Trong chương trình Toán lớp 8 các bài toán rút gọn biểu thức các em đã được làm quen nhiều, song bài toán về rút gọn biểu thức có chứa dấu căn trong chương trình lớp 9 rất phong phú, đa dạng và phức tạp, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo, yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy. Chính vì vậy dạng toán này thường xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và nó cũng là cơ sở để giải các bài toán tiếp theo như dạng giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức... Trong khi đó nội dung và thời lượng giảng dạy về phần rút gọn biểu thức chứa dấu căn lại không nhiều, nhưng lượng bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập phong phú và đa dạng. Vì vậy muốn học sinh giải được các dạng toán cơ bản của chương I Đại số lớp 9, trong quá trình giảng dạy chúng tôi đã phân chia các bài toán cơ bản của chương I thành hệ thống các dạng bài tập cho học sinh đại trà, học sinh giỏi để học sinh nhận diện ra phương pháp giải, tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác . Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho HS chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này. Đây là quá trình chuyển từ tính toán trên tập số sang tính toán trên chữ. Do đó chương I Đại số lớp 9 còn giúp tổng kết việc tính toán và biến đổi đồng nhất ở cấp THCS.
PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS NG V XUÂN CHUYÊN ĐỀ LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LỚP Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Xuyên Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Viết Xuân Ngũ Kiên, ngày 25 tháng 11 năm 20 Chuyên đề LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LỚP PHẦN I: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Nâng cao chất lượng dạy học nhiệm vụ trọng tâm giáo viên, đặc biệt chất lượng môn học sinh( HS) khối Kết thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông HS khối thước đo hiệu đào tạo nhà trường THCS, đánh dấu bước chuyển tiếp quan trọng HS đường tiếp tục học lên bước vào sống lao động sản xuất sau này.Việc nâng cao chất lượng dạy học môn cần thực lên lớp, sở trọng đổi phương pháp dạy học, đổi kiểm tra đánh giá HS, tích cực kiểm tra theo dõi sát việc học tập học sinh, từ uốn nắn, giải đáp vướng mắc cho HS, rèn kỹ giải toán cho HS điều chỉnh phương pháp giảng giáo viên cho phù hợp đạt hiệu Trong chương I Đại số lớp 9, học sinh chuyển kĩ tính toán tập số sang tính toán biểu thức chữ tập số thực R tập với biểu thức hữu tỷ Việc vận dụng kiến thức cũ tiếp cận kiến thức giải toán cần biến đổi tổng hợp liên quan nhiều kiến thức, kỹ định làm cho học sinh gặp khó khăn lúng túng trình học môn, kỹ giải tập chương Vì đặt cho giáo viên trình giảng dạy cần phải làm để HS nắm vững kiến thức chương, có kỹ vận dụng giải tập chương Muốn vậy, giáo viên cần nghiên cứu kỹ chương trình, có định hướng chia nhỏ yêu cầu tập phân dạng tập HS cần học theo chuyên đề dạng tập nhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp kĩ giải tập cho HS Yêu cầu tập đưa phải từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với trình độ nhận thức HS giúp em thông hiểu, vận dụng hứng thú tích cực học tập Vì muốn đưa hệ thống tập chương I Đại số lớp để giúp có hệ thống tập khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời luyện kỹ giải dạng tập chương cho em Trong chương trình Toán lớp toán rút gọn biểu thức em làm quen nhiều, song toán rút gọn biểu thức có chứa dấu chương trình lớp phong phú, đa dạng phức tạp, đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo, yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư Chính dạng toán thường xuyên có mặt kì thi học sinh giỏi lớp 9, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT sở để giải toán dạng giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Trong nội dung thời lượng giảng dạy phần rút gọn biểu thức chứa dấu lại không nhiều, lượng tập sách giáo khoa sách tập phong phú đa dạng Vì muốn học sinh giải dạng toán chương I Đại số lớp 9, trình giảng dạy phân chia toán chương I thành hệ thống dạng tập cho học sinh đại trà, học sinh giỏi để học sinh nhận diện phương pháp giải, tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ tính toán vận dụng kiến thức toán học vào đời sống môn học khác Có thể nói rằng, hình thành rèn luyện kỹ giải tập cho HS chiếm thời gian chủ yếu phần kiến thức Đây trình chuyển từ tính toán tập số sang tính toán chữ Do chương I Đại số lớp giúp tổng kết việc tính toán biến đổi đồng cấp THCS Mục đích nghiên cứu - Chọn số dạng tập chương I Đại số lớp 9, nhằm giúp cho giáo viên có tài liệu để giảng dạy rèn kĩ giải toán cho học sinh lớp đặc biệt phục vụ cho việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT thi HSG lớp - Giúp cho học sinh nhận diện phương pháp giải rèn kĩ vận dụng kiến thức vào giải dạng tập Học tốt dạng toán giúp HS sau học xong chương I, làm tốt toán rút gọn tổng hợp tất dạng có, từ giúp em tự tin giải toán thi cử Đối tượng nghiên cứu - Các tập chương I đại số lớp luyện kĩ giải dạng tập - HS lớp trường THCS - GV tổ Toán trường THCS Phạm vi nghiên cứu - Trong chuyên đề nêu số dạng toán hướng dẫn học sinh giải, rèn kĩ cho HS từ định hướng cho học sinh phương pháp giải số toán mà em lúng túng việc tìm lời giải - Ý tưởng đề tài phong phú đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng nên nghiên cứu số dạng toán bản, thiết thực đồng thời đưa phương pháp rèn kĩ cho HS Phương pháp nghiên cứu - Tham dự lớp tập huấn - Hệ thống dạng tập tìm tài liệu - Nghiên cứu qua thực hành giải tập HS - Phương pháp thực nghiệm, thực tế giảng dạy - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm PHẦN II: NỘI DUNG Chương I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lý luận - Xuất phát từ vai trò quan trọng dạng toán chương I Đại số thắp lên cho ý tưởng : Xây dựng chuyên đề “Luyện kỹ giải tập chương I Đại số lớp 9” Công việc xây dựng ý tưởng cách viết chuyên đề, thật thiết thực, bổ ích với tất GV Toán HS lớp Nội dung chuyên đề bám sát chương trình không giản đơn tương tự chuyên đề có Mỗi dạng toán viết phải cô đọng lí thuyết, phong phú hấp dẫn ví dụ cụ thể hay lưu ý mang đậm dấu ấn kinh nghiệm giải toán, kinh nghiệm giảng dạy Với hi vọng nội dung chuyên đề mang lại hiệu cao tiết lên lớp đề cương ôn thi vào THPT Cơ sở thực tiễn - Nhiều học sinh yếu kỹ tính toán, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán chưa cao, chưa có ý thức tự giác học tập - Nhiều học sinh sử dụng sách hướng dẫn giải tập nên gặp tập em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, áp dụng phương pháp trước, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Việc áp dụng lí thuyết vào giải số toán rút gọn học sinh chưa linh hoạt, gặp toán đòi hỏi phải vận dụng có tư học sinh không xác định phương hướng để giải toán dẫn đến lời giải sai không làm được, kĩ giải tính toán số học sinh yếu Thực trạng nghiên cứu vấn đề - Như chung ta biết, năm mà đề thi vào lớp 10 THPT có tập rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai năm điểm Toán chung toàn tỉnh Vĩnh Phúc không cao Nguyên nhân kĩ biến đổi biểu thức HS chưa tốt, dạng toán đề yêu cầu mức đại trà, không khó Qua tiến hành khảo sát học sinh khối trường THCS Nguyễn Viết Xuân môn Toán 02 năm học( 2011- 2012; 2012-2013) với đối tượng học sinh: Khá, TB, yếu, kết sau: Trung bình Khá – Giỏi Năm học Tổng số Yếu TS % TS % TS % 2011 - 2012 77 20 26 22 28,6 35 45,4 2012 - 2013 72 18 25,0 23 31,9 31 43,1 - Như tỉ lệ học sinh học trung bình môn Toán thấp, đặc biệt giải toán rút gọn em hạn chế, việc đưa hệ thống tập phương pháp giải, rèn kĩ giải cho dạng tập vô quan trọng cấp thiết trình giảng dạy trường THCS Nguyễn Viết Xuân Những giải pháp đề tài - Đề tài đưa giải pháp sau: + Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán + Xây dựng phương pháp giải dạng đưa kĩ giải tập cho dạng + Đối với học sinh yếu cần củng cố: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, tìm điều kiện cho biểu thức có nghĩa, rèn cho HS thực tốt việc tính giá trị biểu thức R + Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kĩ năng, phối hợp nhiều phương pháp, chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành Tìm tòi lời giải hay khai thác toán + Đối với HS khá, giỏi: Phát triển tư duy, giới thiệu thêm dạng toán nâng cao Chương 2: PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM Qua thực tế giảng dạy nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng môn toán trường THCS, tìm hiểu, nghiên cứu đến thống thực chuyên đề sau I.Nội dung mức độ yêu cầu chương Kiến thức chung - Căn bậc hai: Định nghĩa, kí hiệu, điều kiện tồn Hằng đẳng thức A2 = A - Khai phương tích Nhân thức bậc hai Khai phương thương Chia hai thức bậc hai - Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Khái niệm bậc ba (Phần bậc ba có tính chất giới thiệu) Mức độ yêu cầu - HS nắm định nghĩa bậc hai, kí hiệu bậc hai số học, điều kiện tồn bậc hai, tính chất, quy tắc tính biến đổi bậc hai Có kĩ tính nhanh, phép tính bậc hai, kĩ thực phép biến đổi đơn giản, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai Biết khai phương máy tính bỏ túi Tăng cường rèn luyện kĩ tính toán, suy luận, thực hành giúp học sinh vận dụng kiến thức toán học vào đời sống vào môn học khác Kỹ Hai kỹ chủ yếu kỹ tính toán kỹ biến đổi biểu thức a Kỹ tính toán * Có thể kể kỹ tính toán (các ví dụ tập ý đến số) : - Tìm khai phương số ( số số phương khoảng từ đến 400 tích hay thương chúng, đặc biệt tích thương số với số 100) - Phối hợp kỹ khai phương với kỹ cộng trừ nhân chia số ( tính theo thứ tự thực phép tính tính hợp lý có sử dụng tính chất phép khai phương) b Kỹ biến đổi biểu thức * Có thể kể kỹ biến đổi biểu thức (các ví dụ tập ý đến biểu thức chứa chữ) : - Các kỹ biến đổi riêng lẻ tương ứng với công thức nêu phần 4) - Phối hợp kỹ (và kỹ có lớp trước) để có kỹ biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Điều quan trọng rèn luyện kỹ biến đổi biểu thức tính mục đích phép biến đổi Điều này, SGK ý thông qua ứng dụng sau hình thành ban đầu kỹ biến đổi biểu thức Các ứng dụng nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện đó.) Ngoài hai kỹ nêu ta thấy có kỹ hình thành củng cố phần : - Giải toán so sánh số - Giải toán tìm x - Chứng minh đẳng thức - Kỹ sử dụng máy tính Kiến thức cụ thể * Các phép biến đổi biểu thức chứa bậc hai mà SGK giới thiệu cho công thức sau : x≥0 x = a + Căn bậc hai số học: Với a ≥ 0, a = x ⇔ + Điều kiện tồn + A2 = A có nghĩa A A ≥ A2 = A A ≥ A2 = − A A < + Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể định lý so sánh bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔ a < b ”) + + A.B = A B với A ≥ 0, B ≥ A = B A với A ≥ 0, B > B + Đưa thừa số dấu bậc hai: A2 B = A B với B ≥ +Đưa thừa số vào dấu bậc hai: A B = A2 B với A ≥ 0, B ≥ A B = − A2 B với A < 0, B ≥ + Khử mấu biểu thức lấy căn: A = B A.B = A.B ( B ≠ 0, A.B ≥ ) B |B| + Trục thức mẫu số: A B = A B B C A±B = C ( A B ) A − B2 ( với B > 0) (với A≥ A ≠ B2) C A± B = C( A B ) ( với A ≥ 0, B ≥ A ≠ B ) A− B II Nội dung cụ thể Dạng I: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Đây vấn đề khó phức tạp HS, tìm ĐKXĐ thường gắn với việc giải hệ bất phương trình phương trình mà đến cấp THPT học Phần lớn tập sách có liên quan đến biểu thức chữ cho trước ĐK chữ Nhưng thực tế đề thi vào THPT có toán dạng rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai công việc HS phải tự tìm ĐKXĐ Do vậy, yêu cầu xem xét ĐKXĐ biểu thức dừng mức độ HS hiểu a) Phương pháp Với toán rút gọn: + Nếu toán có phần yêu cầu tìm ĐK để biểu thức có nghĩa phải trình bày cụ thể theo bước, toán yêu cầu rút gọn ghi kết ĐKXĐ không thiết phải trình bày cụ thể + Đôi toán tác giả cho sẵn điều kiện lưu ý điều kiện điều kiện toàn bài, nhiều toán phải đặt thêm điều kiện giải A A ≥ Nếu biểu thức có dạng - Điều kiện tồn (ĐKXĐ) m ta A giải bất phương trình A > Nghĩa mẫu phân thức khác b) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: a) x − 1 x −7 b) Giải: a) x − xác định 2x-1 ≥ ⇔ 2x ≥ ⇔x ≥ xác định x ≥ x - ≠ x −7 ⇔ x ≥ x ≠ 49 c) xác định 5x + 10 >0 ⇔ x > -2 x + 10 b) Ví dụ 2: Cho biểu thức: P = x+2 x +1 + − x x −1 x + x + x −1 Tìm x để P có nghĩa Giải: Để P có nghĩa điều kiện là: x ≥ x ≥ x x −1 ≠ ⇔ x ≠ x −1 ≠ Vậy x ≥ 0; x ≠ P có nghĩa c) x + 10 c) Bài tập Bài tập 1: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa a) x − 36 b) x − x + c) 2− x x−3 Bài tập 2: B = x −3 + x +3 Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa x x x−4 + ÷ x +2÷ x −2 4x Bài tập 3: Cho biểu thức M = Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa Dạng II: Phân tích đa thức thành phân tử Đây khâu trung gian cho toán “ Rút gọn biểu thức chứa thức ” a) Phương pháp + Đặt nhân tử chung + Nhóm nhiều hạng tử + Dùng đẳng thức + Tách, thêm bớt Chú ý : Đặt điều kiện trước phân tích đa thức thành nhân tử b) Ví dụ Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử (với số x, y, a, b không âm) a) x2 – b) x2 + x + c) ab + b a + a + d) 12 - x - x Giải: a) x2 - = ( x + )(x - ) b) x2 + x + = ( x + )2 c) ab + b a + a + = b a ( a + 1) + ( a + 1) = ( a + 1)( b a + 1) d) Có nhiều cách làm khác nhau, GV nên hướng dẫn HS tách 12 = + biến đổi 12 - x - x = - x + - x = (3 - x ) + (32 - x ) = (3 - x ) (4 + x ) c) Bài tập (Giả thiết biểu thức có nghĩa) Bài tập1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b − c) a − b) x − d) a − 2 Bài tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 21 + + + b) x + x − c) − a + − a d) a a + e) a + b − a b − ab f) 2a a + a − 3a − Bài tập 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x x + x − x − b) ab + a + b + c) (1 + x ) − x d) ab − a − b + e) a + a + ab + b f) x x + y y + x − y h) x − x − Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x + b) x − 3x y + y c) x + x − d) x − x − x g) − x + x + h) x − x − f) x + x + i) 2a + ab − 6b Bài tập 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x + b) 2a − ab − 6b c) a − 2a − d) 4a − a − g) x − + x − h) x − x + x − f) 2a − ab + 3b i) x − x + x l) 3x − x − Dạng III: So sánh a) Phương pháp Định lí: Với hai số không âm a b ta có: a > b ⇔ a > b Chú ý: Khi so sánh cần linh hoạt, là: Sử dụng thêm tính chất như: a, b > , a2 > b2 a > b +Nếu a > b > 1 < a b +Xét hiệu A-B +So sánh sử dụng tính chất bắc cầu +Áp dụng bất đẳng thức (Côsi, Bunhia , giá trị tuyệt đối…) +Dùng phép biến đổi tương đương b) Các ví dụ Ví dụ 4: a) 26 b) 113 11 c) 33 − 17 - 15 Giải: a) 25 < 26 nên 25 < 26 nên < 26 b) Vì 113 < 121 nên 113 < 11 c) 33 < 36 - 17 < - 15 nên 33 − 17 < - 15 Lưu ý: Ta so sánh số cách dùng kết sau đây: “Với a, b dương ta có a < b ⇔ a2 < b2.” Thật vậy, với a, b dương a+b > nên: a < b ⇔ a – b < ⇔ (a - b)(a + b) < ⇔ a2 - b2 < hay a2 < b2 Chẳng hạn với câu a) ta có 52 = 25, ( 26 )2 = 26 Rõ ràng 52 < ( 26 )2 nên < 26 Ví dụ 5: So sánh Giải: Với số dương a, b a2 > b2 ⇔ a > b Ta có > ⇔ ( )2 > ( )2 ⇔ >2 ⇔ (3 )2 > (2 )2 ⇔ 18 > 12 Bất đẳng thức cuối nên > Ví dụ 6: So sánh 10 + 17 + 61 Giải: Ta có: 10 > = 3, 17 > 16 = suy 10 + 17 + > + + = (1) Lại có 61 < 64 = (2) Từ (1) (2) suy 10 + 17 + > 61 Thêm toán so sánh hai số cách đưa bình phương hai số giúp ta tiếp cận với bất đẳng thức bản, điều quan trọng muốn nhấn mạnh thông qua toán giúp HS tránh nhầm lẫn thực phép tính bậc hai tổng, hiệu lại sử dụng tương tự quy tắc khai phương tích Ví dụ : (Bài 26 SGK trang 16) a) So sánh 25 + 25 + b) Với a > b > 0, chứng minh a + b < a + b Giải: a) So sánh trực tiếp cách tính kết b) Hai vế bất đẳng thức không âm nên bình phương hai vế ta được: ( a+b ) ≤( a+ b ) ⇔ a + b ≤ a + b + ab ⇔ ≤ ab Ví dụ 8: a) So sánh 25 − 16 25 − 16 b)Chứng minh rằng, với a > b > a − b < a − b Giải: Tương tự ví dụ c) Bài tập Bài tập 1: So sánh a) 13 b) 12 16 d) e) 12 16 17 2 19 1 82 c) h) 3 − 2 Bài tập 2: So sánh số sau : a) − b) 30 − 29 29 − 28 c) + + d) 27 + + 48 e) + 75 + 50 g) − Bài tập 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần ; 2; ; ; Bài tập 4: Tồn hay không tam giác có cạnh là: 17 ; + 1; 45 Bài tập 5: So sánh hai số a b biết : a = 2000 − 1999 b = 1999 − 1998 DạngIV: Thực phép tính R a) Phương pháp Áp dụng kiến thức: Hằng đẳng thức, liên hệ phép nhân, phép chia phép khai phương, đưa thừa số vào dấu căn, biết cách khử mẫu biểu thức lấy căn, trục thức mẫu Biết phối hợp linh hoạt sử dụng phép biến đổi - Sử dụng đẳng thức A2 = A có nghĩa A2 = − A A < 10 A2 = A A ≥ , Lưu ý: Biểu thức A cho dạng tổng hai thức hai biểu thức lấy có tổng không đổi (bằng 2) Vì vậy, ta bình phương biểu thức A ta xuất hạng tử hai thức Đến ta vận dụng bất đẳng thức Côsi: ab ≤ a + b (với a, b không âm) Ví dụ 16: Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 A = ( 2014 − x ) + ( 2013 − x ) Giải: 2 A = ( 2014 − x ) + ( 2013 − x ) ≥ ( 2014 − x + x − 2013) = Vậy A = ⇔ (2014 – x )(2013 –x ) ≥ ⇔ 2013 ≤ x ≤ 2014 Lưu ý: Chúng ta sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ ( a + b ) ⇔ a + b ≥ a + b Ví dụ 17: Biết x2 + y2 = 52 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : A = 3x + 2y Giải : Nhận xét : A = 3x + y ≤ ( 32 + 22 ) ( x + y ) = 13.52 =26 x y = = t ⇔ x = 3t y = 2t Do : 52 = x2 + y2 = (3t)2 + (2t)2 = 13t2 ⇔ t2 = ⇔ t = ±2 suy x = y = ⇔ −26 ≤ A ≤ 26 Dấu “=” xảy khi: x = - y = - Vậy : max A = 26 x = y = Min A = - 26 x = - y = - Lưu ý: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ac + bd ≤ (a + b2 ) ( c2 + d ) c) Bài tập Bài 13 : Tìm x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ ,tìm GTNN a) A = x − − b) B = x − x + 10 c) C = x − x d) D = x − x + + Bài 14 : Tìm x để biểu thức sau đạt giá trị lớn ,tìm GTLN a) M = − x − b) N = x − x − c) P = x − x +1 Bài 15: Tìm giá trị lớn biểu thức B = x − + 23 − x Bài 16: Cho x + y =15, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức C = x −4 + y −3 Dạng VI: Giải phương trình ( phương trình vô tỉ ) Học sinh làm quen với việc giải phương trình chứa bậc hai thấy phương pháp thường sử dụng, bao gồm: - Phương pháp biến đổi tương đương (Trong có sử dụng phép biến đổi thức đưa thừa số vào trong, dấu căn…) - Phương pháp đặt ẩn phụ - Chuyển phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quen thuộc lớp - Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình (Nâng cao) Kiến thức phần giải phương trình rộng, kiến thức nâng cao phức tạp Ở để giúp em khắc sâu kiến thức bản, phần trình bày vài ví dụ mức đơn giản, cụ thể phương pháp 15 a) Phương pháp * Phương pháp biến đổi tương đương Ta sử dụng phép biến đổi sau f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) với điều kiện f(x) ≥ g(x) ≥ g ( x)≥0 f ( x) = g ( x) ⇔ f ( x )= g ( x ) Ví dụ18: Giải phương trình: + x − = x ĐKXĐ: 2x – ≥ ⇔ x ≥ (1) (2) (1) ⇔ x − = x − (3) Ta phải có x − ≥ ⇔ x ≥ (4) ⇔ Với điều kiện (4) (3) 2x – = (x - 3) ⇔ x2 – 8x + 12 = ⇔ (x - 2)(x - 6) = ⇔ (5) x1 = 2; x2 = Giá trị x1 = không thỏa mãn (4), loại x2 = thỏa mãn (2) (4), nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = Lưu ý: - Nếu không đặt điều kiện x − ≥ (3), ta sai lầm nhận x = nghiệm (1) Chú ý từ (3) suy (5) từ (5) suy (3) với điều kiện x − ≥ - Có thể bình phương hai vế (1) với điều kiện x ≥ (điều kiện có 2x – ≥ 0), lời giải không ngắn gọn cách tách riêng thức vế * Phương pháp đặt ẩn phụ (Nâng cao) - Phương pháp đặt ẩn phụ việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình đa thức với một, hai… ẩn phụ - Nếu toán chứa f ( x ) ta đặt t = f ( x ) , điều kiện t ≥ , f(x) = t2 - Ngoài tùy thuộc vào đề toán mà ta biến đổi đặt ẩn phụ, ý điều kiện cho biểu thức có nghĩa Sau tìm giá trị biến phải đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm * Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối - Phương pháp là: Khi gặp phương trình mà biểu thức viết dạng bình phương biểu thức sử dụng đẳng thức : A = A để làm dấu đưa phương trình đơn giản *Phương pháp dùng bất đẳng thức Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt 4x − =2 x 4x − 1 a b Giải: ĐK: x > ;Sử dụng bất đẳng thức: + ≥ b a x 4x − + ≥2 a=b Ta có: x 4x − Ví dụ 19: Giải phương trình: x + Do (*) ⇔ x = x − Giải ra: x = ± thoả mãn điều kiện 16 (`*) với a, b > 0, dấu “=” xảy Vậy (*) có hai nghiệm x = 2± Ví dụ 20: Giải phương trình: (**) Nhận xét:+Ở phương trình ta không nên bình phương hai vế + Xét biểu thức 3x +6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ có lời giải: Giải: VT: 3x + x + + x + 10 x + 14 ≥ + = VP: − x − x = − ( x + 1) ≤ Vậy vế 5, x + = ⇒ x = −1 Kết luận pt (**) có nghiệm x=-1 * Phương pháp đưa dạng : A2(x) + B2(x) = A(x).B(x)=0 Ở phương pháp ta sử dụng A2(x) + B2(x) = ⇔ A(x) = B(x) = ; Hoặc A(x).B(x)=0 A(x)=0 B(x)=0 Ví dụ 21: Giải phương trình: x + x + = 2 x + Nhận xét: + Sử dụng phương pháp khó giải + Biến đổi đưa dạng A2 + B2 = Giải: 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x 2 x + 4x + − 2x + = Điều kiện: x ≥ − ⇔ ( x + x + 1) + (2 x + − 2 x + + 1) = ⇔ ( x + 1) + ( x + − 1) = x + = x + − = Giải x= -1 b) Ví dụ Ví dụ 22: Giải phương trình: a) x + = 21 c) 4x + x − = Giải: a) ĐK: x ≥ x + = 21 ⇔ x = 21 − ⇔ x = b) x + 20 − + x + x + 45 = 20 20 16 = ⇔ x = ⇔ x = 16 ⇔ x = = (t/m) Vậy phương trình có nghiệm x = b) ĐK: x + ≥ ⇔ x ≥ -5 x + 20 − + x + x + 45 = 20 ⇔ 4( x + 5) − + x + 9( x + 5) = 20 ⇔ x + − + x + 7.3 x + = 20 ⇔ (2 − + 21) x + = 20 ⇔ 20 x + = 20 ⇔ x + = ⇔ x + = ⇔ x = - = -4 ( t/m ) Vậy phương trình có nghiệm x = -4 c) ĐK: 2x – ≥ ⇔ x ≥ 1/2 Đặt t = x − , t ≥ Khi đó, phương trình viết lại: 2(2x-1) + x − - = ⇔ 2t2 + t – = ⇔ (t - 1)(2t + 3) = ⇔ t = t = - 3/2 (loại) 17 ⇔ t = 1⇔ 2x −1 = ⇔ 2x – = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 23 : Giải phương trình a) − x = b) − 12 x + x = c) x − 10 x + 25 = x + Giải: a) ĐK: – 2x ≥ ⇔ x ≤ 3/2 Khi bình phương hai vế ta – 2x = 16 ⇔ x = - 13/2 (t/m) Vậy phương trình có nghiệm x = -13/2 b) Cách 1: Ta có: ( − x ) = nên (3 – 2x)2 = 16 hay (7 – 2x)(- – 2x) = suy x = 3,5 ; x = -0,5 Cách : Từ ( − x ) = suy ra: − x = Hay – 2x = ± từ suy x = 3,5 ; x = -0,5 c) ( x − ) = x + hay x − = x + Nếu x ≥ x – = x + phương trình vô nghiệm Nếu x < x – = x + , suy x = Lưu ý: Cần ý cho HS cách giải phương trình phần a) khác phần b) phần a) trước giải phương trình HS phải tìm ĐK, phần b) tìm, giải phương trình phần b) theo cách xảy hai trường hợp c) Bài tập Bài tập 1: Giải phương trình a) x − x + 18 x = 28 b) x + − 3x + = x − c) x + − x − + x + − x − = d) x − x + = − 2 Bài tập 2: Giải phương trình (đặt ẩn phụ) a) x − x + x − 12 x + = b) x +6x+12+ x + 3x + =9 c) x + x + 2006 = 2006 Dạng VII: Rút gọn biểu thức a) Phương pháp - Ở chương I- Đại số lớp gồm 18 tiết, rút gọn biểu thức có tiết lý thuyết tiết luyện tập, hệ thống tập đơn giản bao hàm kiến thức chương kiến thức học Việc giải tập em học sinh lớp nhà bước đầu gặp khó khăn tìm đường lối giải, mắc sai lầm sử dụng tổng hợp phép biến đổi biểu thức chứa chữ, đơn giản nhầm dấu làm sai kết rút gọn Vì cần hướng dẫn cho học sinh thực thứ tự phép tính tương tự biểu thức số, tăng cường rèn kĩ cho học sinh dạng toán này, công việc toán tìm ĐKXĐ 18 b) Ví dụ Ví dụ 24: Các tập trắc nghiệm a) Với x< biểu thức ( x − 1) ( x − 1) : A B -9 C D -3 b) Với x > -1 câu sau sai ? A x4 ( x + ) = x2 x + 9( x + 2) = x + B C D x ( x + 2) = x x + ( x + 1) = x +1 c) Đẳng thức x(1 − x) = x − x với : A ∀ x B x> C x< D ≤ x ≤ 2 d) Kết biểu thức : M = ( − 5) + ( − ) : A B C D 10 Ví dụ 25: Cho biểu thức: P = x+2 x +1 + − x x −1 x + x + x −1 a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P Giải: a) Để P có nghĩa điều kiện là: x ≥ x ≥ ⇔ x x −1 ≠ x ≠ x −1 ≠ Vậy x ≥ 0; x ≠ P có nghĩa b) Rút gọn P: P= x+2 x +1 + − x x −1 x + x + x −1 …… P = x x + x +1 Lưu ý: Với toán học sinh phải phân tích mẫu thành nhân tử, sau tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu tiếp tục thực phép tính Ví dụ 26: Rút gọn biểu thức: b a − ÷ a b −b a ab − b ÷ a − ab ( A = ) Giải: ĐKXĐ: a > 0, b > 0, a ≠ b b a − ÷ a b −b a ab − b ÷ a − ab A= ( ) = b a − ÷ a b( a − b) b( a − b) ÷ a( a − b) b b − a a ÷ = ÷ a b ( a − b ) a b ( a − b ) = b b − a a = b - a 19 = Lưu ý: Với toán rút gọn biểu thức toán không nhắc đến ĐKXĐ,nhưng học sinh phải tìm không xảy sai lầm Ví dụ 27: Chứng minh (x y+y x )( x− y xy Xét vế trái (VT) (x VT = y+y x ) = x− y )( x− y xy với x > y >0 )= xy ( x+ y )( x− y xy )=( x+ y )( x− y ) = x – y = VP (đpcm) Lưu ý: Thực tế toán chứng minh toán rút gọn cho biết đáp số, phải chọn vế trái vế phải biến đổi để rút gọn vế lại Ví dụ 28: Rút gọn biểu thức : B= x2 − x+ * Lời giải sai : x2 − x+ = ( x − )( x + ) x+ = x - * Phân tích sai lầm : Rõ ràng x = x −3 x + = 0, biểu thức x+ không tồn Mặc dù kết giải học sinh không sai, sai lúc giải lập luận, biểu thức không tồn có kết * Lời giải : Biểu thức phân thức, để phân thức tồn cần phải có x + ≠ hay x ≠ - Khi ta có x2 − x+ = ( x − )( x + ) x+ = x - (với x ≠ - ) c) Bài tập Bài tập 1: Rút gọn biểu thức: A= a + b − ab a−b − a− b a+ b B= a +1 : a a +a+ a a − a x x x−4 + ÷ x +2÷ x −2 4x Bài tập 2: Cho biểu thức M = a) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm x để M > Bài tập 3: Cho biểu thức P = x x −1 x− x − x x +1 x+ x a) Rút gọn P b) Tìm x để P = 20 + x +1 x x x +1 x −1 x : x + ; với x ≥ 0, x ≠ − Bài tập 4: Cho biểu thức P = x − x − x − a) Rút gọn P b) Tìm x để P = Bài tập 5: Cho A = 4x − 4x + Chứng minh : A = 0,5 với x ≠ 0,5 4x − Dạng VI: Bài toán tổng hợp Bài toán rút gọn biểu thức có chứa dấu chương I lớp phong phú đa dạng phức tạp, đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư Chính dạng toán thường xuyên có mặt kì thi học sinh giỏi lớp 9, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT sở để giải toán dạng giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, Với toán rút gọn biểu thức có chứa dấu học sinh THCS thường ngại không thích em thấy khó hay nhầm lẫn, có kết toán em không hiểu sai lầm bước giải đâu? em thường gặp khó khăn việc tìm lời giải phần tiếp sau toán Trong nội dung thời lượng giảng dạy phần rút gọn biểu thức chứa dấu lại không nhiều, lượng tập sách giáo khoa sách tập phong phú đa dạng Vì muốn học sinh giải dạng toán này, nhóm toán trình giảng dạy phân chia toán rút gọn kiến thức chứa thành hệ thống dạng tập cho học sinh đại trà, học sinh thi vào THPT, HS thi HSG để học sinh nhận diện phương pháp giải rèn kĩ vận dụng kiến thức vào giải dạng tập Chọn hệ thống số dạng tập rút gọn biểu thức có chứa nhằm giúp cho giáo viên có tài liệu để giảng dạy cho học sinh lớp đặc biệt phục vụ cho việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT thi HSG lớp Giúp cho học sinh nhận diện phương pháp giải rèn kĩ vận dụng kiến thức vào giải dạng tập Từ giúp em tự tin giải toán thi cử a) Phương pháp * Các bước bản: Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (ĐKXĐ) Bước 2: Phân tích tử, mẫu phân thức thành nhân tử Bước 3: Rút gọn tử, mẫu phân thức (có thể) Bước 4: Quy đồng mẫu thức phân thức Bước 5: Thực phép tính Bước 6: Rút gọn Bước 7: Giải phần liên quan đến toán rút gọn Lưu ý: Các bước phụ thuộc vài toán để thực hiện, từ bước đến bước bước lặp lặp lại nhiều lần thực hiện; bước thường để trống để sau thực xong bước làm bước dễ hơn, đầy đủ xác hơn; điều kiện toán điều kiện xuyên suốt cho toàn gồm nhiều phần khác 21 Chú ý đến thứ tự thực phép tính, toán không thiết quy đồng tất mẫu phân thức b) Ví dụ x −2 x + x2 − x + − ÷ Ví dụ 29: Cho biểu thức: M = ÷ x −1 x + x +1 1) Tìm x để M tồn 2) Rút gọn M 3) CMR < x < M > 25 4) Tính giá trị biểu thức M x = 5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M -1 6) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M âm; M dương 7) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn -2 8) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên 9) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn 10) Tìm x để M nhỏ -2x , lớn x Giải: x ≥ x ≥ ⇔ x −1 ≠ x ≠ 1) M tồn ⇔ 2) M = ( x −2 x +2 ÷ ÷ x +1 ÷ − ) ( x + 1) ( ) ( x − 2) ( x + 1) − ( x + ) ( M= ( x − 1) ( x + 1) −2 x ( x − 1) M= x −1 2 M = x−x 3) M = x−x = ( )( x −1 ) x +1 2 ) ( x −1 )( x −1 ) x +1 2 (với x ≥ 0; x ≠ ) ( x 1− x ) Vì < x < nên ≤ x < ⇔ − x > x > , M = x ( − x ) > ⇒ x = thay vào biểu thức M ta được: 25 M= − = 25 25 M = −1 ⇔ x − x = −1 ⇔ x − x − = (*) Đặt x = y ĐK y ≥ (*) trở thành y − y − = (**) 4) Ta có : x = 5) Giải (**) y = 1± 1+ kết hợp ĐK ta chọn y = 2 1+ + Suy x = y = ÷ ÷ = 6) 22 ( ) * M < ⇔ x − x < ⇔ x 1− x < x > x > ⇔ ⇔ 1 < x 1 − x < ( ⇔ x >1 ) * M > ⇔ x − x > ⇔ x 1− x > x > x > ⇔ ⇔ ⇔ < x x 1 − x > 7) M > −2 ⇔ x − x > − ⇔ x − x + > ⇔ ( )( ) x + − x > (*) Do x + > ∀x ≥ nên (*) ⇔ − x > ⇔ > x ⇔ > x Vậy với ≤ x < x ≠ M >-2 8) M = x − x ∈ Z ⇔ x ∈ Z ⇔ x = k (k ∈ Z , k ≠ 1) 1 1 9) M = x − x = − x − x + ÷ = − x − ÷ ≤ 4 4 1 Dấu “=” xảy x − = ⇔ x = ⇔ x = Vậy 4 * M < −2 x ⇔ x − x < −2 x ⇔ x + x < 10) Max M = Do x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x + x ≥ Vậy giá trị x để M < −2 x * M > x ⇔ x − x > x ⇔ x + x < … Vậy giá trị x để M > x c) Bài tập Bài tập 1: Cho biểu thức: 1 D= + − : + 1 − x + x 1 − x + x x + a) Rút gọn D b) Tính giá trị D x2 − x = c) Tìm giá trị x D = x + x −1 x E = − − + : Bài tập 2: Cho x −1 x +1 x +1 1− x x − a) Rút gọn E b) Tính E x − = c) Tìm giá trị x để E = -3 d) Tìm x để E < e) Tính x E − x − = Bài tập 3: Cho x − x − 100 5x + M = + x − 10 x x + 10 x x + a.Tìm x để M có nghĩa b.Rút gọn M c.Tính M x=2004 Bài tập 4: 23 1 ⇔x= Cho N = 1 x − 2x + x − − : x − 2x + x − x3 − x x + x3 a) Tìm TXĐ N b) Rút gọn N c) Tính giá trị N x =2; x=-1 d) Tìm x để N= -1 e) Chứng minh :N < với x thuộc ĐKXĐ f) Tìm x để N > -1 Bài tập 5: Cho a a − a a + a A = − a + − a − 2 a a) Rút gọn A b) Tìm a để A= ; A> -6 c) Tính A a − = Bài tập 6: Cho biểu thức: a +1 a −1 A = − + a a − a − a + a a.Rút gọn A bTính A a = 2+ A > A c.Tìm a để Bài tập 7: Cho biểu thức: a : K = − + a −1 a − a a −1 a −1 a) Rút gọn biểu thức K b) Tính giá trị K a = + 2 c) Tìm giá trị a cho K < Bài tập 8: Cho biểu thức: D= a2 + a a − a +1 − 2a + a a +1 a) Rút gọn D b) Tìm a để D = c) Cho a > so sánh D D d) Tìm D Bài tập 9: Cho biểu thức: H= a +2 a +3 − a+ a −6 a) Rút gọn H b) Tìm a để H < c) Tính H a + 3a = d) Tìm a để H = Bài tập 10: Cho biểu thức 24 + 2− a x −9 K= − x−5 x +6 x +3 x −2 − x +1 3− x a) Rút gọn K b) Tìm x để K nguyên c) Tìm x để K[...]... thật chắc n i dung của chương và những kỹ năng gi i b i tập cơ bản cần hình thành cho HS trong chương Trên cơ sở phân lo i b i tập thành từng dạng, hình thành phương pháp gi i và rèn kĩ năng gi i toán cho học sinh giúp học sinh nhận định hướng gi i bao quát các đặc i m, nắm vững phương pháp gi i các dạng toán Các dạng b i toán đưa ra có m i quan hệ logic v i nhau giúp HS có kỹ năng gi i một b i toán rút... cu i cấp, giúp HS có kiến thức, có kỹ năng gi i b i tập vững vàng để bước vào kỳ thi lớp 10 THPT đạt hiệu quả Trong phạm vi của đề t i m i chỉ đề cập đến một số dạng toán cơ bản để giúp HS đ i trà có đầy đủ kiến thức và kĩ năng gi i toán, giúp các em nắm vững kiến thức, có kỹ năng gi i b i tập, đủ tự tin dự thi vào THPT Ngo i ra có môt số b i tập nâng cao b i dưỡng học sinh gi i, tuy vậy chưa nhiều... căn nhằm giúp cho giáo viên có một t i liệu để giảng dạy cho học sinh lớp 9 và đặc biệt là phục vụ cho việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT và thi HSG lớp 9 Giúp cho học sinh nhận diện ra phương pháp gi i và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào gi i dạng b i tập đó Từ đó giúp các em tự tin hơn trong khi gi i toán cũng như trong thi cử a) Phương pháp * Các bước cơ bản: Bước 1: Tìm i u kiện để biểu thức có... ở các chuyên đề khác khi có i u kiện Trên đây là những kinh nghiệm và thực tế giảng dạy của chúng t i trong những năm tham gia giảng dạy bộ môn Toán 9 ở đơn vị trường THCS Nguyễn Viết Xuân mà chúng t i đã thấy đem l i hiệu quả V i hy vọng qua trao đ i sẽ góp thêm tiếng n i kinh nghiệm trong Luyện kỹ năng gi i các b i tập cơ bản của chương I Đ i số lớp 9 cho giáo viên giảng dạy môn toán 9 n i riêng... bộ môn là nhiệm vụ trọng tâm xuyên suốt trong quá trình dạy và học Để thực hiện tốt yêu cầu nhiệm vụ này đ i h i ngư i giáo viên ph i không ngừng b i dưỡng để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ đồng th i tích cực đ i m i phương pháp giảng dạy, đ i m i kiểm tra đánh giá HS Để luyện cho HS có kỹ năng gi i các b i tập cơ bản chương I Đ i số lớp 9, đ i h i ngư i giáo viên bộ môn ph i nghiên cứu nắm... muốn học sinh gi i được dạng toán này, nhóm toán của chúng t i trong quá trình giảng dạy đã phân chia các b i toán rút gọn kiến thức chứa căn thành hệ thống các dạng b i tập cho học sinh đ i trà, học sinh thi vào THPT, HS thi HSG để học sinh nhận diện ra phương pháp gi i và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào gi i dạng b i tập đó Chọn ra một hệ thống một số dạng b i tập cơ bản về rút gọn biểu thức có... giảng dạy kiến thức toán cơ bản chương I Đ i số lớp 9, giáo viên dạy bộ môn cần ph i: - Nghiên cứu kỹ chương trình, nắm thật chắc n i dung kiến thức cơ bản, kỹ năng cơ bản cần hình thành cho HS - Phân lo i các kiến thức, các kỹ năng, các dạng b i tập từ đó xây dựng hình thành nên các chuyên đề luyện tập rèn luyện các kiến thức các kỹ năng đó cho HS, trên cơ sở i từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức... + 2 =9 c) x 2 + x + 2006 = 2006 7 Dạng VII: Rút gọn biểu thức a) Phương pháp - Ở chương I- Đ i số lớp 9 gồm 18 tiết, trong đó rút gọn biểu thức chỉ có 1 tiết lý thuyết và 1 tiết luyện tập, hệ thống b i tập đơn giản nhưng bao hàm các kiến thức trong chương và các kiến thức đã học Việc gi i các b i tập của các em học sinh trên lớp cũng như ở nhà bước đầu còn gặp khó khăn về tìm ra đường l i gi i, hoặc... 3 Các chuyên đề chọn lọc Toán 9 – Nxb Giáo dục Tác giả: Tôn Thân (Chủ biên), B i Văn Tuyên, Đặng Văn Quản 4 Ôn kiến thức – Luyện kĩ năng Đ i số 9 – Nxb Giáo dục Tác giả: Tôn thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, B i Văn Tuyên, Vũ Quốc Lương 5 Rèn luyện kĩ năng gi i toán THCS - Nxb Hà N i Tác giả: Lê Hồng Đức 6 B i tập nâng cao và các chuyên đề toán 9 – NXB Giáo dục Tác giả: B i văn Tuyên 7 Kiểm tra đánh giá... định kì ôn Toán lớp 9 - Nxb Giáo dục Tác giả: Nguyễn H i Châu, Phạm Bảo Khuê, Phạm Đức T i 8 Toán nâng cao tự luận và trắc nghiệm Đ i số 9 – Nxb Giáo dục Tác giả: Nguyễn Văn Lộc 9 23 chuyên đề gi i 1001 b i toán sơ cấp Tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh 10 Gi i bằng nhiều cách các b i toán lớp 9 Tác giả: Nguyễn Đức Tấn 11 Tạp chí toán tu i thơ 2, toán học và tu i trẻ Tác giả: Bộ GD&ĐT-H i Toán học Việt Nam 12 Toán ... phương pháp giảng dạy, đ i kiểm tra đánh giá HS Để luyện cho HS có kỹ gi i tập chương I Đ i số lớp 9, đ i h i ngư i giáo viên môn ph i nghiên cứu nắm thật n i dung chương kỹ gi i tập cần hình... nghiên cứu - Chọn số dạng tập chương I Đ i số lớp 9, nhằm giúp cho giáo viên có t i liệu để giảng dạy rèn kĩ gi i toán cho học sinh lớp đặc biệt phục vụ cho việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT thi... đề LUYỆN KĨ NĂNG GI I CÁC B I TẬP CƠ BẢN CHƯƠNG I Đ I SỐ LỚP PHẦN I: MỞ ĐẦU Lí chọn đề t i Nâng cao chất lượng dạy học nhiệm vụ trọng tâm giáo viên, đặc biệt chất lượng môn học sinh( HS) khối