
C thuộc MD đường trung tuyến tam giác AEM (1)
Mặt khác ta có BC = 2CD BC = CM nên CM = 2CD (2) Từ (1) (2) suy C trọng tâm AEM
4B Từ giả thiết AD = DE = EM ta có AE =
2 3AM.
Mà E thuộc trung tuyến AM nên E trọng tâm ABC
5A a) Theo đề BG =
2 3BM.
Suy BG = 2GM => GK = 2GM =>M trung điểm GK
Do I giao điểm ba đường trung tuyến KGC
b) I trọng tâm KGC nên CI =
2
3CM= 3
1
2AC = 3AC.
5B Tương tự 5A.
a) M trung điểm KH Suy I trọng tâm HKC Suy KI trung tuyến KHC
b)
1
,
2
IE IC
IK MC Suy HI
cũng trung tuyến KHC
6A a)ABC có hai đường trung BO, AM cắt I nên I trọng tâm ABC Tương tự ta có K trọng tâm ADC
b) Từ ý a) suy ta có: BI =
2
(20)Mặt khác BO = DO => BI = DK =
2
3BO =
3BD => IK =
3BC Suy ĐPCM. Do BI = IK = KD
6B Tương tự 6A.
a) Chứng minh P,Q trọng tâm ABC, AEC.Suy ĐPCM b) Chú ý ADP = CQD
ADQ = CDP
7A a) AMC = DMB (c.g.c)
=> ADB DAC => BD //AC Mà AB AC nên AB BD => ABD = 90°
b) ABD = BAC (c.g.c)
c) ABD = BAC (c.g.c) => AD = BC Mà AM =
1
2AD => AM = 2BC.
7B Áp đụng đinh lý Pytago tam giác
vng ABC tínhđược BC = 10cm Gọi M trung điểm BC Do AM = 5cm
=> AG =
2 10
.5
3AM 3 3 cm Tương tự tính
2
2 2
52
3 3
BG BN AB AN
cm
2 73
CG
cm
8A a) Ta có: MA = MB = MC =
1 2 BC
=> MAB, MAC tam giác cân M Do
2 , 2
BMA MAC MCA MAC CMA MAB MBA MAB
b) Theo ý (a) ta có 2.(MAB MAC )MBA CMA = 180° => BAC = 90°
8B Vì GI đường trung tuyến kẻ từ G đến BC
=> GI =
2BC =
2 = 2,5 cm.
Lại có AI đường trung tuyến ABC, G trọng tâm => AG = 2GI = 2.2,5 = 5cm
(21)b) BC = 12cm => BM = 6cm Áp dụng Định lí Pytago cho tam giác vng AMB, ta tính được: AM = 8cm
Vẽ BC Chứng minh dt ABC =
2 BC AM =
2AC BN. Từ tính BN = 9,6cm
9B Tương tự 9A BM = 12cm
=> GM =
3 BG =
3 12 = 4cm.
10A a) BMC = CNB (c.g.c) => BM = CN b) i) Do G trọng tâm ABC nên: GB =
2
3BM,GM = 3BM,
GC =
3CN, GN = 3CN
Mà BM = CN nên GB = GC,GN = GM
ii) Từ ý i) suy GBN = GCM (c.g.c) => BN = CM iii) Vì BN = CM nên BN = CM => AB = AC
Do ABC cân A
10B Tương tự 10A.
Chứng minh tam giác ABC cân A
Kéo dài AG cắt BC M Ta có AMB = AMC (c.c.c) Suy ĐPCM
11A Ta có BN = CP nên GB = GC,GP = GN
Tương tự 10A, ta có AB = AC. Tương tự, ta có AB = BC Vậy AB = BC = CA Suy ABC
11B Ta có AG = BG = CG AG =
2 3AM,
BG =
3BN, CG = 3CP
=> AM = BN = CP Tương tự 11A suy ĐPCM.
12 Tương tự 3B a) Ta có BD = BC,
do EB đường trung tuyến CDE Mặt khác AE = 2AB nên A trọng tâm
CDE
b) Vì A trọng tâm CDE nên CA đường trung tuyến, suy ĐPCM
13 Ta có
OD + OA > AD OA + OB > BC OB + OC > BC OC + OD > DC
(22)Hay 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA Sử dụng kết 12 trang 93, ta có: AB + BC + CD + DA > 4MN
Suy ĐPCM
Chú ý: Trung điểm G MN gọi trọng tâm hình ABCD. 14 a) BC = 10 cm
b) BDI = CDI (hai cạnh góc vng) => CBD DCB
c) Ta có
BCD cân D => DC = DB CDE cân D => DE = DC => CD =
1
2BE => BCE vuông C
15 a) AMB = DMC (c.g.c)
b) Chứng minh CD ||AB mà AB AC nên AC DC Từ suy
BAC = DCA (hai cạnh góc vng) c) AM = cm
d) Xét ABC có BC < AB + AC, mà BC = 2AM nên AM <
AB AC
16 Vì G trọng tâm ABC nên : AG =
2
3AM =
3 4,5 = 3cm,
BG =
3BN =
3 = 4cm. ABG vuông G nên :
AB2 = AG2 + BG2 = 32 + 42 = 25.
Suy AB = cm
(23)
CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.Định lí thuận
Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc
2 Định lí đảo
Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Vận dụng tính chất phân giác góc để chứng minh các đoạn thẳng
Phương pháp giải: Áp dụng Định lí thuận.
1A Cho ABC vng A có AB = 3cm, AC = 6cm Gọi E trung điểm AC, tia phân giác A cắt BC D
a) Tính BC
b) Chứng minh: BAD = EAD
c) Gọi H, K hình chiếu D AB, AC Chứng minh điểm D cách AB AC
(24)2A Cho ABC có A = 120° Tia phân giác A cắt BC D Tia phân giác ADC cắt AC I Gọi H, K, E hình chiếu I đương thẳng AB, BC, AD Chứng minh:
a) AC tia phân giác DAH b) IH = IK
2B Cho ABC Hai tia phân giác góc ngồi đỉnh B đỉnh C cắt I Chứng minh điểm I cách hai cạnh AB, AC
3A Cho ABC có trung tuyến AM đồng thời đường phân giác Trên tia AM lấy điểm D cho MD = MA Chứng minh:
a) AB = CD
b) ACD cân C
c) Chứng minh ABC cân A
3B Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm K cạnh BC, vẽ
KH AC (HAC) Trên tia đối tia HK lấy điểm I cho HI = HK Chứng minh:
a) Chứng minh AB //HK; b) Chứng minh KAH IAH
c) Chứng minh AKI cân,
Dạng Chứng minh tia tia phân giác góc
Phương pháp giải: Để chứng minh tia tia phân giác góc, ta có
thể sử dụng cách sau:
Cách Áp dụng Định lí đảo.
Cách Chứng minh hai góc dựa vào hai tam giác nhau. Cách Đường trung tuyến tam giác cân đồng thời đường phân giác. 4A Cho xOy có tia phân giác Ot Trên tia Ot lấy điểm C Lấy
A Ox, B Oy cho OA = OB Gọi H giao điểm AB Ot Chứng minh:
a) CA = CB CO phân giác ACB; b) OC vuông góc với AB trung điểm AB; c) Biết AB = cm, OA = cm Tính OH
4B Cho ABC, AB = AC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho AD = AE Gọi M giao điểm BE CD Chứng minh:
a) BE = CD;
b) BMD = CME;
c) Đường vng góc với OE E cắt Ox, Oy M, N Chứng minh MN / / AC //BD
5A Cho xOy Lấy điểm A,B thuộc tia Ox cho OA > OB Lấy điểm C, D thuộc Oy cho OC = OA, OD = OB Gọi E giao điểm AD BC Chứng minh.:
a) AD = BC ;
b) ABE = CDE;
(25)5B Cho góc nhọn xOy Trên cạnh Ox lấy điểm A cạnh Oy lấy điểm
B cho OA = OB Đường vng góc với Ox kẻ từ A cắt Oy điểm C Đường vng góc với Oy kẻ từ B cắt Ox D cắt AC I Đường vng góc với Ox kẻ qua D cắt Oy E Đường vng góc với Oy kẻ qua C cắt Ox F cắt DE J
a) Chứng minh OI tia phân giác xOy
b) Chứng minh OC = OD Từ suy OJ tia phân giác xOy c) Chứng minh ba điểm O, I, J thẳng hàng
6A Cho ABC vuông A Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia Mx BC Trên tia Mx lấy E cho ME = MB
a) Tam giác BEC tam giác gì?
b) Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ E đến đường thẳng AB, AC Chứng minh BEH CEK .
c) Chứng minh AE tia phân giác góc A
6B Cho ABC vng A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng BCD vuông cân D Hạ DI AB, DH AC
Chứng minh AD tia phân giác A
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
7 Cho tam giác ABC vng A có B = 60° Trên cạnh BC lấy điểm H cho HB = AB Đường thẳng vng góc với BC H cắt AC D Chứng minh:
a) BD tia phân giác ABC; b) BDC cân
8 Cho xOy khác góc bẹt
a) Từ điểm M tia phân giác xOy, kẻ đường vuông góc MA, MB đến hai cạnh Ox, Oy (A Ox, BOy), OM cắt AB H Chứng minh AB OM
b) Trên tia đối tia Ox, Oy lấy hai điểm C D, cho OC = OD Hai đương thẳng vuông góc với Ox, Oy C D cắt E Chứng minh ba điểm O, H, E thẳng hàng
9 Cho hai góc nhọn xOy zO t' có cạnh cắt tạo thành hình ABCD hình vẽ Xét hình ABCD
a) Chứng minh tổng bốn góc A + B + C + D 360°
b) Cho biết A = 130°,B = 120°, C = 50°.Các tia phân giác củaA,B cắt M, tia phân
giác D,C cắt N Tính AMB DNC,
(26)vng góc với
HƯỚNG DẪN 1A. a) Áp dụng Định lí Pytago
trong tam giác vng ABC tính, BC 45 cm Vì E trung điểm AC nên AE =
1
2AC = cm => AE = AB => BAD =EAD (c.g.c)
c) Do DH AB nên DH khoảng cách từ D đến AB Tương tự DK khoảng cách từ D đến AC
Suy DH = DK
1B. Hạ ME, MF vng góc với Ox,Oy (EOx, F Oy) Chứng minh OME = OMF (ch-gn) => ME = MF Vậy M cách, hai cạnh Ox, Oy
2A a) Vì BAC= 120° nên CAH = 60° Do AD phân giác BAC nên
1
DAC BAC
= 60° => DAC CAH
=> AC phân giác DAH b) Khi IE = IH
Mặt khác DI phân giác ADC nên IE = IK.
Vậy IH = IK
2B. Gọi E, F, P hình chiếu I đường thẳng AB, BC, CA
Theo Định lí thuận ta có IE = IF IF = IP => IE = IP Vậy I cách hai cạnh AB, AC
3A a) Trên tia đối tia MA lấy D cho MA = MD.
=> MAB = MDC (c.g.c) => AB = CD b) AM phân giác BAC nên BAM CAM
Lại có BAM CDM (hai góc tương ứng nhau).
(27)3B a) Ta có: AB AC, KH AC => AB // KH
b) AHK = AHI (ch-cgv) => KAH IAH
c) AKI có AH vừa đường trung tuyến, vừa đường phân giác nên AKI cân A
4A. a) Vì Ot phân giác xOy nên AOCBOC
=> AOC = BOC (c.g.c) => CA = CB, OCA OCB => CO phân giác ACB
b) Chúng minh được: OAH = OBH (c.g.c) => OAH OHB = 90°, AH = BH.
Vậy OC vng góc với AB trung điểm AB
c) Vì H trung điểm AB => AH =
1
2 AB = cm.
Áp dụng định lí Pytago tam
giác vng OHA, tính OH = cm
4B a) ABE = ACD (c.g.c) => BE = CD
b) Do ABE = ACD => ABEACDBDC CEB . Mặt khác AB = AC, AD = AE => BD = CE
Lại có: ABE = ACD => ABEACDDBM ECM => BMD = CME (g.c.g)
c) Vì BMD = CME => MD = ME => ADM = AEM(c.c.c) => MAD MAE => AM phân giác BAC
5A a) OAD = OCB (c.g.c) => AD = CB b) Do OA = OC, OB = OD => AB = CD
Lại có OAD = OCB (c.g.c) => OBC ODA ABE CDE Mà OAD OCB Vậy ABE = CDE (g.c.g)
c) Vì ABE = CDE (g.c g) => BOE DOE => OE tia phân giác góc xOy
Tam giác AOC BOD cân O nên OE BD OE AC Suy AC // MN // BD
5B a) b) Tương tự 5A.
(28)của xOy nên ba điểm O, I, J thẳng hàng
6A a) BEC có trung tuyến ME =
1
2 BC => BEC vuông E Mặt khác BME vuông cân M nên MBE = 45°
=> BEC vuông cân E
b) Từ ý (a) suy BE = CE (1) AB AC, EK AC => AB // EK
Mà EH AB nên EH EK => HEK = 90° => HEB KEC (cùng phụ HEC). (2)
c) Từ (1) (2) suy BHE = CKE (Ch-gn) => EH - EK
Chứng minh AHE = AKE => HAEKAE Vậy AE tia phân giác góc A
6B Tương tự 6A.
Chứng minh BID = CHD => DI = DH Suy ADI = ADH =>DAI DAH
Vậy AD tia phân giác A
7 a) Chứng minh ABD HBD
=> ABD = HBD =>ABD HBD => BD tia phân giác ABC b)
1 30 , 90 90 60 3
2
BDH ABC DCB ABC => DBH DCB => DBC cân D
8 Tương tự 4A.
a) Ta có MA = MB suy OAM = OBM => OA = OB Do OAH = OBH nên OHA OHB = 90°.
Vậy AB OM H
b) OCE = ODE => EOC EOD Vậy E thuộc đường thẳng chứa tia phân giác xOy
9 a) ABD có tổng góc 180° Tương tự, DBC có tổng góc 180° Cộng lại ta ĐPCM
b) Sử dụng kết ý a) suy D = 60°
AMB có 2
A B
= 125° nên AMB = 55°.
Tương tự DNC = 125°
(29)góc xOy với AD E giao điểm hai tia phân giác góc xOy
'
zO t Ta có:
=1
2
' z 't 180 D 35
IO E O C
=1180
2
IOA xOy B C 180 50
OAI A
Suy AIE IO AOAI 55 Vậy O EI ' 180 (35 55 ) 90
CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định lí: Ba đường phân giác
tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác Cụ thể:
1 2, 2,
A A B B C C => ID = IE = IF 2 Tính chất: Trong tam giác cân,
đường phân giác góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao tam giác Ngược lại, tam giác có đường phân giác vẽ từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến (hoặc đường cao) tam giác tam giác cân đỉnh
ABC : AB = AC A1A2
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất:
• Giao điểm hai đường phân giác hai góc tam giác nằm đường phân giác góc thứ ba
• Giao điểm đường phân giác tam giác cách ba cạnh tam giác
(30)1A Tìm x hình vẽ sau biết CI BI hai phân giác ACB ABC, EH FH hai phân giác DEF DFE.
1B Tìm x hình vẽ sau biết I, H giao điểm ba đường phân
giác góc tam giác
2A Cho hình vẽ bên, biết KN = 12 cm,
IN = 13 cm I giao điểm, phân giác tam giác MNL
a) So sánh IP IH b) Tính IH
2B Cho xOy, tia phân giác Oz Trên tia Ox lấy điểm A cho
OA = 4cm Từ A kẻ đường thẳng vng góc với Ox cắt Oz H, cắt Oy K Lấy điểm B tia Ox cho A trung điểm OB Hạ HI OK
a) Chứng minh AH = HI
b) Biết OH = cm, tính khoảng cách từ điểm H đến BK
Dạng Chứng minh đường đồng quy, điểm thẳng hàng
(31)3A Cho tam giác ABC cân A Kẻ tia phân giác BD, CE Lấy M là
trung điểm BC
a) Chứng minh AM tia phân giác góc BAC b) Ba đường thẳng AM, BD, CE đồng quy H c) Giả sử có MN = MP = NP, tính tỉ số
HM MK
3B Cho tam giác MNP có MN = MP Hạ MK NP (K NP) Gọi NE, PF tia phân giác góc N P tam giác MNP Chứng minh: a) MK tia phân giác góc NMP;
b) MK, NE, PF đồng quy
4A. Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác đỉnh B C cắt E Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng
4B. Cho góc xOy nhọn Lấy điểm A tia Ox, điểm B tia Oy Trên tia Ox lấy điểm C cho BC tia phân giác góc ABy Gọi I giao điểm hai tia phân giác góc xAB xOy Chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng
Dạng Đường phân giác tam giác đặc biệt (tam giác cân, tam giác đều)
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất tam giác cân, đường phân giác của
góc đỉnh đồng thời đường trung tuyến, đường cao
5A. Cho tam giác MNP cân M có G trọng tâm.I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh ba điểm M, G, I thẳng hàng
5B. Cho tam giác ABC cân A Gọi I điểm nằm tam giác cách ba cạnh tam giác Chứng minh AI vng góc với BC
6A Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường phân giác của
góc A Chứng minh tam giác ABC cân A
6B. Cho tam giác ABC có đường cao AH đồng thời đường phân giác góc A Chúng minh tam giác ABC cân A
Dạng Chứng minh mối quan hệ góc Phương pháp giải:
• Vận dụng tính chất tia phân giác góc để tìm mối liên hệ góc
• Dùng định lí tổng ba góc tam giác 180°
7A Cho ABC, Các tia phân giác góc B C cắt I a) Biết A = 70°, tính số đo góc BIC.
b) Biết BIC = 140°, tính số đo góc A c) Chứng minh BIC = 90° +
A
7B Cho tam giác DEF cân D Gọi I giao điểm tia phân giác
EP, FQ
a) Biết EIF = 110°, tính số đo góc D
b) Biết D = 50°, tính số đo ba góc tam giác IPF
8A Cho tam giác ABC có B C Từ đỉnh A kẻ đường cao AH tia phân giác AD
(32)B) Chứng minh
B C HAD
8B Cho ABC (AB > AC), I giao điểm ba đường phân giác Tia AI cắt BC D Hạ IH vuông góc với BC H
a) Nếu B 40 , C 60, Tính số đo góc HID. b) Chứng minh
B C HID
III BÀI TẬP VỀ NHÀ.
9 Tìm x, y biết M giao điểm phân giác tam giác ABC
10 Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B C cắt I Gọi H, J, K chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB, AC, BC Biết KI = lcm, BK = 2cm, KC = 3cm
a) Chứng minh BHI = BKI
b) Chứng minh tam giác AHI tam giác vng cân c) Tính chu vi tam giác ABC
11 Cho tam giác ABC, tia đối tia BC lấy điểm M cho MB = AB, tia đối tia CB lấy điểm N cho NC = AC Qua M kẻ đường thẳng song song với AB Qua N kẻ đường thẳng song song với AC Hai đường thẳng cắt P Chứng minh:
a) MA, NA tia phân giác PMB PNC ,
b) Tia PA cắt BC K Chứng minh PA tia phân giác MPN , từ suy AK tia phân giác BAC
12. Cho tam giác ABC Các đường phân, giác góc ngồi đỉnh A và
C cắt K
a) Chứng minh BK phân giác góc ABC
b) Cho tia phân giác góc A C tam giác ABC cắt I Chứng minh B, I, K thẳng hàng
c) Cho biết ABC = 70° Tính AKC
13 Cho tam giác ABC, tia phân giác AD Các tia phân giác Bx Cy
cắt E Chứng minh ba đường thẳng AD, Bx, Cy đồng quy 1
2
BEC FEH
14 Tam giác ABC cân A Tia phân giác góc A cắt đường trung
tuyến BD K Gọi I trung điểm AB Chứng minh ba điểm I, K, C thẳng hàng
15 Chứng minh tam giác cân, trung điểm cạnh đáy cách hai
cạnh bên
16 Cho tam giác ABC cân A CP, BQ tia phân giác tam
(33)b) Chứng minh điểm O cách ba cạnh tam giác ABC
c) Chứng minh đường thẳng AO qua trung điểm đoạn thẳng BC vng góc với
d) Chứng minh CP = BQ
e) Tam giác APQ tam giác gì? Vì
17 Chứng minh tam giác cân, đường phân giác ứng với cạnh bên
18 Cho xOy = 50° Lấy điểm A Ox, B Oy Các tia phân giác xAB yBA cắt E.
a) Tính số đo góc AEB
b) Các đường AE, BE cắt phân giác ngồi góc xOy K, F Biết OBA = 40°.Tính góc tam giác KEF
19 Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC (H BC) Tia phân giác HAB cắt BC D
a) Chứng minh tam giác ACD tam giác cân
b) Các tia phân giác HACvà AHC cắt I Chứng minh CI qua trung điểm, AD Từ tính góc AIC
20 Tam giác ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C.
Gọi D giao điểm AI BC Kẻ IH vng góc với BC (H BC) Chứng minh:
a) AD tia phân giác A;
b)
90
CID B c) BIH CID
21 Cho tam giác ABC có I giao điểm ba đường phân giác Gọi H chân đường vng góc kẻ từ B đến AI Chứng minh:
a) Các góc ICBvà BIH hai góc phụ nhau; b) IBH ACI
22* Cho tam giác ABC Qua B kẻ đường thẳng xy song song AC hạ
BM vng góc với AC (M AC) Qua C kẻ đường thẳng x'y' song song AB hạ CN vng góc vói AB (NAB) Hai đường thẳng xy x'y' cắt P Chứng minh:
a) Đường phân giác A hai đường BM, CN đồng quy;
b) Đường phân giác A hai đường thẳng xy x'y' đồng quy
HƯỚNG DẪN
(34)Mà BI, CI tia phân giác B C nên I giao điểm ba đường phân giác ABC
=> AI tia phân giác
2
A A x
= 30° b) Ta có DEF cân D => F E 2HEF 64.
=> FH tia phân giác
DEF 32
DFEx
1B. Tương tự 1A.
a) x = 24° b) x = 33°
2A. a) I giao điểm ba đường phân giác MLN Do I cách ba cạnh MLN => IP = IH
b) Xét IKN vuông K :IK IN2 IK2 5cm => IH = IK = cm
2B a) Do KA vừa đường cao vừa là
trung tuyến nên OKB cân K Suy KA phân giác OKB Vì H nằm tia phân giác xOy nên H cách Ox, Oy => AH = HI b) Tính AH = 52 42 3cm
Từ giả thiếp ta suy H giao điểm
của ba đường phân giác OBK nên H cách ba cạnh tam giác
Vậy khoảng cách từ điểm H đến BK AH = 3cm
3A a) Chứng minh AMB = AMC (c.c.c) Từ suy AM tia phân giác góc BAC b) Xét ABC có AM, BD,CE tia
phân giác Từ tính chất ba đường phân giác tam giác, suy ba đường thẳng AM,BD,CE đồng quy
3B a) b) tương tự 3A.
c) Khi MNP tam giác
MN, KE, PF ba đường trung tuyến Vậy H trọng tâm, hay
2
HM MK 4A Gọi F,H,G hình chiếu
vng góc điểm E xuống đường thẳng AB, AC BC Từ giả thiết suy EF = EG EH = EG
(35)Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng
4B Tương tự 4A.
5A I nằm tam giác cách ba
cạnh tam giác nên MI tia phân giác góc M
Do MNP cân M nên đường giác MI đường trưng tuyến G trọng tâm MNP nên G nằm MI Từ đó, suy M,G, I thẳng hàng
5B Tương tự 5A
6A. Hạ MD AB, ME AC
Vì AM tia phân giác A nên MD = ME
Do BDM = CEM (ch-cgv) Suy B C Vậy ABC cân A
6B Tương tự 6A.
Chứng minh ABH = ACH (g.c.g) => ABC cân A
7A a) Xét ABC, ta tính B C = 110°. Do đó, IBC ICB = 55°.
Vậy BIC = 180° - 55° = 125° b) Xét BIC, từ giả thiết suy
IBC ICB = 40° Do đó, ta có: ABC ACB = 80°.
Vậy BAC = 100°
c) Ta có: = BIC 180 - ( IBC ICB )
=
180 180 - 180 -
2
B C A
180 - 90 - + 2 90
A A
7B. Tương tự 7A. a) D = 40°
(36)8A. a) Từ giả thiết, ta tính được: 60
BAC
30
2
BAC
DAC DAB
=> ADH DAC C 80
Do đó, xét AHD ta tính 10
HAD
Có thể tính BAH = 90° - 70° = 20° Vậy HDA = 30°- 20° = 10°
b) HAD = 90° - HDA
=
18 2
90 -
2
2
A A C B C
C
8B Tương tự 8A. 9. Tương tự 1A.
a) x = 19° b) x = 33°; y = 24°
10. a) BHI = BKI (ch-gn) Do đó, BH = BK = 2cm b) AI tia phân giác góc A nên
45
A HAI
Do đó, AHI tam giác vng cân c) Ta có IH = IK = IJ = 1cm Từ đó, suy AH = HI = lcm
Tương tự ý b), ta có AJ = KI = cm
IKC = IJC (ch-gn)
=> IC = KC = 3cm
IBH = IBK (ch-gn) => BH = BK = 2cm
Do đó, ta có: AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm Vậy chu vi tam giác ABC 12cm
11. a) ABM cân nên A1 M
Có AB // MP => M A1 (so le trong)
Vậy M M 2, nên MA tia phân giác
của PMB
Tương tự, ACN có NA tia phân giác PNC
b) Xét PMN có A giao điểm hai tia phân giác góc M N nên PA tia phân giác góc MPN
Có: AB //MP => BAK P1 ( đồng vị)
(37)Mà P1P2 (do PA tia phân giác góc MPN) nên Do đó, AK tia
phân giác BAC
12 a) Tương tự 4A.
b) Vì I giao điểm tia phân giác góc A C ABC nên BI phân giác ABC Suy B, I, K thẳng hàng c) Sử dụng 7A, ta có:
90 125
ACB AIC
Chú ý IAK ICK = 90° nên suy ra
KAC= 180° - 125° = 55°.
13. Từ 4A, ta chứng minh E thuộc tia phân giác góc BAC Do đó, tia AD qua điểm E Chú ý:
; 1
2
BEG FEG CEG HEG
Suy ĐPCM
14 Vì ABC cân A nên tia phân giác AK đồng thời đưòng trung tuyến Mà BD trung tuyến ABC nên K trọng tâm ABC
Do I, K, C thẳng hàng
15. Ta có ABM = ACM (c.c.c), suy AM tia phân giác BAC.Vậy điểm M cách hai cạnh bên AB, AC
16. a) Vì ABC cân nên ABCACB, B C Vậy OBC cân O b) Vì O giao điểm tia phân giác CP BQ ABC nên O giao điểm ba đường phân, giác ABC Do đó, O cách ba cạnh ABC
c) Ta có ABC cân A, AO tia phân giác đỉnh A nên AO đồng thời trung tuyến đường cao ABC
(38)d) PBC = QCS (g.c.g) => CP = BQ e) Từ ý d), ta suy AP = AQ
Vậy tam giác APQ cân A
17. Vì ABC cân A nên ABCACB. Do , B1C1
ABD = ACE (g.c.g) => BD = CE
18. a) Xét OAB, O= 50° nên ta có 130
OAB OBA Mặt khác 180 180 xAB OAB yBA OBA
nên
230
xAB yBA Do đó,
230 115
EAB EBA
Xét AEB, ta tính
180 115 65
AEB b) Tương tự, tính
70
EKF Suy ra
45
KFE 19 a) Ta có:
90 90 DAC A DAC ADC ADC A
=> ACD cân C
b) Vì ACD cân C nên tia phân giác CI đồng thời đường
trung tuyến Do CI qua trung điểm M AD
Do AMI vuông cân M nên AIM 45 , hay AIC = 135°
20. Xét ABC có I giao điểm tia phân giác góc B C nên AI tia phân giác A
=> AD tia phân giác A
b)
2 90
2
A C B
(39)c) Ta có
2
90 90
B BIH B
Kết hợp với câu b), suy BIH CID . 21. a) Từ giả thiết suy
IA, IB, IC tia phân giác ABC
Tương tự 20 ý b), chứng minh I190 C1
Vậy góc ICB BIH hai góc phụ
b) Vì IBH vng H nên:
1 1
90 90 (90 )
IBH I C C C
Vậy IBH ACI
22* a) Vì ABC nên đường cao BM,CN đồng thời đường phân giác ABC
Vậy đường phân giác gócA hai đường BM, CN đồng quy b) Từ giả thiết suy BM BP, mà BM tia phân giác
ABC nên BP tia phân giác ABC
Tương tự, ta có CP tia phân giác ngồi ABC
Từ 5A, ta chứng minh P thuộc đường phân giác góc A Vậy đường phân giác góc A hai đường thẳng xy x'y' đồng quy
(40)
CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa đường trung trực:
Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm
Trên hình vẽ bên, d đường trung trực đoạn thẳng AB Ta nói: A đối xứng B qua d
2 Định lí 1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách đều
hai mút đoạn thẳng
3 Định lí 2: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường
trung trực đoạn thẳng
MA = MB M thuộc đường trung trực AB
4 Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực
của đoạn thẳng
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Vận dụng tính chất đường trung trực để giải toán Phương pháp giải: Sử dụng Định lí 1.
1A Cho hai điểm A, B nằm đường trung trực đoạn thẳng MN,
Chứng minh MAB = NAB
1B Cho ABC cân B Lấy điểm D đối xứng với điểm B qua AC Chứng minh ABD = CBD
2A Tam giác ABC vng A có C = 30° Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD = AC Tính số đo góc BDA
2B. Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực BC Biết B = 40° Tính số đo góc ABC
3A Tam giác DEF có DE < DF Gọi d đường trung trực EF M là
giao điểm d với DF
a) Chứng minh DM + ME = DF
b) Lấy điểm P nằm đường thẳng d (P M) Chứng minh DP + PE > DF
(41)3B Tam giác ABC có B C = 30° Đường trung trực BC cắt AC K. a) Chứng minh KBC KCB.
b) Tính số đo góc ABK
c) Biết AB = cm, AC = cm Tính chu vi tam giác ABK
4A Cho tam giác ABC Các đường trung trực AB AC cắt BC M
và N
a) Biết =B 30°, C = 45° Tính số đo góc BAC MAN b) Chứng minh MAN = 2BAC- 180°
4B Cho tam giác ABC cân có A > 90° Các đường trung trực AB AC cắt cạnh BC theo thứ tự D E hai trung trực cắt F a) Biết A = 110° Tính số đo góc DAE
b) Chứng minh 2BAC = DAE +180° c) Tính góc DFE
5A Cho góc vuông xOy Trên tia Ox, Oy lấy hai điểm A B (không trùng với O) Đường trưng trực đoạn thẳng OA OB cắt M Chứng minh:
a) A, M, B thẳng hàng b) M trung điểm AB
5B Cho ABC vuông A Đường trung trực đoạn thẳng AC cắt AC H, cắt BC D Nối A D
a) So sánh số đo góc DAB DBA b) Chứng minh D trung điểm BC
Dạng Chứng minh điểm thuộc đường trung trực Chứng minh một đường thẳng đường trung trực đoạn thẳng
Phương pháp giải:
• Để chứng minh điểm M thuộc trung trực đoạn thẳng AB, ta dùng Định
lí Định nghĩa đường trung trực.
• Để chứng minh đường thẳng d đường trung trực đoạn thẳng AB, ta chứng minh d chứa hai điểm cách A B, dùng định nghĩa đường trung trực
6A Cho đoạn thẳng AB = cm Vẽ đường trịn tâm A bán kính cm và
đường trịn tâm B bán kính cm Hai đường tròn cắt D, E Chứng minh:
a) Điểm A thuộc đường trung trực DE; b) AB đường trung trực DE;
c) ADB = 90°
6B Cho đoạn thẳng AB Dựng tam giác cân MAB, NAB M
và N (M, N nằm khác phía so với AB) Chứng minh: a) Điểm M thuộc đường trung trực AB;
b) MN đường trung trực AB
7A Cho DEF có DE = DF Lấy điểm K nằm tam giác cho KE = KF Kẻ KP vng góc với DE (P DE), KQ vng góc với DF (Q DF) Chứng minh:
a) K thuộc đường trung trực EF PQ;
(42)7B Cho góc xOy khác góc bẹt Oz tia phân giác xOy Gọi M điểm thuộc tia Oz Qua M vẽ đường thẳng a vng góc với Ox A, cắt Oy C vẽ đường thẳng b vng góc với Oy B, cắt Ox D Chứng minh.:
a) Điểm O thuộc đường trung trực AB; b) OM đường trung trực AB;
c) Điểm M thuộc đường trung trực CD
Dạng Xác định vị trí điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài
Phương pháp giải: Sử dụng Định lí để xác định điểm nằm đường
trung trực đoạn thẳng
8A Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d Xác định vị trí
điểm M đường thẳng d cho M cách hai điểm A B
8B Cho tam giác ABC Một đường thẳng d qua A không cắt đoạn
thẳng BC Tìm vị trí điểm D đường thẳng d cho D cách hai điểm B C
Dạng Sử dụng tính chất đường trung trực vào tốn cực trị (tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất)
Phương pháp giải:
• Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng khác
• Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
9A. Hai điểm A, B nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d Tìm vị trí điểm C đường thẳng d cho giá trị tổng CA + CB nhỏ
9B. Hai nhà máy xây dựng hai địa điểm A B nằm một
phía khúc sơng thẳng Tìm bờ sơng địa điểm C để xây trạm bơm cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A đến B nhỏ
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
10 Cho góc xOy= 35° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Gọi C điểm đối xứng với A qua Oy
a) Chứng minh OAB = OCB b) Tính số đo góc AOC
11 Cho tam giác ABC vuông A có góc C= 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB
a) Chứng minh BCD tam giác
b) Biết BC = Tính độ dài cạnh AB, AC
12 Cho ABC, đường phân giác AD Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Chứng minh:
a) DB = DE;
b) AD đường trung trực BE
13 Cho ABC cân A, M trung điểm BC ME vuông góc với AB, MF vng góc với AC Chứng minh:
a) AM trung trực của BC;
(43)c) EF// BC
14 Cho tam giác ABC có AB < AC Trên cạnh AC lấy điểm D cho CD = AB Hai đường trung trực BD AC cắt E Chứng minh: a) ABE = CDE;
b) Điểm E cách hai cạnh AB AC
15 Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°) Đường trung trực cạnh AC cắt tia CB điểm D Trên tia đối tia AD lấy điểm E cho AE = BD Chứng minh.:
a) Chứng minh ADC cân; b) Chứng minh DACABC;
c) Chứng minh AD = CE;
d) Lấy F trung điểm DE Chứng minh CF đường trung trực DE
16 Cho ABC nhọn, đường cao AH Lấy điểm P Q đối xứng với H qua AB; AC
a) Chứng minh AP = AQ
b) Cho BAC = 60° Tính số đo góc PAQ
c) Gọi I , K giao điểm PQ với AB, AC Chứng minh
API AHIvà AHK AQK
d) Chứng minh HA tia phân giác IHK
17 Cho xOy = 90° Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B Kẻ đường trung trực HM đoạn thẳng OA (H OA, M AB) Chứng minh M thuộc đường trung trực OB
18 Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI ( I BC ) Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài E cắt AC F Chứng minh:
a) Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC; b) Khi H di động đoạn thẳng ỈC đường trung trực đoạn thẳng EF cố định
19 Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D AC cho DA + DB = AC
20 Cho góc xAy, B C hai điểm thuộc hai tia Ax Ay Tìm điểm M cách hai cạnh góc cách hai điểm B C
21 Cho bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình có AB / / CD BC//AD hình vẽ Giao điểm AC BD O Từ O vẽ vng góc với AC cắt cạnh BC, AD
lần lượt M, N Chứng minh AC trung trực MN AM = MC = CN = NA
(44)a) Chứng minh MB + MC EC
b) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho MB + MC đạt giá trị nhỏ cho biết giá trị
23 Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác góc ngồi
tại đỉnh A cho tam giác EBC có chu nhỏ
24* Cho điểm A nằm góc nhọn xOy
a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox Oy cho AM + AN nhỏ b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox Oy cho ABC có chu vi nhỏ
HƯỚNG DẪN 1A. Do A, B nằm đường trung trực
của đoạn thẳng MN nên AM = AN, BM = BN
Suy MAB = NAB (c.c.c)
1B. Tương tự 1A.
2A. AB đường trung trực AC => BD = BC => DBC cân B => BDA C 30
2B. Tương tự 2A
Tính được: ACB4 ;0 BAC 100
3A. Do DE < DF nên M thuộc cạnh DF a) Có M thuộc đường trung trực EF nên ME = MF
=> DM + ME = DM + MF = DF b) Vì P thuộc đường trung trực EF nên PE = PF =>DP + PE = DP + PF Xét DEF: DP + PF > DF
Vậy DE + PE > DF
c) Từ ý a) ý b) suy DP + PE > DM + ME
Vậy chu vi tam giác DEP lớn chu vi tam giác DEM
3B. Do B C nên AC > AB K thuộc cạnh AC. a) K thuộc đường trung trực BC => KB = KC => BKC cân K =>KBC KCB
b) Ta có:
ABKABC KBC ABC C 30 c) Ta có:
(45)4A. a) Từ giả thiết suy AB > AC M nằm B N Ta có MA = MB, NA = NC
30 45 B A C A
Nên AN BC
Xét ABC: A = 105°
Vậy MAN 90 ABN BAM 30
b) Có: MAN A (A1A2) A (B C ) A (180 A )
Vậy MAN 2A180
4B Tương tự 4A Có
40
DAE và DFE 70
5A a) Gọi M1,M2
giao điểm trung trực đoạn OA,OB với AB M1A = M1O nên
1
A O M2O = M2B nên
2
B O .
=> O1O A B 90 M OM 0 M1M2M
Vậy A, B, M thẳng hàng
b) Từ kết ý a) MA = MB nên M trung điểm AB
5B a) Từ giả thiết suy DC = DA => C A1
2 90 90 A A A B B C
b) A2 B => DA = DB
Mà DC = DA => DC = DB => ĐPCM
6A a) Từ giả thiết suy AD = AE.
Suy điểm A thuộc đường trung trực DE
b) Tương tự ý a), ta có điểm điểm B thuộc đường trung trực DE Vậy AB đường trung trực DE c) Ta có AD2 + DB2 = 42 + 32 = 25.
Mà AB2 = 25.
Vậy ABD vuông D
6B Tương tự 6A. 7A a) Ta có:
DE DF KE KF
(46)DEK = DFK (c.c.c)
=> D1D2 => DK đường phân
giác góc DEF
=> DPK = DQK => KP = KQ DP = DQ
Từ suy K, D thuộc trung trực PQ
b) Từ ý a) ta có DK đường trung trực PQ DK đường trung trực EF Suy DK PQ, DK EF
Vậy PQ // EF
7B a) OAM = OEM (ch-gn)
OA OB MA MB
=> O thuộc trung trực AB b) Từ ý a) ta có OM trung trực AB
OBD = OAC (cgv-gn) Tương tự 7A, ta có OM trung trực DC
8A Vì điểm M cách hai điểm A
B nên M thuộc đường trung trực đoạn thẳng AB
Vậy điểm M giao điểm đường thẳng d với đường trung trực AB
Chú ý: Nếu A, B nằm cho
AB d khơng tồn điểm cần tìm
8B Tương tự 8A.
9A Lấy D điểm đối xứng, với A
qua d Theo tính chất đường trung trực: CA = CD
Do CA + CB = CD + CB Gọi M giao điểm BD d Nếu C khơng trùng với M xét
BCD, ta có: CB + CD > BD hay CA + CB > BD (1) Nếu C trùng với M thì:
CA + CB = MA + MB = MD + MB = BD (2)
So sánh (1) (2) ta thấy điểm C trùng M hay C giao điểm BD d giá trị tổng CA + CB nhỏ
Chú ý: Điểm C tìm vị trí M điểm Thật vậy, lấy E đối xứng với B qua d AE cắt d M vị trí mà BD cắt d
(47)10 a) Từ giả thiết suy OB đường trung trực AC
=> OA = OC, BA = BC => OAB = OCB (c c c) b) Từ ý a) suy ra:
AOB BOC 35 AOC70
11. a) Có AB đường trung trực CD nên BD = BC
=> BCD cân có C = 60° => BCD
b) BCD
=> CD = BC = 3
CD CA
Xét ABC vng A, ta có: AB = BC2 AC2 = 3
12. ABD = AED (c.g.c) => DB = DE (1)
b) Theo giả thiết: AB = AE (2) Từ (1) (2) , suy AD đường trung trực BE
13. a) Từ giả thiết suy AB = AC MB = MC => AM trung trực của BC
b) ABC cân A nên B C .
BEM = CFM ( ch-gn) => ME = MF BEM = CFM (ch-gn) => BE = CF Mà AB = AC =>AE = AF
Mặt khác, ME = MF Do AM trung trực EF
c) Ta có: AM đương trung trực BC EF
=> AM BC, AM EF => EF // BC
14. a) Vì hai đường trung trực BD AC cắt E nên EA = EC, EB = ED
=> ABE = CDE (c.c.c) b) ABE = CDE => A1 C1
Mà EA = EC => A1C1 A1A2
(48)15. a) Vì D thuộc đường trung trực AC nên DA = DC
=> ADC cân
b) ADC cân => DAC DCA . Vì AB = AC nên ABCACD.
=> DACABC
c) Ta có :
( 180 )
EAC DAC DBA ABC Từ kết ý a), suy EACADB.
Chứng minh EAC = DBA (c.g.c) => AD = CE d) Ta có: AD = CE, AD = CD nên CE = CD
=> CF đường trung trực DE
16. a) Từ giả thiết suy AP = AH AQ = AH nên AP = AQ b) Ta có:
2( )
2 120
PAQ PAH HAQ BAH HAC
BAC
c) API = AHI (c.c.c)
API AHI
(1)
AHK = AQK ( c.c.c) => AHK AQK (2)
d) Có AP = AQ => PAQ cân A => API AQK (3) Từ (1),(2) (3) có: AHI AHK
=> HA tia phân giác IHK
17. Ta có MA = MO => O A
Mặt khác, A B O 2O1 90
=> O1B => MO = MB
Vậy M thuộc trung trực OB
18. a) Vì HE // AI nên EA1 (đồng vị) F1A2(so le trong)
Mà A1 A2, E F 1
=> AE = AF
=> Đường trung trực EF qua đỉnh A tam giác ABC b) Vì EF//AI nên đường trung trực EF vng góc với AI
(49)vng góc với AI cố định Vậy đường trung trực đoạn thẳng EF ln cố định
19. Ta có: AC = DA + DC Suy ra: DA + DB = AC
DA + DB = AD + DC DB = DC
D thuộc đường trung trực BC Vậy D giao điểm AC với đường trung trực BC
DA + DB = AC
20. Vì M cách hai cạnh góc xAy nên M thuộc tia phân giác xAy Vì M cách B C nên M thuộc đường trung trực BC
Vậy M giao điểm tia phân giác góc xAy đường trung trực BC Chú ý: Nếu B, C vị trí mà AB = AC
tìm vơ số điểm M nằm trung trực BC
21. Chứng minh được:
BAC = DCA (g.c.g) nên BC = AD; BOC = DOA (g.c.g) nên OC = AO Do BC // AD nên MCO NAO (so le trong)
MOC = NO A => OM = ON,
AC MN trung điểm MN nên AC trung trực MN Suy AM = AN CM = CN, MN trung trực AC nên AM = MC Suy ĐPCM
22. a) Gọi F giao điểm đường thẳng d với AB nên AF BE
AEF = ABF (ch-cgv)
=> FE = FB => AF đường trung trực AB => ME = MB
=>MB + MC = ME + MC
Nếu điểm M không trùng điểm A, xét MEC có ME + MC > EC nên MB + MC > EC (1)
Nếu điểm M trùng điểm A, đó:
MB + MC = AB + AC = AE + AC = EC (2) Từ (1) (2) suy MB + MC EC
b) Từ ý a) ta thấy điểm M trùng điểm A MB + MC đạt giá trị nhỏ Khi đó, ta có:
MB + MC = EC = AB + AC = 23cm
(50)=> AE đường trung trực CD =>ED = EC => EB + EC = EB + ED Tương tự 9A suy điểm E trùng với điểm A giá trị tổng EB + EC nhỏ Khi đó, chu vi tam giác EBC nhỏ
24* a) Từ A vẽ AM Ox Đoạn AM nhỏ đoạn từ A đến điểm Ox
Tương tự AN Oy
Suy AM + AN tìm có giá trị nhỏ
b) Lấy D đối xứng với A qua Ox, lấy E đối xứng với A qua Oy Đường DE cắt Ox, Oy B, C cần tìm
Thật vậy, lấy điểm B',C' khác B,C ta ln có:
BD + BC + CE < B' D + B'C' + C' E
Mặt khác, ta có: AB + BC + CA = BD + BC + CE, AB' + B'C' + C'A + B'D + B'C' + C'E Vậy B, C hai điểm thỏa mãn yêu cầu đề
(51)
I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định lí Ba đường trung trực
một tam giác qua điểm Điểm cách đểu ba đỉnh tam giác
Trên hình bên, điểm O giao điểm đường trung trực ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC
2 Định lí Trong tam giác cân,
đường trung trực cạnh đáy đồng
thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy
II BÀI TẬP YÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng Xác định tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất giao điểm đường trung trực trong
tam giác cách ba đỉnh tam giác
1A Cho A, B, C ba điểm phân biệt không thẳng hàng Hãy xác định
đường tròn qua ba điểm A, B, C
1B Ơng Hùng có ba cửa hàng A, B, C khơng nằm đường thẳng và
đang muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng Phải chọn vị trí kho hàng đâu để khoảng cách từ kho đến cửa hàng nhau.?
2A Chứng minh tam giác vng, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác
là trung điểm cạnh huyền
2B Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh O trung điểm BC
thì O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
Dạng Vận dụng tính chất ba đưịng trung trực tam giác để giải quyết toán khác
Phương pháp giải: Từ Định lí 2, ta có tính chất tam giác, giao điểm
của hai đường trung trực thuộc đường trung trực cịn lại tam giác
Lưu ý: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đường
trung tuyến, đường phân giác đường cao
3A Cho ABC M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt O Tính số đo góc OMB
3B. Cho MNP Đường trung trực MN cắt đường trung trực MP I Hạ IH NP Chứng minh H trung điểm NP
4A Cho ABC có góc A = 110° Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh:
a) BIC cân;
b) BIC = 2(180° - BAC) tính sốđo góc BIC
4B Cho ABC vng A Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh:
a) OB = OC;
(52)5A Cho ABC (AB = AC) Đường trung trực BC cắt trung tuyến BD G Chứng minh G trọng tâm ABC
5B Cho ABC cân A AM đường trung trực cạnh BC (M BC) Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G cho AG =
2
3AM Chứng minh đường thẳng BG qua trung điểm đoạn thẳng AC
6A Cho tam giác MNP cân M Trên cạnh MN lấy điểm K, cạnh MP
lấy điểm D cho MK = DP Đường trung trực MP cắt đường trung trực DK O Chứng minh:
a) MKO PDO ;
b) O thuộc đường trung trực MN; c) MO tia phân giác NMP
6B Cho ABC cân A Gọi O điểm cách ba đỉnh A, B, C Nối OA, OB, OC
a) Chứng minh OBA OAC .
b) Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho BM = AN Chứng minh O thuộc đường trung trực MN
Dạng Chứng minh ba đường thẳng quy, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đồng quy ba đường trung trực
trong tam giác
7A Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC Các đường
trung trực AB AC cắt E Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng
7B Cho tam giác MNP cân M, đường cao MH Các đường trung trực của
MN MP cắt D Chứng minh ba điểm M, D, H thẳng hàng
8A Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa
điểm A, dựng tam giác cân BCD Chứng minh đưòmg trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD,
8B Cho tam giác ABC cân có A góc tù Gọi M trung điểm BC.
Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, dựng tam giác BNC cân N Chứng minh đường thẳng AM đường trung trực NB, NC đồng quy
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
9 Tam giác ABC có A góc tù Các đường trung trực cạnh AB AC cắt O Các điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA hay khơng? Vì sao?
10 ABC nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OB = OD
a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh tam giác ABD, CBD vuông
c) Biết ABC = 70° Tính số đo góc ADC
11 Cho ABC có O giao điểm đường trung trực tam giác Biết BO tia phân giác góc ABC Chứng minh:
(53)12 Cho tam giác ABC cân A Các đường trung trực AB AC cắt O Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Chứng minh:
a) DOB = EOC;
b) AO đường trung trực DE; c) DE // BC
13 Cho tam giác ABC vng A có C = 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB
a) Có nhận xét tam giác DBC ? Vì sao? b) Chứng minh AC =
1 2 BC.
c) Trên tia BA lấy điểm O cho BO =
3BA Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp DBC
14 Cho tam giác ABC có A > 90° Trên cạnh BC lấy điểm D E cho BD = BA, CE = CA Gọi I giao điểm tia phân giác tam giác ABC Chứng minh:
a) BI, CI đường trung trực AD, AE; b) IA = ID = IE
15 Trên ba cạnh AB, BC CA tam giác ABC lấy điểm theo thứ tự M, N, P cho AM = BN = CP Gọi O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC
a) Tính số đo góc MAO
b) Chứng minh MAO = OPC
c) Chứng minh O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP
16 Cho ABC cân (AB = AC ) Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC M N (M N nằm đoạn thẳng BC ) Chứng minh:
a) AMB ANC cân; b) AMC = ANB;
c) AO đường trung trực MN
17
Cho ABC vuông A, C = 30° Kẻ đường trung trực đoạn thẳng AC, cắt AC H cắt BC D Nối A D
a) Chứng minh ABD
b) Kẻ phân giác góc B cắt AD K, cắt DH kéo dài I Chứng minh I tâm đường qua ba đỉnh, tam giác ADC
c) Gọi E, F hình chiếu vng góc I xuống đường thẳng BC, BA Chứng minh IE = IF = IK
d) Tính số đo góc DAI
18 Cho ABC có góc A tù, tia phân giác B C cắt O
Lấy E điểm cạnh AB Từ E hạ EP BO (P thuộc BC), từ P hạ PF OC (F thuộc AC) Chứng minh:
(54)b) BE + CF = BC
19 Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt O
a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng
b) Kéo dài CO cắt AB D, kéo dài BO cắt AC E Chúng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy
20* Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC, H BC Tia phân giác góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh điểm cách ba cạnh ABC điểm cách ba đỉnh ADE
21* Cho ABC có ba góc nhọn Các điểm F, K, I trung điểm, cạnh BC, BA, AC Gọi H giao điểm đường trung trực ABC Trên tia đối tia FH lấy điểm A' cho A'F = FH Trên tia đối tia KH lấy điểm C' cho KH = KC' Trên tia đối tia IH lấy điểm B' cho IH = IB'
a) Chứng minh hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đôi song song
b) Cho ABC80 , BAC 60 Tính góc hình sáu cạnh A'BC'AB'C
HƯỚNG DẪN
1A. Gọi đường tròn qua ba điểm A, B, C có tâm O Ta có OA = OB = OC
Ba điểm phân biệt A, B, C không thẳng hàng tạo thành tam giác ABC Vì OA = OB = OC nên O giao điểm ba đường trưng trực tam giác ABC
1B. Tương tự 1A.
2A Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Do đó, OA = OB = OC Suy ra: B A C 2, A1
=>
2
1
2
2 80 180
O A
O A
=> BOC O1O 360 2A180
=> B, O, C thẳng hàng, mà OB = OC => O trưng điểm BC
2B Tương tự 2A
3A Từ giả thiết suy O thuộc đường
trung trực BC
=> OM đường trung trực BC => OMB = 90°
(55)4A a) Từ giả thiết suy I thuộc đường
trung trực BC
=> IB = IC = BIC cân I
b) Có BIA 180 2A AIC 2; 1 08 2A1
=> BIC BIA AIC = 180 2A1180 2A2
= 2(180 BAC)
Từ đó, suy BIC = 140°
4B Tương tự 4A.
5A Vì ABC cân A nên đường trung trực cạnh đáy BC đồng thời trung tuyến ABC ứng với cạnh BC
Kết hợp với giả thiết suy G trọng tâm ABC
5B Tương tự 5A.
6A a) Từ giả thiết suy OK = OD,
OM = OP
MKO = PDO (c.c.c) =>MKO PDO b)Từ kết ý a), suy OKN ODM . Mặt khác MN = MP, MK = PD
=>NK = MD Chứng minh
OKN = ODM (c.g.c) => ON = OM => O thuộc đường trung trực MN c) Xét MNP có O giao điểm đường trung trực MN
và MP
=> MO đường trung trực NP Mà MNP cân M nên MO đồng thời tia phân giác góc NMP
6B a) Từ giả thiết suy OA = OB = OC.
Suy AOB = AOC (c.c.c) Mà AOB, AOC tam giác cân đỉnh O nên OBA OAC
b) Chứng minh BMO = ANO (c.g.c) => OM = ON
=> O thuộc đường trung trực MN
7A Chứng minh được: ABM = ACM (c.c.c) Từ đó, suy AM đường trung trực BC Theo tính chất ba đường trung trực
(56)Vậy ba điểm A, E, M thẳng hàng
7B Tương tự 7A.
8A Từ giả thiết, ta có: AB = AC, DB = DC.
=> AD đường trung trực BC Xét ABC, theo tính chất ba đường trung trực tam giác ta có đường trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD
8B. Tương tự 8A.
9. Từ giả thiết suy OA = OB = OC Vậy điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA
10. a) Ta có OA = OB = OC nên OA = OD = OC
=> O giao điểm hai đường trung trực AD DC b) Ta có : OA = OB => B BAO
OA = OD => D 1DAO
Xét BAD có:
2 180
B BAO DAO D
=> 2(BAO DAO ) 180 BAD 90 Vậy tam giác ABD vuông A
Tương tự, ta chứng minh tam giác BCD vng C Ta ý AO =
1
2BD OC =
2BD Suy kết quả ABD vuông A BCD vuông C
c) Ta có: B2D 190;B1D 90
Suy B1B 2D 2D 180
=> ABC ADC 180 ADC 180 ABC 110
11. a) Ta có OA = OB = OC B1B2
nên C1B1B A1
=> AOB COB
=> AOB = COB (c.g.c) b) AOB = COB => BA = BC
Mà OA = OC => BO đường trung trực AC
12. Ta có OB = OC, AB = AC
2 2, 1
B C ABCACBB C
(57)b) DOB = EOC => OD = OE
Mặt khác: AD = AB - BD = AC - CE = AE => AO đường trung trực DE
c) AO đường trung trực DE
BC nên AO DE, AO BC => DE // BC
13. a)Từ giả thiết suy AB đường trung trực CD Suy BD = BC Mà C = 60° => BCD tam giác b) Ta có: AC = DA =
1 2CD. Từ kết ý a), suy CD = BC Do AC =
1 2BC.
c) Xét DBC có trung tuyến BA BO =
3BA => O trọng tâm DBC
=> O giao ba đường trung trực DBC
=> OA = OB = OC => O tâm đường tròn ngoại tiếp DBC
14. a) BAC = BAD nên BCD tam giác
b) AC =
2 DC = 2 BC. c) Do BA trung tuyến nên O trọng tâm Suy CO, DO trung tuyến
Mà BCD nên DO,CO trung trực BC, BD Vậy A tâm đường tròn ngoại tiếp A
15. a) Vì ABC O giao điểm ba đường trung trực nên AO tia phân giác A
=>
30
2
BAC
MAO
b) Tương tự ý a), OCP 30
Chứng minh MAO = PCO (c.g.c) Ta có: MAO = OPC => OM = OP (1) Tương tự ý b), MAO = NBO (c.g.c) => OM = ON (2)
Từ (1) (2) suy O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP
16 a) Từ giả thiết suy NA = NC, MA = MB nên
(58)
3
A BAM A (1).
Từ ý a) ABC cân A, ta có:
NACACB ABC BAM (2).
Từ (1) (2) suy A1 A3 Ta chứng minh
AMC = ANB (c.g.c)
c) O giao điểm trung trực ABC => OB = OC Từ ý b), suy AN = AM
Từ OBN = OCM suy OM = ON Vậy OA trung trực MN
17. a) C 30 B 60
Ta có: DA = DC => DAC C 30 => BAD = 60° => ABD
b) ABD => BK đường trung trực AD => IA = ID,
Mà I DH =>IA = IC.Vậy IA = IC = ID => I tâm đường tròn qua ba đỉnh tam giác ADC
c) I thuộc phân giác gócB => IE = IF
DH đường trung trực AC => DH phân giác ADC => IK = IE Vậy IE = IF = IK
d) IK = IF => AI tia phân giác DAF 60 120
BAD DAF =>
60
2
DAF
DAI
18. a) Gọi H giao điể PE với OB I giao điểm PF với OC
Chứng minh được:
BEH = BPH (cgv- gn) =>BE = BP, HE = HP
=> OB đường trung trực PE
Tương tự, FOC = POC => CF = CP, IF = IP => OC đường trung trực PF
b) Từ ý a), ta có: BE + CF = PB + PC = BC
19 a) Ta có: ABE = ACD (c.g.c) Từ suy AO đường trung trực
đoạn DE
Xét ABC, theo tính chất ba đường trung trực tam giác nên O thuộc đường trung trực BC
(59)=> B1 C1
Chứng minh ADC = AEB (g.c.g), suy AD = AE (1) Mặt khác, có OB = OC, BE = CD (vì ADC = AEB) nên OD = OE (2)
Từ (1) (2) suy AK đường trung trực DE
Xét ADE, theo tính chất ba đường trung trực tam giác, ta có AK đường trung trực AD AE đồng quy
20* Vẽ tia phân giác B C ABC, chúng cắt O Suy O cách ba cạnh ABC
Ta có: AEB C A EAB HAB A 4, 3
Vì C HAB (do phụ với góc B ) A4 A3, nên AEB EAB
Suy ABE cân B
Vậy đường phân giác BO góc B đường trung trực cạnh AE
Tương tự, ta có đường phân giác CO góc C đường trung trực cạnh AD
Từ đó, suy O cách ba đỉnh ADE
21* a) Từ giả thiết suy ra
AKH = BKC' (c.g.c) => AH = BC'
Mà A1 B1=> AH // BC'
Tương tự, AHI = CB'J =>AH = CB', AH // CB' Vậy ta có BC' = CB' (= AH) BC' // CB'( //AH)
Tương tự, ta có:
AC' = CA' ( = BH ) AC' // CA' ( // BH); AB' = BA' (= CH ) AB' // BA' (//CH)
Mà H giao điểm đường trung trực ABC nên AH = BH = CH
Vậy hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song
b) Tính ACB = 40°
Do C'BH, HBA' cân nên B1B B3 B
Suy C 'BA'2A CB 160
Tương tự, C 'AB ' 2ABC120 B 'C A' 2A CB80
Do
'/ / '
' ' ' 160 '/ / '
AB BA
AB C A BC CB BC
(60)Tương tự, AC B B CA ' ' '80 B CA' 2C A ' B'120
CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
I TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Đường cao tam giác
Đường cao tam giác đoạn vng góc kẻ tà đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện
2 Tính chất ba đường cao tam giác
Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác
Trong hình vẽ AD, BE, CF đường cao, H trực tâm tam giác ABC
(61)- Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác
- Trong tam giác, có hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực,đường cao) trùng tam giác tam giác cân
- Trong tam giác vuông, trực tâm tam giác đỉnh góc vng tam giác
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng Xác định trực tâm tam giác
Phương pháp giải: Để xác định trực tâm tam giác, ta cần tìm giao
điểm hai đường cao tam giác
1A. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE CF cắt
nhau H
a) Chỉ đường cao tam giác HBC Từ trực tâm tam giác
b) Chỉ trực tâm tam giác HAB HAC
1B. Cho tam giác HBC có H > 90°, đường cao BD CE cắt A Tìm trực tâm tam giác ABC
2A Hãy giải thích trực tâm tam giác vuông trùng với đỉnh góc
vng?
2B Cho tam giác ABC vng A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM.
Chứng minh trực tâm tam giác ABC, MAB MAC thẳng hàng
Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vng góc
Phương pháp giải: Nếu H giao điểm hai đường cao kẻ từ B C tam
giác ABC AH BC
3A Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt S.
a) Chứng minh MS NP b) Cho MNP = 65° Tính SMR
3B Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE cắt I.
a) Chứng minh CI AB
Cho ABC = 50° Tính AIE DIE,
4A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Lấy điểm K thuộc
đoạn thẳng HC Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH D Chứng minh AK CD
4B Cho tam giác MNP vuông M Trên cạnh MN lấy điểm Q, kẻ QR NP (R NP) Gọi O giao điểm đường thẳng PM RQ Chứng minh PQ ON
5A Cho tam giác MNP vuông M (MP < MN) Trên cạnh MN lấy điểm
Q cho MQ = MP, tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh:
(62)5B Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác
A, B), tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AD Tia ED cắt BC F Chứng minh:
a) EF BC b) DF = BF; c) CD BE
Dạng Đường cao tam giác cân
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Trong tam giác cân đường cao ứng
với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác
6A Cho tam giác ABC cân A, đường cao BE cắt đường trung tuyến AD
ở H Chứng minh CH AB
6B Cho tam giác MNP cân M, đường cao PQ cắt đường phân giác MS ở
K Chứng minh NK MP
7A Cho tam giác ABC cân A, đường cao BD, CE cắt H.
Chứng minh AH tia phân giác BAC
7B Cho tam giác DEF cân D, đường cao EM, FN cắt O.
Gọi I giao điểm DO với EF Chứng minh IE = IF
Dạng Sử dụng tính chất trực tâm để chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Nếu ba đường thẳng ba đường cao tam giác thì
chúng qua điểm
8A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường phân giác BM Trên cạnh
BC lấy điểm D cho BD = BA a) Chứng minh BM AD
b) Gọi H hình chiếu vng góc D AC,K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy
8B Cho tam giác ABC vuông B, kẻ đường phân giác AD Trên cạnh AC
lấy điểm E cho AB = AE a) Chứng minh DE AC
b) Gọi F hình chiêu vng góc C đường thẳng AD Chứng minh ba đường thẳng AB, ED, CF đồng quy
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
9 Trong câu sau, câu đúng?
Cho MNP không vuông, H trực tâm, đó: a) M trực tâm tam giác HNP;
b) N trực tâm tam giác MPH; c) P trực tâm tam giác MHN; d) M trực tâm tam giác MNP
10 Cho tam giác MNO có ba góc nhọn Gọi K, P chân đường cao kẻ từ M N Gọi S giao điểm MK NP
a) Chứng minh OS MN b) Cho MNO = 70 Tính OSK
11 Cho tam giác ABC cân A, kẻ đường cao CD Đường trung trực BC cắt CD M
a) Chứng minh BM AC b) Tính BMD biết ABC = 70°
(63)13 Cho tam giác ABC có BC cạnh lớn Gọi I giao điểm đường phân giác góc B góc C Trên cạnh BC lấy điểm D, E cho CD = CA, BE = BA
a) Chứng minh BI AE CI AD
b) Gọi M giao điểm BI AD, N giao điểm CI AE Chứng minh AI MN
14 Cho tam giác AMN cân A Đường trung trực d AM cắt đường thẳng MN P Gọi D hình chiếu vng góc M AP E trung điểm MN Chứng minh ba đường thẳng d,MD, AE đồng quy
15* Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Gọi M, N lần lượt
là trung điểm HB, HA Chứng minh AM vng góc với CN
HƯỚNG DẪN 1A. Học sinh tự làm
1B. Học sinh tự làm
2A. Học sinh tự làm
2B. Học sinh tự làm
Các trực tâm nằm đường cao AH
3A. Chú ý S trực tâm MNP, từ MS NP
b) Gọi H giao điểm MS với NP Chú ý MHN vuông, từ tính SMR 25
3B. a) Chú ý I trực tâm ABC b) Tính AIE5 ,0 DIE 130
4A Chú ý AB AC, từ DK AC Bởi K trực tâm ADC, suy AK CD
4B. Chú ý Q trực tâm PNO
5A. a) Gọi S giao điểm PQ NR Tính SPR SRP 45, từ PQ NR
b) Từ kết ý a, ta có Q trực tâm PNR => RQ NP
(64)6A. Chú ý AD đường cao ABC, từ
H trực tâm
ABC suy CH AB
6B. Tương tự 6A, chứng minh K trực tâm MNP
7A. Chú ý H trực tâm ABC, từ AH vừa đường cao vừa đường phân giác
7B. Tương tự 7A, chứng minh AI đường trung tuyến ABC, từ IE = IF
8A. Chú ý tam giác ABD cân B nên BM đường phân giác đường Cao, từ BM AD
b) Chú ý AK, BM, DH ba đường cao AMD
8B. a) Chứng minh được ABD = AED(c.g.c)
Từ AED = 90° => DE AC b) Chú ý AB, ED, CF
ba đường cao ADC
9. Học sinh tự làm
10. a) Tương tự 3A.
b) OS cắt MN Q, ý ONQ vng, từ OSK = 70°
11. Tương tự 6A, chứng minh M trực tâm ABC
Tính BAC = 180° - 140° - 40° => ABM = 90° - 40° = 50° Suy BMD = 40°
12. Chú ý AM đường cao, từ dùng Định lý Pytago tính AM = 12 cm
13. a) Tam giác ABE cân B có BI phân giác nên đường cao, từ BI AE
Tương tự CI AD
b) Từ kết ý a, chứng minh I trực tâm AMN, từ AI MN
14. Ta có tam giác AMN cân A, AE MN
(65)AMP, chúng đồng quy Chú ý: Điểm P M N chứng minh khơng thay đổi
15. Dùng tính chất đường trung bình cho AHB ta có:
MN // AB => MN AC
Chứng minh N trực tâm AMC, từ dẫn đến AM CN
ƠN TẬP CHUN ĐỀ 3 I TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Xem phẩn Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài 9.
II BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1A. Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = AB Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = AC So sánh:
a) ADC AEB; b) AD AE
1B Cho tam giác ABC có góc A tù, AB < AC Trên cạnh BC lấy M N
sao cho BN = BA, CM = CA a) So sánh AMC ANB b) So sánh AM AN
c) Cho biết ABC40 , ACB 30.Tính ba góc AMN.
2A Cho tam giác ABC, trung tuyến AM trọng tâm G Trên tia đối của
(66)b) Gọi N trung điểm AF Chứng minh ba điểm E, G, N thẳng hàng
c) Gọi H trung điểm GA, I trung điểm GE Chứng minh IH // MN IH = MN
2B Cho tam giác ABC, trung tuyên AM Trên tia đối tia MA lấy D sao
cho MD = MA
a) Chứng minh AB // CD AB = CD
b) Gọi E F trung điểm AC BD AF cắt BC I, DE cắt BC K Chứng minh I trọng tâm tam giác ABD, K trọng tâm tam giác ACD
c) Chứng minh BI = IK = KC d) Chứng minh E, M, F thẳng hàng
3A Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy M cho BM = BA.
Trên tia đối tia CB lấy N cho CN = CA Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua N kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt P
a) Chứng minh MA tia phân giác PMB, NA tia phân giác PNC.
b) Chứng minh PA tia phân giác MNP
c) Gọi D trung điểm AM, E trung điểm AN, đường thẳng BD, CE cắt Q Chứng minh QM = QN
d) Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng
3B Cho tam giác ABC, đường phân giác góc B đường phân giác của
C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC E, F
a) Chứng BEI, CFI tam giác cân b) Chứng minh BE + CF = EF
c) Gọi M trung điểm IB, N trung điểm IC, đường thẳng EM, FN cắt O Chứng minh OB = OC
d) Chứng minh ba điểm A, I, O thẳng hàng
4A Cho tam giác ABC cân A ( A < 90°), đường phân giác AD Kẻ đường cao BE, gọi H giao điểm BE AD
a) Chứng minh CH AB
b) Gọi F giao điểm CH AB Chứng minh AD trung trực EF
c) Kẻ EI HC, FJ HB với IHC, J HB Chứng minh đường thẳng EI, FJ,AD qua điểm, kí hiệu điểm O
d) Chứng minh AC - AF > OF - OC
4B. Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D Kẻ DE vng góc với BC E
a) Chứng minh DA = DE
(67)c) Kẻ CK vng góc với BD K, đường thẳng CK, BA cắt F Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng
d) Chứng minh BC - BA > DC - DA
III BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Cho tam giác ABC có AB < AC, đường trung tuyến AM Trên tia đối
của tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh AB = CD, AB // CD
b) So sánh MAB MAC c) So sánh AMB AMC
6 Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy E cho AE = 2AB Trên tia đối tia BC lấy D cho BD = BC
a) Chứng minh A trọng tâm CDE
b) Gọi F trung điểm DE Chứng minh ba điểm C, A, F thẳng hàng
c) Chứng minh BE + CF > 2 EC.
7 Cho tam giác ABC, đường phân giác B C cắt I Kẻ ID AB, IE AC với D AB, E AC
a) Chứng minh ADE cân A
b) Chúng minh AI trung trực DE c) Biết BAC = 60° Tính số đo BIC
8 Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE
a) Chứng minh ADE cân A
b) Chứng minh AM tia phân giác DAE
c) Kẻ BH AD, CKAE với H AD, K AE Chứng minh
DBH ECK
d) Gọi N giao điểm HB KC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng
9 Cho tam giác ABC cân A (A < 90°), kẻ đường phân giác AD Trên tia đối tia DC lấy điểm M cho MD = AD
a.) Chứng minh DAM vuông cân D
b) Kẻ BN vng góc với AM N, đường thẳng BN AD cắt O Chứng minh OM AB
c) Chứng minh OB = OC d) Chứng minh AM // OC
10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH đường phân giác BD cắt I Tia phân giác HAC cắt cạnh BC E
a) Chứng minh BAE cân B b) Chứng minh I trực tâm ABE, c) Chứng minh EI //AC
(68)11 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M cho BA = BM
a) Chứng minh AM tia phân giác HAC
b) Gọi K hình chiếu vng góc M AC Chứng minh AM trung trực HK
c) Gọi I hình chiếu vng góc C tia AM Chứng minh AH, KM, CI đồng quy
d) Chứng minh AB + AC < AH + BC
12* Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ đường cao AD Vẽ
điểm M cho AB trung trực DM, vẽ điểm N cho AC trung trực DN
a) Chứng minh AMN cân A
b) Đường thẳng MN cắt AB, AC F, E Chứng minh DA tia phân giác EDF
c) Chứng minh EB tia phân giác DEF d) Chứng minh BE AC
e) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy
HƯỚNG DẪN 1A. a) Chú ý tam giác BAD,
CAE cân, từ ta có ,
2
ABC ACB
ADC AEB
Lại có AB < AC => ABCACB
=> ADC AEB
b) Dùng kết ý a, ADCAEB=>AD < AE. 1B. a) Chú ý tam giác BAN, CAM
cân, từ
90
ACB AMC
90
2
ABC ANC
Mà AB < AC =>ABCACB AMCANB
b) Dùng kết ý a, AMCANB =>AM < AN.
c) ABN 40 ANB 70 ACM 30 AMC 75 Vậy MAN 35
2A a) Ta có ME = NF nên AM là
(69)tâm AEF
b) EN đường trung tuyến AEF nên EN qua G, E,G,N thẳng hàng
c) Ta có GH = GM =
GA
GI = GN=
GE
Từ ta chứng minh được:
GMN= GHI ( c-g-c) => IH = MN, IH //MN
2B. a) Chứng minh AMB = DMC (c-g-c) =>AB = CD, AB//CD
b) Chú ý AF, BM đường trung tuyến ABD DE, CM đường trung tuyến ACD => ĐPCM c) Dùng kết ý b, ta có BI =
2
3MB =
3MC = CK
Lại có IK = MI + MK =
3MB +
3MC =
3MB=> ĐPCM. d) ME đường trung bình ABC => EM //AB
MF đường trung bình BDA => EM //AB Vậy E, M, F thẳng hàng
3A. a) Chứng minh được:
AMB BAM AMP ANC CAN ANP
Từ MA tia phân giác PMB, NA tia phân giác PNC. b) Xét PMN, dùng kết câu a, ta có PA tia phân giác MPN c) Chú ý tam giác ABM cân B,
tam giác ACN cân C, BD CE trung trực AM AN=> QM = QA = QN
d) Gọi Ax tia đối tia AP, chứng minh
xAB MPA NPA xAC => PA phân giác BAC.
Xét ABC, ý BD, CE đường phân giác đỉnh B, C => AQ phân giác BAC Từ ba điểm P,A,Q thẳng hàng
3B Ta có EIB IBC EBI và
FIC ICB FCI Từ BEI,CFI là tam giác cân E F
(70)EF = IE + IF = BE + CF
c) Chú ý EM, FN trung trực IB, IC, từ OB = OI = OC c) Xét AEF, ý EO, BO d) đường phân giác
e) đỉnh E, F => AO phân giác BAC Mà AI phân giác BAC A, I, O thẳng hàng
4A. a) Chứng minh H trực tâm ABC => CH AB
b) Ta có AEB = AFC (ch - gn) Từ suy AE = AF
Do AEF cân, ý AD phân giác A => AD trung trực đoạn thẳng EF. c) Chú ý EI , FJ, AD ba đường cao
EHF
d) Chú ý: AF = AE, FO = OE Vậy AC - AF = EC > OF - OC
4B a) Chú ý BAD = BED (ch - gn) Từ DA = DE
b) Vì BA = BE, DA = DE nên BD trung trực AE
c) Chứng minh D trực tâm FBC, từ FD BC, lại có DE BC => E, D, F thẳng hàng d) Chứng minh được:
BC - BA = EC > DC - DE = DC - DA
5. a) Chứng minh AMB = DMC (c-g-c)
Từ suy AB = CD, AB // CD b) Chú ý MAB MDC
CD = AB < AC
Từ ta có MAB MDC MAC .
c) Dùng kết ý a, ý B C AMB AMC
6. a) Chú ý BE đường trung tuyến CED AE = 2AB, từ A trọng tâm CDE
b) Ta có CF đường trung tuyến CDE => C, A, F thẳng hàng c) Chứng minh
BE + CF =
2 (AE + AC) > 2EC.
7. a) Chứng minh AI tia phân giác BAC, từ ta có:
(71)=> AD = AE => ĐPCM
b) Ta có ADE cân A có AI phân giác DAE => AI trung trực DE
c) Ta có
60
2
ABC ACB IBC ICB từ BIC= 120°
8. a) Chứng minh MD = ME AM BC => ADE cân A (AM vừa đường cao vừa đường trung tuyến) b) Dùng kết ý a, ta có AM tia phân giác DAE
c) Chú ý HDB KEC => ĐPCM. d) Dùng kết ý c, chứng minh NB = NC, ý AB = AC nên AN trung trực BC, từ ba điểm A, M, N thẳng hàng
9. a) Chứng minh AD BC, mà DM = DA nên DAM vuông cân D
b) Chứng minh B trực tâm AOM, từ OM AB
c) Ta có AD trung trực BC, từ suy OB = OC
d) Tính OBC MBN = 45°.
Từ BOC = 90° => OC ON => AM //OC
10. a) Chú ý HAE EAC , từ chứng minh BAE BEA nên BAE cân B
b) Dùng kết ý a, với ý BI phân giác ABE suy BI AE
Từ I trực tâm ABE
c) Dùng kết ý b, ta có IE AB => IE //AC
d) ACB40 HAC 90 40 50 IAE IEA 25 Suy AIE = 180° - 50° = 130°
11. a) Chú ý BAM BMA
Từ CAM HAM nên AM
tia phân giác HAC
(72)được AH = AK, MH = MK Do AM trung trực HK c) Chú ý AH, KM, CI ba đường cao MAC
d) Chú ý AH = AK, AB = BM, từ ta có:
AC - AH = CK < CM = BC - BA => AB + AC < AH + BC
12. a) Vẽ DH AB lấy
HM = HD Suy AB trung trực DM Thực tương tự với N
Dùng tính chất đường trung trực, ta có:
AM = AD = AN
Từ ta có AMN cân A b) Chứng minh được:
,
ADEANE ADF AMF
Mặt khác dùng kết ý a, ta có AMEANF Từ DA phân giác
của EDF
c) Do DB DA nên DB đường phân giác đỉnh D DEF Vậy B cách hai cạnh DF ED
Do FB phân giác đỉnh F DFE nên B cách FE DF
Suy B cách FE DE, EB phân giác DEF
d) Chú ý EB, EC đường phân giác phân giác ngồi đỉnh E DEF, từ BE AC
e) Tương tự ý d, ta có CF AB, AD, BE,CF ba đường cao ABC, từ chúng đồng quy
(73)
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ 3 Thời gian làm cho đề 45 phút
ĐỀ SỐ l PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)
Khoanh vào chữ cáỉ đứng trước câu trả lời đúng;
Câu Độ dài hai cạnh tam giác cm 10 cm Trong số đo sau đây, số đo sau độ dài cạnh thứ ba tam giác đó?
A cm B cm C cm D cm
Câu Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Gọi G điểm nằm A D cho
2
AG
AD . Tia BG cắt AC E, tia CG cắt AB tại
F Khẳng định sau sai?
A
BG
EG B E trung điểm cạnh AC
C
2
FG
CG D F trung điểm cạnh AB
Câu Cho tam giác ABC có A B C Hai đường phân giác góc A góc C cắt O Khi số đo BOC bằng:
A 85° B 90° C 135° D 150°
Câu Tam giác ABC có góc A tù, B C Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?
A BC >AC >AB B AC >AB >BC
(74)Câu Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH đường xiên AB,AC đến đường thẳng d (H, B, C thuộc d) Biết HB < HC Hãy chọn khẳng định khẳng định sau:
A AB > AC B AB < AC
C AB = AC D AH > AB
Câu Cho góc xOy có số đo 60° Điểm M nằm góc cách Ox, Oy khoảng cm Khi đoạn thẳng OM bằng:
A cm B cm C cm D cm
Câu Trên đường trung trực đoạn thẳng AB, lấy hai điểm phân biệt M,N Khi khẳng định sau đúng?
A AMN BMN B AMN = BMN C MAN MBN . D MNA MNB .
Câu 8. Cho tam giác ABC vuông A Gọi P, Q, K trung điểm ba cạnh AB, AC, BC Gọi O giao điểm ba đường phân giác ABC Khỉ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là:
A O B P C Q D R
PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)
Bài (2,5 điểm) Cho ABC cân A có AD đường phân giác a) Chứng minh ABD = ACD
b) Gọi G trọng tâm ABC Chứng ba điểm A, D, G thẳng hàng
c) Tính DG biết AB = 13 cm, BC = 10 cm
Bài (3,5 điểm) Cho ABC Gọi E, F trung điểm AB,AC Trên tia đối tia FB lấy P cho PF = BF Trên tia đối tia EC lấy điểm Q cho QE = CE
a) Chứng minh A trung điểm PQ b) Chứng minh BQ // AC CP // AB
c) Gọi R giao điểm hai đường thẳng PC QB Chứng minh chu vi PQR hai lần chu vi ABC
d) Chứng minh AR, BP,CQ đồng quy điểm
HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM
Câu D Câu B Câu C Câu C Câu C Câu B Câu A Câu D
PHẦN II TỰ LUẬN
Bài a) ABD = ACD (c.g.c)
b) ABD = ACD => BD = CD nên AD đường trưng tuyến Do G trọng tâm nên G AD Vậy A, D, G thẳng hàng
c) Ta có: BD =
2 BC =
(75)Do tam giác ABC cân A nên trung tuyến AD đồng thời đường cao, ABD vng D
Theo định lí pytago: AB2 = AD2 + BD2 => AD = 12 cm.
Vì G trọng tâm ABC nên DG =
3AD =
3 12 = cm.
Bài a) AEQ = BEC (c.g.c), suy ra: AQ = BC AQ// BC Tương tự, ta có: AP = BC AP//BC
Từ suy AP = AQ A, P, Q thẳng hàng
Vậy A trung điểm PQ
b) BEQ = ABC (c.g.c) => BDEACE => BQ // AC
Tương tự ta có: CP // AB
c) Chứng minh APC = CBA (g.c.g) Chứng minh APC = BCR (g.c.g)
Từ đó, suy AB = CP = CR nên PK = 2AB Tương tự, ta có QR = AC
Từ câu a), suy PQ = 2BC
Vậy chu vi PQR hai lần chu vi ABC
d) PQR có RA, PB, QC đường trung tuyến nên AR, BP, CQ đồng quy
(76)
ĐỀ SỐ 2 PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)
Câu (1,0 điểm) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng
định sai?
A Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù cạnh lớn B Trong tam giác, cạnh đối diện với góc nhọn cạnh nhỏ C Trong tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn D Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc tù
Cân (1,0 điểm) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng:
a) Tam giác DEF có D 40 , E 60thì:
A DF < EF < DE B EF < DF < DE C DE < EF < DF C EF < DE < DF b) Trực tâm tam giác thường là:
A Giao điểm đường trung tuyến tam giác B Giao điểm đường trưng trực tam giác C Giao điểm đường cao tam giác
D Giao điểm đường phân giác tam giác
PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Cho tam giác ABC vuông B, BC < BA Lấy điểm E cho B trung điểm CE
a) Chứng minh AB tia phân giác góc CAE
b) Vẽ CM vng góc với AE M, CM cắt AB H Vẽ HN vng góc với CA N Chứng minh MAN cân MN song song với CE c) So sánh HM HC
d) Tìm điều kiện ABC để CMN cân N
HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Câu 1.
(77)Câu 2.
a) B b) C
PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
HS tự ghi giả thiết, kết luận a) Chứng minh được:
ABC = ABE (c.g.c) Suy CAB EAB .
Vậy AB tia phân giác CAE b) Chứng minh được:
AHM = AHN (ch- gn)
Suy AM = AN Do AMN cân A Mà AB phân giác EAC nên AB MN,
Khi MN song song với CE (cùng vng góc vói I) c) Do AHM = AHN nên HN = HM
Mặt khác, tam giác vuông CNH có HC > HN Do HC > HM
d) CMN cân N NCM NMC
Mà MN // CE nên NMC MCE (so le trong). Suy NCM MCE
Chứng minh CME = CMA (g.c.g) Suy CE = CA Như CA = CE = AE nên ACE tam giác
BCA = 60°.
Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện BCA = 60° CMN cân N Chứng minh lại:
Khi ABC có BCA = 60° CMN vừa đường cao, vừa phân giác ECA nên HCN CMN = 30° Suy CMN cân N
(78)