Chuyên đề luyện kĩ năng giải các bài tập cơ bản chương i đại số lớp 9

PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS NG V XUÂN CHUYÊN ĐỀ LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LỚP Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Xuyên Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Viết Xuân Ngũ Kiên, ngày 25 tháng 11 năm 20 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Chuyên đề LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LỚP BỒ ID Ư Ỡ N DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ G TO ÁN -L Í- H Ĩ A C ẤP 2+ 10 00 B TR ẦN H Ư N G Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q U Y N H Ơ Lí chọn đề tài Nâng cao chất lượng dạy học nhiệm vụ trọng tâm giáo viên, đặc biệt chất lượng môn học sinh( HS) khối Kết thi tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông HS khối thước đo hiệu đào tạo nhà trường THCS, đánh dấu bước chuyển tiếp quan trọng HS đường tiếp tục học lên bước vào sống lao động sản xuất sau này.Việc nâng cao chất lượng dạy học môn cần thực lên lớp, sở trọng đổi phương pháp dạy học, đổi kiểm tra đánh giá HS, tích cực kiểm tra theo dõi sát việc học tập học sinh, từ uốn nắn, giải đáp vướng mắc cho HS, rèn kỹ giải toán cho HS điều chỉnh phương pháp giảng giáo viên cho phù hợp đạt hiệu Trong chương I Đại số lớp 9, học sinh chuyển kĩ tính tốn tập số sang tính tốn biểu thức chữ tập số thực R tập với biểu thức hữu tỷ Việc vận dụng kiến thức cũ tiếp cận kiến thức giải toán cần biến đổi tổng hợp liên quan nhiều kiến thức, kỹ định làm cho học sinh gặp khó khăn lúng túng trình học mơn, kỹ giải tập chương Vì đặt cho giáo viên trình giảng dạy cần phải làm để HS nắm vững kiến thức chương, có kỹ vận dụng giải tập chương Muốn vậy, giáo viên cần nghiên cứu kỹ chương trình, có định hướng chia nhỏ yêu cầu tập phân dạng tập HS cần học theo chuyên đề dạng tập nhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp kĩ giải tập cho HS Yêu cầu tập đưa phải từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp phù hợp với trình độ nhận thức HS giúp em thơng hiểu, vận dụng hứng thú tích cực học tập Vì tơi muốn đưa hệ thống tập chương I Đại số lớp để giúp có hệ thống tập khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời luyện kỹ giải dạng tập chương cho em Trong chương trình Tốn lớp toán rút gọn biểu thức em làm quen nhiều, song toán rút gọn biểu thức có chứa dấu chương trình lớp phong phú, đa dạng phức tạp, đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo, yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư Chính dạng tốn thường xun có mặt kì thi học sinh giỏi lớp 9, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT sở để giải toán dạng giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức Trong nội dung thời lượng giảng dạy phần rút gọn biểu thức chứa dấu lại không nhiều, lượng tập sách giáo khoa sách tập phong phú đa dạng Vì muốn học sinh giải dạng toán chương I Đại số lớp 9, q trình giảng dạy chúng tơi phân chia toán chương I thành hệ thống dạng tập cho học sinh đại trà, học sinh giỏi để học sinh nhận diện phương pháp giải, tăng cường luyện tập, N PHẦN I: MỞ ĐẦU Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ BỒ ID Ư Ỡ N G TO ÁN -L Í- H Ó A C ẤP 2+ 10 00 B TR ẦN H Ư N G Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q U Y N H Ơ thực hành, rèn luyện kĩ tính tốn vận dụng kiến thức toán học vào đời sống mơn học khác Có thể nói rằng, hình thành rèn luyện kỹ giải tập cho HS chiếm thời gian chủ yếu phần kiến thức Đây q trình chuyển từ tính tốn tập số sang tính tốn chữ Do chương I Đại số lớp giúp tổng kết việc tính toán biến đổi đồng cấp THCS Mục đích nghiên cứu - Chọn số dạng tập chương I Đại số lớp 9, nhằm giúp cho giáo viên có tài liệu để giảng dạy rèn kĩ giải toán cho học sinh lớp đặc biệt phục vụ cho việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT thi HSG lớp - Giúp cho học sinh nhận diện phương pháp giải rèn kĩ vận dụng kiến thức vào giải dạng tập Học tốt dạng toán giúp HS sau học xong chương I, làm tốt tốn rút gọn tổng hợp tất dạng có, từ giúp em tự tin giải toán thi cử Đối tượng nghiên cứu - Các tập chương I đại số lớp luyện kĩ giải dạng tập - HS lớp trường THCS - GV tổ Toán trường THCS Phạm vi nghiên cứu - Trong chuyên đề nêu số dạng toán hướng dẫn học sinh giải, rèn kĩ cho HS từ định hướng cho học sinh phương pháp giải số tốn mà em lúng túng việc tìm lời giải - Ý tưởng đề tài phong phú đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng nên chúng tơi nghiên cứu số dạng tốn bản, thiết thực đồng thời đưa phương pháp rèn kĩ cho HS Phương pháp nghiên cứu - Tham dự lớp tập huấn - Hệ thống dạng tập tìm tài liệu - Nghiên cứu qua thực hành giải tập HS - Phương pháp thực nghiệm, thực tế giảng dạy - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm N https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com BỒ ID Ư Ỡ N DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ G TO ÁN -L Í- H Ĩ A C ẤP 2+ 10 00 B TR ẦN H Ư N G Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q U Y N H Ơ PHẦN II: NỘI DUNG Chương I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lý luận - Xuất phát từ vai trò quan trọng dạng toán chương I Đại số thắp lên cho ý tưởng : Xây dựng chuyên đề “Luyện kỹ giải tập chương I Đại số lớp 9” Công việc xây dựng ý tưởng cách viết chuyên đề, thật thiết thực, bổ ích với tất GV Tốn HS lớp Nội dung chuyên đề bám sát chương trình không giản đơn tương tự chuyên đề có Mỗi dạng tốn viết phải đọng lí thuyết, phong phú hấp dẫn ví dụ cụ thể hay lưu ý mang đậm dấu ấn kinh nghiệm giải toán, kinh nghiệm giảng dạy Với hi vọng nội dung chuyên đề mang lại hiệu cao tiết lên lớp đề cương ôn thi vào THPT Cơ sở thực tiễn - Nhiều học sinh yếu kỹ tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán chưa cao, chưa có ý thức tự giác học tập - Nhiều học sinh sử dụng sách hướng dẫn giải tập nên gặp tập em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Việc áp dụng lí thuyết vào giải số tốn rút gọn học sinh chưa linh hoạt, gặp tốn đòi hỏi phải vận dụng có tư học sinh khơng xác định phương hướng để giải toán dẫn đến lời giải sai khơng làm được, kĩ giải tính tốn số học sinh yếu Thực trạng nghiên cứu vấn đề - Như chung ta biết, năm mà đề thi vào lớp 10 THPT có tập rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai năm điểm Tốn chung tồn tỉnh Vĩnh Phúc khơng cao Ngun nhân kĩ biến đổi biểu thức HS chưa tốt, dạng toán đề yêu cầu mức đại trà, không khó Qua tiến hành khảo sát học sinh khối trường THCS Nguyễn Viết Xn mơn Tốn 02 năm học( 2011- 2012; 2012-2013) với đối tượng học sinh: Khá, TB, yếu, kết sau: Yếu Trung bình Khá – Giỏi Năm học Tổng số TS % TS % TS % 2011 - 2012 77 20 26 22 28,6 35 45,4 2012 - 2013 72 18 25,0 23 31,9 31 43,1 - Như tỉ lệ học sinh học trung bình mơn Tốn thấp, đặc biệt giải tốn rút gọn em hạn chế, việc đưa hệ thống tập phương pháp giải, rèn kĩ giải cho dạng tập vơ quan trọng cấp thiết q trình giảng dạy trường THCS Nguyễn Viết Xuân Những giải pháp đề tài - Đề tài đưa giải pháp sau: + Sắp xếp toán theo mức độ, dạng toán + Xây dựng phương pháp giải dạng đưa kĩ giải tập cho dạng + Đối với học sinh yếu cần củng cố: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, tìm điều kiện cho biểu thức có nghĩa, rèn cho HS thực tốt việc tính giá trị biểu thức R N https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com H Ơ + Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kĩ năng, phối hợp nhiều phương pháp, chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kĩ thực hành Tìm tòi lời giải hay khai thác tốn + Đối với HS khá, giỏi: Phát triển tư duy, giới thiệu thêm dạng toán nâng cao N https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 00 B Mức độ yêu cầu H Ó A C ẤP 2+ 10 - HS nắm định nghĩa bậc hai, kí hiệu bậc hai số học, điều kiện tồn bậc hai, tính chất, quy tắc tính biến đổi bậc hai Có kĩ tính nhanh, phép tính bậc hai, kĩ thực phép biến đổi đơn giản, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai Biết khai phương máy tính bỏ túi Tăng cường rèn luyện kĩ tính tốn, suy luận, thực hành giúp học sinh vận dụng kiến thức toán học vào đời sống vào môn học khác Kỹ Í- Hai kỹ chủ yếu kỹ tính tốn kỹ biến đổi biểu thức -L a Kỹ tính tốn ÁN * Có thể kể kỹ tính tốn (các ví dụ tập ý đến số) TO : BỒ ID Ư Ỡ N G - Tìm khai phương số ( số số phương khoảng từ đến 400 tích hay thương chúng, đặc biệt tích thương số với số 100) DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN - Khái niệm bậc ba (Phần bậc ba có tính chất giới thiệu) https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ TR ẦN H Ư N G Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q U Y N Chương 2: PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM Qua thực tế giảng dạy nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng mơn tốn trường THCS, chúng tơi tìm hiểu, nghiên cứu đến thống thực chuyên đề sau I.Nội dung mức độ yêu cầu chương Kiến thức chung - Căn bậc hai: Định nghĩa, kí hiệu, điều kiện tồn Hằng đẳng thức A2 = A - Khai phương tích Nhân thức bậc hai Khai phương thương Chia hai thức bậc hai - Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai - Phối hợp kỹ khai phương với kỹ cộng trừ nhân chia số ( tính theo thứ tự thực phép tính tính hợp lý có sử dụng tính chất phép khai phương) b Kỹ biến đổi biểu thức * Có thể kể kỹ biến đổi biểu thức (các ví dụ tập ý đến biểu thức chứa chữ) : - Các kỹ biến đổi riêng lẻ tương ứng với cơng thức nêu phần 4) Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Y N H Ơ - Điều quan trọng rèn luyện kỹ biến đổi biểu thức tính mục đích phép biến đổi Điều này, SGK ý thông qua ứng dụng sau hình thành ban đầu kỹ biến đổi biểu thức Các ứng dụng nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải tốn tìm x thoả mãn điều kiện đó.) N - Phối hợp kỹ (và kỹ có lớp trước) để có kỹ biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai, rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai ẠO - Giải tốn tìm x G Đ - Chứng minh đẳng thức Ư N - Kỹ sử dụng máy tính H Kiến thức cụ thể TR ẦN * Các phép biến đổi biểu thức chứa bậc hai mà SGK giới thiệu cho công thức sau :  x≥0 x = a A2 = A A ≥ A2 = A có nghĩa 2+ + A A ≥ 10 + Điều kiện tồn 00 B + Căn bậc hai số học: Với a ≥ 0, a = x ⇔  ẤP A2 = − A A < Ó H A = B A với A ≥ 0, B > B Í- + A B với A ≥ 0, B ≥ A.B = -L + A C + Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể định lý so sánh bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ⇔ a < b ”) A2 B = A B với B ≥ ÁN + Đưa thừa số dấu bậc hai: A B = A2 B với A ≥ 0, B ≥ BỒ ID Ư Ỡ N G TO +Đưa thừa số vào dấu bậc hai: A B = − A2 B với A < 0, B ≥ + Khử mấu biểu thức lấy căn: https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com - Giải tốn so sánh số DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN TP Q U Ngoài hai kỹ nêu ta thấy có kỹ hình thành củng cố phần : A = B A.B A.B ( B ≠ 0, A.B ≥ ) = B |B| + Trục thức mẫu số: A = B A B B C A±B = C ( A ∓ B) A − B2 Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú ( với B > 0) (với A≥ A ≠ B2) www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn = A± B C( A ∓ B ) ( với A ≥ 0, B ≥ A ≠ B ) A−B A A ≥ Nếu biểu thức có dạng 10 00 B giải bất phương trình A > Nghĩa mẫu phân thức khác b) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa: b) 2+ a) x − 1 x −7 A Ó ⇔x ≥ C ẤP Giải: a) x − xác định 2x-1 ≥ ⇔ 2x ≥ H xác định x ≥ x - ≠ x −7 ⇔ x ≥ x ≠ 49 c) xác định 5x + 10 >0 ⇔ x > -2 x + 10 TO ÁN -L Í- b) ID Ư Ỡ N G Ví dụ 2: BỒ m ta A Cho biểu thức: P = x+2 x +1 + − x x −1 x + x +1 x −1 c) x + 10 DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN - Điều kiện tồn (ĐKXĐ) https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ TR ẦN H Ư N G Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q U Y N H Ơ II Nội dung cụ thể Dạng I: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa Đây vấn đề khó phức tạp HS, tìm ĐKXĐ thường gắn với việc giải hệ bất phương trình phương trình mà đến cấp THPT học Phần lớn tập sách có liên quan đến biểu thức chữ cho trước ĐK chữ Nhưng thực tế đề thi vào THPT có tốn dạng rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai cơng việc HS phải tự tìm ĐKXĐ Do vậy, yêu cầu xem xét ĐKXĐ biểu thức dừng mức độ HS hiểu a) Phương pháp Với toán rút gọn: + Nếu tốn có phần u cầu tìm ĐK để biểu thức có nghĩa phải trình bày cụ thể theo bước, tốn u cầu rút gọn ghi kết ĐKXĐ khơng thiết phải trình bày cụ thể + Đơi tốn tác giả cho sẵn điều kiện lưu ý điều kiện điều kiện tồn bài, nhiều toán phải đặt thêm điều kiện giải N C www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Tìm x để P có nghĩa Giải: Để P có nghĩa điều kiện là: x ≥  x ≥  x x −1 ≠ ⇔  x ≠  − ≠ x  Vậy x ≥ 0; x ≠ P có nghĩa Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com c) Bài tập Bài tập 1: Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa x − 36 H Ơ x −3 + U Bài tập 2: B = Y N 2− x x −3 x +3 TP Q c) N b) x − x +  x x  x−4 +  x x − +   4x ẠO Bài tập 3: Cho biểu thức M =  Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa Dạng II: Phân tích đa thức thành phân tử Đây khâu trung gian cho toán “ Rút gọn biểu thức chứa thức ” a) Phương pháp + Đặt nhân tử chung + Nhóm nhiều hạng tử + Dùng đẳng thức + Tách, thêm bớt Chú ý : Đặt điều kiện trước phân tích đa thức thành nhân tử b) Ví dụ Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử (với số x, y, a, b không âm) a) x2 – b) x2 + x + c) ab + b a + a + d) 12 - x - x Giải: a) x2 - = ( x + )(x - ) b) x2 + x + = ( x + )2 c) ab + b a + a + = b a ( a + 1) + ( a + 1) = ( a + 1)( b a + 1) d) Có nhiều cách làm khác nhau, GV nên hướng dẫn HS tách 12 = + biến đổi 12 - x - x = - x + - x = (3 - x ) + (32 - x ) = (3 - x ) (4 + x ) c) Bài tập (Giả thiết biểu thức có nghĩa) Bài tập1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b − c) a − b) x − d) a − 2 Bài tập 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 21 + + + b) x + x − c) − a + − a e) a + b − a b − ab d) a a + f) 2a a + a − 3a − Bài tập 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x x + x − x − b) ab + a + b + c) (1 + x ) − x d) ab − a − b + e) a + a + ab + b f) x x + y y + x − y h) x − x − BỒ ID Ư Ỡ N https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ G TO ÁN -L Í- H Ó A C ẤP 2+ 10 00 B TR ẦN H Ư N G Đ Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN a) Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Bài tập 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x + b) x − 3x y + y H Ơ N Y BỒ ID Ư Ỡ N DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN G TO ÁN -L Í- H Ĩ A C ẤP 2+ 10 00 B TR ẦN H +Xét hiệu A-B +So sánh sử dụng tính chất bắc cầu +Áp dụng bất đẳng thức (Côsi, Bunhia , giá trị tuyệt đối…) +Dùng phép biến đổi tương đương b) Các ví dụ Ví dụ 4: a) 26 b) 113 11 c) 33 − 17 - 15 Giải: a) 25 < 26 nên 25 < 26 nên < 26 b) Vì 113 < 121 nên 113 < 11 c) 33 < 36 - 17 < - 15 nên 33 − 17 < - 15 Lưu ý: Ta so sánh số cách dùng kết sau đây: “Với a, b dương ta có a < b ⇔ a2 < b2.” Thật vậy, với a, b dương a+b > nên: a < b ⇔ a – b < ⇔ (a - b)(a + b) < 2 2 ⇔ a - b < hay a < b Chẳng hạn với câu a) ta có 52 = 25, ( 26 )2 = 26 Rõ ràng 52 < ( 26 )2 nên < 26 Ví dụ 5: So sánh Giải: Với số dương a, b a2 > b2 ⇔ a > b Ta có > ⇔ ( )2 > ( )2 ⇔ >2 2 ⇔ (3 ) > (2 ) ⇔ 18 > 12 Bất đẳng thức cuối nên > Ví dụ 6: So sánh 10 + 17 + 61 Giải: Ta có: 10 > = 3, 17 > 16 = suy 10 + 17 + > + + = (1) https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ G 1 < a b Ư N +Nếu a > b > Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q d) x − x − x g) − x + x + h) x − x − f) x + x + i) 2a + ab − 6b Bài tập 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x − x + b) 2a − ab − 6b c) a − 2a − d) 4a − a − g) x − + x − h) x − x + x − f) 2a − ab + 3b i) x − x + x l) x − x − Dạng III: So sánh a) Phương pháp Định lí: Với hai số khơng âm a b ta có: a > b ⇔ a > b Chú ý: Khi so sánh cần linh hoạt, là: Sử dụng thêm tính chất như: a, b > , a2 > b2 a > b N c) x + x − U https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com ⇔ a + b ≤ a + b + ab ⇔ ≤ ab TR ẦN H Ví dụ 8: a) So sánh 25 − 16 25 − 16 b)Chứng minh rằng, với a > b > a − b < a − b Giải: Tương tự ví dụ c) Bài tập Bài tập 1: So sánh b) 12 16 d) e) 00 17 2 10 16 12 B a) 13 19 1 82 c) h) 3 − 2 c) + + C ẤP 2+ Bài tập 2: So sánh số sau : a) − b) 30 − 29 29 − 28 A d) 27 + + 48 e) + 75 + 50 g) − -L Í- H Ĩ Bài tập 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần ; 2; ; ; 2 ÁN Bài tập 4: Tồn hay khơng tam giác có cạnh là: 17 ; + 1; 45 BỒ ID Ư Ỡ N G TO Bài tập 5: So sánh hai số a b biết : a = 2000 − 1999 b = 1999 − 1998 DạngIV: Thực phép tính R a) Phương pháp DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN ) https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ a+ b ẠO ) ≤( Đ a+b G ( Ư N Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q U Y N H Ơ Lại có 61 < 64 = (2) Từ (1) (2) suy 10 + 17 + > 61 Thêm toán so sánh hai số cách đưa bình phương hai số giúp ta tiếp cận với bất đẳng thức bản, điều quan trọng muốn nhấn mạnh thông qua toán giúp HS tránh nhầm lẫn thực phép tính bậc hai tổng, hiệu lại sử dụng tương tự quy tắc khai phương tích Ví dụ : (Bài 26 SGK trang 16) a) So sánh 25 + 25 + b) Với a > b > 0, chứng minh a + b < a + b Giải: a) So sánh trực tiếp cách tính kết b) Hai vế bất đẳng thức không âm nên bình phương hai vế ta được: N https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Áp dụng kiến thức: Hằng đẳng thức, liên hệ phép nhân, phép chia phép khai phương, đưa thừa số vào dấu căn, biết cách khử mẫu biểu thức lấy căn, trục thức mẫu Biết phối hợp linh hoạt sử dụng phép biến đổi - Sử dụng đẳng thức A2 = A có nghĩa A2 = A A ≥ , A2 = − A A < Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 10 www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com 2 TP Q U Y A = ( 2014 − x ) + ( 2013 − x ) ≥ ( 2014 − x + x − 2013) = Vậy A = ⇔ (2014 – x )(2013 –x ) ≥ ⇔ 2013 ≤ x ≤ 2014 x y = = t ⇔ x = 3t y = 2t Do : 52 = x2 + y2 = (3t)2 + (2t)2 = 13t2 ⇔ t2 = ⇔ t = ±2 suy x = y = TR ẦN H ⇔ −26 ≤ A ≤ 26 Dấu “=” xảy khi: 10 00 B x = - y = - Vậy : max A = 26 x = y = Min A = - 26 x = - y = - Lưu ý: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ac + bd ≤ (a + b )( c + d ) A C ẤP 2+ c) Bài tập Bài 13 : Tìm x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ ,tìm GTNN a) A = x − − b) B = x − x + 10 c) C = x − x d) D = x − x + + Bài 14 : Tìm x để biểu thức sau đạt giá trị lớn ,tìm GTLN b) N = x − x − Í- H Ĩ a) M = − x − c) P = x − x +1 BỒ ID Ư Ỡ N G TO ÁN -L Bài 15: Tìm giá trị lớn biểu thức B = x − + 23 − x Bài 16: Cho x + y =15, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn biểu thức C = x−4 + y −3 Dạng VI: Giải phương trình ( phương trình vơ tỉ ) Học sinh làm quen với việc giải phương trình chứa bậc hai thấy phương pháp thường sử dụng, bao gồm: - Phương pháp biến đổi tương đương (Trong có sử dụng phép biến đổi thức đưa thừa số vào trong, dấu căn…) - Phương pháp đặt ẩn phụ - Chuyển phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quen thuộc lớp - Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình (Nâng cao) Kiến thức phần giải phương trình rộng, kiến thức nâng cao phức tạp Ở để giúp em khắc sâu kiến thức bản, phần trình bày vài ví dụ mức đơn giản, cụ thể phương pháp https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ Ư N G Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com Lưu ý: Chúng ta sử dụng bất đẳng thức a + b2 ≥ ( a + b ) ⇔ a + b ≥ a + b Ví dụ 17: Biết x2 + y2 = 52 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : A = 3x + 2y Giải : Nhận xét : A = 3x + y ≤ ( 32 + 22 )( x + y ) = 13.52 =26 DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN N A = ( 2014 − x ) + ( 2013 − x ) Giải: H Ơ Lưu ý: Biểu thức A cho dạng tổng hai thức hai biểu thức lấy có tổng khơng đổi (bằng 2) Vì vậy, ta bình phương biểu thức A ta xuất hạng tử hai thức Đến ta vận dụng bất đẳng thức Cơsi: ab ≤ a + b (với a, b không âm) Ví dụ 16: Tìm giá trị nhỏ biểu thức N https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 15 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com a) Phương pháp * Phương pháp biến đổi tương đương Ta sử dụng phép biến đổi sau f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) với điều kiện f(x) ≥ g(x) ≥ N H Ơ BỒ ID Ư Ỡ N G TO ÁN -L Í- H Ó A C ẤP 2+ 10 00 B TR ẦN H Ư N Giá trị x1 = không thỏa mãn (4), loại x2 = thỏa mãn (2) (4), nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = Lưu ý: - Nếu không đặt điều kiện x − ≥ (3), ta sai lầm nhận x = nghiệm (1) Chú ý từ (3) suy (5) từ (5) suy (3) với điều kiện x − ≥ - Có thể bình phương hai vế (1) với điều kiện x ≥ (điều kiện có 2x – ≥ 0), lời giải không ngắn gọn cách tách riêng thức vế * Phương pháp đặt ẩn phụ (Nâng cao) - Phương pháp đặt ẩn phụ việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình đa thức với một, hai… ẩn phụ - Nếu toán chứa f ( x ) ta đặt t = f ( x ) , điều kiện t ≥ , f(x) = t2 - Ngồi tùy thuộc vào đề tốn mà ta biến đổi đặt ẩn phụ, ý điều kiện cho biểu thức có nghĩa Sau tìm giá trị biến phải đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm * Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối - Phương pháp là: Khi gặp phương trình mà biểu thức viết dạng bình phương biểu thức sử dụng đẳng thức : A = A để làm dấu đưa phương trình đơn giản *Phương pháp dùng bất đẳng thức Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ Đ x1 = 2; x2 = ẠO (5) DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN TP Q U Y (2) G ⇔ (x - 2)(x - 6) = ⇔ N (1) ĐKXĐ: 2x – ≥ ⇔ x ≥ (1) ⇔ x − = x − (3) Ta phải có x − ≥ ⇔ x ≥ (4) Với điều kiện (4) (3) ⇔ 2x – = (x - 3) ⇔ x – 8x + 12 = Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com  g ( x )≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x )= g ( x ) Ví dụ18: Giải phương trình: + x − = x 4x − =2 x 4x − 1 a b Giải: ĐK: x > ;Sử dụng bất đẳng thức: + ≥ b a x 4x − a=b Ta có: + ≥2 x 4x − Ví dụ 19: Giải phương trình: x + (`*) với a, b > 0, dấu “=” xảy Do (*) ⇔ x = x − Giải ra: x = ± thoả mãn điều kiện Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 16 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Vậy (*) có hai nghiệm x = 2± Ví dụ 20: Giải phương trình: (**) Nhận xét:+Ở phương trình ta khơng nên bình phương hai vế + Xét biểu thức 3x2+6x+7 = 3(x+1)2 +4; 5x2+10x + 14 = 5(x+1)2 + 9; 4-2x-x2=-(x+1)2+5 từ có lời giải: Giải: VT: 3x + x + + x + 10 x + 14 ≥ + = VP: − x − x = − ( x + 1) ≤ Vậy vế 5, x + = ⇒ x = −1 Kết luận pt (**) có nghiệm x=-1 * Phương pháp đưa dạng : A2(x) + B2(x) = A(x).B(x)=0 Ở phương pháp ta sử dụng A2(x) + B2(x) = ⇔ A(x) = B(x) = ; Hoặc A(x).B(x)=0 A(x)=0 B(x)=0 Ví dụ 21: Giải phương trình: x + x + = 2 x + Nhận xét: + Sử dụng phương pháp khó giải + Biến đổi đưa dạng A2 + B2 = Giải: B ⇔ ( x + 1) + ( x + − 1) = ẤP 2+  x + =   x + − = 10 00 ⇔ ( x + x + 1) + (2 x + − 2 x + + 1) = Ĩ A C Giải x= -1 b) Ví dụ Ví dụ 22: Giải phương trình: a) x + = 21 c) 4x + x − = Giải: a) ĐK: x ≥ ÁN -L Í- H b) x + 20 − + x + x + 45 = 20 TO x + = 21 ⇔ x = 21 − ⇔ x = 16 20 = ⇔ x = 42 ⇔ x = 16 ⇔ x = = (t/m) BỒ ID Ư Ỡ N G Vậy phương trình có nghiệm x = b) ĐK: x + ≥ ⇔ x ≥ -5 DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 2 x + 4x + − 2x + = Điều kiện: x ≥ − https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ TR ẦN H Ư N G Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q U Y N H Ơ N 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x x + 20 − + x + x + 45 = 20 ⇔ 4( x + 5) − + x + 9( x + 5) = 20 ⇔ x + − + x + 7.3 x + = 20 ⇔ (2 − + 21) x + = 20 ⇔ 20 x + = 20 ⇔ x + = ⇔ x + = ⇔ x = - = -4 ( t/m ) Vậy phương trình có nghiệm x = -4 c) ĐK: 2x – ≥ ⇔ x ≥ 1/2 Đặt t = x − , t ≥ Khi đó, phương trình viết lại: 2(2x-1) + x − - = ⇔ 2t2 + t – = ⇔ (t - 1)(2t + 3) = ⇔ t = t = - 3/2 (loại) Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 17 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn Ta có: ( − x ) = nên (3 – 2x)2 = 16 hay (7 – 2x)(- – 2x) = suy x = 3,5 ; x = -0,5 Ó Ư N A C ẤP 2+ 10 00 B TR ẦN c) ( x − 5) = x + hay x − = x + Nếu x ≥ x – = x + phương trình vơ nghiệm Nếu x < x – = x + , suy x = Lưu ý: Cần ý cho HS cách giải phương trình phần a) khác phần b) phần a) trước giải phương trình HS phải tìm ĐK, phần b) khơng phải tìm, giải phương trình phần b) theo cách xảy hai trường hợp c) Bài tập Bài tập 1: Giải phương trình a) x − x + 18 x = 28 b) x + − 3x + = x − c) x + − x − + x + − x − = BỒ ID Ư Ỡ N G TO ÁN -L Í- H d) x − x + = − 2 Bài tập 2: Giải phương trình (đặt ẩn phụ) a) x − x + x − 12 x + = b) x +6x+12+ x + 3x + =9 c) x + x + 2006 = 2006 Dạng VII: Rút gọn biểu thức a) Phương pháp - Ở chương I- Đại số lớp gồm 18 tiết, rút gọn biểu thức có tiết lý thuyết tiết luyện tập, hệ thống tập đơn giản bao hàm kiến thức chương kiến thức học Việc giải tập em học sinh lớp nhà bước đầu gặp khó khăn tìm đường lối giải, mắc sai lầm sử dụng tổng hợp phép biến đổi biểu thức chứa chữ, đơn giản nhầm dấu làm sai kết rút gọn Vì cần hướng dẫn cho học sinh thực thứ tự phép tính tương tự biểu thức số, tăng cường rèn kĩ cho học sinh dạng toán này, cơng việc tốn tìm ĐKXĐ https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ H Cách : Từ ( − x ) = suy ra: − x = Hay – 2x = ± từ suy x = 3,5 ; x = -0,5 G Đ DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN TP Q U Y N H Ơ N 2x −1 = ⇔ ẠO 2x – = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Ví dụ 23 : Giải phương trình a) − x = b) − 12 x + x = c) x − 10 x + 25 = x + Giải: a) ĐK: – 2x ≥ ⇔ x ≤ 3/2 Khi bình phương hai vế ta – 2x = 16 ⇔ x = - 13/2 (t/m) Vậy phương trình có nghiệm x = -13/2 b) Cách 1: Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com ⇔ t = 1⇔ www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 18 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com b) Ví dụ Ví dụ 24: Các tập trắc nghiệm ( x − 1) : ( x + 1) H Ơ N = x +1 Y D x ( x + 2) = x x + U C N A B -9 C D -3 b) Với x > -1 câu sau sai ? B 9( x + 2) = x + A x4 ( x + 2) = x x + TP Q Đ G x+2 x +1 + − x x −1 x + x + x −1 Ư N Ví dụ 25: Cho biểu thức: P = TR ẦN H a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P Giải: a) Để P có nghĩa điều kiện là: b) Rút gọn P: x+2 x +1 + − x x −1 x + x +1 x −1 …… P = x x + x +1 Ó A C ẤP P= 2+ 10 00 B x ≥  x ≥ ⇔   x x −1 ≠ x ≠   x −1 ≠ Vậy x ≥ 0; x ≠ P có nghĩa -L Í- H Lưu ý: Với tốn học sinh phải phân tích mẫu thành nhân tử, sau tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu tiếp tục thực phép tính Ví dụ 26: Rút gọn biểu thức:  b a  −  a b −b a ab − b   a − ab Ỡ N G TO ÁN A =  ID Ư BỒ ẠO d) Kết biểu thức : M = ( − 5) + (2 − ) : D 10 A B C Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com c) Đẳng thức x(1 − x) = x − x với : A ∀ x B x> C x< D ≤ x ≤ ( ) Giải: ĐKXĐ: a > 0, b > 0, a ≠ b  b a  −  a b −b a ab − b   a − ab   b a =  −  a b( a − b) b ( a − b )   a( a − b)  b b − a a  =   a b ( a − b ) a b ( a − b )   = b b − a a = b - a A=  Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú ( ) DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN Với x< biểu thức ( x − 1) https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ a) = www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 19 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Lưu ý: Với toán rút gọn biểu thức tốn khơng nhắc đến ĐKXĐ,nhưng học sinh phải tìm khơng xảy sai lầm Ví dụ 27: Chứng minh (x y+y x )( x− y với x > y >0 N xy )= x− y )( x− y )= xy ( x+ y xy )( x− y xy )= ( x+ y )( x− y ) N y+y x Y (x VT = H Ơ Xét vế trái (VT) x2 − x+ = ( x − )( x + ) x+ = x - TR ẦN * Lời giải sai : * Phân tích sai lầm : Rõ ràng x = - x + = 0, biểu thức x −3 x+ khơng tồn Mặc dù kết giải học sinh khơng sai, B 10 00 sai lúc giải khơng có lập luận, biểu thức khơng tồn có kết ( x − )( x + ) x+ = x - (với x ≠ - ) A x+ = C x2 − ẤP 2+ * Lời giải : Biểu thức phân thức, để phân thức tồn cần phải có x + ≠ hay x ≠ - Khi ta có H Ĩ c) Bài tập Bài tập 1: Rút gọn biểu thức: -L Í- a + b − ab a−b − a− b a+ b a +1 : a a +a+ a a − a ÁN A= TO B=  x x  x−4 +  − + x x   4x BỒ ID Ư Ỡ N G Bài tập 2: Cho biểu thức M =  https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ G x+ DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN ẠO Đ x2 − Ư N B= H Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q U = x – y = VP (đpcm) Lưu ý: Thực tế toán chứng minh tốn rút gọn cho biết đáp số, phải chọn vế trái vế phải biến đổi để rút gọn vế lại Ví dụ 28: Rút gọn biểu thức : a) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm x để M > Bài tập 3: Cho biểu thức P = x x −1 x− x − x x +1 x+ x + x +1 x a) Rút gọn P b) Tìm x để P = Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 20 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com  x x +1 x −1 Bài tập 4: Cho biểu thức P =  −   : x + x −    x −1 x   ; với x ≥ 0, x ≠ x −  a) Rút gọn P b) Tìm x để P = H Ơ Bài tập 5: Cho A = N 4x − 4x + Chứng minh : A = 0,5 với x ≠ 0,5 4x − BỒ ID Ư Ỡ N DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ G TO ÁN -L Í- H Ó A C ẤP 2+ 10 00 B TR ẦN H Ư N G Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định http://daykemquynhon.ucoz.com TP Q U Y N Dạng VI: Bài toán tổng hợp Bài tốn rút gọn biểu thức có chứa dấu chương I lớp phong phú đa dạng phức tạp, đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư Chính dạng tốn thường xun có mặt kì thi học sinh giỏi lớp 9, kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT sở để giải tốn dạng giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức, Với tốn rút gọn biểu thức có chứa dấu học sinh THCS thường ngại không thích em thấy khó hay nhầm lẫn, có kết tốn em không hiểu sai lầm bước giải đâu? em thường gặp khó khăn việc tìm lời giải phần tiếp sau tốn Trong nội dung thời lượng giảng dạy phần rút gọn biểu thức chứa dấu lại không nhiều, lượng tập sách giáo khoa sách tập phong phú đa dạng Vì muốn học sinh giải dạng tốn này, nhóm tốn chúng tơi trình giảng dạy phân chia toán rút gọn kiến thức chứa thành hệ thống dạng tập cho học sinh đại trà, học sinh thi vào THPT, HS thi HSG để học sinh nhận diện phương pháp giải rèn kĩ vận dụng kiến thức vào giải dạng tập Chọn hệ thống số dạng tập rút gọn biểu thức có chứa nhằm giúp cho giáo viên có tài liệu để giảng dạy cho học sinh lớp đặc biệt phục vụ cho việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT thi HSG lớp Giúp cho học sinh nhận diện phương pháp giải rèn kĩ vận dụng kiến thức vào giải dạng tập Từ giúp em tự tin giải toán thi cử a) Phương pháp * Các bước bản: Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (ĐKXĐ) Bước 2: Phân tích tử, mẫu phân thức thành nhân tử Bước 3: Rút gọn tử, mẫu phân thức (có thể) Bước 4: Quy đồng mẫu thức phân thức Bước 5: Thực phép tính Bước 6: Rút gọn Bước 7: Giải phần liên quan đến toán rút gọn Lưu ý: Các bước phụ thuộc vài tốn để thực hiện, từ bước đến bước bước lặp lặp lại nhiều lần thực hiện; bước thường để trống để sau thực xong bước làm bước dễ hơn, đầy đủ xác hơn; điều kiện toán điều kiện xuyên suốt cho toàn gồm nhiều phần khác Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 21 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Chú ý đến thứ tự thực phép tính, đơi tốn khơng thiết quy đồng tất mẫu phân thức b) Ví dụ  x2 − x + x +2 H Ơ N Y  x +2   x +1   − ).( x −1 ) x +1 2 ẤP 2+ )( x −1 C (với x ≥ 0; x ≠ ) Ó A M = x−x M = x−x = H 3) ) x +1 2 )( x −1 10 ( x − 1)( x + 1) ( ) ( x − )( x + 1) − ( x + )( M= ( x − 1)( x + 1) −2 x ( x − 1) M= ( ( x 1− x ) -L Í- Vì < x < nên ≤ x < ⇔ − x > x > , M = x (1 − x ) > ⇒ x = thay vào biểu thức M ta được: 25 M= − = 25 25 M = −1 ⇔ x − x = −1 ⇔ x − x − = (*) TO ÁN 4) Ta có : x = Ỡ N G 5) Đặt x = y ĐK y ≥ (*) trở thành y − y − = (**) Giải (**) y = ID Ư DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN x −2 B 2)  M =    00 M tồn ⇔  https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ x ≥ x ≥ ⇔ x −1 ≠ x ≠ 1) TR ẦN H Ư N G Đ ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 5) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M -1 6) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M âm; M dương 7) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn -2 8) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị nguyên 9) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức M lớn 10) Tìm x để M nhỏ -2x , lớn x Giải: TP Q U 25 4) Tính giá trị biểu thức M x = http://daykemquynhon.ucoz.com N  x −2 Ví dụ 29: Cho biểu thức: M =  −   x −1 x + x +1  1) Tìm x để M tồn 2) Rút gọn M 3) CMR < x < M > 1± 1+ kết hợp ĐK ta chọn y = 2 BỒ  1+  + Suy x = y =   =   6) Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 22 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com ( ) * M < ⇔ x − x < ⇔ x 1− x < ⇔ x >1 ) N H Ơ )( ) x + − x > (*) M = x − x ∈ Z ⇔ x ∈ Z ⇔ x = k (k ∈ Z , k ≠ 1) ẠO Nơi bồi dưỡng kiến thức Tốn - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định Ư N G Đ 1 1 9) M = x − x = −  x − x +  = −  x −  ≤  4  4 1 Dấu “=” xảy x − = ⇔ x = ⇔ x = Vậy 4 * M < −2 x ⇔ x − x < −2 x ⇔ x + x < 10) TR ẦN H Max M = B Do x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x + x ≥ Vậy khơng có giá trị x để M < −2 x 00 * M > x ⇔ x − x > x ⇔ x + x < … 2+ 10 Vậy khơng có giá trị x để M > x c) Bài tập Bài tập 1: Cho biểu thức: ẤP   1   D= + − : + 1− x 1+ x  1− x + x  x +1 A C a) Rút gọn D b) Tính giá trị D ÁN -L Í- H Ĩ x2 − x = c) Tìm giá trị x D = x   x +1 x −1  Bài tập 2: Cho E = − − + :   x −1 x + 1  x + 1 − x x −  a) Rút gọn E b) Tính E x − = c) Tìm giá trị x để E = -3 d) Tìm x để E < e) Tính x E − x − = Bài tập 3: Cho 1 ⇔ x= BỒ ID Ư Ỡ N G TO http://daykemquynhon.ucoz.com Do x + > ∀x ≥ nên (*) ⇔ − x > ⇔ > x ⇔ > x Vậy với ≤ x < x ≠ M >-2 8) Y ( U M > −2 ⇔ x − x > −2 ⇔ x − x + > ⇔ TP Q 7) N  x >  x > ⇔ ⇔ ⇔ < x x 1 − x > DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN ( * M > ⇔ x − x > ⇔ x 1− x > https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/  x >  x > ⇔ ⇔ 1 < x 1 − x < x −  x − 100  5x + M = +   x − 10 x x + 10 x  x + a.Tìm x để M có nghĩa b.Rút gọn M c.Tính M x=2004 Bài tập 4: Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 23 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 1  x − 2x +  x − −  : x − 2x +  x − x3 − x  x + x3 TP Q G Đ ẠO a) Rút gọn A b) Tìm a để A= ; A> -6 c) Tính A a − = Bài tập 6: Cho biểu thức: Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / Diễn Đàn Tốn - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định H Ư N  a +1  a −1  A =  − + a  a −  a +1 a  a −1  TR ẦN a.Rút gọn A bTính A a = 2+ A > A 10 00 B c.Tìm a để Bài tập 7: Cho biểu thức: 2+  a     :  K =  − +    a −1 a − a   a −1 a −1 H Ó A C ẤP a) Rút gọn biểu thức K b) Tính giá trị K a = + 2 c) Tìm giá trị a cho K < Bài tập 8: Cho biểu thức: Í- a − a +1 − 2a + a a -L D= a2 + a +1 ÁN a) Rút gọn D b) Tìm a để D = c) Cho a > so sánh D D d) Tìm D Bài tập 9: BỒ ID Ư Ỡ N G TO http://daykemquynhon.ucoz.com  a  a − a a + a    A =  − − a  a + a −   DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST> : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN U Y N H Ơ N a) Tìm TXĐ N b) Rút gọn N c) Tính giá trị N x =2; x=-1 d) Tìm x để N= -1 e) Chứng minh :N < với x thuộc ĐKXĐ f) Tìm x để N > -1 Bài tập 5: Cho https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ Cho N = www.facebook.com/daykem.quynhon http://daykemquynhon.blogspot.com Cho biểu thức: H= a +2 a +3 − a+ a −6 + 2− a a) Rút gọn H b) Tìm a để H < c) Tính H a + 3a = d) Tìm a để H = Bài tập 10: Cho biểu thức Đóng góp PDF GV Nguyễn Thanh Tú www.facebook.com/daykemquynhonofficial www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial 24 https://twitter.com/daykemquynhon https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn x −2 − x +1 3− x H Ơ ) N ( Y x −2   2− x x +  x + U TP Q ẠO G Đ   a  a − V =  +     a +   a −1 a a + a − a −1  Ó A C ẤP 2+ 10 00 B TR ẦN H Ư N a) Rút gọn V b) Tìm a để V