lượng giác và ứng dụngFile403

Sở Giáo Dục & Đào Tạo tỉnh Tiền Giang Trường THPT Chuyên Tiền Giang  Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Thầy Nguyễn Tuấn Ngọc  Nhóm học sinh lớp 10 Toán năm học 2009-2010: sin cos • • • • • KHÓA: 2009-2012 Nguyễn Hữu Tường Nguyễn Hải Hoàng Khôi Huỳnh Minh Tân Trần Thanh Huy Huỳnh Ngọc Sơn Kính thưa quý thầy cô bạn! Như biết, lượng giác phần quan trọng toán phổ thông nói chung toán chuyên nói riêng.Và hôm chúng em mang đến chuyên đề không mục đích học tập, rèn luyện thêm kiến thức khả làm toán Không dừng lại toán lượng giác, chuyên đề bàn đến ứng dụng to lớn lượng giác vào việc giải số toán đại số Quyển chuyên đề trình bày theo hai phần : phương trình lượng giác, ứng dụng lượng giác vào toán đại số Mỗi phần gồm nhiều chương, chương hai bạn phụ trách Việc chia chủ đề viết khó tránh trình bày không quán, thống với Tuy vậy, bạn độc lập suy nghĩ trình bày tường tận quan điểm Ở đa số toán, chúng em có phần nhận xét cá nhân, suy nghĩ hướng Do phần, chương thực thể trình tìm tòi suy nghĩ chúng em Sự tìm tòi khác có chung mục đích: đến tiến Đây lần chúng em làm chuyên đề , cố gắng chuyên đề khó tránh thiếu sót Rất mong tài liệu nhận đựơc góp ý thầy cô bạn Chúng em xin cảm ơn thầy Đỗ Kim Sơn thầy Nguyễn Tuấn Ngọc đọc cho góp ý, bỏ qua thiếu sót lần viết chuyên đề chúng em Mỹ Tho, ngày 27 tháng 12 năm 2009 MỤC LỤC: Trang Lời nói đầu……………………………………………………………… Mục lục PHẨN I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1: Các khái niệm I Phương trình bản…………………………………………… .3 II Kết hợp công thức nghiệm…………………………………… .8 A Đường tròn lượng giác ……………………………………… B Phương trình nghiệm nguyên………………………………… 11 Bài : Phương trình lượng giác tắc 14 I Phương trình đẳng cấp………………………………………… 14 Phương trình đẳng cấp bậc 1…………………………… .14 Phương trình đẳng cấp bậc 2…………………………… 18 Phương trình đẳng cấp bậc 3…………………………… 20 II Phương trình đối xứng………………………………………… .22 III Phương trình lượng giác có vế tổng hữu hạn………… 25 Cơ sở phương trình………………………………… .25 Một số tổng hữu hạn cách chứng minh nó…………… 26 3.Một số tích cách chứng minh………………………… .27 IV Phương trình vô tỉ…………………………………………… .28 V Các phương pháp tổng quát giải PTLG thường gặp 31 Phương pháp 1…………………………………………… 31 Phương pháp 2…………………………………………… 33 Phương pháp 3…………………………………………… 34 Bài 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực 36 I Phương pháp tổng bình phương……………………………… 36 II.Phương pháp đối lập………………………………………… .37 III.Phương pháp pháp phản chứng……………………………… 40 PHẦN II : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LƯỢNG GIÁC Chương I: Nhận dạng tam giác 44 Bài 1: Sử dụng phép biến đổi đẳng thức…………………………………… 44 I Nhận dạng tam giác vuông …………………………………………… 45 II Nhận dạng tam giac cân…………………………………………………46 III Nhận dạng tam giác đều……………………………………………… 49 Bài 2: Sử dụng bất đẳng thức………………………………………………… 52 I Nhận dạng tam giác vuông…………………………………………… 52 II Nhận dạng tam giác cân……………………………………………… 53 III Nhận dạng tam giác đều……………………………………………… 54 Chương II : Lượng giác ứng dụng giải toán đại số .56 Bài 1: Phương trình ……………………………………………………… .57 Bài 2: Hệ phương trình ……………………………………………………… 66 Bài 3: Một số toán khác………………………………………………… 74 Tài liệu tham khảo chân dung số nhà toán học……………………… 83 Lời cảm ơn 85 PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (PTLG) BÀI 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (PTCB): Trong lượng giác có phương trình bản.Dù (chính nên có tên vậy) phải nêu PTLG khác giải phải đưa PTCB sau đây: sinαx = với α ≤ , có nghiệm là:  x = arcsinα + k2 π  x = π − arcsinα +k2 π  cosαx = ( k ∈ Z) với α ≤ , có nghiệm là: x = ± arc cosα+k2 π ( k ∈ Z) tgx = α có nghiệm là: x = arcαtg + kπ (hay cotαgx = ( k ∈ Z) có nghiệm là: x = arc cotαg + kπ ) ( k ∈ Z) Chú ý: Trong các PTCB ta đã có sử dụng đến các hàm số lượng giác ngược: Hàm y = arcsin x : Miền xác định: D = [ −1,1]   π π  y ∈ − ;  y = arcsin x ⇔   2 sin y = x  y = arccos x Hàm : Miền xác định: D = [ −1,1]  y ∈ [ 0; π ] y = arc cos x ⇔  cos y = x Hàm y = arc tgx : Miền xác định: D = R   π π y ∈ − ; ÷ y = arc tgx ⇔   2 tgy = x  Hàm y = arc cot gx : Miền xác định: D = R  y ∈ ( 0; π ) y = arc cot gx ⇔  cot gy = x Đầu tiên xét ví dụ sau: Ví dụ 1: (ĐH Tổng hợp Lômônôxôp khoa Tính Toán và Điều Khiển 1979-ĐHSPII 2000) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình sau: ) ( π  cos  x − x + 160 x + 800  = 8  Giải Giả sử x là số nguyên thoả mãn phương trình, đó ta có: ) ( π  cos  x − x + 160 x + 800  = 8  ⇔ ( ) π x − x + 160 x + 800 = k 2π ( k ∈ Z ) ⇔ x + 160 x + 800 = x − 16k 3 x − 16k ≥ ⇔ 2 9 x + 160 x + 800 = ( x − 16k ) 3 x − 16k ≥  ⇔ 8k − 25 x =  3k +  ⇒ 3 x − 16k ≥  ⇔ 25 ( 1) x = 24 k − 40 −  3k + 25 ∈ Z , suy : k ∈ { 0;-2;-10} 3k + ( 2) Từ ( ) , bằng cách thử trực tiếp vào ( 1) ta được:   k = −2    x = −7   k = −10    x = −31 Nhận xét: Đây là một PTLG bản, việc giải nó thật là giải một phương trình nghiệm nguyên hai ẩn mà ta sẽ đề cập đến một cách cụ thể ở phần sau.Bài toán này chỉ nhằm mục đích minh hoạ cho vai trò của ‘k’ Ví dụ 2: Giải phương trình sau: cos ( 3π sin x ) = cos ( π sin x ) Giải 3π sin x = π sin x + k 2π  2π sin x = k 2π ⇔ ⇔ 3π sin x = −π sin x + k 2π  4π sin x = k 2π Do  k ∈ Z   sin x ≤ sin x = k ⇔ sin x = k   k ≤1 k  ⇔k ⇔ ≤ ⇔ k ∈ { 0; ±1; ±2} ≤1  sin x =  ⇔ sin x = ±  sin x = ±1   sin x =  ⇔ sin x =   sin x = −  lπ  x =   x = ± π + k 2π  ⇔  x = 5π + k 2π   7π + k 2π x =  lπ  x = ⇔  x = ± π + kπ  (l , k ∈Z ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là lπ  x =  (l , k ∈Z )  x = ± π + kπ  Nhận xét: Đây là một PTLG mà việc giải nó rất đơn giản, mấu chốt của bài này là vị trí quan trọng của ‘k’ Đôi lúc vai trò của ‘k’ việc giải PTLG rất quan trọng.Việc xét điều kiện ‘k’ có thể đưa đến một số PTLG khá hay liên quan đến việc giải một số bài toán đại số, số học nhỏ mà ta sẽ gặp ở một số toán sau: Ví dụ : Tìm số a>0 nhỏ nhất thoã mãn:    cos π  a + 2a − ÷ − sin ( π a ) =0    Giải    π  cos π  a + 2a − ÷ − sin ( π a ) =0 ⇔ cos  − π ( a + 2a )  = sin ( π a )  2    ⇔ sin π ( a + 2a )  = sin ( π a ) π ( a + 2a ) = π a + k 2π ⇔ π ( a + 2a ) = π − π a + k 2π  a = k ∈ Z ⇔ ( *)  2a + 2a − ( 2k + 1) = ( *)  −1 Do  a >0 suy Mina = k ∈ Z  Nhận xét: Bài toán này mấu chốt quan trọng: -Thứ nhất: ta đã sử dụng công thức bản lợi hại nhất là đối với các bài toán có dạng sin a + cos b : π  sin x = cos  − x ÷ 2  -Thứ hai: tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của biến a Ví dụ 4: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: sin ( π x ) = sin π ( x + 1)    Giải sin ( π x ) = sin π ( x + 1)    2k +  π x = π ( x + 1) + k 2π x=−  ⇔ (k ∈Z ) ⇔  π x = π − π ( x + 1) + k 2π  x + x − k = k (k ∈Z ) ∈ Z 2k + 1 >0 , k ∈ Z suy ra: , ta được x = là nghiệm dương nhỏ nhất 2 ( +) Xét x = − ( +) Xét phương trình x + x − k = ( *) có: Δ = + 4k ≥  k ≥ − ⇔ ⇒k ≥0 k ∈ Z Thử trực tiếp ta thấy k = thì phương trình ( *) có nghiệm nhỏ nhất là: x= -1+ > (loại) 2 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là: x = Ví dụ 5: Tính tổng các nghiệm x ∈ [ 0,100] của phương trình sau: cos3 x − cos x + = cos x + tg x cos x Giải Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ( k ∈ Z) Với điều kiện phương trình: ⇔ cos x − + ⇔ cos x = cos x = cos x + tg x cos x  x = k 2π ⇔  x = k 2π  ,k ∈Z ⇔x= k 2π (*)     100   50  = = 47 Do ≤ x ≤ 100 nên ≤ k ≤  2π   π        3 47.2π   48  + ÷  =752 π  ⇒S= Nhận xét: Bài toán này ngoài việc cho ta thấy vai trò của ‘k’ còn chỉ rõ một vấn đề: tầm quan trọng của việc kết hợp nghiệm Thử hình dung, nếu ta không kết hợp nghiệm lại dưới dạng công thức (*) đon giản thì ta phải tiến hành xét bất phương trình sau: k 2π ≤ 100 Như vậy ta phải tốn thời gian hơn, quá trình giải bài toán sẽ bị kéo dài một cách không cần thiết ≤ k 2π ≤ 100 ; 0≤ II KẾT HỢP CÔNG THỨC NGHIỆM: Kết hợp công thức nghiệm các PTLG chẳng những giúp cho ta có thể loại được nghiệm ngoại lai mà còn có thể có được một công thức nghiệm đơn giản hơn, từ đó việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản (giống toán mà ta vừa xét ở trên) Đôi lúc việc kết hợp công thức nghiệm cũng tương tự việc giải một hệ phương trình lượng giác bản bằng phương pháp thế Ở ta không đề cặp đến phương pháp này mà ta chỉ nói đến hai phương pháp chủ yếu sau: A ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC: 1.Các khái niệm bản: a) Đường tròn lượng giác: là đường tròn có bán kính đơn vị R = và đó ta đã chọn một chiều dương ( + ) (thông thường chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ) b) Cung lượng giác: »AB (với A, B là điểm đường tròn lượng giác) là cung vạch bởi điểm M di chuyển đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ A đến B c) Góc lượng giác: khác với góc bình thường góc lượng giác có một chiều nhất định Phương pháp biểu diễn góc và cung lượng giác: a) Biểu diễn các điểm ngọn của cung lượng giác biết số đo có dạng α + kπ : Ta đưa số đo về dạng α + k 2π m Bài toán có m ngọn cung phân biệt tương ứng với k từ đến ( m-1) Ví dụ 1: Trên đường tròn lượng giác, ta lấy điểm A làm gốc π π Định những điểm M biết sđ »AB = + k Giải π π π 2π Ta có sđ »AB = + k = + k Suy có điểm ngọn cung phân biệt ứng với: 4 ( + ) k = : ¼AM = π ( + ) k = : ¼AM = 5π ( + ) k = 1: ¼AM = 7π Đề ý ta thấy rằng đường tròng lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của hình ( + ) k = : ¼AM = vuông M M 1M M 3π Nhận xét: Trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của một đa giác đều m cạnh b) Biểu diễn góc (cung) dưới dạng công thức tổng quát: Ta biểu diễn từng góc (cung) đường tròn lượng giác Từ đó suy công thức tổng quát Ví dụ 2: Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau dưới dạng một công thức tổng quát:  x = kπ  π   x = ± + kπ Giải Ta biểu diễn các điểm ngọn cung của x = kπ = k 2π k = 0: x = k = 1: x = π Ta biểu diển các điểm ngọn cung của x = ± π + kπ π 4π k = 1: x = ± Trên đường tròn lượng giác, ta nhận thấy có điểm ngọn cung phân biệt, Do đó công k = 0: x = ± k 2π kπ = Nhận xét: Qua toán này ta thấy rõ vai trò của việc kết hợp các góc lượng giác dưới dạng một công thức tổng quát đơn giản Hơn nữa, còn là toán về việc giải hệ phương trình lượng giác bản bằng phương pháp biểu diễn đường tròn lượng giác Bài toán giải PTLG dùng phương pháp kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác để loại các nghiệm ngoại lai -Ta xét số toán sau: Bài toán 1: Giải phương trình: thức tổng quát là: x= sin x(sin x + cos x) − =0 cos x + sin x − Giải Điều kiện: cos x + sin x − ≠ ⇔ sin x + sin x ≠ Nhân vế vơi sin a S5 = + cos a cos 2a cos na sin ( n + 1) a + + + = cos a cos a cos n a sin a.cos n a Ta có: cos ka sin a.cos ka sin ( k + 1) a − sin ( k − 1) a sin ( k + 1) a sin ka = = = − k k k k cos a sin a.cos a 2sin a.cos a sin a.cos a sin a.cos k −1 a ⇒S= sin ( n + 1) a sin a.cos n a S6 = tgatg 2a + tg 2atg 3a + + tg ( n − 1) atgna = Áp dụng: tg ( n − 1) atgna − ⇒S= tgna −n tga tg ( n − 1) a tgna =− −1 tga tga tgna −n tga a a a a S7 = tg + tg + + n tg n = n cot g n − cot ga 2 2 2 2 Áp dụng: cot gx − tgx = cot g 2x 1 1 S8 = + + + = − a a a a a cos 42 cos 2 4n cos n sin a n sin n 2 2 1 + = Áp dụng: 2 4sin x cos x sin 2 x C MỘT SỐ TÍCH VÀ CÁCH CHỨNG MINH: T1 = ( cos a − 1) ( cos 2a − 1) ( cos 2n −1 a − 1) = Nhân vế với ( cos a + 1) cos 2n + cos a + n −1      tg a T2 = 1 + + + = ÷ ÷  n −1 ÷ a  cos a  cos 2a   cos a  tg a Cách 1: nhân vế với tg Cách 2: ta xét vế trái: a cos 2 2 n −1 VT cos a cos 2a cos a = cos a cos 2a cos 22 a cos 2n −1 a 2n cos a cos a cos 2a cos 2n − a cos 2n −1 a a ⇒ sin VT = sin 2 a cos sin 2n −1 a ⇒ VT = = VP a sin cos 2n −1 a π 2π nπ T3 = cos cos cos = 2n + 2n + 2n + 2n sin π 2n + π Nhân vế với sin 2n + Chú ý: Ở các công thức này ta có một mẹo nhỏ Đó là chỉ cần nhìn kết quả của vế phải là ta đã có thể biết được cách chứng minh Tuy nhiên có nhiều trường hợp ta chỉ có vế trái thì ta phải làm sao? Ta cần sử dụng đến các công thức ở mục a) đó ta cần ghi nhớ các công thức ở mục a Ví dụ : Giải phương trình: n 1 = ∑ i sin x i =1 sin x Giải Điều kiện để phương trình có nghiệm: sin 2i x ≠ 0; i = 1, n Áp dụng S3 ta được nghiệm của phương trình là: k 2π ; x = l 2π ( k , l ∈ Z) − 2n +1 Nhận xét: Ta nhận thấy nhờ có đẳng thức S3 mà việc giải bài toán này trở nên dễ dàng x= Mặt khác cần chú ý rằng đối với các bài toán có điều kiện phức tạp vậy ta chỉ cần đặt điều kiện tổng quát Sau đó đã có được nghiệm rồi ta thế vào điều kiện tổng quát ban đầu để loại các nghiệm ngoại lai IV PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ: g ≥ f =g⇔ f = g Khi giải các PHTL mà ẩn số nằm dưới dấu căn, các điều kiện ràng buộc thường ở dưới dạng các bất phương trình lương giác Dĩ nhiên ta có thể xem là một hệ thống gồm các PTLG và bất PTLG Nhưng rõ ràng là một dạng khó, phức tạp dễ mắc phải sai lầm mà ta có thể thấy ở các toán dưới đây: Bài toán 1: (64II-Bộ đề thi Tuyển sinh) Giải phương trình: cos x + + sin x = sin x + cos x (1) Giải (1) ⇔ cos x − sin x + ( cos x + sin x ) = cos x + sin x Xét cos x + sin x = là nghiệm ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − π + kπ ( k ∈ Z ) cos x + sin x >0 cos x + sin x >0 ⇔ ( 2) Xét  ( cos x + sin x ) ≥ ( cos x − sin x ) ≥ Với điều kiện (2) thì ( 1) ⇔ cos x − sin x + cos x + sin x = ⇔ cos x + cos x − sin x = ⇔ cos x − sin x = − cos x ⇔ cos x − sin x = ( − cos x ) ⇔ cos x + cos x − = ⇔ cos x = 1∈ [ −1,1] ⇔ x = k 2π , ( k ∈ Z) Thử lại với điều kiện (2): Do cos x = ⇒ sin x = thoả (2) Kết luận: −π x= + kπ ; x = k 2π với k ∈ Z Nhận xét: Hãy thử quan sát xem tại ta phải xét trường hợp riêng là: cos x + sin x = và cos x + sin x >0 mà không gộp điều kiện lại là: cos x + sin x ≥ Nếu ta đặt: a = cos x + sin x và b = cos x − sin x thì điề kiện của bài toán ta chỉ xét trường hợp là: a ≥ a ≥ ⇔   ab ≥ b ≥ a ≥ Phép biến đổi này hoàn toàn sai vì nếu a = thì ∀ b < ta vẫn có hệ  được thoả  ab ≥ mãn Do đó ta cần phải thật cẩn thận phương trình dạng này Bài toán 2: (66II.2-Bộ đề thi tuyển sinh) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: + cos x + + 2sin x = m Giải Hàm số y= + cos x + + 2sin x = m là hàm tuần hoàn với chu kì 2π nên ta chỉ cần tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ −π , π ]   x ∈ [ −π , π ]  −π 2π  ≤x≤ Từ đó cos x ≥ − ⇒   sin x ≥ − Xét biểu thức f = y2 = ( + cos x + + 2sin x ) ⇔ f = + ( sin x + cos x ) + + ( sin x + cos x ) + 4sin x cos x Đặt  −1   −π 2π  t = sin x + cos x ∈  ,  ∀x ∈  ,     Khi đó f = + 2t + 2t + 2t − ⇒ f '= 2+ ( 2t + 1)  −1  >0 ⇒ f ( t ) ↑ /  , 2 2t + 2t −    −1 ⇒ M in f = f  ÷ ÷= 1+   Max f = f ( ) = 4(1+ ) Phương trình có nghiệm ⇔ M in y ≤ m ≤ Maxy ⇔ 1+ ≤ m ≤ + Nhận xét: Phương pháp này có thể gọi là phương pháp miền giá trị Bởi vì thật tập giá trị của m chính là miền giá tri của hàm f Đây là hàm đồng biến trong tập xác định của nó nên Max và Min của hàm số cũng chính là giá trị đầu của miền giá trị V CÁC PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT GIẢI PTLG THƯỜNG GẶP : -Cần chú ý chỉ là một số phương pháp tổng quát cho phương trình chính tắc Đối với phương trình không mẫu mực ta sẽ có một số phương pháp ở bài 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực Phương pháp 1:Rất nhiều PTLG ta gặp không ở dạng chính tắc ta phải sử dụng các công thức lượng giác thích hợp để biến đổi đưa về dạng phương trình tích: f(x)=0 f(x).g(x).h(x)=0 ⇔ g(x)=0  h(x)=0 (với f(x),g(x),h(x) là các hàm số lượng giác bản) Ví dụ 1: (149 II- Bộ đề thi Tuyển sinh) Cho phương trình: sin ( x + 1) y  = sin ( xy ) + sin ( x − 1) y  Tỉm nghiệm ( x, y ) để ( x + 1) y , xy, ( x − 1) y là số đo các góc của tam giác Giải Từ điều kiện ( x + 1) y , xy, ( x − 1) y là số đo các góc của tam giác ( x + 1) y + xy + ( x − 1) y = π ⇒ 0< ( x + 1) y, xy , ( x − 1) y 2 ta có: cos x ≤ cos x sin n x ≤ sin x ⇒ cos n x + sin n x ≤ cos n x + sin n x ≤ cos x + sin x = '='⇔ x= kπ (loại) kπ và tgx + cot gx ≥ n n n Vậy cos x + sin x 2 phương trình vô nghiệm., Kết luận: nghiệm của phương trình là:  1 x = arctg  ± ÷+ k π , k ∈ Z  2 Nhận xét: qua toán này ta thấy việc sử dụng bất đẳng thức kinh điển các bài toán giúp ta tìm được giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của một biểu thức để chặn nó lại và đem áp dụng vào phương trình bởi vì thông thường điều kiện xảy đẳng thức không nhiều giúp ta có thể giải nhanh các phương trình Phương pháp sử dụng bất đẳng thức là một phương pháp kinh điển được sử dụng phổ biến Bài toán 4: Giải phương trình: cos x.cos x.cos 3x + sin x.sin x.sin x = ( 1) Giải Sử dụng bất đẳng thức BCS ta có: cos x.cos x.cos 3x + sin x.sin x.sin x = ( 1) ⇔ cos x.cos x.cos x + sin x.sin x.sin x ≤ ( cos x cos 2 x + sin x sin 2 x ) ( cos x + sin x ) = ( cos x cos 2 x + sin x sin 2 x ) ≤ cos x + sin x = cos x cos x sin x = sin x sin x cos x ≥ ( ) '='⇔  2 2 2 cos x cos x + sin x sin x = cos x + sin x ( ) Ta xét ( 3) ⇔ sin x = ⇔ x = kπ thoả (2) Vậy nghiệm của (1) là: x = k π , k ∈ Z Nhận xét: Bài toán này làm ta nhớ đến các tổng hữu hạn ở bài trước Ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức BCS (như Bài toán này) hay bất đẳng thức Cauchy để tìm được giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của tổng đó III PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG: (Nguyên lý cực biên)  A ≤ A1 A=A1  ⇔  B ≤ B1 B=B1  A+B=A + B 1  Bài toán1: Giải phương trình: sin12 x + cos16 x = Giải 12 sin x ≤ sin x Ta có:  16 ⇒ sin12 x + cos16 x ≤ 1∀x cos x ≤ cos x sin12 x = sin x kπ ⇔ ⇔ x = ( k ∈ Z) Vì thế : sin x + cos x =  16 2 cos x = cos x 12 16 Nhận xét: Bài toán này thuộc dạng phương trình tổng quát sau: sin m x + cos n x = với m ,n tự nhiên m m sin x ≤ sin x sin x = sin x ( 1) ⇒ n Ta có:  n 2 cos x ≤ cos x cos x = cos x ( ) Từ đó ta xét khả cho dạng toán này: 1.Nếu m,n cùng chẵn Khi đó:  sin x =  sin x = ±1 kπ ⇔x= ( 1) ( ) ⇔  ( k ∈ Z)    cos x =   cos x = ±1  Nếu m,n cùng lẻ Khi đó:  sin x =  sin x = ⇔ ( 1) ( ) ⇔   cos x =     cos x =  Nếu mchẵn, n lẻ Khi đó:  x = k 2π  ( k ∈ Z)  x = π + k 2π   sin x =  sin x = ±1 ⇔ ( 1) ( ) ⇔     cos x =   cos x =   x = k 2π  ( k ∈ Z)  x = π + k 2π  [...]... là dạng toán cần phải biết trong vấn đề giải phương trình lượng giác Điểm mấu chốt của dạng toán này là cần nhớ lại một số kiến thức về tam thức bậc hai và các nhận xét quan trọng về các góc lượng gíac II PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG: Đó là PTLG có chứa đồng thời ( sin x ± cos x ) m và ( sin x cos x ) với m, n ∈ Z n Các phương trình loại này ta thường áp dụng... THƯỜNG GẶP : -Cần chú ý đây chỉ là một số phương pháp tổng quát cho phương trình chính tắc Đối với phương trình không mẫu mực ta sẽ có một số phương pháp ở bài 3: Phương trình lượng giác không mẫu mực 1 Phương pháp 1:Rất nhiều PTLG ta gặp không ở dạng chính tắc ta phải sử dụng các công thức lượng giác thích hợp để biến đổi đưa về dạng phương trình tích: ... lại toán lượng giác, chuyên đề bàn đến ứng dụng to lớn lượng giác vào việc giải số toán đại số Quyển chuyên đề trình bày theo hai phần : phương trình lượng giác, ứng dụng lượng giác vào toán... đối xứng………………………………………… .22 III Phương trình lượng giác có vế tổng hữu hạn………… 25 Cơ sở phương trình………………………………… .25 Một số tổng hữu hạn cách chứng minh nó…………… 26 3.Một số tích cách chứng... PHẨN I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1: Các khái niệm I Phương trình bản…………………………………………… .3 II Kết hợp công thức nghiệm…………………………………… .8 A Đường tròn lượng giác ……………………………………… B Phương