10 bài tập HAY THPT 2016

0917614559 10 BÀI TẬP HAY THPT 2016 Bai T×m x, y c¸c trêng hîp sau: a) x + y = 17, x.y = 180 b) x + y = 25, x.y = 160 c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 d) x + y = 11 x.y = 28 e) f) g) h) x2 + y2 = 61 , x.y = 30 x - y = 6, x.y = 40 x - y = 5, x.y = 66 x2 + y2 = 25 x.y = 12 Bai a) Phương trình x − px + = Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x + x + q = có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x − x + q = , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x − qx + 50 = , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc : 4−4p+5 = ⇒ p = 5 T x1 x2 = suy x2 = = x1 b) Thay x1 = v phương trình ban đ ầu ta đ ợc 25 + 25 + q = ⇒ q = −50 −50 −50 = = −10 T x1 x2 = −50 suy x2 = x1 c) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 − x2 = 11 theo VI-ÉT ta có  x − x = 11  x1 = x1 + x2 = , ta giải hệ sau:  ⇔  x1 + x2 =  x2 = −2 Suy q = x1 x2 = −18 d) Vì vai trò x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 = x2 theo VI-ÉT ta có x1 x2 = 50 Suy  x = −5 x22 = 50 ⇔ x22 = 52 ⇔   x2 = Với x2 = −5 th ì x1 = −10 Với x2 = th ì x1 = 10 Bai Cho x1 = ; x2 = lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm  S = x1 + x2 = Bµi gi¶i: Theo hệ thức VI-ÉT ta có  x1 ; x2 nghiệm phương  P = x1 x2 = trình có dạng: x − Sx + P = ⇔ x − x + = Bµi tËp Cho phương trình : x − 3x + = có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 = x2 + y2 = x1 + x1 x2 Bµi gi¶i: Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 1 x +x S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) +  + ÷ = ( x1 + x2 ) + = + = x1 x2 x1 x2 2  x1 x2  1 1 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 y − Sy + P = 9 y2 − y + = ⇔ y2 − y + = hay 2 − Bµi tËp Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = − Bµi gi¶i: Vì a + b = − ab = − nên a, b nghiệm phương trình : x + x − = giải phương trình ta x1 = x2 = −4 Vậy a = b = − a = − b = Bµi tËp Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a − b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VIÉT cần tìm tích a v b 81 − ( a + b ) T a + b = ⇒ ( a + b ) = 81 ⇔ a + 2ab + b = 81 ⇔ ab = = 20  x1 = Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x − x + 20 = ⇔   x2 = Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = a.c = − 36  x1 = −4 Suy a,c nghiệm phương trình : x − x − 36 = ⇔   x2 = Do a = − c = nên b = − a = c = − nên b = Vậy phương trình cần lập có dạng: Cách 2: Từ ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ⇒ ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169 2 2  a + b = −13 ⇒ ( a + b ) = 132 ⇒   a + b = 13 *) Với a + b = −13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :  x = −4 x + 13x + 36 = ⇔   x2 = −9 Vậy a = −4 b = −9 *) Với a + b = 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x = x − 13 x + 36 = ⇔   x2 = Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:  a + b = −11 T ừ: a2 + b2 = 61 ⇒ ( a + b ) = a + b + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112 ⇒   a + b = 11 *) Nếu a + b = −11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình:  x = −5 x + 11x + 30 = ⇔   x2 = −6 Vậy a = −5 b = −6 ; a = −6 b = −5 *) Nếu a + b = 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x = x − 11x + 30 = ⇔   x2 = Vậy a = b = ; a = b = Bµi tËp Cho phương trình x − x + = có nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính Q= HD: Q = x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) − x1 x2 6.(4 3) − 2.8 17 = = = 3 2 x1 x2 + x1 x2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2  5.8 (4 3) − 2.8 80   Bµi tËp Cho phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m HD : Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  V' ≥ 5m − ≥  m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥ Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m    x1 + x2 = m −  x1 + x2 = + m − (1) ⇔   x x = m −  x x = − (2) 2 m −1 m −1   Rút m từ (1) ta có : 2 = x1 + x2 − ⇔ m − = m −1 x1 + x2 − (3) Rút m từ (2) ta có : 3 = − x1 x2 ⇔ m − = m −1 − x1 x2 (4) Đồng vế (3) (4) ta có: = ⇔ ( − x1 x2 ) = ( x1 + x2 − ) ⇔ ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = x1 + x2 − − x1 x2 Bµi tËp Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : ( m − 1) x − 2mx + m − = Chứng minh biểu thức A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − không phụ thuộc giá trị m HD: Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m ≠ m ≠ m − ≠ m ≠  ⇔ ⇔ ⇔  ∆ ' ≥ 5m − ≥  m − (m − 1)(m − 4) ≥ m ≥ Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m   x1 + x2 = m −   x x = m − m −1  A = ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = thay v A ta c ó: 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với m ≠ m ≥ Do biểu thức A không phụ thuộc vào m Bµi tËp 10Cho phương trình : x − ( m + ) x + ( 2m − 1) = có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy ∆ = ( m + ) − ( 2m − 1) = m − 4m + = ( m − ) + > phương trình cho có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có  m = x1 + x2 − 2(1)  x1 + x2 = m +  ⇔  x1 x2 +  x1.x2 = 2m −  m = (2) Từ (1) (2) ta có: x1 + x2 − = x1 x2 + ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − = ... x − x + = có nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính Q= HD: Q = x12 + 10 x1 x2 + x22 x1 x23 + x13 x2 x12 + 10 x1 x2 + x22 6( x1 + x2 ) − x1 x2 6.(4 3) − 2.8 17 = = = 3 2 x1 x2 + x1 x2... ( x1 + x2 ) + x1 x2 − = thay v A ta c ó: 2m m−4 6m + 2m − − 8(m − 1) + −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 Vậy A = với m ≠ m ≥ Do biểu thức A không phụ thuộc vào m Bµi tËp 10Cho phương trình : x −... = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + + + = +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 y − Sy + P = 9 y2 − y + = ⇔ y2 − y + = hay 2 − Bµi tËp Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = − Bµi gi¶i: Vì a + b = − ab