Đồ thị hamilton

Đồ thị hamilton Đồ thị hamilton Bởi: Khoa CNTT ĐHSP KT Hưng Yên Đồ thị hamilton Định nghĩa Đường qua tất đỉnh đồ thị đỉnh lần gọi đường Hamilton Chu trình đỉnh v qua tất đỉnh lại đỉnh lần quay trở v gọi chu trình Hamilton Đồ thị G gọi đồ thị Hamilton chứa chu trình Hamilton gọi đồ thị Hamilton có đường Hamilton Rõ ràng đồ thị Hamilton nửa Hamilton, điều ngược lại không Ví dụ Trong hình 1: G3 Hamilton, G2 nửa Hamilton G1 không nửa Hamilton Hình Đồ thị Hamilton G , nửa Hamilton G , G Cho đến việc tìm tiêu chuẩn nhận biết đồ thị Hamilton mở, vấn đề trung tâm lý thuyết đồ thị Hơn nứa, chưa có thuật toán hiệu để kiểm tra đồ thị có Hamilton hay không Các kết thu phần lớn điều kiện đủ để đồ thị đồ thị Hamilton Phần lớn chúng điều có dạng "nếu G có số cạnh đủ lớn G Hamilton" Một kết phát biểu định lý sau Định lý thuật toán liệt kê tất chu trình Hamilton Định lý (Dirak 1952) 1/7 Đồ thị hamilton Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, đỉnh có bậc không nhỏ n/2 đồ thị Hamilton Chứng minh: Thêm vào đồ thị G k đỉnh nối chúng với tất đỉnh G giả sử k số nhỏ đỉnh cần thêm vào đồ thị thu G’ đồ thị Hamilton Ta k=0 Thực vậy, giả sử ngược lại k >0 Ký hiệu v, p, w, , v chu trình Hamilton G’, v, w đỉnh G p số đỉnh Khi w không kề với v ngược lại, ta không cần sử dụng p điều mâu thuẫn với giả thiết k nhỏ Hơn đỉnh (w’ chẳng hạn) kề với w liền sau đỉnh v’ (kề với v) thay v → p→ w → → v’→ w’ → → v v → v’ → → w → w’ → → v cách đảo ngược đoạn chu trình nằm w v’ Từ suy số đỉnh đồ thị G’ không kề với w không nhỏ số đỉnh kề với v (tức n/2+k), đồng thời số đỉnh G’ kề với w phải n/2+k Do đỉnh G’ vừa không kề, lại vừa kề với w, tổng số đỉnh đồ thị G’ (G’ có n+k đỉnh) không n+2k Mâu thuẫn thu chứng minh định lý Định lý sau tổng quát hoá định lý Dirak cho đồ thị có hướng: Định lý Giả sử G đồ có hướng liên thông với n đỉnh Nếu deg+ (v) ≥ n/2, deg – (v) ≥ n/2, ∀ ∀v G Hamilton Có số dạng đồ thị mà ta biết đồ thị Hamilton Một ví dụ đồ thị đấu loại Đồ thị đấu loại đồ thị có hướng mà hai đỉnh nối với cung Tên đấu loại xuất đồ thị dùng để biểu diễn kết thi đấu bóng chuyền, bóng bàn hay trò chơi mà không cho phép hoà Ta có định lý sau: Định lý i) Mọi đồ thị đấu loại nửa Hamilton ii) Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh Hamilton Ví dụ Đồ thị đấu loại D5, D6 cho hình 3.2 2/7 Đồ thị hamilton Hình Đồ thị đấu loại D , đấu loại liên thông mạnh D Thuật toán liệt kê tất chu trình Hamilton đồ thị Thuật toán sau xây dựng dựa sở thuật toán quay lui cho phép liệt kê tất chu trình Hamilton đồ thị Procedure Hamilton(k); (* liet ke cac chu trinh Hamilton thu duoc bang viec phat trien day dinh (X[1], , X[k-1]) cua thi G=(V,E) cho boi danh sach ke: Ke(v), v ∈ V *) begin for y ∈ Ke(X[k-1]) if (k =N+1) and (y=v ) then Ghinhan(X[1], , X[n], v ) else if Chuaxet[y] then begin X[k]:=y; Chuaxet[y]:=false; Hamilton(k+1); Chuaxet[y]:=true; end; 3/7 Đồ thị hamilton end; (* Main program*) begin for v ∈ V Chuaxet[v]:=true; X[1]:=0; (* v0 la mot dinh nao cua thi *) Chuaxet[v0]:=false; Hamilton(2); end Ví dụ : Hình mô tả tìm kiếm theo thuật toán vừa mô tả Hình 3: Đồ thị liệt kê chu trình Hamilton theo thuật toán quay lui Trong trường hợp đồ thị có không nhiều cạnh thuật toán sử dụng để kiểm tra đồ thị có phải Hamilton hay không Bài tập Bài tập 1: Hội nghị bàn tròn Tổng thư ký Đại hội đồng Liên hợp quốc triệu tập họp có N nhà ngoại giao N tổ chức tham gia Các đại diện ngoại giao bố trí ngồi quanh bàn tròn Giữa số tổ chức có quan hệ căng thẳng, xếp họ ngồi cạnh Thông tin quan hệ tổ chức cho dạng cặp số nguyên i, j tổ chức có quan hệ căng thẳng 4/7 Đồ thị hamilton Hãy lập trình giúp Tổng thư ký Liên hợp quốc bố trí chỗ ngồi quanh bàn họp Các tổ chức đánh số từ tới N, < N ... lý sau: Định lý i) Mọi đồ thị đấu loại nửa Hamilton ii) Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh Hamilton Ví dụ Đồ thị đấu loại D5, D6 cho hình 3.2 2/7 Đồ thị hamilton Hình Đồ thị đấu loại D , đấu loại... Dirak cho đồ thị có hướng: Định lý Giả sử G đồ có hướng liên thông với n đỉnh Nếu deg+ (v) ≥ n/2, deg – (v) ≥ n/2, ∀ ∀v G Hamilton Có số dạng đồ thị mà ta biết đồ thị Hamilton Một ví dụ đồ thị đấu.. .Đồ thị hamilton Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, đỉnh có bậc không nhỏ n/2 đồ thị Hamilton Chứng minh: Thêm vào đồ thị G k đỉnh nối chúng với tất đỉnh G giả sử k số nhỏ đỉnh cần thêm vào đồ