SKKN một số phương pháp giải phương trình lượng giác

SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác PHẦN MỞ ĐẦU I.Lý chọn đề tài Hiện nay, chương trình cải cách giáo dục đất nước ta diễn mạnh mẽ dần hoàn thiện Điều đòi hỏi người dạy học phải tìm tòi phương pháp tổng hợp lượng kiến thức sâu rộng phù hợp với chương trình Trong chương trình cải cách toán Trung học phổ thông phân môn lượng giác đóng vai trò quan trọng Nó thường xuất đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng Đối với học sinh Trung Học Phổ Thông, giáo viên việc học dạy toán lượng giác tương đối gặp nhiều khó khăn, nhiều lúng túng Vì tính đa dạng nên có phương pháp chung để giải phương trình lượng giác Để giúp em học sinh phần việc định hướng lựa chọn phương pháp giải phù hợp với toán THPT nghiên cứu đề tài “ Một số phương pháp giải phương trình lượng giác ” II.Mục đích nghiên cứu -Sau đề tài thự hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung giải số tập mẫu học sinh vận dụng giải số tập sách giáo khoa, sách tập giúp em phần có nguồn kiến thức trình học tập trình ôn tập củng cố kiến thức cho kì thi - Có số phương pháp giải toán phù hợp với thân góp phần thực tốt cho việc giảng dạy tương lai -Góp phần phục vụ cho việc tổng hợp phương pháp giải toán lượng giác Trung học phổ thông III Phạm vi nghiên cứu Vì thời gian thực đề tài tương đối ngắn song song với việc thực nhiều công tác khác nên đề tài nghiên cứu chủ yếu phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát mốt số dạng thường gặp IV.Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo SGK, sách giáo viên, sách tập nhiều tài liệu khác , Trường THPT Tân Hưng Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác - Tham khảo ý kiến đồng nghiệp - Kinh nghiệm giảng dạy - Khảo sát kết học tập học sinh V Bố cục đề tài: gồm ba phần *PHẦN MỞ ĐẦU Giới thiệu sơ lược đề tài, phương pháp tiếp cận thực đề tài *PHẦN NỘI DUNG Giới thiệu tổng quát kiến thức cần thiết phương pháp giải phương trình lượng giác (có ví dụ minh hoạ) I.Các công thức biến đổi lượng giác I.1 Các công thức biến đổi lượng giác I.2 Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt; Cung liên kết I.3.Công thức cộng I.4.Công thức nhân I.5 Công thức biến đổi tổng thành tích I.6 Công thức biến đổi tích thành tổng II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác II.1Phương pháp đưa phương trình lượng giác II.2.Phương pháp đưa phương trình tích II.3.Phương pháp đặt ẩn số phụ II.4 phương pháp đối lập II.5.Phương pháp tổng bình phương * Một số ý quan trọng trước giải phương trình lượng giác *PHẦN KẾT LUẬN Nhận định khả phát triển, tầm quan trọng lợi ích đề tài Trường THPT Tân Hưng Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác PHẦN NỘI DUNG I.Các công thức phép biến đổi lượng giác I.1 Các công thức biến đổi lượng giác sin x cos x ;cot x = cos x sin x tan x.cot x = 1;sin x + cos x = tan x = 1 ;1 + cot x = cos x sin x tan x cot x 2 sin x = ; cos x = + tan x + cot x + tan x = I.2 Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt; Cung liên kết I.2.1 Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt 30o sin x 0 cos x Tan x Cot x ∞ 3 3 45o 60o 2 2 2 90o 1 ∞ 3 120o 135o 150o 2 2 2 - -1 3 -1 - 3 - - 180o -1 ∞ I.2.2 Cung liên kết a.Cung đối cos(-x) = cosx tan(-x) = -tanx sin(-x) = -sinx cot(-x) = -cotx b.Cung bù cos( π -x) = -cosx tan(-x) = -tanx sin( π -x) = sinx cot( π -x) = -cotx c Cung phụ Trường THPT Tân Hưng Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác π -x) = sinx sin( π -x) = cosx π tan( -x) = cotx cot( π -x) = tanx cos( d Cung π cos( π +x) = -cosx sin( π +x) = -sinx tan( π +x) = tanx e Cung cot( π +x) = cotx π π +x) = -sinx sin( π +x) = cosx π tan( +x) = -tanx cot( π +x) = -cotx cos( I.3 Công thức cộng sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a-b) = sina.cosb - sinb.cosa cos(a+b) = cosa.cosb – sina.cosb cos(a-b) = cosa.cosb + sina.cosb tan(a-b) = tan a − tan b π ;(a,b,a+b ≠ + kπ , k ∈ Z ) + tan a.tan b tan(a+b) = tan a + tan b π ;(a,b,a+b ≠ + kπ , k ∈ Z ) − tan a.tan b I.4 Công thức nhân I.4.1 Công thức nhân đôi sin2a =2.sinx.cosx cos2a = cos2x– sin2x = cos2x -1 =1- sin2x tan 2a = tan a π ;(a ≠ + kπ , k ∈ Z) − tan a I.4.2 Công thức hạ bậc Trường THPT Tân Hưng Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác sin a = (1 − cos2a ) cos a = (1 + cos2a ) tan a = − cos2a π ;( a ≠ + kπ , k ∈ Z) + cos2a I.4.3 Công thức tính theo tan sin a = a a π = t; ( ≠ +k π , k ∈ Z ) 2 2t 1− t2 2t ; cos a = ; tan a = 2 1+ t 1+ t 1− t2 I.5 Công thức biến đổi tích thành tổng sin ( a − b ) + sin ( a + b )  2 cos a.cos b = cos ( a − b ) + cos ( a + b )  sin a.sin b = cos ( a − b ) − cos ( a − b )  sin a.cos b = I.6 Công thức biến đổi tổng thành tích  a+b  a −b  sin a + sin b = 2sin  ÷cos  ÷      a +b   a −b  sin a − sin b = cos  ÷sin  ÷      a+b  a −b  cos a + cos b = cos  ÷cos  ÷      a +b   a −b  cos a − cos b = −2sin  ÷sin  ÷     II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác Trường THPT Tân Hưng Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác *Phương phháp chung Thông thường để giải PTLG ta thường thực bước sau: - Nếu phương trình chứa hàm lượng giác cung khác ta sử dụng phép biến đổi tương đương đưa phương trình hàm lượng giác cung - Sau biến đổi phương trình nhận không nằm dạng phương trình quen thuộc ta có hai hướng sau: Hướng 1: Biến đổi phương trình dạng phương trình quen thuộc Phương pháp biến đổi gồm có: + Phương pháp đặt ẩn phụ + Phương pháp hạ bậc + Phương pháp đưa phương trình tích + Phương pháp đối lập Hướng 2: Dùng lập luận khẳng định phương trình vô nghiệm có nghiệm * Cụ thể ta có số phương pháp sau: II.2.1Phương pháp đưa phương trình lượng giác a Phương pháp: Dùng phép biến đổi lượng giác tương đương đưa dạng phương trình lượng giác biết để giải b Các phương trình lượng giác  u ( x) = v( x) + k 2π sin u ( x) = sin v( x) ⇔  ( k ∈ Z)  u ( x) = π − v( x) + k 2π  u ( x) = v( x) + k 2π cos u ( x) = cosv( x) ⇔  (k ∈ Z) u ( x ) = − v ( x ) + k π   cos u ( x) ≠  tan u ( x ) = tan v( x) ⇔  cos v( x) ≠  u ( x ) = v ( x ) + kπ , k ∈ Z  c.Ví dụ: * Ví dụ 1: cos( x + Trường THPT Tân Hưng π π ) + sin(2 x + ) = (1) Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác Giải π π π π π (1) ⇔ cos( x + ) = − sin(2 x + ) ⇔ cos( x + ) = − cos( − − x) 3 2 π π ⇔ cos( x + ) = − cos x ⇔ cos( x + ) = cos(π − x) 3 π 2π 2π    x + = π − x + k 2π x = + k ⇔ ( k ∈ Z) ⇔  (k ∈ Z) π π  x + = −(π − x) + k 2π x = − k 2π 3   Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = 2π 2π 4π +k ;x = − k 2π (k ∈ Z) 3 * Với toán giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm thật kĩ * Ví dụ 2: sin x.cos x − sin x.cos x = (2) Giải: 3 ⇔ sin x.( − cos x) = 8 3 ⇔ − sin x = ⇔ sin x = − π π ⇔ sin x = − sin ⇔ sin x = sin(− ) 3 (2) ⇔ sin x.cos x(sin x − cos x) = π π π    x = − + k 2π  x = − 12 + k ⇔ ( k ∈ Z) ⇔  (k ∈ Z) π π π  x = π + + k 2π x = + k   3 Vậy phương trình cho có họ nghiệm: x=− π π π π + k ; x = + k (k ∈ Z) 12 II.2.Phương pháp đưa phương trình tích Trường THPT Tân Hưng Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác II.2.1 Phương pháp: Sử dụng phép đổi tương đương đưa phương trình cho dạng phương trình tích n P ( x ) ⇔ ∏ Ai ( x ) = i =1  A1 ( x) =  A ( x) =  ⇔     An ( x) =  Giải phương trình Ai=0; Tìm nghiệm hợp tất nghiệm nghiệm phương trình ban đầu II.2.2 Bài tập ví dụ: * Ví dụ 3) + cos x + cos x + cos x = (3) Giải Cách 1: (3) ⇔ 2cos x + sin x + cos x − = ⇔ ( + cos x ) + ( cos x + cos x ) = ⇔ cos x + cos x.cos x = ⇔ cos x ( cos x + cos x ) = ⇔ cos 3x x cos cos x = 2  cos x = π  x = + kπ cos x =   3x ⇔ cos = ⇔  ⇔⇔  ( k ∈ Z) 3x   π k π cos = x = +    x 3 cos =  Cách 2: (3) ⇔ + cos x + cos x − + cos x − cos x = ⇔ cos3 x + cos x − cos x = Trường THPT Tân Hưng Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác ⇔ ( cos x + cos x − 1) cos x = 1  ⇔ ( cos x + 1)  cos x − ÷.cos x = 2  π   x = + kπ  cos x =   ⇔ cos x + = ⇔  x = π + 2kπ ( k ∈ Z)   π cos x − =  x = ± + kπ    π  x = + kπ ; k ∈ Z  ⇔ ( k ∈ Z) π k π x = +  3 Vậy phương trình cho có họ nghiệm là: x = π π kπ + kπ ; x = + ( k ∈ Z) 3 Nhận xét: Cách tỏ đơn giản ta thấy vế phải số khác chứa tham số cách lựa chọn đắn * Ví dụ 4: Giải phương trình: sin 2 x + sin x = sin x + sin x (4) Giải sin 2 x + sin x = sin x + sin x − cos4 x − cos8x − cos2x − cos6x ⇔ + = + 2 2 ⇔ cos x + cos8 x = cos x + cos x  4x + 8x   x − 8x   2x + 6x   2x − 6x  ⇔ cos  ÷cos  ÷ = cos  ÷cos  ÷         ⇔ cos x cos x = cos x cos x ⇔ cos x(cos x − cos x) = cos x = ⇔ cos x − cos x = Trường THPT Tân Hưng cos x = ⇔ cos x = cos x Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác π π π    x = + kπ x = + k   ⇔ 6 x = x + k 2π , (k ∈ Z) ⇔  x = kπ , (k ∈ Z) 6 x = −4 x + k 2π  π  x = k   Vậy phương trình (4) có nghiệm là: x = π π π + k ; x = k ; x = kπ , k ∈ Z III.3 Phương pháp đặt ẩn số phụ III.3.1 Phương pháp: Có cách đặt ẩn số phụ + Cách1: Đặt ẩn phụ, đưa phương trình cho phương trình dễ giải + Cách 2: Đặt ẩn phụ, đưa phương trình cho hệ phương trình đại số giải III.3.2 Cách đặt ẩn phụ số loại phương trình lượng giác a) Phương trình bậc sin cos +Dạng phương trình: a sin x + b cos x = c (1) x +Đặt t = tan ; Khi đó: sin x = 2t 1− t2 ; cos x = (*) 1+ t2 1+ t2 Thay (*) vào (1) giải tìm t Từ suy x Chú ý: Trước đặt t = tan x π ta cần phải xét x = + kπ , k ∈ Z có phải nghiệm phương trình (1) hay không b) Phương trình đối xứng loại +Dạng phương trình: a (sin x ± cos x) n + b(sin x cos x ) m + d = 0; m, n ∈ ¥ (2)  t −1 s inx cos x = t = s inx + cos x +Đặt  , điều kiện t ≤ (*) ⇒  t = s inxcos x 1− t2   s inx cos x =  Thay vào phương trình (2) giải tìm t thoả (*) Rồi từ suy x c) Phương trình đối xứng loại Trường THPT Tân Hưng 10 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác n−1 n +Dạng phương trình: f (tg n x ± cot g x, tg n −1 x ± cot g x, , tgx ± cot gx ) = ; n ∈ Z (3) t = tan x − cot x, (t ∈ R ) +Đặt  t = tan x + cot x, ( t ≤ 2) Thay vào phương trình (3), đưa phương trình (3) phương trình đa thức theo t Giải tìm t từ suy x III.2.2 Ví dụ a)Ví dụ 5: Giải phương trình (s inx + cos x)3 + sin x cos x − = (5) Giải: Đặt t = s inx + cos x đk: t ≤ ⇒ t = + 2sin x cos x t −1 ⇒ sin x cos x = t −1 Thay vào (5) ta được: t + −1 = t −1 = ⇔ 2t + t − = ⇔ (t −1)(2t + 3t + 3) = ⇔  ⇔ t = 1(n) 2t + 3t + = ⇔ s inx + cos x = ⇔ sin( x + π )= ⇔ sin( x + π ) =1 π π  x + = + k 2π ⇔ ( k ∈Z) x + π = π − π + k 2π   4  x = k 2π π ⇔ ( k ∈Z) ⇔ x = + k 2π , k ∈Z π  x = + k 2π  Vậy nghiệm phương trình cho là: x = π + k 2π , k ∈ Z b) Ví dụ 6: Giải phương trình 3(tan x + cot x) − 2(tan x + cot x) − = (6) Giải: s inx ≠ π ⇔cos2 x ≠ ⇔x ≠ k , k ∈Z ( *) + Điều kiện:  cos x ≠ Trường THPT Tân Hưng 11 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác + Đặt t = tan x + cot x ( t ≥ 2) ⇒ tan x + tan x.cot x + cot x = t ⇒ tan x + cot x = t − Phương trình (6) trở thành : 3t − 2(t − 2) − = ⇔ 2t − 3t − = 2 ⇔ tan x + cot x = ⇔ tan x + ⇔ tan x = ⇔ tan x = tan π t = ⇔ ⇔t = t =−  = ⇔ tan x − tan x +1 = tan x ⇔x = π + kπ ; k ∈Z Vậy nghiệm phương trình (6) x = π + kπ ; k ∈ Z II.4.Phương pháp đối lập II.4.1 Phương pháp Để giải phương trình f(x)=g(x) ta cần chứng minh ∀x ∈ D f ∩ Dg : f ( x) ≤ g ( x ) ( f ( x ) ≥ g ( x ) ) Ta thường giải vấn đề toán cách sau: + Cách 1: Sử dụng tính bị chặn hàm sin, cos + Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cauchy Bunhiakopsky *Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a1 , a2 , , an ta có bất đẳng thức a1 + a2 + + an ≥ n n a1a2 an Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an = *Bất đẳng thức Bunhiakopsky: Cho 2bộ số thực: a1,a2, ,an b1,b2,…,bn Ta có bất đẳng thức a1b1 + a2b2 + + anbn ≤ (a 21 + a 2 + + an )(b 21 + b 2 + + bn ) Dấu “=” xảy Trường THPT Tân Hưng a a1 a2 = = = n b1 b2 bn 12 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác + Cách 3: Dùng phương pháp khảo sát hàm số ( cách thường sử dụng chuyên đề luyện thi đại học) II.4.2 Ví dụ a)Ví dụ 7: Giải phương trình sin x + cos = (7) Giải  sin x ≤ sin x ≤ sin x ⇒ ⇒ cos x + sin x ≤1 Ta có  2 cos x ≤ cos x ≤ cos x     sin x = sin x Dấu “=” xảy ⇔   cos x = cos x sin x − sin x = ⇔ ⇔  cos x − cos x =   sin x =    sin x = ⇔ ⇔  c os x =    cos x =  sin x(sin x − 1) =  2  cos x(cos x − 1) =   sin x =    sin x =    cos x =   sin x =   x = kπ  sin x =  ⇔ ⇔ (k ∈ Z)  x = π + kπ  sin x =   x = kπ (k ∈ Z) Vậy nghiệm phương trình (7) là:   x = π + kπ  b) Ví dụ 8: Giải phương trình − x π = cos x (8) với ≤ x ≤ 2 Giải: 1− x x = cos x ⇔ − − cos x = 2 Trường THPT Tân Hưng 13 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác Đặt f ( x ) =1 − x −cos x  π ÷  2 '' Ta có f ' ( x ) = − x + s inx ⇒ f ( x) = −1 + cosx ≤ 0,∀x ∈ 0, Bảng biến thiên  π Từ bảng biến thiên ta có: f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ 0, ÷  2 Dấu “=” xảy ⇔ x = Vậy phương trình cho nghiệm x = II.5.Phương pháp tổng bình phương II.5.1 Phương pháp Phương pháp sử dụng đẳng thức ( a ± b ) ; ( a ± b ± c ) 2 đưa A =  phương trình cho dạng A + B + C = ⇔  B = C =  2 II.5.2 Ví dụ a) Ví dụ 9: Giải phương trình cos2 x − cos x + 4(3sin x − 4sin x + 1) = (9) Ta có: cos2 x − cos x + 4(3sin x − 4sin x + 1) = Trường THPT Tân Hưng 14 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác ⇔ (1 − 2sin x) − (1 − 2sin x) + 4sin x + = ⇔ − sin x − + 2sin x + sin x + = ⇔ −2sin x + 2sin x + sin x + = ⇔ 2(1 + sin x) + 2(1 − sin x) = ⇔ (1 + sin x) + cos x = cos x = ⇔ 1 + sin 3x = π   x = + kπ , k ∈ Z ⇔ sin x = −1 π   x = + kπ ⇔ (k ∈ Z) π 3 x = − + k 2π  ⇔ x= Vậy phương trình cho có nghiệm x = π + k 2π , k ∈ Z π + k 2π , k ∈ Z b) Ví dụ 10: Giải phương trình 2sin x + cos2 x + 2 sin x − = (10) Ta có (10) ⇔ 2.2 sin x cos x + − 2sin x + 2 sin x − = ⇔ sin x cos x − − sin x + 2 sin x = ⇔ sin x cos x − sin x + sin x − = ⇔ −(1 − sin x cos x) − (sin x − sin x + ) = 2 ⇔ (sin x − cos x) + (sin x − ) =0  π   x = + k 2π    x = 3π + k 2π   π sin x = ⇔ (k ∈ Z) ⇔ x = + k 2π , k ∈ Z ⇔ sin x = cos x   x = π − x + k 2π      x = π + x + k 2π   Trường THPT Tân Hưng 15 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác * Một số ý quan trọng trước giải phương trình lượng giác Chú ý 1: Về phương trình có chức ẩn mẫu số: ĐIỀU KIỆN MẪU KHÁC a Nếu phương trình có ẩn tgx có chứa cosx mẫu số ta phải có điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ , k ∈ Z b Nếu phương trình có ẩn cotx có chứa sinx mẫu số ta phải có điều kiện: s inx ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ Z Chú ý 2: Về phương trình vô tỉ Nếu phương trình có chứa thức bậc chẵn nhớ buộc điều kiện biểu thức nằm thức không âm Chú ý 3: Về việc dùng ẩn số phụ Có số phương trình ta phải dùng ẩn số phụ giải thuận tiện cho trình giải Nhưng phải nhớ buộc kiện cho ẩn số phụ nghĩa tìm miền xác định D biểu thức có mặt phương trình theo đối số Chú ý 4: Tìm giao hợp tập nghiệm Giả sử giải phương trình lượng giác mà trình giải cuối dẫn đến việc phải tìm việc phải tìm giao (hợp) tập nghiệm E1 , E2 * Tìm giao tập - Nếu E1 ∩ E2 = E E tập nghiệm phải tìm - Nếu E1 ⊂ E2 ⇒ E = E1 - Nếu E2 ⊂ E1 ⇒ E = E2 - Nếu E1 ∩ E2 = φ Phương trình vô nghiệm Trường THPT Tân Hưng 16 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác * Tìm hợp tập hợp - Nếu E1 ∪ E2 = E E tập nghiệm phải tìm - Nếu E1 ⊂ E2 ⇒ E = E2 - Nếu E2 ⊂ E1 ⇒ E = E1 - Nếu E1 = E2 = φ Phương trình vô nghiệm Có nhiều cách xác định nghiệm hệ: - Cách 1:Liệt kê phần tử tập nghiệm, từ làm sở để xác định tập nghiệm - Cách 2:Dùng đường tròn lượng giác Tìm đường tròn lượng giác điển cung thuộc tập nghiệm, chọn lấy điểm chung (đối với giao) tất điểm (đối với hợp) Suy tập nghiệm E phương trình PHẦN KẾT LUẬN 1/ Đối với tập có liên quan đến phương trình lượng giác giảng dạy giáo viên cần: - Nhắc lại công thức biến đổi lượng giác học lớp 10 - Nêu công thức nghiệm phương trình lượng giác - Nêu phương pháp chung để giải tập - Sau giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm phương trình để kết luận nghiệm thâhtj xác - Có nhiều cách giải khác để giải phương trình lượng giác, vấn đề đặt nên chọn cách giải nào? Theo nên định hướng trước giải, nên chọn cách ta thấy đơn giản, ngắn gọn, súc tích , dễ hiểu Nến có thời gian cho học sinh tìm tòi, suy nghĩ định hướng cách giải, em tìm hướng - Với viết hi vọng em học sinh cảm thấy học lượng giác không khó khăn vận dụng tốt học tập 2/ Kết khảo sát: Trong năm qua nghiên cứu đề tài đư giảng dạy thấy em hiểu vận dụng tốt vào giải tập Trường THPT Tân Hưng 17 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác Năm học Lớp 2011- 2012 2011 - 2012 11A3 11A1 Số học sinh biết áp dụng để giải Số học sinh biết áp dụng để giải tập chưa thực đề tài 15% 40% tập thực đề tài 50% 85% Mặc dù cố gắng tham khảo tài liệu, tiếp thu nhiều ý kiến đóng góp đồng nghiệp đưa vào giảng dạy cho học sinh nhằm kiểm nghiệm dần hoàn thiện đề tài Nhưng tránh khỏi thiếu sót kinh nghiệm giảng dạy hạn chế Rất mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp hội đồng khoa học để học hỏi thêm kinh nghiệm đề tài hoàn thiện hơn, có ứng dụng thực tế giảng dạy Tôi xin chân thành cảm ơn Tân Hưng, ngày 20 tháng 10 năm 2012 Người viết Nguyễn Thị Đông Ý kiến hội đồng khoa học trường: …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Trường THPT Tân Hưng 18 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác TÀI LIỆU THAM KHẢO Cam Duy Lễ, Ngô Thúc Lanh, Ngô Xuân Sơn, Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Đại số Giải tích 11 - NXB Giáo dục đào tạo – 2005 Doãn Minh Cường, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Hắc Hải, Nguyễn Đức Hoàn - Toán ôn thi Đại học Hình lượng giác - NXB Đại học sư phạm – 2003 Dương Quốc Tuấn, Lê Trọng Hùng, Nguyễn Hữu Báu, Trần Đức Nguyên, Trần Thành Minh - Giải toán lượng giác 10 (dùng cho học sinh lớp chuyên) NXB Giáo dục- 2005 Đào Khải, Huỳnh Công Thái - Phương pháp giải toán lượng giác THPT- NXB Đại học sư phạm-2005 Đoàn Huỳnh Lâm, Phan Huy Khải - Tuyển chọn toán lượng giác tập1 - NXB Giáo dục-2004 Nguyễn Hoàng Khanh, Nguyễn Lê Thống Nhất, Nguyễn Tiến Việt, Nguyễn Văn Quý – 450 tập toán lớp 11 – NXB Đà Nẵng – 2003 Nguyễn Phúc Tăng, Trương Văn Rua, Võ công Tuấn, Võ Duy Thuận - Ôn luyện thi tuyển sinh lớp 10 môn toán - NXB Giáo dục-2008 Võ Đại Mau - Phương trình bất phương trình lương giác - NXB Trẻ Thành phố Hồ Chí Minh - 1996 Trường THPT Tân Hưng 19 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác MỤC LỤC  PHẦN MỞ ĐẦU……………………………………………………………… I Lí chọ đề tài……………………………………………………………… II Mục đích nghiên cứu………………………………………………………… III Phạm vi nghiên cứu………………………………………………………… IV Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………… V Bố cục đề tài……………………………………………………………………2  PHẦN NỘI DUNG…………………………………………………………… I Các công thức phép biến đổi lượng giác bản…………………………… II Các phương pháp giải phương trình lượng giác………………………………  PHẦN KẾT LUẬN…………………………………………………………….17  TÀI LIỆU THAM KHẢO……… …………………………………………….19 Trường THPT Tân Hưng 20 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông [...]... viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác * Một số chú ý quan trọng trước khi giải phương trình lượng giác Chú ý 1: Về phương trình có chức ẩn ở mẫu số: ĐIỀU KIỆN MẪU KHÁC 0 a Nếu phương trình có ẩn là tgx hoặc có chứa cosx ở mẫu số thì ta phải có điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π + kπ , k ∈ Z 2 b Nếu phương trình có ẩn là cotx hoặc có chứa sinx ở mẫu số thì ta phải có điều.. .SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác n−1 n +Dạng phương trình: f (tg n x ± cot g x, tg n −1 x ± cot g x, , tgx ± cot gx ) = 0 ; n ∈ Z (3) t = tan x − cot x, (t ∈ R ) +Đặt  t = tan x + cot x, ( t ≤ 2) Thay vào phương trình (3), đưa phương trình (3) về phương trình đa thức theo t Giải tìm t từ đó suy ra x III.2.2 Ví dụ a)Ví dụ 5: Giải phương trình (s inx + cos... đến phương trình lượng giác trong giảng dạy giáo viên cần: - Nhắc lại công thức biến đổi lượng giác đã học ở lớp 10 - Nêu các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản - Nêu các phương pháp chung để giải từng bài tập - Sau khi giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách kết hợp nghiệm của phương trình để kết luận nghiệm thâhtj chính xác - Có rất nhiều cách giải khác nhau để giải. .. khi giải phương trình lượng giác nào đó mà quá trình giải cuối cùng dẫn đến việc phải tìm việc phải tìm giao (hợp) của 2 tập nghiệm E1 , E2 * Tìm giao của các tập - Nếu E1 ∩ E2 = E thì E là tập nghiệm phải tìm - Nếu E1 ⊂ E2 ⇒ E = E1 - Nếu E2 ⊂ E1 ⇒ E = E2 - Nếu E1 ∩ E2 = φ Phương trình vô nghiệm Trường THPT Tân Hưng 16 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác. .. và chỉ khi Trường THPT Tân Hưng a a1 a2 = = = n b1 b2 bn 12 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác + Cách 3: Dùng phương pháp khảo sát hàm số ( cách này thường sử dụng trong các chuyên đề luyện thi đại học) II.4.2 Ví dụ a)Ví dụ 7: Giải phương trình sin 3 x + cos 4 = 1 (7) Giải 3 2  sin x ≤ 1 sin x ≤ sin x 4 3 ⇒ 4 ⇒ cos x + sin x ≤1 Ta có  2 2 cos x ≤ 1... 2: Về phương trình vô tỉ Nếu phương trình có chứa căn thức bậc chẵn thì nhớ buộc điều kiện biểu thức nằm trong căn thức không âm Chú ý 3: Về việc dùng ẩn số phụ Có một số phương trình ta phải dùng ẩn số phụ thì mới giải được hoặc thuận tiện cho quá trình giải Nhưng chúng ta phải nhớ buộc đều kiện cho ẩn số phụ nghĩa là tìm miền xác định D của các biểu thức có mặt trong phương trình theo đối số mới... Đại Mau - Phương trình bất phương trình lương giác - NXB Trẻ Thành phố Hồ Chí Minh - 1996 Trường THPT Tân Hưng 19 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác MỤC LỤC  PHẦN MỞ ĐẦU……………………………………………………………… 1 I Lí do chọ đề tài……………………………………………………………… 1 II Mục đích nghiên cứu………………………………………………………… 1 III Phạm vi nghiên cứu………………………………………………………… 1 IV Phương pháp nghiên...  ⇔ ⇔ (k ∈ Z)  x = π + kπ  sin x = 1  2  x = kπ (k ∈ Z) Vậy nghiệm của phương trình (7) là:   x = π + kπ  2 b) Ví dụ 8: Giải phương trình 1 − x π = cos x (8) với 0 ≤ x ≤ 2 2 Giải: 1− x x = cos x ⇔ 1 − − cos x = 0 2 2 Trường THPT Tân Hưng 13 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác Đặt f ( x ) =1 − x −cos x 2  π ÷  2 '' Ta có f ' ( x ) = − x + s inx... k 2π , k ∈Z π  x = + k 2π 2  2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = π + k 2π , k ∈ Z 2 b) Ví dụ 6: Giải phương trình 3(tan x + cot x) − 2(tan 2 x + cot 2 x) − 2 = 0 (6) Giải: s inx ≠ 0 π ⇔cos2 x ≠ 0 ⇔x ≠ k , k ∈Z ( *) + Điều kiện:  2 cos x ≠ 0 Trường THPT Tân Hưng 11 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác + Đặt t = tan x + cot x ( t ≥ 2) ⇒ tan 2 x... nghiên cứu đề tài này và đư và giảng dạy tôi thấy các em đã hiểu và vận dụng rất tốt vào giải bài tập Trường THPT Tân Hưng 17 Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác Năm học Lớp 2011- 2012 2011 - 2012 11A3 11A1 Số học sinh biết áp dụng để giải Số học sinh biết áp dụng để giải bài tập khi chưa thực hiện đề tài 15% 40% bài tập khi thực hiện đề tài 50% 85% Mặc dù ... II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác II. 1Phương pháp đưa phương trình lượng giác II.2 .Phương pháp đưa phương trình tích II.3 .Phương pháp đặt ẩn số phụ II.4 phương pháp đối lập II.5 .Phương. .. Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác * Một số ý quan trọng trước giải phương trình lượng giác Chú ý 1: Về phương trình có chức ẩn mẫu số: ĐIỀU KIỆN MẪU KHÁC a Nếu phương trình. .. II.Các phương pháp giải phương trình lượng giác Trường THPT Tân Hưng Giáo viên:Nguyễn Thị Đông SKKN: Một số phương pháp giải phương trình lượng giác *Phương phháp chung Thông thường để giải PTLG