Vấn đề duy nhất hàm phân hình khi hai đa thức chứa đạo hàm chung nhau một giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO VIỆT HÙNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀO VIỆT HÙNG VẤN ĐỀ DUY NHẤT HÀM PHÂN HÌNH KHI HAI ĐA THỨC CHỨA ĐẠO HÀM CHUNG NHAU MỘT GIÁ TRỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo trung thực xác, tuân thủ qui định quyền sở hữu trí tuệ Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Tác giả Đào Việt Hùng ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Trần Phương, người tận tình hướng dẫn để hoàn thành khóa luận Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Thái Nguyên dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Đào Việt Hùng iii Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức 1.1 Các kiến thức lý thuyết Nevanlinna 1.1.1 Các hàm Nevanlinna tính chất 1.1.2 Các định lý 1.1.3 Quan hệ số khuyết 1.2 Một số tính chất hàm chung hàm nhỏ 10 1.2.1 Khái niệm mở đầu 10 1.2.2 Một số tính chất 13 Vấn đề hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm 23 2.1 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc chung hàm nhỏ 23 2.2 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc chung giá trị có trọng số 36 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Bài toán xác định hàm phân hình C thông qua ảnh ngược tập hữu hạn nghiên cứu nhiều nhà toán học giới: G.Pólya, R Nevanlinna, F.Gross Với a ∈ C ∪ {∞}, ta kí hiệu E(a, f ) = {z ∈ C|f (z) = a} E(a, f ) = {z ∈ C|f (z) = a kể bội } Với tập S ⊂ C ∪ {∞}, kí hiệu E(S, f ) = E(a, f ); a∈S E(a, f ) E(S, f ) = a∈S Năm 1926, R Nevanlinna chứng minh, hai hàm phân hình khác f, g thoả mãn E(ai , f ) = E(ai , g) ∀i = 1, giá trị phân biệt, f g phải trùng Một vấn đề tự nhiên đặt Gross ([5]) vào năm 1976: tồn tập hợp hữu hạn S , điều kiện E(S, f ) = E(S, g) kéo theo f ≡ g ? Năm 1995, H.X Yi ([13]) trả lời câu hỏi Gross cho trường hợp hàm nguyên năm 1998, G Frank M Reinders xem xét cho hàm phân hình Trong thực tế, câu hỏi Gross phát biểu sau: khẳng định tồn hay không đa thức P cho với cặp hàm phân hình khác f g ta có f ≡ g P (f ) P (g) chung giá trị giá trị CM? Một cách tự nhiên, ta đưa câu hỏi sau: tồn hay không đa thức chứa đạo hàm d cho với cặp hàm phân hình khác f g ta có f ≡ g d(f ) d(g) chung giá trị CM? Đã có số công trình công bố theo hướng nghiên cứu Chẳng hạn, I Lahiri R Pal ([8]), A Benerjee S Mukhejee ([3]), C Meng ([9]), Các tác giả đưa điều kiện đại số để hai hàm phân hình đồng hai đa thức chứa đạo hàm bậc chúng chung giá trị Với mục đích tìm hiểu số kết nghiên cứu theo hướng này, chọn đề tài “Vấn đề hàm phân hình hai đa thức chứa đạo hàm chung giá trị” Mục đích luận văn trình bày lại số kết nghiên cứu gần C Meng ([9]) S Shahoo and S Seikh ([10]) điều kiện đại số xác định hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm bậc Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Một số kiến thức bản, trình bày kiến thức sở, cần thiết cho việc chứng minh kết chương như: lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna, hàm phân hình chung giá trị Chương 2: Vấn đề hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm, trình bày số điều kiện đại số để hai hàm phân hình trùng hai đa thức chứa đạo hàm bậc chúng chung giá trị Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác Giả Đào Việt Hùng Chương Một số kiến thức 1.1 Các kiến thức lý thuyết Nevanlinna 1.1.1 Các hàm Nevanlinna tính chất Với số thực x > 0, kí hiệu: log+ x = max{log x, 0} Khi log x = log+ x − log+ (1/x) Cho f hàm phân hình C, r > 0, với ϕ ∈ [0; 2π], ta có log |f (reiϕ )| = log+ |f (reiϕ )| + log+ , f (reiϕ ) nên 2π 2π log f (reiϕ ) dϕ = 2π 2π 2π log+ f (reiϕ ) dϕ− 2π log+ dϕ f (reiϕ ) Định nghĩa 1.1 Hàm 2π m(r, f ) = 2π log+ f (reiϕ ) dϕ gọi hàm xấp xỉ hàm f Bây ta định nghĩa hàm đếm Cho f hàm phân hình r > Kí hiệu n(r, 1/f ) số không điểm kể bội, n(r, 1/f ) số không điểm không kể bội f , n(r, f ) số cực điểm kể bội, n(r, f ) số cực điểm không kể bội f Dr = {z ∈ C : |z| r|} Định nghĩa 1.2 Hàm r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t gọi hàm đếm kể bội f (còn gọi hàm đếm cực điểm) Hàm r N (r, f ) = n(t, f ) − n(0, f ) dt + n(0, f ) log r t gọi hàm đếm không kể bội Trong n(0, f ) = lim n(t, f ), n(0, f ) = lim n(t, f ) t→0 t→0 Định nghĩa 1.3 Hàm T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) gọi hàm đặc trưng hàm f Các hàm đặc trưng T (r, f ), hàm xấp xỉ m(r, f ) hàm đếm N (r, f ) ba hàm lý thuyết phân bố giá trị, gọi hàm Nevanlinna Định lý sau số tính chất hàm xấp xỉ, hàm đếm, hàm đặc trưng Định lý 1.1 Cho hàm phân hình f1 , f2 , · · · , fp , đó: p (1) p fν ) ≤ m(r, ν=1 p (2) ν=1 p fν ) ≤ m(r, ν=1 p (3) m(r, fν ) + log p; m(r, fν ); ν=1 p fν ) ≤ N (r, ν=1 N (r, fν ); ν=1 p (4) p fν ) ≤ N (r, ν=1 p (5) ν=1 p fν ) ≤ T (r, ν=1 p (6) N (r, fν ); T (r, fν ) + log p; ν=1 p fν ) ≤ T (r, ν=1 T (r, fν ) ν=1 Tiếp theo ta đề cập đến số hàm đếm mở rộng thường dùng chứng minh định lý xác định hàm phân hình Cho f hàm phân hình r > 0, kí hiệu nk (r, f ) số cực điểm bội cắt cụt k Dr f (tức cực điểm bội l > k tính k lần tổng nk (r, f )) Hàm r Nk (r, f ) = nk (r, f ) − nk (0, f ) + nk (0, f ) log r t gọi hàm đếm bội cắt cụt k , nk (0, f ) = lim nk (r, f ) t→0 Số k nk (r, f ) gọi số bội cắt cụt Cho f hàm phân hình mặt phẳng phức C Một hàm phân hình a(z) gọi hàm nhỏ f T (r, a) = S(r, f ), tức T (r, a) = r→∞ T (r, f ) lim Cho a số (hữu hạn hay vô hạn) hàm nhỏ f Kí hiệu nk) (r, 1/(f − a)) số không điểm kể bội, nk) (r, 1/(f − a)) số không điểm phân biệt f − a Dr với bội không vượt k ; n(k (r, 1/(f − a)) số không điểm kể bội, n(k (r, 1/(f − a)) số không điểm phân biệt f − a Dr với bội 31 mâu thuẫn với n > 3m + 12 Trường hợp Cho k = Theo Bổ đề 1.22-1.24, 2.12 2.13 ta có: N (r, 1; F0 ) + N (r, 1; G0 ) ≤N (r, 1; F0 | = 1) + N L (r, 1; F0 ) + N L (r, 1; G0 ) (2 + N F0 ≥2 (r, 1; F0 |G0 = 1) + N E (r, 1; F0 ) + N (r, 1; G0 ) ≤N (r, ∞; F0 ) + N (r, ∞; G0 ) + N (r, 0; F0 | ≥ 2) + N (r, 0; G0 | ≥ 2) + 2N F0 ≥2 (r, 1; F0 |G0 = 1) + N F0 >2 (r, 1; G0 ) + T (r, G0 ) + N (r, 0; F0 ) + N (r, 0; G0 ) + S(r, F0 ) + S(r, G0 ) ≤3N (r, ∞; F0 ) + N (r, ∞; G0 ) + N (r, 0; F0 | ≥ 2) + N (r, 0; G0 | ≥ 2) + 2N (r, 0; F0 ) + T (r, G0 ) + N (r, 0; F0 ) + N (r, 0; G0 ) + S(r, F0 ) + S(r, G0 ) (2.18) Theo định lý thứ hai ta có T (r, F0 ) + T (r, G0 ) ≤4N (r, ∞, F0 ) + 2N (r, ∞, G0 ) + N2 (r, 0; F0 ) + N2 (r, 0; G0 ) + 2N (r, 0, F0 ) + T (r, G0 ) + S(r, F0 ) + S(r, G0 ) (2.19) Điều dẫn đến T (r, F0 ) ≤4N (r, ∞, F0 ) + 2N (r, ∞, G0 ) + N2 (r, 0; F0 ) + N2 (r, 0; G0 ) + 2N (r, 0, F0 ) + S(r, F0 ) + S(r, G0 ) (2.20) 32 Theo Bổ đề 1.26 1.27 ta có T (r, F ) ≤4N (r, ∞, F0 ) + 2N (r, ∞, G0 ) + N2 (r, 0; F0 ) + N2 (r, 0; G0 ) m m N (r, ci ; f ) − + 2N (r, 0, F0 ) + N (r, 0; f ) + i=1 N (r, dj ; f ) j=1 − N (r, 0; f ) + S(r, f ) + S(r, g) ≤4N (r, ∞, f ) + 2N (r, ∞, g) + 4N (r, 0; f ) + 2N (r, 0; g) + N (r, 0; f ) m + m N (r, ci ; f ) + i=1 m N (r, dj ; f ) + j=1 N (r, dj ; g) j=1 + 2N (r, 0; f ) + N (r, 0; g ) + S(r, f ) + S(r, g) Như theo Bổ đề 1.17 1.18 ta có: (n + m + 1)T (r, f ) ≤[3m + 13 − 6Θ(∞, f ) + ε]T (r, f ) + [m + − 3Θ(∞, g) + ε]T (r, g) + S(r, f ) + S(r, g) ≤[4m + 19 − 6Θ(∞, f ) − 3Θ(∞, g) + 2ε]T (r) + S(r, f ) + S(r, g), (2.21) Trong ε(> 0) tùy ý Tương tự: (n + m + 1)T (r, g) ≤[4m + 19 − 6Θ(∞, g) − 3Θ(∞, f ) + 2ε]T (r) + S(r, f ) + S(r, g), (2.22) Từ (2.21) (2.22) ta có: [n−3m−18+3Θ(∞, f )+3Θ(∞, g)+3 min{Θ(∞, f ), Θ(∞, g)}−2ε]T (r) ≤ S(r) Từ n > 3m + 17 Θ(∞, f ) + Θ(∞, g) > n+1 ta đến mâu thuẫn Bây giả sử H ≡ Theo Bổ đề 1.17 ta có: (n + m)T (r, f ) = T (r, f n P (f )) + S(r, f ) ≤ T (r, F ) + T (r, f ) + S(r, f ) ≤ T (r, F0 ) + 2T (r, f ) + S(r, f ) 33 T (r, F0 ) ≥ (n + m − 2)T (r, f ) + S(r, f ) Tương tự T (r, G0 ) ≥ (n + m − 2)T (r, g) + S(r, g) Cũng từ Bổ đề 1.18 ta có: N (r, 0; F0 )N (r, ∞; F0 ) + N (r, 0; G0 ) + N (r, ∞; G0 ) m ≤N (r, 0; f ) + N (r, dj ; f ) + N (r, 0; f ) + N (r, ∞; f ) + N (r, 0; g) j=1 m N (r, dj ; g) + N (r, 0; g ) + N (r, ∞; g) + S(r, f ) + S(r, g) + j=1 ≤{m + − 2Θ(∞, f ) + ε}T (r, f ) + {m + − 2Θ(∞, g) + ε}T (r, g) + S(r, f ) + S(r, g) 2m + − 2Θ(∞, f ) − 2Θ(∞, g) + 2ε T (r) + S(r), ≤ n+m−2 Trong ε(> 0) đại lượng nhỏ tùy ý Theo giả thiết, từ ta có lim r→∞,r∈E / sup N (r, 0; F0 ) + N (r, ∞; F0 ) + N (r, 0; G0 ) + N (r, ∞; G0 ) < T (r) Áp dụng Bổ đề 1.19 ta có F0 G0 ≡ F0 ≡ G0 Từ Bổ đề 1.25, ta có F0 G0 ≡ 1, từ Bổ đề 1.28 ta có F ≡ G Điều dẫn đến: f n+1 am am−1 m−1 a0 fm + f + ··· + n+m+1 n+m n+1 am am−1 m−1 a0 = g n+1 gm + g + ··· + n+m+1 n+m n+1 (2.23) Đặt h = fg Nếu h số, việc thay f = gh vào (2.23) ta có: am am−1 m−1 n+m a0 g m (hn+m+1 −1)+ g (h −1)+· · ·+ (hn+1 −1), n+m+1 n+m n+1 dẫn đến hd = 1, d = (n + m + 1, · · · , n + m + − i, · · · , n + 1), am−i = với i = 0, 1, · · · , m Do f ≡ th với số t cho td = 1, d = (n + m + 1, · · · , n + m + − i, · · · , n + 1), am−i = với i = 0, 1, · · · , m 34 Nếu h số, từ (2.23) ta nói f g thỏa mãn phương trình đại số R(f, g) = 0, am am−1 m−1 a0 xm + x + ··· + n+m+1 n+m n+1 am−1 m−1 a0 am − y n+1 ym + y + ··· + n+m+1 n+m n+1 R(x, y) =xn+1 Điều kéo theo kết luận định lý Chú ý rằng, Định lý 2.6, ta lấy n > max{3m + 1, m + 10} với k = điều kiện Θ(∞, f ), Θ(∞, g) > bỏ Ngoài ra, Định lý 2.6 mở rộng Định lý 2.5 Nếu lấy am = 1, a0 = −1 am−i = với i = 1, 2, · · · , m − P (z) Định lý 2.6, ta có hệ sau: Hệ 2.7 Cho f g hai hàm phân hình khác n(≥ 1), k(≥ 1), m(≥ 2) ba số nguyên cho Θ(∞, f ) + Θ(∞, g) > n+1 Giả sử Ek) (α; f n (f m − 1)f ) = Ek) (α; g n (g m − 1)g ) α(= 0, ∞) hàm nhỏ f g điều kiện sau thỏa mãn: (i) k ≥ n > m + 10; (ii) k = n > 3m + 12; (iii) k = n > 3m + 17 f ≡ g f ≡ −g Khả f ≡ −g xảy n số lẻ m số chẵn Bằng kỹ thuật chứng minh giống Định lý 2.6, S Shahoo S Seikh ([10]) chứng minh Định lý 2.8 ([10]) Cho f g hai hàm nguyên khác n, k, m ba số nguyên dương Giả sử Ek) (α; f n P (f )f ) = Ek) (α; g n P (g)g ) với P (z) α định nghĩa Định lý 2.5 Định lý 2.6 điều kiện sau thỏa mãn: 35 (i) k ≥ n > max{3m + 1, m + 5}; (ii)k = n > max{3m + 1, 3m + 6}; (iii) k = n > 3m + f ≡ tg với số t cho td = 1, d = (n + m + 1, · · · , n + m + − i, · · · , n + 1), am−i = với i = 0, 1, · · · , m, f g thỏa mãn phương trình đại số R(f, g) = 0, am am−1 m−1 a0 xm + x + ··· + n+m+1 n+m n+1 am am−1 m−1 a0 − y n+1 ym + y + ··· + n+m+1 n+m n+1 R(x, y) =xn+1 Hệ 2.9 ([10]) Cho f g hai hàm nguyên khác n, k, m ba số nguyên dương Giả sử Ek) (α; f n (f m − 1)f ) = Ek) (α; g n (g m − 1)g ) với α(= 0, ∞) hàm nhỏ f g điều kiện sau thỏa mãn: (i) k ≥ n > m + 5; (ii)k = n > 3m + 6; (iii) k = n > 3m + f ≡ g f ≡ −g Khả f ≡ −g xảy n số lẻ m số chẵn 36 2.2 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc chung giá trị có trọng số Gân đây, C Meng [9]đã chứng minh số kết tính đồng hai hàm phân hình f g hai đa thức chứa đạo hàm bậc chúng chung giá trị có trọng số Trong phần giới thiệu kết Định lý 2.10 ([9]) Cho f g hai hàm phân hình khác n(≥ 14) số nguyên cho n + không chia hết cho Nếu f n (f − 1)f g n (g − 1)g chung (1, 2) f ≡ g Chứng minh Ta chứng minh S(r, f ) = S(r, g) phương pháp tương tự Bổ đề 1.6 Đặt F = f n (f − 1)f , G = g n (g − 1)g (2.24) ∗ F =f n+1 f3 − , () n+4 n+1 ∗ G =g n+1 g3 () − n+4 n+1 Vậy ta thu F G chung (1, 2), trường hợp (1) Bổ đề 1.7 xảy , tức T (r, F ) ≤ N2 r, 1 +N2 (r, F )+N2 r, +N2 (r, G)+S(r, F )+S(r, G) F G (2.25) Hơn nữa, theo Bổ đề 1.5, ta có T (r, F ∗ ) = (n+4)T (r, f )+S(r, f ), T (r, G∗ ) = (n+4)T (r, g)+S(r, g) (2.26) Từ (F ∗ ) = F , ta có m r, F∗ ≤ m r, F + S(r, f ), (2.27) F (2.28) theo định lý thứ T (r, F ∗ ) ≤ T (r, F ) + N r, F∗ − N r, + S(r, f ) 37 Lưu ý N r, N r, F∗ F = (n + 1)N r, = nN r, f f + N r, +N f r, f − n+4 n+1 + N r, , (2.29) f3 − (2.30) Lấy (2.28)-(2.30) ta có T (r, F ∗ ) ≤T (r, F ) + N r, − N r, f f3 − +N r, f − n+4 n+1 − N r, f + S(r, f ) (2.31) Từ (2.24) ta có 1 1 +N2 (r, F ) ≤ 2N r, +N2 r, +N2 r, +2N (r, f ), F f f f −1 (2.32) 1 1 r, +N2 (r, G) ≤ 2N r, +N2 r, +2N (r, g) +N2 r, G g g g −1 (2.33) N2 r, N2 Từ (2.25), (2.31), (2.32) (2.33) ta có T (r, F ∗ ) ≤3N r, f + N r, + 2N (r, f ) + N g + N r, g3 − r, f − n+4 n+1 + 2N r, g + 2N (r, g) + S(r, f ) (2.34) Theo Bổ đề 1.8 ta có N r, g ≤ N (r, g) + N r, g ≤ 2T (r, g) + S(r, g) (2.35) Từ (2.26), (2.34) (2.35) ta có (n − 4)T (r, f ) ≤ 9T (r, g) + S(r, g) (2.36) Lập luận tương tự trên, ta có (n − 4)T (r, g) ≤ 9T (r, f ) + S(r, g) (2.37) 38 Do theo (2.36) (2.37) ta có n ≤ 13 mâu thuẫn với n ≥ 14 Do theo Bổ đề 1.7, ta có: F ≡ G F G ≡ Nếu F G ≡ f n (f − 1)f g n (g − 1)g ≡ Theo Bổ đề 1.9 suy mâu thuẫn Nếu F ≡ G F ∗ = G∗ + c, (2.38) với c số Điều dẫn đến T (r, f ) = T (r, g) + S(r, f ) Giả sử c = theo định lý thứ hai, ta có (n + 4)T (r, g) =T (r, G∗ ) < N r, ≤N r, +N g r, +N G∗ r, f − n+4 n+1 + N r, g − n+4 n+1 G∗ + c + N (r, G∗ ) + S(r, g) + N (r, g) + N r, f + S(r, f ) ≤ 9T (r, f ) + S(r, f ), (2.39) mâu thuẫn với giả sử Do F ∗ = G∗ , theo Bổ đề 1.10, ta có f ≡ g Định lý 2.10 chứng minh Định lý 2.11 ([9]) Cho f g hai hàm phân hình khác n(≥ 17) số nguyên cho n + không chia hết cho Nếu f n (f − 1)f g n (g − 1)g chung (1, 1) f ≡ g Chứng minh Ta chứng minh S(r, f ) = S(r, g) phương pháp tương tự Bổ đề 1.6 Đặt F = f n (f − 1)f , G = g n (g − 1)g (2.40) ∗ F =f n+1 f3 () − , n+4 n+1 ∗ G =g n+1 g3 () − n+4 n+1 Vậy ta thu F G chung (1, 1), Giả sử H ≡ theo Bổ đề 39 1.11 ta có 1 + N2 (r, F ) + N2 r, + N2 (r, G) F G 1 + N (r, F ) + S(r, F ) + S(r, G) N r, F T (r, F ) ≤N2 r, (2.41) Từ (2.40) suy N2 r, 1 + N2 (r, F ) + N r, + N (r, F ) f 1 ≤ 2N r, + N2 r, + N2 r, + 2N (r, f ) f f f −1 1 1 1 + N r, + N r, + N r, + N (r, f ), f f −1 f (2.42) F N2 r, F ≤ 2N r, g + N2 r, g + N2 r, g3 − + 2N (r, g) (2.43) Thực chứng minh Định lý 2.10, ta có (2.31) (2.35) Từ (2.41) − (2.43) (2.31) ta có T (r, F ∗ ) =(n + 4)T (r, f ) + S(r, f ) 1 ≤4N r, + 3N (r, f ) + N r, f f −1 1 + 3N r, n+4 g f − n+1 + N r, + S(r, f ) g −1 +N r, + 3N (r, g) (2.44) Vì ta có n− 15 T (r, f ) ≤ 9T (r, g) + S(r, f ) (2.45) n− 15 T (r, g) ≤ 9T (r, f ) + S(r, f ) (2.46) Tương tự, ta có 40 Từ (2.45) (2.46) ta có n ≤ 16 mâu thuẫn với n ≥ 17 Do H ≡ 0, F G G F −2 ≡ −2 F F −1 G G−1 Lấy tích phân (2.47) ta có (2.47) A = + B, G−1 F −1 (2.48) Với A(= 0) B số Từ (2.48) suy F G chung giá trị CM Vì theo Định lý 2.10, ta có f ≡ g Định lý 2.11 chứng minh Định lý 2.12 ([9]) Cho f g hai hàm phân hình khác n(≥ 35) số nguyên cho n + không chia hết cho Nếu f n (f − 1)f g n (g − 1)g chung (1, 0) f ≡ g Chứng minh Ta chứng minh S(r, f ) = S(r, g) phương pháp tương tự Bổ đề 1.6 Đặt F = f n (f − 1)f , G = g n (g − 1)g (2.49) F ∗ = f n+1 () f3 − , n+4 n+1 G∗ = g n+1 () g3 − n+4 n+1 Vậy ta thu F G chung (1, 0), nghĩa F G chung giá trị IM Giả sử H ≡ theo Bổ đề 1.12 ta có 1) NE ≤ N (r, H) + S(r, F ) + S(r, G) (2.50) Từ định nghĩa hàm H ta có N (r, H) ≤N (2 r, F + N L r, + N (r, F ) + N (2 r, F −1 + N0 r, F G + N (r, G) + N L r, + N0 r, G F −1 (2.51) 41 Theo (2.50) (2.51) Bổ đề 1.13 ta có T (r, F ) ≤N r, F + N (r, F ) + N r, + N (r, F ) + N (2 r, + N L r, G−1 G G + N (r, G) + N (2 r, + N (r, G) + 2N L r, F F −1 + S(r, F ) + S(r, G) (2.52) Theo Bổ đề 1.14 (2.52) ta có T (r, F ) ≤N2 r, F + 2N (r, F ) + N2 r, + 2N (r, F ) + N r, G G + 2N (r, G) + 2N r F + N (r, G) + S(r, F ) + S(r, G) (2.53) Từ (2.49) suy N2 r, F +4N (r, F ) + 2N r, + N2 r, N2 r, G f3 − 1 F ≤ 4N r, + 2N r, + 3N (r, G) + N r, G f f3 − ≤3N r, g + 2N r, + N2 r, f + 4N (r, f ), + 2N2 r, g3 − + 2N r, (2.54) g + 3N (r, g) (2.55) Thực chứng minh Định lý 2.10, ta có (2.31) Từ (2.53), (2.54), (2.55) (2.31) ta có T (r, F ∗ ) ≤7N r, f + 5N r, + 6N (r, f ) + 2N r, g f3 + 5N (r, g) + 2N r, −1 g3 − +N r, f − n+4 n+1 + S(r, f ) (2.56) f 42 Vì ta có (n − 18)T (r, f ) ≤ 16T (r, g) + S(r, f ) (2.57) (n − 18)T (r, g) ≤ 16T (r, f ) + S(r, f ) (2.58) Tương tự, ta có Từ (2.57) (2.58) ta có n ≤ 34, mâu thuẫn với n ≥ 35 H ≡ 0.Thực cách chứng minh Định lý 2.11, ta có f ≡ g Định lý 2.12 chứng minh 43 Kết luận Trong luận văn nghiên cứu vấn đề hàm phân hình hai đa thức chứa đạo hàm bậc chúng chung giá trị hàm nhỏ Cụ thể trình bày Tổng hợp số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna: hàm Nevanlinna tính chất, hai định lý quan hệ số khuyết Các kiến thức cần thiết cho việc chứng minh kết Giới thiệu số khái niệm số tính chất hàm phân hình chung giá trị hàm nhỏ Chứng minh lại số kết vấn đề hàm phân hình thông qua điều kiện đại số đa thức chứa đạo hàm bậc chung giá trị hàm nhỏ trường hợp - Các đa thức chứa đạo hàm chung hàm nhỏ; - Các đa thức chứa đạo hàm chung giá trị có trọng số Do khuôn khổ luận văn nên kết luận văn dừng lại trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc Trong thời gian tới nghiên cứu thêm kết trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc cao 44 Tài liệu tham khảo [1] Banerjee A (2007), On uniqueness of meromorphic functions when two differential monomials share one value, Bull Korean Math Soc., 44(4) ,pp 607–622 [2] Banerjee A (2008), On the uniqueness of meromorphic functions that share two sets, Georgian Mathematical Journal, 1, pp 21 - 38 [3] Banerjee A., Mukherjee S (2007), Uniqueness of meromorphic functions concerning differential monomial sharing the same value, Bull Math Soc Sci Math Roumanie 50,pp 191–206 [4] Frank G., Reinders M (1998), A unique range set for meromorphic functions with 11 elements, Complex Variables Theory Appl., 37,pp 185–193 [5] Gross F (1977), Factorization of meromorphic functions and some open problems, Lecture Notes in Math., 599, Springer, Berlin, pp 51–67 [6] Hayman W K (1964), Meromorphic Functions, Clarendon, Oxford [7] Lahiri I (2001), Weighted value sharing and uniqueness of meromorphic functions, Complex Variables Theory Appl., 46, pp 241–253 [8] Lahiri I., Pal R (2006), Nonlinear differential polynomials sharing 1points, Bull Korean Math Soc., 43 (1), pp 161–168 45 [9] Meng C (2009), On unicity of meromorphic functions when two differential polynomials share one value, Hiroshima Math J., 39, pp 163–179 [10] Shahoo S., Seikh S (2013), Nonlinear differential polynomials sharing a small function, Matematicki Vesnik No 65, Vol 2, pp 151-165 [11] Yang C C (1972), On deficiencies of differential polynomials, Math Z 125, pp 107–112 [12] Yi H X (1990), Uniqueness of meromorphic functions and a question of C C Yang, Complex Variables Theory Appl 14, pp 169–176 [13] Yi H X (1995), A question of Gross and the uniqueness of entire functions, Nagoya Math J., 138, pp 169–177 [14] Yi H X (1997), Uniqueness theorems for meromorphic functions whose n-th derivatives share the same 1-points, Complex Variables Theory Appl 34, pp 421–436 [15] Yi H X (1999), Meromorphic functions that share one or two values II, Kodai Math J 22, pp 264–272 [16] Zhang X Y., Chen J F., Lin W C (2008), Entire or meromorphic functions sharing one value, Comput Math Appl 56, pp 1876–1883 [...]... + S(r, g), thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “CM” Nếu N r, 1 f −a + N r, 1 g−a − 2N 0 (r, a; f, g) = S(r, f ) + S(r, g), thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “IM” Ta dễ dàng chứng minh được nếu f và g chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a CM thì chúng chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “CM”, chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a IM thì chung nhau hàm nhỏ (giá trị) a “IM” Do đó có thể nói điều... được chứng minh Bổ đề sau đây được chứng minh dựa vào Bổ đề 1.26 Bổ đề 1.28 ([10]) Cho F và G được định nghĩa trong Bổ đề 1.26, trong đó m và n(> m + 2) là các số nguyên dương Ta có F = G suy ra F ≡ G 23 Chương 2 Vấn đề duy nhất hàm phân hình qua đa thức chứa đạo hàm 2.1 Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc nhất chung nhau một hàm nhỏ Năm 1976, F Gross ([5]) đưa ra câu hỏi: tồn tại một tập hợp hữu hạn... và g ta có f ≡ q nếu P (f ) và P (g) chung nhau một giá trị một giá trị CM? Một cách tự nhiên, ta đưa ra câu hỏi sau: tồn tại hay không đa thức chứa đạo hàm d sao cho với bất cứ cặp hàm phân hình 24 khác hằng f và g ta có f ≡ g nếu d(f ) và d(g) chung nhau một giá trị CM? Một số công trình đã thực hiện theo hướng này Năm 2006, I Lahiri và R Pal tìm được một đa thức d thỏa mãn câu hỏi trên, các tác... nói f và g chung nhau yếu giá trị a với trọng số k Ta viết f, g chung nhau “(a, k)” nghĩa là f, g chung nhau yếu giá trị a với trọng số k Rõ ràng chung nhau có trọng số và chung nhau yếu có trọng số là sự tương ứng giữa IM, CM và "IM", "CM" Hiển nhiên, hai hàm chung nhau có trọng số thì cũng chung nhau yếu có trọng số nên có thể nói điều kiện chung nhau yếu có trọng số chứa điều kiện chung nhau có trọng... chất của hai hàm phân hình khi đa thức chứa đạo hàm của chúng chung nhau một giá trị Định lý 2.5 ([16]) Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, cho n và m là hai số nguyên dương sao cho n > max{m + 10, 3m + 3} và P (z) = am z m + am−1 z m−1 + · · · + a1 z + a0 với a0 = 0, a1 , · · · , am−1 , am = 0 là các hằng số phức Nếu f n P (f )f và g n P (g)g chung nhau giá trị 1 CM thì hoặc f ≡ tg với một hằng... k), với m không nhất thiết bằng n Ta viết f, g chung nhau (a, k) có nghĩa là f, g chung nhau giá trị a với trọng số k Rõ ràng nếu f và g chung nhau (a, k) thì f và g chung nhau (a, p) với tất cả số nguyên p : 0 ≤ p < k Từ định nghĩa ta thấy f và g chung nhau a giá trị a IM (hoặc CM) nếu và chỉ nếu f và g chung nhau (a, 0) (hoặc (a, ∞)) Cho f và g chung nhau giá trị a “IM” và k là một số nguyên dương... (a) 1 Định lý sau cho ta một tính chất của số khuyết, thường được gọi là bổ đề quan hệ số khuyết 10 Định lý 1.4 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C Khi đó tập hợp các giá trị của a mà Θf (a) > 0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có δf (a) + θf (a) a∈C Θf (a) 2 a∈C 1.2 Một số tính chất của hàm chung nhau hàm nhỏ 1.2.1 Khái niệm mở đầu Cho f là một hàm phân hình, a là một hàm nhỏ của f Kí hiệu E(a,... cả bội của f − a, E(a, f ) là tập các không điểm phân biệt của f − a Định nghĩa 1.5 Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, nếu E(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ a CM, nếu E(a, f ) = E(a, g) thì ta nói f và g chung nhau hàm nhỏ a IM1 Chú ý rằng, trong định nghĩa trên nếu a là một giá trị hữu hạn thì ta nói f và g chung nhau giá trị a Định nghĩa 1.6 Nếu N r, 1 f −a + N r, 1 g−a... thứ nhất dưới dạng 1 ) = T (r, f ) + O(1), f −a trong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi r → ∞ T (r, Cho f là một hàm phân hình, r > 0 Kí hiệu Nram (r, f ) = N r, 1 f + 2N (r, f ) − N (r, f ) và gọi là hàm giá trị phân nhánh của hàm f Hiển nhiên Nram (r, f ) ≥ 0 Định lý 1.3 (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C, a1 , · · · , aq ∈ C, (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi. .. là một hàm phân hình khác hằng và cho an (z)(≡ 0), an−1 (z), · · · , a0 (z) là các hàm phân hình sao cho T (r, ai (z)) = S(r, f ) với i = 0, 1, 2 · · · , n thì ta có: n−1 T (r, an f n + an−1 + · · · + a1 f + a0 ) = nT (r, f ) + S(r, f ) Bổ đề 1.18 ([10]) Cho f là một hàm phân hình khác hằng, ta có: N (r, 0; f (k) ) ≤ N (r, 0; f ) + kN (r, ∞; f ) + S(r, f ) Bổ đề 1.19 ([10]) Cho f và g là hai hàm phân ... để hai hàm phân hình đồng hai đa thức chứa đạo hàm bậc chúng chung giá trị Với mục đích tìm hiểu số kết nghiên cứu theo hướng này, chọn đề tài Vấn đề hàm phân hình hai đa thức chứa đạo hàm chung. .. Trường hợp đa thức chứa đạo hàm bậc chung giá trị có trọng số Gân đây, C Meng [9]đã chứng minh số kết tính đồng hai hàm phân hình f g hai đa thức chứa đạo hàm bậc chúng chung giá trị có trọng... nghiên cứu vấn đề hàm phân hình hai đa thức chứa đạo hàm bậc chúng chung giá trị hàm nhỏ Cụ thể trình bày Tổng hợp số kiến thức lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna: hàm Nevanlinna tính chất, hai định