SKKN CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chuyên đề: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIấN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ A.. Ứng dụng đạo hàm để khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số ”.. Ứng dụng đạo hàm để khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm

Chuyên đề:

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIấN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A MỞ ĐẦU

I ĐẶT VẤN ĐỀ.

Chương chỡnh mới sỏch giỏo khoa chuẩn lớp 12 đó đề cập đến bài toỏn khảo sỏt

hàm số trong “ Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm

số ” Đõy là một nội dung mà cỏc đề thi tốt nghiệp THPT, đại học, cao đẳng đó khai thỏc rất nhiều Số tiết mà chương trỡnh mới phõn phối cho “ Chương 1 Ứng dụng đạo hàm để khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số ” là 20 tiết, tuy nhiờn đa số cỏc em học sinh

vẫn cũn lỳng tỳng khi giải toỏn Chính vì vậy tôi đã lựa chọn chuyên đề này để một phần tháo gỡ khó khăn đó va giỳp học sinh cú một số phương phỏp để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

1 Cơ sở:

a Cơ sở lý luận:

Thụng qua cỏc dạng bài tập đó được phõn loại cựng với phương phỏp giải cỏc dạng bài tập đú Nhiệm vụ của đề tài này chỉ mong rằng sẽ góp phần giúp học sinh hình thành, củng cố và rèn luyện kỹ năng khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số Đó là các kỹ năng sau:

Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số dạng:

+) Hàm đa thức bậc ba: y = ax 3 +bx 2 + cx +d (a 0)

+) Hàm đa thức bậc bốn trựng phương : y=ax 4 +bx 2 +c (a 0)

+) Hàm phõn thức dạng : y = cx ax d b





(c 0 ,  ad bc 0 )

d c b a E

Để thành thạo cỏc phương phỏp khảo sỏt hàm số yờu cầu học sinh cần phải nắm chắc cỏc kiến thức:

- Định nghĩa của đạo hàm Tớnh được đạo hàm của cỏc dạng hàm số cần khảo sỏt

- Cỏc quy tắc tớnh đạo hàm

- Phương phỏp xột dấu của một biểu thức

- Phương phỏp xột tớnh đơn điệu, phương phỏp tỡm cực trị của hàm số

- Phương phỏp tỡm cỏc đường tiệm cận của hàm số

b cơ sở thực tiễn.

Tụi là một giỏo viờn cũn trẻ chưa cú nhiều kinh nghiờm trong giảng dạy, đa số cỏc

em học sinh chưa chỳ tõm lắm đến việc học, nhiều em cũn hổng cỏc kiến thức cũ, kỹ năng giải toỏn cũn yếu Thực tế qua cỏc kỳ thi tốt nghiệp THPT gần đõy tỉ lệ tốt nghiệp THPT của nhà trường về mụn toỏn cũn thấp Nờn tụi đưa ra chuyờn đề này nhằm nõng cao năng lực của mỡnh và giỳp cỏc em học sinh rốn luyện kỹ năng và cú một số phương phỏp để giải toỏn khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số

2 Mục tiêu cần đạt của chuyên đề

Với nhận định là lý do nêu trên, chuyên đề này sẽ đa ra phơng pháp giải các bài toán khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số một cách cụ thể, chi tiết, nhằm mục đích:

- Giúp học sinh phân loại từng dạng bài tập, từ đó áp dụng đúng phơng pháp giải

- Khắc sâu kiến thức cho học sinh

- Luyện tập những kỹ năng cơ bản trong việc giải toán

- Giới thiệu và cùng trao đổi với đồng nghiệp những kinh nghiệm được rút ra từ việc dạy(học) vấn đề này

3 Đối tượng ỏp dụng chuyờn đề

- Đối với giỏo viờn giảng dạy lớp 12

- Đối với học sinh lớp 12

B NỘI DUNG CHUYấN ĐỀ

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIấN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x 0 (a;b) nếu tồn tại giới hạn (Hữu hạn):

0

0 ) ( ) ( lim

x f x f

x



 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x)

tại x0 Ký hiệu:

0

0 ) ( ) ( lim '

x f x f y

x







2 Các quy tắc tính đạo hàm.

2.1 Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x))

 ( C )/ = 0 ( C là hằng số )

 ( x )/ = 1

 (xn) / = nxn - 1 với (n  2 ; nN)

 / 2

 



 

 

vớix 0

  x / 21

x

 với (x > 0)

 (un) / = nun – 1u/



2

 



 

  u / 2u/

u

x

2

1 với (x > 0)

2.2 Các qui tắc tính đạo hàm :

 u v / u/ v/

u v. / u v v u v/  / à ku / ku/

 , '. 2 '.

v

u v v u v















2.3 Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = f[u(x)]

 g x/  f u u x/  / .

3 Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

* Định lý: Cho hàm số : y  f (x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f' (x)  0 với mọi x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K.

b) Nếu f' (x)  0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K.

)

(

' x

f âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.)

* Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số:

- Tìm tập xác định

- Tính đạo hàm y ' f' (x) tìm các điểm x1;x2; ;x n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

- Sắp xếp các điểm x1;x2; ;x n theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên.

- Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

4 Phương pháp tìm cực trị của hàm số.

* Định lý Giả sử hàm số : y  f (x) liên tục trên khoảng K  (x0  h;x0 h) và có

đạo hàm trên K hoặc K \ x 0 , với h 0

a) Nếu f' (x)  0 trên khoảng (x 0 h;x0) và f' (x)  0 trên khoảng (x0;x0h) thì

0

x là một điểm cực đại của hàm số f (x)

b) Nếu f' (x)  0 trên khoảng (x 0 h;x0) và f' (x)  0 trên khoảng (x0;x0h) thì

0

x là một điểm cực tiểu của hàm số f (x)

(Chú ý: Nếu gọi K  (x0 h;x0 h) là một lân cận của điểm x0 thì ta phát biểu định

lý trên bằng lời như sau:

a Nếu f ' x( ) đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm x0 thì x0là một điểm cực đại của hàm số f (x).

b Nếu f ' x( ) đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm x0 thì x0là một điểm cực tiểu của hàm số f (x).)

* Bảng biến thiên minh họa định lý

a)

x x 0 -h x 0 x 0 +h

f’(x) +

-f(x)

f CĐ

b)

* Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số

- Tìm tập xác định

- Tính đạo hàm y ' f' (x) tìm các điểm x1;x2; ;x n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

- Sắp xếp các điểm x1;x2; ;x n theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên

- Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số

5 Phương pháp tìm đường tiệm cận.

5.1 Đường tiệm cận ngang.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn

( là khoảng dạng: (a;  ), (  ;b), (  ;  ))

Đường thẳng: y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít

nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

0 ) (

x





 ; lim f ( x ) y0

x







x x 0 -h x 0 x 0 +h f’(x) - + f(x)

f CT

5.2 Đường tiệm cận đứng.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn

( là khoảng dạng: (a;  ), (  ;b), (  ;  ))

Đường thẳng: x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít

nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:









)

(

lim

0

x

f

x



) (

lim 0

x

f

x x









) (

lim 0

x

f

x



) (

lim 0

x

f

x

6 Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai.

6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a 0)

- Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0 

a

b

x  

- Bảng xét dấu:

) 0 ( )







ax bx c a

x

f

- Giải phương trình: ax2 bxc 0 (*)

+ Nếu phương trình (*) vô nghiệm (   0 ) thì f(x) luôn cùng dấu a

+ Nếu phương trình (*) có nghiệm kép (   0 )

a

b x

x

2

2

1    thì f(x) luôn cùng

2

a

b

+ Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (   0 )giả sử hai nghiệm đó là

2

1; x

x và x 1 x2 thì ta có bảng xét dấu:

f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

7 Sơ đồ khảo sát hàm số.

* Tìm tập xác định của hàm số.

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

+) Tính đạo hàm y ' f' (x) tìm các điểm x1 ;x2 ; ;x n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định Xét dấu đạo hàm y ' f' (x)

+) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số

- Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của y' )

x  

a

b

 

f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a

- Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của hàm số; tìm đường tiệm cận nếu có)

- Lập bảng biến thiên của hàm số

* Đồ thị:

- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành

- Tính thêm một số điểm đặc biệt

- Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị Tính tuần hoàn của hàm số

II KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC.

1 Khảo sát hàm đa thức bậc ba: ( Dạng y = ax 3 +bx 2 + cx +d (a 0) )

1.1 Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax 3 +bx 2 + cx +d (a 0)

* Tập xác định: D  R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: Tính y'

Giải phương trình: y'  0 xét dấu y' đưa ra chiều biến thiên của hàm số

- Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y' )

- Tính các giới hạn: xlim y và xlimy

Chú ý

-Lập bảng biến thiờn:

* Đồ thị:

- Xỏc định cỏc yếu tố đó biết trờn trục tọa độ Oxy

- Tỡm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tỡm y

- Tỡm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trỡnh

0

2 3







ax Tỡm x ( Nếu giải phương trỡnh khú quỏ ta khụng cần thực hiện

bước này)

- Tỡm tõm đối xứng của đồ thị: tớnh y’’ giải phương trỡnh y’’ = 0 tỡm nghiệm x I và tớnh y  I f(x I) điểm I(x I;y I) là tõm đối xứng của đồ thị.

- Lấy thờm một vài điểm (nếu cần)

- Vẽ đồ thị

1.2 Cỏc vớ dụ.

Vớ dụ 1: Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số: y = x 3 + 3x 2 – 4

* Tập xỏc định: D  R

* Sự biến thiờn:

- Chiều biến thiờn: y' 3x2 6x





Giải phương trỡnh: y'  0 3 2 6 0

















2

0

x x

Dấu của y’

Đồ thị hàm số đồng biến trờn khoảng: (  ;  2 )  ( 0 ;  )và nghịch biến trờn khoảng (- 2; 0)

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2  yCĐ = y(-2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0  yCT = y(0) = -4

* Nếu a > 0 



















lim y ax3 bx2 cx d

x x



















lim y ax3 bx2 cx d

x x

* Nếu a < 0 







lim y ax3 bx2 cx d

x x







lim y ax3 bx2 cx d

x x

- Giới hạn:

















x







lim y x3 x2

x x

- Bảng biến thiên:

y

-

0

-4

+



* Đồ thị:

- Giao điểm với Oy:

Cho x = 0  y = -4

- Giao với Ox:

Cho y = 0 giải phương trình:

x 3 + 3x 2 – 4 = 0  









 2

1

x x

- Tâm đối xứng của đồ thị:

6 6

0 6

6x 

x = -1 y = -2

Bảng giá trị:

x -3 1

y -4 0

y

1 -1

-2

O 1

-1 -2

-2

-3

-4

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 3x + 2

* Tập xác định: D  R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: ' 3 2 6 3





 x x y

Giải phương trình: y'  0  3 2 6 3 0





x1 x2   1

y’ > 0 với mọi giá trị của x và y’(-1) = 0  Hàm số luôn đồng biến trên D

- Hàm số không có cực trị

- Giới hạn:







x







x x

- Bảng biến thiên:



-

1

+



* Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0  y = 2

- Tâm đối xứng của đồ thị: y '  6x 6  y'  ' 0  6x 6  0

x = -1  y =1

- Bảng giá trị

x -2 -3

y 0 -7

-Vẽ đồ thị

x y

O 1 2

-1

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x 3 + 3x 2 - 4x +2

* Tập xác định: D  R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: ' -3x 2 6x - 4





y

Giải phương trình : y’= 0  -3x 2 +6x – 4 = 0  Phương trình vô nghiệm

 y’< 0 x  D  Hàm số luôn nghịch biến trên D

- Hàm số không có cực trị

- Giới hạn







x







x x

- Bảng biến thiên:



y’

-y

+

-

* Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0  y = 2

- Tâm đối xứng của đồ thị: y '   6x 6  y'  ' 0   6x 6  0

x = 1  y =0

- Bảng giá trị:

- Vẽ đồ thị:

-4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

O

1.3 Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y = ax 3 +bx 2 + cx +d (a 0).

Phương trình

y’ = 0

có hai nghiệm

phân biệt

x y

O

x y

O

Phương trình

y’ = 0

có nghiệm

kép

x

O

x y

O

Phương trình

y’ = 0

vô nghiệm

x y

O

x y

O

2 Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương(dạng: Hµm sè y = ax 4 +bx 2 + c

(a0))))

2.1 Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax 4 +bx 2 + c (a0))))

* Tập xác định: D  R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: Tính y'

Giải phương trình: y'  0 xét dấu y' đưa ra chiều biến thiên của hàm số

- Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y' )

- Tính các giới hạn: xlim y và xlimy

Chú ý

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số







lim y ax4 bx2 c

x

- Lập bảng biến thiên:

* Đồ thị:

- Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y

- Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình

0

2

4 bx c

ax Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực hiện bước

này)

2.2 Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’

* Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x0 ta có bảng xét dấu của y’ như sau:

0

+

y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a

*Nếu phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt là x1; x2 ; x3

(giả sử: x1< x2 < x3 ) ta có bảng xét dấu của y’ như sau:

1

x

2

x

3

+

y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

2.3 Các ví dụ:

Ví dụ 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x 4 - 2x 2 + 2

* Tập xác định: D  R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: ' 4x 3 4x





y'  0  4x 3 4x 0



  4x(x 2 - 1) = 0  







 0

1

x

x

Bảng dấu của y’:

Đồ thị hàm số đồng biến trên khoảng: (-1; 0)  (1;  )

và nghịch biến trên khoảng: (-  ; - 1)  (0; 1 )

- Hàm số đạt cực đại tại: x = 0  y CĐ  2

- Hàm số đạt cực tiểu tại: x  1  y CT  1

- Giới hạn:

















lim y x4 x2

x







lim y x4 x2

x x

x - -1 0 1 +

y’ - 0 + 0 - 0 +

y + 2 +

1 1

* Đồ thị:

Giao với trục tung:

Cho x = 0  y = 2

Giao với trục hoành:

Cho y = 0 giải phương trình

0 2

2 2

4





x

Đặt : t  x2 (t0)

Ta có phương trình:

0 2 2

2





 t

trình vô nghiệm (không có

giao điểm với trục hoành)

-1

1 2 3 4

x y

Ví dụ 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:y=

-2

4

x

-x2 +23

* Tập xác định: D  R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: ' - 2 x 3 2x -2x(x 2 1 )









y

0 0

) 1 -2x(x 0











-Hàm số đồng biến trên (-;0) và nghịch biến trên (0; +)

- Hàm số đạt cực đại tại x = 0

2

3



 y CĐ ; hàm số không có cực tiểu









) 2

3 2

( lim

x x

- Bảng biến thiên:

2

O

* Đồ thị:

- Giao với trục tung: cho x = 0  y=

2 3

Giao với trục hoành: cho y = 0 giải phương trình:

-2

4

x -x2+23 = 0

0 3 2

4   

 x x đặt t  x2 (t0)Ta có phương trình:

2 2 3 0





 t











) ( 3

1

loai t

t







- Bảng giá trị:

x -2 2

21



2

21



- Vẽ đồ thị

-2 -1

1 2 3

x y

O 3/2

2.4 Các dạng của đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax 4 +bx 2 + c (a0)))

Phương trình

y’ = 0

có ba nghiệm

phân biệt

x y

O

x y

O

Phương trình

y’ = 0

có một

nghiệm

x

O

x

O

3 Khảo sát hàm phân thức dạng: y cx ax d b





 c 0 ,ad bc 0

3.1 Sơ đồ khảo sát hàm số dạng: y cx ax d b





   ,0  bc 0 

d c

* Tập xác định:

















c

d R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: ' (cx d) 2

E y





+) Nếu E > 0  y'  0 x  D  Hàm số luôn đồng biến trên D

+) Nếu E < 0  y'  0 x  D  Hàm số luôn nghịch biến trên D

- Hàm số không có cực trị

- Giới hạn và tiệm cận: ( tính các giới hạn khi x và   

c

d

x ;   

c

d

c

a d cx

b ax y

x













lim

c

a

y 

Tính giới hạn 





c d x

y

lim

và 





c d x

y

lim

( dựa vào bảng biến thiên)

Tiệm cận đứng: x  d c

- Bảng biến thiên:

x -

c

d

y

c a

+

-

c a

x -

c

d



a

-

+

c a

* Đồ thị:

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y

- Tìm giao điểm của đồ thị với trục hồnh: cho y =0 Giải phương trình:

 0





d cx

b ax

- Vẽ một nhánh của đồ thị nhánh cịn lại lấy đối xứng qua tâm I(

c

d

c

a

) là giao của hai đường tiệm cận

3.2 Các ví dụ.

Ví dụ 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = 2x x14

* Tập xác định: DR\   1 

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: ( 1 ) 2

2 '





x

y > 0 x  D  Hàm số đông biến trên D

- Cực trị : Không có

- Giới hạn và tiệm cân :

2





x

y và lim   2





x

y  đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thị













limy và

1

lim

x

y  đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị

- Bảng biến thiên :

y -2

+

-

-2

* Đồ thị:

- Vẽ tiệm cận đứng: x = -1 và tiệm cận ngang: y=-2