Hình học phân hình và ứng dụng của nó

Hình học phân hình và ứng dụng của nó

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 1 LỜI NĨI ĐẦU Trong những năm gần đây, tốn học và khoa học tự nhiên đã bước lên một bậc thềm mới, sự mở rộng và sáng tạo trong khoa học trở thành một cuộc thử nghiệm liên ngành. Cho đến nay nó đã đưa khoa học tiến những bước rất dài. Hình học phân hình đã được đơng đảo mọi người chú ý và thích thú nghiên cứu. Với một người quan sát tình cờ màu sắc của các cấu trúc phân hình cơ sở và vẽ đẹp của chúng tạo nên một sự lơi cuốn hình thức hơn nhiều lần so với các đối tượng tốn học đã từng được biết đến. Hình học phân hình đã cung cấp cho các nhà khoa học một mơi trường phong phú cho sự thám hiểm và mơ hình hố tính phức tạp của tự nhiên. Những ngun nhân của sự lơi cuốn do hình học phân hình tạo ra là nó đã chỉnh sửa được khái niệm lỗi thời về thế giới thực thơng qua tập hợp các bức tranh mạnh mẽ và duy nhất của nó. Những thành cơng to lớn trong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên và kỹ thuật dẫn đến sự ảo tưởng về một thế giới hoạt động như một cơ chế đồng hồ vĩ đại, trong đó các quy luật của nó chỉ còn phải chờ đợi để giải mã từng bước một. Một khi các quy luật đã được biết, người ta tin rằng sự tiến hố hoặc phát triển của các sự vật sẽ được dự đốn trước chính xác hơn nhiều, ít ra là về mặt ngun tắc. Những bước phát triển ngoạn mục đầy lơi cuốn trong lĩnh vực kỹ thuật máy tính và sự hứa hẹn cho việc điều khiển thơng tin nhiều hơn nữa của nó đã làm gia tăng hy vọng của nhiều người về máy móc hiện có và cả những máy móc ở tương lai. Nhưng ngày nay người ta đã biết chính xác dựa trên cốt lỗi của khoa học hiện đại là khả năng xem xét tính chính xác các phát triển ở tương lai như thế sẽ khơng bao giờ đạt được. Một kết luận có thể thu được từ các lý thuyết mới còn rất non trẻ đó là : giữa sự xác định có tính nghiêm túc với sự phát triển có tính ngẫu nhiên khơng những khơng có sự loại trừ lẫn nhau mà chúng còn cùng tồn tại như một quy luật trong tự nhiên. Hình học phân hình và lý thuyết hỗn độn xác định kết luận này. Khi xét đến sự phát triển của một tiến trình trong một khoảng thời gian, chúng ta sử dụng các thuật ngữ của lý thuyết hỗn độn, còn khi quan tâm nhiều hơn đến các dạng có cấu trúc mà một tiến trình hỗn độn để lại trên đường đi của nó, chúng ta dùng các thuật ngữ của hình học phân hình là bộ mơn hình học cho phép “sắp xếp thứ tự” sự hỗn độn. Trong ngữ cảnh nào đó hình học phân hình là ngơn ngữ đầu tiên để mơ tả, mơ hình hố và phân tích các dạng phức tạp đã tìm thấy trong tự nhiên. Nhưng trong khi các phần tử của ngơn ngữ truyền thống (Hình học Euclide) là các dạng hiển thị cơ bản như đoạn thẳng, đường tròn và hình cầu thì trong hình học phân hình đó là các thuật tốn chỉ có thể biến đổi thành các dạng và cấu trúc nhờ máy tính. Việc nghiên cứu ngơn ngữ hình học tự nhiên này mở ra nhiều hướng mới cho khoa học cơ bản và ứng dụng. Trong đề tài này chỉ mới thực hiện nghiên cứu một phần rất nhỏ về hình học phân hình và ứng dụng của nó. Nội dung của đề tài gồm có ba chương được trình bày như sau: THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 2 Chương I: Trình bày các kiến thức tổng quan về lịch sử hình học phân hình, về các kết quả của cơ sở lý thuyết. Chương II: Trình bày các kỹ thuật hình học phân hình thơng qua sự khảo sát các cấu trúc Fractal cơ sở và thuật tốn chi tiết để tạo nên các cấu trúc này. Chương III: Kết quả cài đặt chương trình vẽ một số đường mặt fractal và các hiệu ứng. Nhân đây, em xin chân thành cảm ơn thầy T.S Huỳnh Quyết Thắng đã tận tình hướng dẫn, chỉ dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện đề tài nghiên cứu này. Em cũng xin chân thành cảm ơn q thầy cơ khoa cơng nghệ thơng tin đã tận tình giảng dạy, trang bị cho chúng em những kiến thức cần thiết trong suốt q trình học tập, và em cũng xin gởi lòng biết ơn đến gia đình, cha, mẹ, và bạn bè đã ủng hộ, giúp đỡ và động viên em trong những lúc khó khăn. Đề tài được thực hiện trong một thời gian tương đối ngắn, nên dù đã hết sức cố gắng hồn thành đề tài nhưng chắc chắn sẽ khơng thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự thơng cảm và đóng góp những ý kiến vơ cùng q báu của các Thầy Cơ, bạn bè, nhằm tạo tiền đề thuận lợi cho việc phát triển đề tài trong tương lai. Sinh viên thực hiện Nguyễn Ngọc Hùng Cường. THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 3 MỤC LỤC Trang LỜI NĨI ĐẦU. . 1 Chương I:SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH. . 5 I.1 Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình 5 Tính hỗn độn của các q trình phát triển có quy luật trong tự nhiên . 5 Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Eulide cổ điển 8 I.2 Sự phát triển c ủa l ý thuyết hình học phân hình . 9 I.3 Các ứng dụng tổng qt của hình học phân hình . 10 Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính 11 Ứng dụng trong cơng nghệ nén ảnh . 11 Ứng dụng trong khoa học cơ bản . 13 I.4 Các kiến thức cơ sở của hình học phân hình 13 I.4.1 Độ đo Fractal . 13 I.4.2 Các hệ hàm lặp IFS . 17 Chương II : MỘT SỐ KỸ THUẬT CÀI ĐẶT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH. 21 II.1 Họ đường Von Kock 21 Đường hoa tuyết Von Kock-Nowflake 21 Đường Von Kock-Gosper . 26 Đường Von Kock bậc hai 3-đoạn 28 Đường Von Kock bậc hai 8-đoạn 30 Đường Von Kock bậc hai 18-đoạn . 32 Đường Von Kock bậc hai 32-đoạn . 33 Đường Von Kock bậc hai 50-đoạn . 35 Generator phức tạp 38 II.2 Họ đường Peano 44 Đường Peano ngun thuỷ . 44 Đường Peano cải tiến . 45 Tam giác Cesaro 49 Tam giác Cesaro cải tiến 51 Một dạng khác của đường Cesaro 54 Tam giác Polya 56 Đường Peano-Gosper . 58 Đường hoa tuyết Peano 7-đoạn . 62 Đường hoa tuyết Peano 13-đoạn . 66 II.3 Đường Sierpinski . 70 II.4 Cây Fractal . 73 Các cây thực tế . 73 Biểu diễn tốn học của cây . 73 II.5 Phong cảnh Fractal . 77 II.6 Hệ thống hàm lặp (IFS) 84 Các phép biến đổi Affine trong khơng gian R 2 84 THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 4 IFS của các pháp biến đổi Affine trong khơng gian R 2 85 Giải thuật lặp ngẫu nhiên 86 II.7 Tập Mandelbrot 88 Đặt vấn đề 98 Cơng thức tốn học 88 Thuật tốn thể hiện tập Mandelbrot . 89 II.8 Tập Julia . 94 Đặt vấn đề 94 Cơng thức tốn học . 94 Thuật tốn thể hiện tập Julia 95 II.9 Họ các đường cong Phoenix 97 Chương III : GIỚI THIỆU VỀ NGƠN NGỮ CÀI ĐẶT VÀ KẾT QUẢ CHƯƠNG TRÌNH. . 100 III.1 Giới thiệu về ngơn ngữ cài đặt . 100 III.2 Kết quả chương trình . 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO . 116 THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 5 CHƯƠNG I: SỰ RA ĐỜI VÀ CÁC KẾT QUẢ CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH. I.1 SỰ RA ĐỜI CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH: Sự ra đời của lý thuyết hình học phân hình là kết quả của nhiều thập kỷ nổ lực giải quyết các vấn đề nan giải trong nhiều ngành khoa học chính xác, đặc biệt là vật lý và tốn học. Một cách cụ thể, lý thuyết hình học phân hình được xây dựng dựa trên 2 vấn đề lớn được quan tâm ở những thập niên đầu thế kỷ 20. Các vấn đề đó bao gồm: ♦ Tính hỗn độn của các q trình phát triển có quy lực trong tự nhiên. ♦ Sự mở rộng khái niệm số chiều và độ đo trong lý thuyết hình học Euclide cổ điển. □ TÍNH HỖN ĐỘN CỦA CÁC Q TRÌNH PHÁT TRIỂN CĨ QUY LUẬT TRONG TỰ NHIÊN: Các cơng thức lặp có dạng: X n+1 =f(X n ) thường được sử dụng trong các ngành khoa học chính xác để mơ tả các q trình lặp đi lặp lại có tính xác định. Các q trình được xác định bởi cơng thức trên, trong đó f thể hiện mối liên hệ phi tuyến giữa hai trạng thái nối tiếp nhau X n và X n+1 , được quan tâm đặc biệt. Các khảo sát trong những thập niên gần đây đã phát hiện ra các cư xử kỳ dị của các tiến trình lặp như vậy. Khảo sát chi tiết đầu tiên được nhà khí tượng học Edward N. Lorenz tiến hành vào năm 1961 khi nghiên cứu hệ tốn học mơ phỏng dự báo thời tiết. Về mặt lý thuyết, hệ này cho ra các kết quả dự đốn chính xác về thời tiết trong một khoảng thời gian dài. Tuy nhiên, theo Lorenz quan sát, khi bắt đầu tính tốn lại dựa vào dữ liệu cho bởi hệ tại một thời điểm tiếp sau đó khơng giống với các kết quả dự đốn ban đầu. Hơn nữa sai số tính tốn sẽ tăng lên nhanh chóng theo thời gian. Điều này dẫn đến kết luận là nếu tiến trình dự đốn lại từ một thời điểm nào đó trong tiến trình dự báo, khoảng thời gian để các kết quả dự báo tiếp theo vẫn còn chính xác sẽ bị thu hẹp lại tức là khơng thể dự báo chính xác về thời tiết trong một khoảng thời gian khá lớn. Vấn đề được Lorenz tìm thấy ở đây ngày nay được gọi là sự hiện diện của tính chất hỗn độn trong các tiến trình lặp xác định. Tiếp theo sau phát hiện của Lorenz, vào năm 1976 Robert May trong bài viết với tựa đề “Các mơ hình tốn học đơn giản với các hệ động lực phức tạp” đã đề cập đến một vấn đề tương tự. Đó là sự hỗn độn của q trình phát triển dân số trong tự nhiên, vốn được xem là đã được xác định rất rõ ràng và chi tiết nhờ mơ hình dân số Verhulst xây dựng dưới đây. Nếu ký hiệu: THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 6 - R là tốc độ gia tăng dân số mỗi năm. - P o là lượng dân số khởi điểm (của một quốc gia, một thành phố,…). - P n là lượng dân số có được sau n năm phát triển. Ta có quan hệ sau: Để ý là nếu dân số phát triển đều, tức là R khơng đổi từ năm này sang năm khác, từ (1) ta sẽ có: P n+1 = f(P n ) = (1+R)P n Do đó sau n năm, lượng dân số khảo sát sẽ là: P n = (1+R) n .P o Cơng thức này chỉ ra sự gia tăng dân số theo hàm mũ là một điều khơng thực tế. Vì vậy Verhulst đề nghị R thay đổi cùng với lượng dân số được khảo sát. Một cách cụ thể, Verhust cho R tỉ lệ với tốc độ phát triển dân số theo mơi trường (P-P n ) / N. Trong đó N là lượng dân số tối đa có thể có ứng với điều kiện mơi trường cho trước. Như vậy có thể biểu diễn R dưới dạng: Với r là hệ số tỷ lệ gọi là tham số phát triển theo mơi trường. Từ (1) và (2) suy ra: Do đó: Đặt: Pn+1 - Pn R = , ∀n > 0 (1) P n N - P n R = r (2) N P n+1 - P n N - P n = r P n N P n+1 - P n N P n = r P n N N P k P k = ta có: N P n+1 - P n = r(1 - P n ) P n THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 7 Suy ra: P n+1 = P n + rP n (1 – P n ) Phương trình này được gọi là phương trình dân số Verhust. Rõ ràng phương trình được xác định rất đơn giản. Do đó, kể từ khi được đưa ra người ta áp dụng mà khơng nghi ngờ gì về tính ổn định của nó. Tuy nhiên khi May khảo sát phương trình này thì với r thay đổi trong phạm vi khá lớn, ơng đã khám phá ra sự bất ổn định về tỉ lệ phát triển dân số theo mơi trường P k . Các kết quả quan sát chi tiết cho thấy khi số lần lặp n trở nên khá lớn ta có các trường hợp sau: - Với 0 < r < 2: Dãy (P n ) tiến đến 1, tức là sự phát triển dân số đạt mức tối đa. - Với 2 < r < 2,449: Dãy (P n ) dao động tuần hồn giữa hai giá trị, tức là sự phát triển dân số biến động giữa hai mức xác định. Hình vẽ (I.1) minh hoạ cho trường hợp r = 2.3 và P o Dân số: Thời gian Hình vẽ I.1 với r = 2.3 và P 0 = 0.01 - Với 2,449 < r < 2,570: Dãy (P n ) dao động ổn định với các giá trị được lặp lại theo chu kỳ lần lượt được nhân đơi khi giá trị r chạy từ 2,449 đến 2,570. Hình vẽ (I.2) minh hoạ trường hợp r = 2,5 và sự dao động ở đây có chu kỳ 4. Dân số: Thời gian Hình vẽ I.2 với r = 2.5 - Với r > 2.570: Dãy (P n ) khơng còn tuần hồn nữa mà trở nên hỗn độn, theo nghĩa các giá trị của dãy được chọn một cách hồn tồn xác định nhưng khơng có thể dự đốn chính xác. Hình vẽ (I.3) minh hoạ trường hợp r = 3.0 và P o = 0.1 THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 8 Dân số Thời gian Hình vẽ I.3 với r = 3.0 và P o = 0.1 Một kết quả lý thuyết cũng đã được chứng minh bởi Jame York và Tiên Yien Li trong bài viết ”Các chu kỳ 3 chứa đựng sự hỗn độn” vào tháng 12/1975. York và Li đã chỉ ra rằng mọi hàm số được xác định tương tự như phương trình dân số có một chu kỳ tuần hồn 3 thì cũng có chu kỳ tuần hồn n, với n là số tự nhiên khác 0 và 1. Điều này dẫn đến sự kiện là vơ số các tập giá trị tuần hồn khác nhau được sản sinh bởi loại phương trình này. Vào năm 1976, Mitchell Feigenbaum đã nghiên cứu phương trình này một cách độc lập với May và York. Feigenbaum xét phương trình dân số ở dạng đơn giản: y = x(1- x) và thể hiện nó trên sơ đồ phân nhánh. Nếu gọi r n là giá trị tham số phát triển theo mơi trường của mơ hình Verhulst tại lần rẻ nhánh thứ n (là lúc ứng với r n đó, chu kỳ 2 n trở nên khơng ổn định nữa và chu kỳ 2 n+1 đạt được sự ổn định), thì tỷ số của các khoảng liên tiếp δ n xác định bởi: Sẽ tiến về giá trị δ = 4.669 khi n→∞. Tính chất này cũng được tìm thấy trong các tiến trình có chu kỳ lần lượt được nhân đơi và khác với tiến trình Verhulst. Do đó giá trị này ngày nay được gọi là hằng số phổ dụng Feigenbaum (trong lý thuyết hỗn độn). □ SỰ MỞ RỘNG KHÁI NIỆM SỐ CHIỀU VÀ ĐỘ ĐO TRONG LÝ THUYẾT HÌNH HỌC EULIDE CỔ ĐIỂN: Vào các năm 1890 & 1891, trong khi tìm kiếm các đặc trưng bất biến của các đối tượng hình học qua các phép biến đổi đồng phơi trong lý thuyết topo, các nhà tốn học Peano & Hilbert đã phát minh ra các đường cong có tính chất rất đặc biệt. Đó là các đường cong khơng tự cắt theo một quy luật được chỉ ra bởi Peano và Hilbert, chúng lấp đầy mọi miền hữu hạn của mặt phẳng. Hình học Euclide cổ điển quan niệm các đường cong như vậy vẫn chỉ là r n - r n-1 δ n = r n+1 - r n THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 9 các đối tượng một chiều như các đường thẳng. Tuy nhiên trực quan cho thấy cách nhìn như vậy về số chiều là rất gò bó. Do đó người ta bắt đầu nghĩ đến một sự phân lớp mới, trong đó các đường có số chiều bằng 1 được đại diện bởi đường thẳng, các đối tượng hai chiều được đại diện bởi mặt phẳng, còn các đường cong lấp đầy mặt phẳng đại diện cho các đối tượng có số chiều giữa 1 và 2. Ý tưởng cách mạng này đã dẫn đến việc hình thành và giải quyết bài tốn số chiều hữu tỷ gây ra nhiều tranh luận tốn học trong các thập kỷ gần đây. Tiếp sau đó, vào năm 1904 nhà tốn học Thụy Điển Helge Koch đã đưa ra một loại đường cong khác với những đường cong của Peano và Hilbert. Các đường cong Von Koch khơng lấp đầy mặt phẳng nhưng lại có độ dài thay đổi một cách vơ hạn mặc dù chúng được chứa trong một miền hữu hạn. Những đường cong như vậy có rất nhiều trong tự nhiên, ví dụ như các đường bờ biển, đường biên của một bơng hoa tuyết, các đám mây, vv… Tất vả các đường cong này đều một tính chất đặc trưng là đồng dạng. Nó được biểu hiện bởi sự giống nhau giữa một phần rất nhỏ của đường cong được phóng lớn với một phần khác lớn hơn của cùng một đường cong đó. Tính chất này giữ một vị trí quan trọng trong việc hình thành nên các dạng cấu trúc vơ cùng phức tạp của tự nhiên, nhưng vào thời Von Koch lại được hiểu biết rất sơ lược. Chỉ với sự giúp đỡ của máy tính điện tử, bản chất của tính đồng dạng mới được nghiên cứu đầy đủ và chi tiết trong tác phẩm “Hình học phân hình trong tự nhiên” của Benoit B. Mandelbrot xuất bản năm 1982. Trong tác phẩm của mình, Mandelbrot đã phân rã các dạng cấu trúc phức tạp của tự nhiên thành các thành phần cơ bản gọi là fractal. Các fractal này chứa đựng các hình dáng tự đồng dạng với nhiều kích thước khác nhau. Mandelbrot đã tạo nên những bức tranh fractal trừu tượng đầu tiên và nhận thấy rằng đằng sau các đối tượng tự nhiên như các đám mây, các dãy núi, các khu rừng, vv… là các cấu trúc tốn học tương tự nhau. Chúng có khuynh hướng hài hồ về màu sắc và cân đối về hình thể. Ngồi ra Mandelbrot cũng thiết lập cách xác định số chiều và độ dài của các dạng fractal cơ sở. Chính với định nghĩa về số chiều này, bài tốn số chiều khơng ngun mới được giải quyết một cách hồn chỉnh. Có thể nói cơng trình của Benoit B.Mandelbrot đã chính thức khai sinh lý thuyết hình học phân hình sau hơn nửa thế kỷ nghiên cứu liên tục. I.2 SỰ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYỂT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH: Kể từ khi ra đời một cách chính thức vào năm 1982 cho đến nay, lý thuyết hình học phân hình học phân hình đã phát triển một cách nhanh chóng. Sau khi đặt nền móng cho lý thuyết phân hình, Mandelbrot cùng với các nhà tốn học khác như A. Douady và J.Hubbard đã phát triển lý thuyết về các mặt fractal. Các kết quả đạt được chủ yếu tập trung ở các tính chất của các cấu trúc fractal cơ sở như tập Mandelbrot và tập Julia. Ngồi ra các nghiên cứu cũng cố gắng tìm kiếm mối liên hệ giữa các cấu trúc này, ví dụ như mối liên hệ giữa tập Mandelbrot và Julia. THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Đề tài : Hình học Fractal Trang 10 Dựa trên các cơng trình của Mandelbrot (trong những năm 1976, 1979, 1982) và Hutchinson (1981), vào các năm 1986, 1988 Michael F.Barnsley và M.Begger đã phát triển lý thuyết biểu diễn các đối tượng tự nhiên dựa trên cơ sở lý thuyết về các hệ hàm lặp IFS. Các hệ hàm lặp này bao gồm một bộ hữu hạn các phép biến đổi affine cho phép với sự giúp đỡ của máy tính tạo nên hình ảnh các đối tượng trong tự nhiên. Theo lý thuyết này hình học Euclide cổ điển rất có hiệu lực trong việc biểu diễn các đối tượng nhân tạo như một tồ nhà, một cổ máy nhưng lại hồn tồn khơng thích hợp cho việc biểu diễn các đối tượng của thế giới thực vì đòi hỏi một lượng q lớn các đặc tả cần có. Nếu như trong hình học Euclide các yếu tố cơ sở là đường thẳng, đường tròn, hình vng,… thì lý thuyết IFS mở rộng hình học cổ điển với các yếu tố cơ sở mới là vơ số thuật tốn để vẽ nên các fractal của tự nhiên. Ngồi ra các cơng trình có tính chất lý thuyết, hình học phân hình còn được bổ sung bởi nhiều nghiên cứu ứng dụng lý thuyết vào khoa học máy tính và các khoa học chính xác khác, ví dụ dựa trên lý thuyết IFS, Barnsley đã phát triển lý thuyết biến đổi phân hình áp dụng vào cơng nghệ nén ảnh tự động trên máy tính, là một lĩnh vực đòi hỏi những kỹ thuật tiên tiến nhất của tin học hiện đại. Hiện nay nhiều vấn đề, về lý thuyết phân hình vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu. Một trong những vấn đề lớn đang được quan tâm là bài tốn về các độ đo đa phân hình (multifractal measurement) có liên quan đến sự mở rộng các khái niệm số chiều fractal với đối tượng fractal trong tự nhiên, đồng thời cũng liên quan đến việc áp dụng các độ đo fractal trong các ngành khoa học tự nhiên. I.3 CÁC ỨNG DỤNG TỔNG QT CỦA HÌNH HỌC PHÂN HÌNH: Hiện nay có 3 hướng ứng dụng lớn của lý thuyết hình học phân hình, bao gồm: ▪ Ứng dụng trong vấn đề tạo ảnh trên máy tính. ▪ Ứng dụng trong cơng nghệ nén ảnh. ▪ Ứng dụng trong nghiên cứu khoa học cơ bản. □ ỨNG DỤNG TRONG VẤN ĐỀ TẠO ẢNH TRÊN MÁY TÍNH: Cùng với sự phát triển vượt bậc của máy tính cá nhân trong những năm gần đây, cơng nghệ giải trí trên máy tính bao gồm các lĩnh vực như trò chơi, anmation video… nhanh chóng đạt đỉnh cao của nó. Cơng nghệ này đòi hỏi sự mơ tả các hình ảnh của máy PC với sự phong phú về chi tiết và màu sắc với sự tốn kém rất lớn về thời gian và cơng sức. Gánh nặng đó hiện nay đã được giảm nhẹ đáng kể nhờ các mơ tả đơn giản nhưng đầy đủ của lý thuyết fractal về các đối tượng tự nhiên. Với hình học phân hình khoa học máy tính có trong tay một cơng cụ mơ tả tự nhiên vơ cùng mạnh mẽ. THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN [...]... Ngồi các ứng dụng trong lĩnh vực giải trí, hình học phân hình còn có mặt trong các ứng dụng tạo ra các hệ đồ hoạ trên máy tính Các hệ này cho phép người sử dụng tạo lập và chỉnh sửa hình ảnh, đồng thời cho phép tạo các hiệu ứng vẽ rất tự nhiên hết sức hồn hảo và phong phú, ví dụ hệ phần mềm thương mại Fractal Design Painter của cơng ty Fractal Design Hệ này cho phép xem các hình ảnh dưới dạng hình hoạ... ảnh dithering □ ỨNG DỤNG TRONG KHOA HỌC CƠ BẢN: Có thể nói cùng với lý thuyết topo, hình học phân hình đã cung cấp cho khoa học một cơng cụ khảo sát tự nhiên vơ cùng mạnh mẽ như đã trình bày trong phần I.1, vật lý học và tốn học thế kỷ XX đối đầu với sự xuất hiện của tính hỗn độn trong nhiều q trình có tính quy luật của tự nhiên Từ sự đối đầu đó, trong những thập niên tiếp theo đã hình thành một lý... dị của các tiến trình được khảo sát, qua đó tìm ra được các đặc trưng hoặc các cấu trúc tương tự nhau trong các ngành khoa học khác nhau Hình học phân hình đã được áp dụng vào nghiên cứu lý thuyết từ tính, lý thuyết các phức chất trong hố học, lý thuyết tái định chuẩn và phương trình Yang & Lee của vật lý, các nghiệm của các hệ phương trình phi tuyến được giải dựa trên phương pháp xấp xỉ liên tiếp của. .. việc tính tốn và thể hiện các quan sát một cách trực quan, do đó sự phát triển của lý thuyết này bị hạn chế Đề tài : Hình học Fractal Trang 12 THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường rất nhiều Chỉ gần đây với sự ra đời của lý thuyết fractal và sự hỗ trợ đắt lực của máy tình, các nghiên cứu chi tiết về sự hỗn độn mới được đẩy mạnh Vai trò của hình học phân hình trong lĩnh... tương ứng với các hình dạng khác nhau Hình sau là mức 3 của đường Gosper Đề tài : Hình học Fractal Trang 27 ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Hình : Đường Gosper ở mức 3 □ ĐƯỜNG VON KOCK BẬC HAI 3-ĐOẠN: Một vài đường cong kế tiếp được gọi là bậc hai (quadric) vì initiator là một hình vng (Tuy nhiên điều này khơng có gì bí mật về initiator là hình vng, nó có thể... SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Hình sau là mức 4 của đường Von Kock 3-đoạn □ ĐƯỜNG VON KOCK BẬC HAI 8-ĐOẠN: Một vài đường cong kế tiếp sẽ giúp sử dụng một lưới hình vng và quay các góc đi 900 Chúng đều hơn một chút so với đường cong trước bởi vì đoạn thẳng được thay thế sẽ rơi vào đường nằm ngang ở giữa lưới Hình sau cho chúng ta thấy generator của nó: Giả sử chiều dài từ đầu nút của generator đến đầu mút... generator trên lưới các hình vng Đối với đường cong đầu tiên này, một generator của 3đoạn sẽ được sử dụng Hình sau sẽ cho chúng ta một generator: Đề tài : Hình học Fractal Trang 28 THƯ VIỆN ĐIỆN TỬ TRỰC TUYẾN ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP SVTH: Nguyễn Ngọc Hùng Cường Để tính số chiều fractal của đường này trước hết ta tính số chiều của mỗi đoạn của generator Giả sử chiều dài từ đầu mút của generator đến đầu mút... khơng gian R , [U1, U2,… ] là một phủ mở của A và diam(Ui) < ε, ∀i n Hausdorff đã chứng minh được sự tồn tại của một số DH(A) sao cho: hS(A) = 0 khi s > DH(A) ∞ khi s < DH(A) Giá trị DH(A) được gọi là số chiều Hausdorff của tập A Nói cách khác: DH(A) thì hS(A) có thể là một số thực dương 0 hay ∞ Định nghĩa này giữ vai trò quan trọng trong lý thuyết hình học phân hình hiện đại nhưng khơng có tính thực... một đầu mút của đoạn được thay thế và kết thúc ở điểm giữa của đoạn này, chứa Nmax/2 đoạn ◊ Khơng đi ra ngồi ơ vng ◊ Nếu generator giao với một điểm nằm trên một cặp cạnh song song với nhau của ơ vng, thì nó khơng thể giao nhau ở một điểm tương ứng của cặp cạnh khác Khi nửa generator đã tạo, chúng ta có thể lật ngược lại đồ thị và vẽ generator giống như trên để hồn tất q trình Đề tài : Hình học Fractal... Newton trong giải tích số,… Các kết quả thu được giữ vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực tương ứng I.4 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT HÌNH HỌC PHÂN HÌNH: I.4.1 ĐỘ ĐO FRACTAL: □ Số chiều Hausdorff của một tập hợp A⊂ Rn: ⊂ Cho trước các số thực dương s và ε Gọi hs (A) là độ đo Hausdorff schiều của tập A thì hs (A) được xác định bởi: Hs (A) = lim hsε (A) ε→0 với: s h ε (A) = inf ∞ Σ diam(Ui)s