Tài liệu Chuyên đề đồ thị Hamilton docx

Chuyên đề ĐỒ THỊ HAMILTON Khái niệm đường đi Hamilton được xuất phát từ bài toán: “Xuất phát từ một đỉnh của khối thập nhị diện đều, hãy đi dọc theo các cạnh của khối đó sao cho đi qua tất cả các đỉnhkhác, mỗi đỉnh đi qua đúng một lần, sau đó trở về đỉnh xuất phát” Bài toán này được nhà toán học Hamilton đưa ra vào năm 1859 Giới thiệu: Nhà toán học Hamilton • Đường đi Hamilton là đường qua tất cả các đỉnh của đồ thị và đi qua mỗi đỉnh đúng một lần Hay đường đi (x[1],x[2],…,x[n]) được gọi là đường đi Hamilton nếu x[i]≠x[j] (1≤i<j≤n) Định nghĩa: a a d d b b c c G2 Ví dụ: Đường đi Hamilton của đồ thị G2 là: a  b  c  d Định nghĩa: • Chu trình Hamilton là đường đi Hamilton có một cạnh trong đồ thị nối đỉnh đầu với đỉnh cuối của đường đi Hay chu trình (x[1],x[2],…,x[n],x[1]) được gọi là chu trình Hamilton nếu x[i]≠x[j] (1≤i<j≤n) a a b b e e c c d d G1 Ví dụ: Chu trình Hamilton của đồ thị G1 là: a  b  c  d  e  a • Đồ thị Hamilton là đồ thị có chứa một chu trình Hamilton • Đồ thị nửa Hamilton là đồ thị có chứa một đường đi Hamilton Định nghĩa: a a d d b b c c g g a a d d b b c c e e f f a a b b e e c c d d G1 G2 G3 Một số ví dụ Đồ thị G1 là đồ thị Hamilton Đồ thị G2 là đồ thị nửa Hamilton Đồ thị G3 không có chu trình hay đường đi Hamilton Không giống như đồ thị Euler, chúng ta chưa có điều kiện cần và đủ để kiểm tra xem một đồ thị có là Hamilton hay không Cho đến nay chỉ có các điều kiện đủ để một đồ thị là đồ thị Hamilton hay có đường đi Hamilton. Chú ý: 1.Đồ thị đầy đủ luôn là đồ thị Hamilton. Với n lẻ và n ≥ 3 thì Kn có (n-1)/2 chu trình Hamilton đôi một không có cạnh chung. Định lý về đồ thị Hamilton: Đồ thị đầy đủ K4 2. Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, mỗi đỉnh có deg(v) ≥ n/2 thì G là đồ thị Hamilton (Dirak 1952) Định lý về đồ thị Hamilton: a a b b e e c c d d G 3. Giả sử G là đồ thị có hướng liên thông mạnh với n đỉnh. Nếu với mỗi đỉnh thuộc đồ thị thoả: deg+(v) ≥ n/2 và deg-(v) ≥ n/2 thì G là đồ thị Hamilton. Định lý về đồ thị Hamilton: Đồ thị G có hướng liên thông mạnh Ví dụ: Đồ thị G là đồ thị có hướng liên thông mạnh thỏa mãn các điều kiện trên  G là đồ thị Hamilton [...]...Định lý về đồ thị Hamilton (tt): 4 Đồ thị đấu loại: là đồ thị có hướng mà trong đó 2 đỉnh bất kỳ của nó được nối với nhau bởi đúng một cung a Mọi đồ thị đấu loại là nửa Hamilton b Mọi đồ thị đấu loại liên thông mạnh là Hamilton Đồ thị đấu loại D5 Đồ thị đấu loại liên thông mạnh D6 Định lý về đồ thị Hamilton (tt): 5 Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh với n ≥ 3 Nếu deg(v)... có đường đi Hamilton 6 Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh với n ≥ 3 Nếu deg(x)+deg(y) ≥n với mọi cặp đỉnh x,y không kề nhau của G thì G là đồ thị Hamilton b c e d a G 7 Đơn đồ thị vô hướng G gồm n đỉnh và m cạnh Nếu m ≥ (n2-3n+6)/2 thì G là đồ thị Hamilton Tìm chu trình Hamiloton của đồ thị: Cho tới nay, vẫn chưa tìm ra phương pháp với độ phức tạp đa thức để tìm chu trình cũng như đường đi Hamilton trong... làm việc với đồ thị có số cạnh nhỏ Bài tập 6 1 5 7 9 8 3 2 4 Đây có là đồ thị hamilton không? Một số bài toán có liên quan đến đồ thị Hamilton Bài toán mã đi tuần: Trên bàn cờ tổng quát n*n (n chẵn, 6≤n≤20), có đặt quân mã ở một ô nào đó Hãy tìm một hành trình của quân mã từ ô xuất phát, đi qua tất cả các ô đúng 1 lần XIN CẢM ƠN SỰ CHÚ Ý THEO DÕI CỦA THẦY VÀ CÁC BẠN NHÓM THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ: • Nguyễn... tìm chu trình Hamilton 1 5 2 4 1 X= 1 2 3 2 3 5 4 3 4 2 1 3 5 1 4 6 1 Chu trình Hamilton Nhận xét Với đồ thị có số cạnh lớn thuật tóan trên sẽ không thể đáp ứng hai yêu cầu: 1 Thời gian thực hiện: độ phức tạp của thuật toán trong trường hợp xấu nhất là O(n*m) (với n là số cạnh và m là số đỉnh của đồ thị) 2 Kích thước bộ nhớ: do thuật toán sử dụng là thuật toán quay lui nên việc xử lý đồ thị lớn sẽ gây... và giữa j và x[1] có cạnh nối thì xuất ra đồ thị Hamilton Nếu đỉnh j vẫn chưa phải là x[n] thì tiếp tục bước 2 Mã giả của thuật toán Procedure Hamilton( k); Begin for y ∈ Ke(X[k-1]) do if (k=n+1) and (y=v0) then ghinhan(X[1],…,X[n],v0) else if chuaxet[y] then begin X[k]:=y; chuaxet[y]:=false; Hamilton( k+1); chuaxet[y]:=true; end; End; Dữ liệu vào: (input) Đồ thị vô hướng G gồm 5 đỉnh và 6 cạnh 1 5 6... nay, vẫn chưa tìm ra phương pháp với độ phức tạp đa thức để tìm chu trình cũng như đường đi Hamilton trong trướng hợp đồ thị tổng quát Có thể sử dụng thuật toán quay lui để liệt kê chu trình Hamilton Cấu trúc dữ liệu Lưu trữ đồ thị đã cho dưới dạng danh sách kề Ke(v) Liệt kê các chu trình Hamilton thu được bằng việc phát triển dãy đỉnh (X[1],…,X[k-1]) Mô tả thuật toán: Bước 1: Bắt đầu đi từ đỉnh 1, x[1]:=1 . Chu trình Hamilton của đồ thị G1 là: a  b  c  d  e  a • Đồ thị Hamilton là đồ thị có chứa một chu trình Hamilton • Đồ thị nửa Hamilton là đồ thị có. xem một đồ thị có là Hamilton hay không Cho đến nay chỉ có các điều kiện đủ để một đồ thị là đồ thị Hamilton hay có đường đi Hamilton. Chú ý: 1 .Đồ thị đầy