Đang tải... (xem toàn văn)
NHŨNG BÀI TẬP TOÁN CỰC HAY CẤP THPT HAY VÀ KHÓ DÀNH CHO CÁC EM HỌC SINH VÀ CÁC BẬC PHỤ HUYNH....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
0197614559 16 BI TP TON HC THPT HAY Bài 1: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 5k = (1) với k tham số 1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Giải 1.Phơng trình (1) có nghiệm kép / = k2 (2 5k) = k2 + 5k = ( có = 25 + = 33 > ) 33 + 33 k1 = ; k2 = 2 33 + 33 Vậy có giá trị k1 = k2 = phơng trình (1) Có 2 nghiệm kép 2.Có cách giải Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm: / k2 + 5k (*) Ta có x12 + x22 = (x1 + x2)2 2x1x2 Theo ta có (x1 + x2)2 2x1x2 = 10 b Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x1 + x2 = - = - 2k x1x2 = 5k a 2 Vậy (-2k) 2(2 5k) = 10 2k + 5k = (Có a + b + c = 2+ = ) => k1 = , k2 = Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào / = k2 + 5k + k1 = => / = + = > ; thoả mãn 49 35 49 70 29 2= = + k2 = => / = không thoả mãn 4 Vậy k = giá trị cần tìm Cách : Không cần lập điều kiện / Cách giải là: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = (cách tìm nh trên) Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1) + Với k1 = : (1) => x2 + 2x = có x1 = , x2 = 39 + Với k2 = (1) => x2- 7x + = (có = 49 -78 = - 29 < ) Phơng trình vô 2 nghiệm Vậy k = giá trị cần tìm Bài Cho phơng trình: x2 - 4x + m + = a/ Giải phng trình m = b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x13 + x23 = 34 Giải a/ Khi m = PT x2 - 4x + = a + b + c = x1 = 1, x2 = b/ ' = - m - = - m, phơng trình có nghiệm - m m c/ Để phơng trình có nghiệm phải có m Khi đó: x12 + x22 = 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = d/ Để phơng trình có nghiệm phải có m x13 + x23 = 34 (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34 4[16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10 m=9 Bài Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x - - m = a/ Chứng minh phơng trình có nghiệm với m b/ Tìm để phơng trình có nghiệm x = 2, tìm nghiệm c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn x12 + x22 10 d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 cho P = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Giải a/ ' = m2 - 2m + + m + = m - m + = (m- 1/2) + 15/4 > với m phơng trình có nghiệm b/ x = thay vào phơng trình ta có: 5m = m = Khi phơng trình có dạng: x2 - = x = x = -2 c/ x12 + x22 10 (x1 + x2)2 - 2x1x2 10 [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) 10 4m2 -8m + + 2m + 10 4m2 - 6m m(2m - 3) m 3/2 m d/ P = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = [2(m - 1)]2 + 2(m + 3) = 4m2 - 6m + 10 = (2m - 3/2)2 + 31/4 Pmin = 31/4 m = 3/4 Bài Cho phơng trình: x2 - 2mx + 2m -1 = a/ Chứng minh phơng trình có nghiệm với m b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27 c/ Tìm m cho phơng trình có nghiệm hai nghiệm d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 = x22 Giải a/ ' = m2 - 2m + = (m + 1)2 với m phơng trình có nghiệm b/ 2x12 + 2x22 - 5x1x2 = 27 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] - 5x1x2 = 27 2(x1 + x2)2 - 9x1x2 = 27 8m2 - 9(2m + 1) = 27 8m2 - 18m - 18 = 4m2 - 9m - = m = m = -3/4 c/ Giả sử phơng trình có nghiệm: x1 = 2x2 ta có: x1 + x2 = 3x2 =2m x2 =2m/3 (1) x1x2 = 2x22 = 2m - 1x22 = (2m - 1)/2 (2) Từ (1) (2) 4m2/9 = (2m - 1)/2 8m2 - 18m + = m = 3/4 m = 3/2 d/ Ta có: x = m + m + = 2m + x = m - m - = -1 Nếu x1 = 2m + 1, x2 = -1 ta có: 2m + = m = Nếu x1 = -1, x2 = 2m + ta có: -1 = (2m + 1)2 vô lý Vậy m = Bài Cho phơng trình: (m - 1)x2 + 2(m - 1)x - m = a/ Tìm m để phơng trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt trái dấu c/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt âm d/ Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt dơng Giải a/ Phơng rình có nghiệm kép m ' = m2 - 2m + + m2 - m = 2m2 - 3m + = (m - 1)(2m - 1) = m = m = 1/2 Vậy m = 1/2 phơng trình có nghiệm kép: x = b/ Phơng trình có nghiệm phân biệt trái dấu m > m m m < ' m < / > (m 1)(2m 1) > m > x x < m m < m c/ Phơng trình có nghiệm phân biệt âm m (m 1)(2m 1) > m m > ' > m m < / < m < / >0 x1 x > m < m < x + x < 2(m 1) < m d/ Phơng trình có nghiệm phân biệt dơng m m > (m 1)(2m 1) > m ' m < / > m < m < >0 x x > m 1 > x + x > 2(m 1) >0 m Loại Vậy không tồn m để phơng trình có nghiệm phân biệt dơng Bài Cho phơng trình: x2 - (2m - 3)x + m2 - 3m = a/ Chứng minh phơng trình có nghiệm m thay đổi b/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 < Giải a/ = 4m2 - 12m + - 4m2 + 12m = > phơng trình có nghiệm 2m 2m + = m =m 2 b/ x1 = ; x2 = Với m ta có: m - < m < m - < m < < m < Bài Cho phơng trình: 3x2 - mx + = Tìm m để pt có nghiệm thoả mãn: 3x 1x2 = 2x2 - Giải = m2 24 3x1x = 2x x1x = / x + x = m / ĐK: m m m m = 2x x2 = x1 x = / x1 = / x + x = m / m = Bài Gọi a, b nghiệm phơng trình: x2 + px + = c, d nghiệm phơgn trình: x2 + qx + = a/ Chứng minh rằng: (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (p - q)2 b/ Chứng minh rằng: (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = q - p2 Giải a + b = p Theo định lý Viét ta có: ab = c + d = q cd = a/ VT = (a - c)(a - d)(b - c)(b - d) = (a2 - ad - ac + cd)(b2 - bc - bd + cd) = [a2 - a(c + d) + cd][b2 - b(c + d) + cd] = (a2 + aq + 1)(b2 + bq + 1) = a2b2 + a2bq + a2 +ab2q + abq2 + aq + b2 + bq + = + aq + bq + q(a + b) + [(a + b)2 - 2ab] + q2 + = + q(a + b) - pq + p2 - + q2 + = p2 - 2pq + q2 = (p - q)2 = VP b/ VT = (a - c)(b - c)(a + d)(b + d) = [ab - c(a + b) + c 2][ab + d(a + b) + d 2] = (1 + cp + c2)(1- dp + d2) = 1- dp + d2 + cp - cdp2 + cd2p + c2 - c2dp + c2d2 = = 1- dp + d2 + cp - p2 + dp + c2 - cp + = (c + d)2 - 2cd - p2 + = q2 - p2 = VP Bài Cho phơng trình: x + ( m + 1) x + m = (1) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm -1 Tìm nghiệm lại b) Giải phơng trình m = -6 c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Với m tìm đợc câu c, viết hệ thức x x độc lập m Lời giải a) Phơng trình (1) có nghiệm -1 nên: ( 1) + (m + 1)(1) + m = m = 5 x + = nghiệm lại PT là: 2 2 b) Với m = -6 ta có PT: x 5x + 11 = có = 19 < phơng trình Khi ta có phơng trình: x + vô nghiệm c) Ta có: = m + 6m 19 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt = m + 6m 19 >0 Ta xét dấu m -3+2 32 + - + Vậy m < m > -3+2 phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Ta có: x + x = m (1); x x = m (2) Từ (2) suy ra: m = x x + , thay vào (1): x + x = x x Vậy hệ thức cần tìm là: x + x x x + = Bài 10 Giải phơng trình sau: b) ( x + a) x x + = ) 4( x + ) + = x x Lời giải a) Đặt x = t (Đ K : t 0) Khi phơng trình đẫ cho trở thành: t 4t + = Vì a + b + c = 0, nên phơng trình có hai nghiệm: t = 1, t = * Với t = x = x = c = (TMĐK) a * Với t = x = x = Vậy phơng trình có nghiệm : x = -1; 1; b) ĐK: x Đặt x + 3; =t x Ta đợc: t 4t + = Theo câu a/ t = 1, t = c =3 a = (PT vô nghiệm) x 3+ 5 * t = x + = x 3x + = x1 = ; x2 = x 2 * t1 = x + Bài 11: Cho phơng trình x 2( m 1) x + m = (I) a) Giải phơng trình (I) m = -2 b) Tìm m để phơng trình (I) có nghiệm? Có hai ngiệm phân biệt? c) Tìm m để phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu ? 2 d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x1 + x2 = e) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x1 = 2x2 f) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dấu g) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm h) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng i) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm lại j) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn điều kiện x1 x2 = Lời giải a) Khi m = -2, phơng trình (I) trở thành: x + x + = Ta có ' = b ' ac = 32 1.2 = > phơng trình có nghiệm phân biệt x1 = 3+ 7 = + ; x2 = = 1 b) Phơng trình (I) có nghiệm ( ) ' ( m 1) m 2m + m Phơng trình (I) có hai nghiệm phân biệt ( ) ' > ( m 1) m > 2m + > m < c) Phơng trình (I) có hai nghiệm trái dấu c < m2 < < m < a 3 b c = 2( m 1); x1 x2 = = m Khi theo hệ thức Vi-et ta có: x1 + x2 = a a 2 Do x1 + x2 = d) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là: m ( ) ( x1 + x2 ) xx x2 = [ 2( m 1) ] m = 2m 4m + = 2 ( x 1) = x = (TMĐK) e) Điều kiện để phơng trình có nghiệm x1; x2 là: m x1 + x = 2( m 1) Khi theo Vi-et đề ta có x1x = m x = 2x Từ (1) (3) ta có x2 = (1) (2) (3) 2( m 1) 4( m 1) ; x1 = thay vào (2) ta đợc 3 2( m 1) 4( m 1) = m 8( m 1) = m m + 16m 26 = 3 m = + 10 m = 10 f) Phơng trình (I) có nghiệm dấu m ' 2 > m < a m < g) Phơng trình (I) có nghiệm âm ' m m 2 b < m < m < m< a m > c m > a > m < ( ) h) Phơng trình (I) có hai nghiệm dơng ' m b > m > 2 c a > m < i) Phơng trình (I) có nghiệm a + b + c = 2( m 1) + m = m 2m + = ( m 1) = m = c m 12 = = = a 1 j) Phơng trình (I) có nghiệm thoả ĐK: x1 x2 = 3 ĐK: m (để phơng trình có nghiệm) x1 + x = 2( m 1) Theo hệ thức Vi-et yêu cầu toán, ta có: x1x = m 2x - 4x = - Khi nghiệm lại x2 = Từ (1) (3) ta có x1 = (1) (2) (3) 4m 2m ; x2 = thay vào (2), ta đợc 3 4m 2m = m 2m( 4m 6) = m m + 12m 18 = 3 ( ) (TM) m = + m = Bài 12 : Xác định m để phơng trình x + x + m = a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm âm phân biệt Hớng dẫn : a) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu a0 ac < Vậy m < phơng trình có hai nghiệm trái dấu b) Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt a > P > S < 0, m 12 m + 29 > 3m > < 0, m 0, m m < m < m < 29 12 < m < 29 m> 12 < m < 29 12 phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt Vậy mx (m 1)x + = 0, m Bài 13: Cho phơng trình Tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 Giải: Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện (1) x12 + x22 = x1 ,x2 2 > m 10m + > (m 5) 24 > m > + m < x1 + x2 = m ; m - Theo hệ thức Vi ét, ta có: x1 x2 = m 2 x + x = ( x1 + x2 ) 2x1 x2 = 2 - Theo đề m 2 = 2 m m m + 6m = (*) m = 10 3,m2 = 10 Giải phơng trình (*) ta đợc ( ) Đối chiếu với điều kiện tham số m => m1 (loại) m2 (nhận) Vậy m = 10 Bài 14: Cho phơng trình x + x + m = x1 x2 hai nghiệm phân biệt phơng trình Không giải phơng trình, tìm giá trị m để : x x2 = a) 2 x x2 = 30 c) 2 x + x = 34 b) x1 = x2 d) x1 + x2 = 20 e) Hớng dẫn: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 = m > m < S = x1 + x2 = P = x1 x2 = m Khi đó, theo định lí Vi ét ta có: a) x1 x2 = x1 x2 ) = 36 x x1 x2 + x22 ( x1 + x2 ) x1 x2 ( = 36 m = 27 Vậy : = 36 27 < 4m = 36 m = x + x22 = 34 ( x1 + x2 ) x1 x2 = 34 Từ tìm đợc m = b) 25 < m = 25 Vậy : 2 x x = 30 ( x1 + x2 )( x1 x2 ) = 30 x1 x2 = 10 c) 2 x2 x1 = 10 x + x x1 x2 = 100 (giả sử x2 > x1 ) x1 + x2 ) x1 x2 ( = 100 m = 91 Vậy : x1 + x2 = x1 = x2 91 < - 4m = 100 m = x1 = x = d) Giải hệ Ta đợc x1 x2 = < Theo định lí Vi- ét: m = Vậy m = x1 + x2 = 20 x + x2 = e) Giải hệ Ta đợc x1 = 26 x2 = 29 x1 x2 = 754 < Theo định lí Vi- ét: m = Vậy m = - 754 Bài 15: Xác định giá trị tham số m để phơng trình x2 ( m + 5) x m + = x1 , x2 có hai nghiệm thỏa mãn : a) Nghiệm lớn nghiệm đơn vị x1 + x2 = 13 b) Hớng dẫn: x ,x Phơng trình có hai nghiệm = m + 14 m + ( m + + )( m + ) Sau giải bất phơng trình đợc kết quả: m a) Giả sử m - + (*) x2 x1 = (1) x2 > x1 ta có hệ x1 + x2 = m + (2) x x = m + (3) x2 = m + x1 = m + Thay vào (1) => (1) + (2) => x1 , x2 Thay vào (3) => m = m = -14 thỏa mãn điều kiện (*) Vậy m = m = -14 b) Ta có hệ x1 + x2 = 13 x1 + x2 = m + x x = m + Từ hệ tìm đợc m = m = Bài 16: Cho phơng trình bậc hai x mx + = x ,x x1 x2 = x1 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức x ,x Tính ? x ,x Hớng dẫn: Phơng trình có hai nghiệm = m 24 m m m x1 x2 = x1 m x1 + x2 = x x = x1 = 2, x2 = , m = Ta có: Tìm đợc [...]... x2 > x1 ta có hệ x1 + x2 = m + 5 (2) x x = m + 6 (3) 1 2 x2 = m + 6 x1 = m + 4 2 Thay vào (1) => 2 (1) + (2) => x1 , x2 Thay vào (3) => m = 0 hoặc m = -14 thỏa mãn điều kiện (*) Vậy m = 0 hoặc m = -14 b) Ta có hệ 2 x1 + 3 x2 = 13 x1 + x2 = m + 5 x x = m + 6 1 2 Từ hệ này tìm đợc m = 0 hoặc m = 1 2 Bài 16: Cho phơng trình bậc hai 3 x mx + 2 = 0 x ,x 3 x1 x2 = 2 x1 2 Tìm m để phơng trình ... + Thay vào (1) => (1) + (2) => x1 , x2 Thay vào (3) => m = m = -14 thỏa mãn điều kiện (*) Vậy m = m = -14 b) Ta có hệ x1 + x2 = 13 x1 + x2 = m + x x = m + Từ hệ tìm đợc m = m = Bài 16: ... + x2)2 - 2x1x2 = 10 16 - 2(m + 1) = 10 m = d/ Để phơng trình có nghiệm phải có m x13 + x23 = 34 (x1 + x2)[(x1 + x2)2 -3x1x2] =34 4 [16 -3(m + 1)] =34 m +1 =10 m=9 Bài Cho phơng trình:... có: x + x = m (1); x x = m (2) Từ (2) suy ra: m = x x + , thay vào (1): x + x = x x Vậy hệ thức cần tìm là: x + x x x + = Bài 10 Giải phơng trình sau: b) ( x + a) x x + = ) 4( x + ) +