Chương 3 Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton ppsx

Chương Đồ thị Euler đồ thị Hamilton Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung nguyenngoctrung.dhsp@gmail.com Phần 3.1 Đồ thị Euler Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung nguyenngoctrung.dhsp@gmail.com Bài toán cầu TP Konigsberg A B Graph Theory C 07/25/14 D Bài toán cầu Tp Konigsberg A B A Mơ hình thành Đồ thị D C Graph Theory B D C 07/25/14 Đặt vấn đề (tt)  Hãy vẽ hình sau nét bút (không nhấc bút lên vẽ) Không vẽ nét Tối thiểu phải vẽ nét Không vẽ nét Tối thiểu phải vẽ nét Lý thuyết đồ thị 07/25/14 Đặt vấn đề (tt)  Hãy vẽ hình sau nét bút (khơng nhấc bút lên vẽ) Lý thuyết đồ thị 07/25/14 Đường đi, chu trình Euler  Xét đồ thị G = Một đường đồ thị gọi đường Euler qua tất cạnh, cạnh lần  Một chu trình đồ thị gọi chu trình Euler qua tất cạnh, cạnh lần  VD: Đồ thị sau có đường Euler là: d1: 5 d2: 5 … Lý thuyết đồ thị 07/25/14 Đường đi, chu trình Euler (tt) VD: Đồ thị sau có chu trình Euler là: d1: 5 d2: 5 … Lý thuyết đồ thị 07/25/14 Đồ thị Euler  Xét đồ thị G = Đồ thị G gọi đồ thị Euler tồn chu trình Euler G  Đồ thị G gọi đồ thị nửa Euler tồn đường Euler G 3  4 5 Đồ thị Euler (hiển nhiên đồ thị nửa Euler) Đồ thị nửa Euler Lý thuyết đồ thị 07/25/14 Định lý Euler  Định lý Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị Euler đỉnh có bậc chẵn  Hệ Đồ thị vơ hướng, liên thông G đồ thị nửa Euler có khơng q hai đỉnh bậc lẻ Lý thuyết đồ thị 07/25/14 10 Thuật toán xây dựng chu trình Euler  Thuật tốn Fleury  Bắt đầu từ đỉnh đồ thị tuân theo quy tắc sau:    Quy tắc Khi qua cạnh xóa xóa ln đỉnh lập, có Quy tắc Khơng qua cầu (cạnh cắt) khơng cịn cách khác VD: Tìm chu trình Euler đồ thị sau: a h Lý thuyết đồ thị b g c d f 07/25/14 e 11 Định lý Euler cho đồ thị có hướng  Định lý: Xét G đồ thị có hướng, liên thơng mạnh Khi G đồ thị Euler đỉnh G có bán bậc bán bậc vào Lý thuyết đồ thị 07/25/14 12 Phần 3.2 Đồ thị Hamilton Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung nguyenngoctrung.dhsp@gmail.com Đường đi, chu trình Hamilton  Xét đồ thị G = Một đường đồ thị gọi đường Hamilton qua tất đỉnh, đỉnh lần  Một chu trình đồ thị gọi chu trình Hamilton qua tất đỉnh, đỉnh lần  VD: Đồ thị sau có đường chu trình Euler là: d1: d2: 4 … C1: 5 C2: … Lý thuyết đồ thị 07/25/14 14 Đồ thị Hamilton  Xét đồ thị G = Đồ thị G gọi đồ thị Hamilton tồn chu trình Hamilton G  Đồ thị G gọi đồ thị nửa Hamilton tồn đường Hamilton G 3  4 5 Đồ thị Hamilton (hiển nhiên đồ thị nửa Hamilton) Đồ thị nửa Hamilton Lý thuyết đồ thị 07/25/14 15 Một số kết đồ thị Hamilton   Định lý (Dirak, 1952) Xét G đơn đồ thị vô hướng với n đỉnh (n>2) Nếu đỉnh G có bậc khơng nhỏ n/2 G đồ thị Hamilton Định lý (Dirak, 1952) Xét G đơn đồ thị có hướng, liên thông mạnh với n đỉnh Nếu đỉnh G có bán bậc bán bậc vào khơng nhỏ n/2 G đồ thị Hamilton Lý thuyết đồ thị 07/25/14 16 Một số kết đồ thị Hamilton (tt)  Định lý Mọi đồ thị đấu loại nửa Hamilton  Mọi đồ thị đấu loại, liên thông mạnh Hamilton   Định lý (Ore, 1960) Cho đồ thị G có n đỉnh Nếu hai đỉnh không kề G có tổng bậc khơng nhỏ n G đồ thị Hamilton Nghĩa là: ( ∀u, v ∈V , (u, v) ∉ E ⇒ deg(u ) + deg(v) ≥ n ) ⇒ G Hamilton Lý thuyết đồ thị 07/25/14 17 Kiểm tra đồ thị Hamilton???  Các quy tắc để xác định chu trình Hamilton (H) đồ thị: Quy tắc 1: Nếu có đỉnh bậc hai cạnh đỉnh bắt buộc phải nằm H  Quy tắc 2: Khơng có chu trình (độ dài nhỏ n) H  Quy tắc 3: Ứng với đỉnh đó, chọn đủ cạnh vào H phải loại bỏ tất cạnh cịn lại (vì khơng thể chọn thêm)  Khơng có đỉnh lập đỉnh treo áp dụng quy tắc  Lý thuyết đồ thị 07/25/14 18 Kiểm tra đồ thị Hamilton (tt)  Đồ thị sau có Hamilton khơng? Lý thuyết đồ thị 07/25/14 19 ... thuyết đồ thị 07/25/14 Đồ thị Euler  Xét đồ thị G = Đồ thị G gọi đồ thị Euler tồn chu trình Euler G  Đồ thị G gọi đồ thị nửa Euler tồn đường Euler G 3  4 5 Đồ thị Euler (hiển nhiên đồ thị. .. 14 Đồ thị Hamilton  Xét đồ thị G = Đồ thị G gọi đồ thị Hamilton tồn chu trình Hamilton G  Đồ thị G gọi đồ thị nửa Hamilton tồn đường Hamilton G 3  4 5 Đồ thị Hamilton (hiển nhiên đồ thị. .. thị nửa Euler) Đồ thị nửa Euler Lý thuyết đồ thị 07/25/14 Định lý Euler  Định lý Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị Euler đỉnh có bậc chẵn  Hệ Đồ thị vô hướng, liên thông G đồ thị nửa Euler