Luận văn thạc sĩ số ramsey

Chẳng hạn, có thể dùng đồ thị để biểu diễn sự cạnh tranh của các loài trong một môi trườngsinh thái, để biểu diễn ai có ảnh hưởng lên ai trong một tổ chức nào đó, để biểu diễn các kết cụ

LƯU NGỌC HOÀN

SỐ RAMSEY

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯU NGỌC HOÀN

SỐ RAMSEY

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ

THÁI NGUYÊN - 2015

1 Lý thyết đồ thị 6

1.1 Các khái niệm cơ bản 6

1.1.1 Đồ thị có hướng-Đồ thị vô hướng 7

1.1.2 Hành trình, đường, chu trình, vết và mạch 10

1.1.3 Tính liên thông 14

1.1.4 Cây 15

1.2 Một vài đồ thị đặc biệt 17

1.2.1 Đồ Thị Euler 17

1.2.2 Đồ thị Hamilton 20

1.2.3 Đồ thị phẳng 22

1.3 Bài toán tô màu 25

1.3.1 Định lý bốn màu 28

1.3.2 Tô màu đỉnh 29

1.3.3 Tô màu cạnh 30

1.3.4 Một vài bài toán vận dụng 30

2 Lý thuyết số Ramsey 33 2.1 Nguyên lý Dirichlet 33

2.1.1 Nguyên lý lồng-chim 33

1

2.1.2 Một vài ví dụ ứng dụng 34

2.2 Khái niệm số Ramsey 43

2.2.1 Bậc của đỉnh đồ thị 43

2.2.2 Số Ramsey và số chặn 44

2.3 Một vài vận dụng 52

2.3.1 Lý thuyết Ramsey trong Hình học 52

2.3.2 Tồn tại tam giác cùng màu 55

Bài toán sử dụng k màu để tô dãy số nguyên dương từ 1 đến n với n

đủ lớn đạt được dãy số cùng màuu1, u2, , ur thỏa mãn ur =

r−1

P

i=1

ui đãđược I Schur chứng minh vào năm 1916 Kết quả ấy được coi như viêngạch đầu tiên để dẫn đến định lý tổng quát được Frank Ramsey (1902-1930) chứng minh vào năm 1928 Kết quả của F Ramsey với nhiều dạng

mở rộng đã được ứng dụng không chỉ trong tổ hợp, đồ thị mà còn trongnhiều lĩnh vực khác chẳng hạn như Đại số, Hình học, Lý thuyết tậphợp,v.v Vậy, bài toán đặt ra bởi F Ramsey là gì?

Ramsey xét bài toán chia tập hợp các cạnh của một đồ thị đầy đủ vàohai ngăn kéo bằng cách tô màu tất cả các cạnh đồ thị bởi hai màu đen

và trắng Ông khẳng định rằng, với mỗi cặp số nguyên dương p và q

luôn tồn tại một số nguyên dương n sao cho với mọi cách tô các cạnhcủa đồ thị đầy đủ Kn bởi hai màu nói trên hoặc ta sẽ được một đồ thịđầy đủ Kp màu đen hoặc một đồ thị Kq màu trắng Số nguyên nhỏ nhất

nở đây thường được ký hiệu bởi R(p, q) hoặc N (p, q) Chỉ trong nhữngtrường hợp đặc biệt hoặc giá trị nhỏ của sốp, q ta có thể xác định chínhxác giá trị N (p, q) Trong phần lớn các trường hợp khác ta chỉ có thểđưa ra cận trên hoặc cận dưới của N (p, q) mà thôi

Vấn đề tìm hiểu số Ramsey và vận dụng chúng trong công việc giảng

3

dạy, dạy học sinh chuyên toán và tự đào tạo là cần thiết Do vậy, chúngtôi đã tập trung nghiên cứu lý thuyết đồ thị, nguyên lý Dirichlet và lýthuyết Ramsey trong luận văn của mình.

Luận văn được chia ra làm 2 chương

Chương 1 tập trung trình bày về lý thuyết đồ thị gồm 3 mục Mục1.1 tập trung trình bày những khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị.Mục 1.2 được dành để trình bày về những đồ thị hay tính chất đặc biệtnhư Đồ thị Euler, Đồ thị Hamilton Mục 1.3 được dành để giới thiệu bàitoán tô màu như: tô màu đỉnh, tô màu cạnh, tô màu đồ thị phẳng.Chương 2 tập trung trình bày về nguyên lý Dirichlet và lý thuyếtRamsey gồm 3 mục Mục 2.1 tập trung trình bày nguyên lý Dirichlet

và một vài ví dụ áp dụng Đây là kỹ thuật để chứng minh một vài kếtquả trong lý thuyết Ramsey Mục 2.2 được dành để trình bày lý thuyếtRamsey Chúng tôi cũng đã chứng minh một vài số chặn trên hoặc chặndưới của số N (p, q) Mục 2.3 được dành để giới thiệu một vài mở rộng

và xét bài toán Ramsey trong hình học

Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn chân thành đến ngườithầy, người hướng dẫn khoa học PGS TS Đàm Văn Nhỉ về sự giúp đỡchu đáo, chỉ bảo tận tâm của thầy trong suốt quá trình hoàn thành luậnvăn

Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành bản luận văn,tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ của các thầy, cô giáo, cán

bộ nhân viên của Phòng đào tạo sau đại học và quan hệ quốc tế trườngĐại học khoa học - Đại học Thái Nguyên

các chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi khu vực duyên hải NamTrung bộ và Tây nguyên và Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tổ hợp - rờirạc nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội.

Thái Nguyên ngày 15 tháng 04 năm 2015

Lưu Ngọc Hoàn

Lý thyết đồ thị

1.1 Các khái niệm cơ bản

Lý thuyết đồ thị là một ngành khoa học đã được phát triển từ lâunhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại Những ý tưởng cơ bản của nóđược đưa ra từ thế kỷ IIXX bởi nhà toán học Leonhard Euler, ngườiThụy sĩ Ông là người đã sử dụng đồ thị để giải quyết nhiều bài toánnổi tiếng

Đồ thị, hoặc Graph, là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và cáccạnh nối các đỉnh đó Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính và sốcác cạnh nối các cặp đỉnh của đồ thị Nhiều bài toán thuộc lĩnh vực rấtkhác nhau có thể giải quyết được qua đồ thị Chẳng hạn, có thể dùng

đồ thị để biểu diễn sự cạnh tranh của các loài trong một môi trườngsinh thái, để biểu diễn ai có ảnh hưởng lên ai trong một tổ chức nào đó,

để biểu diễn các kết cục của cuộc thi đấu thể thao; cũng có thể dùng

đồ thị để giải các bài toán như tính số các tổ hợp khác nhau của cácchuyến bay giữa hai thành phố trong một mạng hàng không hoặc tìm

số các màu cần thiết để tô các vùng khác nhau của một bản đồ

6

Chúng ta bắt đầu lý thuyết đồ thị bằng một số khái niệm cơ bản sau:Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị có hướng G, (digraph), là một cặp cóthứ tự G = (V, E), trong đó V là một tập và E là một tập con của tíchCarte V × V, tức là E là một quan hệ hai ngôi trên V Các phần tửthuộc V được gọi là các đỉnh, còn các phần tử thuộc E được gọi là cáccung của đồ thị có hướng G.

Nếu (a, b) ∈ E thì (a, b) còn được gọi là một cung của G với đỉnhđầu là a, đỉnh cuối b và hướng đi từ a tới b Để có hình ảnh trực quan,người ta thường biểu diễn đồ thị có hướng G trên mặt phẳng như sau:Các đỉnh của G được biểu diễn bằng các vòng tròn nhỏ, còn các cungthì được biểu diễn bằng các đường cong nối đỉnh đầu với đỉnh cuối và

có mũi tên hướng từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối

Ví dụ 1.1.2 Cho đồ thị G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e, f } và E ={(a, a), (a, b), (b, d), (d, b), (e, a)} Khi đó G là một đồ thị có hướng

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng Nếu (a, b) ∈ E thì ta nóicác đỉnh a và b là liên thuộc với cung (a, b) Khi đó a và b cũng đượcgọi là kề nhau Hai cung bất kỳ của G được gọi là kề nhau nếu chúng

có đỉnh chung Cùng dạng (a, a) với a ∈ V được gọi là khuyên Đỉnhkhông liên thuộc với một cung nào được gọi là đỉnh độc lập của G; Sốcác đỉnh của G, tức là |V |, được gọi là cấp của G Số các cung của G,

tức là |E|, được gọi là cỡ của G

Hình 1.1: Ví dụ một đồ thị có hướng.

Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G =(V, E), trong đó V là một tập và E là tập với các phần tử là các đatập lực lượng 2 trên V Các phần tử thuộc V cũng được gọi là các đỉnh,còn các phần tử thuộc E được gọi là các cạnh của đồ thị vô hướng G.Nếu e = {a, b} là một cạnh của G thì a và b được gọi là các đỉnh đầumút của cạnhe hay các đỉnh liên thuộc với e Đôi khi ta thường ký hiệucạnh {a, b} ngắn gọn là ab

Người ta cũng thường biểu diễn đồ thị vô hướng trên mặt phẳngtương tự như ta biểu diễn đồ thị có hướng: các đỉnh của đồ thị đượcbiểu diễn bằng các vòng tròn nhỏ và các cạnh thì được biểu diễn bằngmột đường cong nối các đỉnh của cạnh Điểm khác biệt ở đây là không

có mũi tên chỉ hướng trên các đường cong đó

Ví dụ 1.1.4 Cho đồ thị G = (V, E) với V = {a, b, c, d} và E ={(a, a), (a, b), (a, d), (b, c), (c, d)} Khi đó G là một đồ thị vô hướng và

Hình 1.2: Hình ví dụ một đồ thị vô hướng.

Đồ thị có hướng ở được định nghĩa ở trên cũng thường được gọi làđơn đồ thị có hướng, lý do là vì với hai đỉnh a và b bất kỳ tồn tại duynhất một cung với đỉnh đầu làa và đỉnh cuối làb Với lý do tương tự, đồthị vô hướng được định nghĩa ở trên cũng thường được gọi là đơn đồ thị

vô hướng Tuy nhiên, trong một số ứng dụng ta cần có nhiều cung vớicùng đỉnh đầu và cùng đỉnh cuối hay cần nhiều cạnh cùng liên thuộc vớihai đỉnh đã cho Vì vậy người ta đưa ra khái niệm đa đồ thị có hướng

và đa đồ thị vô hướng

Đôi khi có nhiều cạnh nối hai đỉnh trong một đồ thị Chẳng hạn,trong một trường học mỗi người được xem như một đỉnh và đường nốigiữa hai người là máy tính, điện thoại bàn, điện thoại di động, v.v Như vậy, thay cho đồ thị với mỗi cặp đỉnh chỉ một cạnh nối bằng một

đồ thị với nhiều cạnh khác nhau nối hai đỉnh

Định nghĩa 1.1.5 Một đa đồ thị G là một cặp có thứ tự G = (V, E)

với tập V, tập các cạnh E và ánh xạ f từ E lên {{a, b}|a, b ∈ V, a 6= b}

Các cạnh e1 và e2 được gọi là song song hay cạnh bội nếu f (e1) = f (e2)

Đa đồ thị có hướng cũng được định nghĩa tương tự và được biểu diễntrên mặt phẳng tương tự như đồ thị có hướng, trong đó các cung cócùng đỉnh đầu và đỉnh cuối phải được biểu diễn bằng các đường congkhác nhau Tương tự, một đa đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự

G = (V, E), ở đây V là một đa đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự

G = (V, E), ở đây V là một tập, còn E là một đa tập với các phần tửđều là đa tập lực lượng 2 trên V, trong biểu diễn trên mặt phẳng của đa

đồ thị vô hướng, các cạnh khác nhau nhưng có các đỉnh đầu mút nhưnhau phải được biểu diễn bằng các đường cong khác nhau

1.1.2 Hành trình, đường, chu trình, vết và mạch

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng Mộthành trình có hướng trong G là một dãy v0e1v1e2v2 envn sao cho vớimọi i = 0, 1, , n có vi ∈ V, còn với mọi i = 0, 1, 2, , n có ei ∈ E

và ei = (vi−1, vi) Khi đó n được gọi là độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnhđầu, còn vn gọi là đỉnh cuối của hành trình có hướng trên

Tương tự, một hành trình vô hướng trongGlà một dãyv0e1v1e2v2 envn

sao cho với mọi i = 0, 1, , n có vi ∈ V, còn với mọi i = 0, 1, 2, , n có

ei ∈ E và hoặc ei = (vi−1, vi) hoặc ei = (vi, vi−1) Khi đó n được gọi là

độ dài, đỉnh v0 được gọi là đỉnh đầu, còn vn được gọi là đỉnh cuối củahành trình trên Một hành trình (có hướng, vô hướng) được gọi là khép

Ví dụ 1.1.7 Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng (hình 6.2 trang115) Khi đó

(1) v1e1v2e9v6e6v5e7v2e2v3 là một hành trình có hướng với đỉnh đầu là

Hình 1.3: Dùng để minh họa cho hành trình trong đồ thị.

Trong trường hợp hành trình có hướng, mỗi cung ei đều có đỉnh đầu

là đỉnh đứng trước và đỉnh cuối là đỉnh đứng sau ei trong dãy, tức là nó

được xác định bởi chính hai đỉnh đó Vì vậy người ta thường đơn giảngọi dãy các đỉnh v0v1v2 vn của G là hành trình có hướng trong G nếuvới mọi i = 0, 1, n − 1, (vi, vi+1) là một cung của G.

Tình huống sẽ hơi khác với trường hợp hành trình vô hướng Nếutrong G, giữa hai đỉnh vi và vj có cả hai cung là e1 = (vi, vj) và e2 =(vi, vj) thì hai dãy con vie1vj và vie2vj là hai đoạn khác nhau tronghành trình Vì thế, cung giữa vi và vj cần được chỉ ra cụ thể Tuy nhiênnên trong G chỉ có một cung giữa vi và vj hoặc là (vi, vj) (hoặc (vj, vi)

nhưng không đồng thời cả hai), thì cung giữa hai đỉnh đó cũng đượcxác định duy nhất trongG bởi vi và vj Do đó để đơn giản ta cũng thayđoạn vie1vj với e1 = (vi, vj) hay vie2vj với e2 = (vi, vj) của hành trìnhbằng vi, vj

Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng), trong đó các đỉnhđều khác nhau được gọi là một đường có hướng (tương ứng, vô hướng).Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng), trong đó các cung đềukhác nhau được gọi là một vết có hướng (tương ứng, vô hướng) Mộthành trình có hướng (tương ứng, vô hướng ) khép kín, mà khi xóa đỉnhcuối thì trở thành một đường có hướng (tương ứng, vô hướng), được gọi

là một chu trình có hướng (tương ứng, vô hướng) khép kín, trong đócác cung đều khác nhau, được gọi là một mạch có hướng (tương ứng, vôhướng)

Trên đây ta đã đưa ra các định nghĩa của hành trình, đường, chutrình, vết và mạch (có hướng, vô hướng) trong đồ thị có hướng Các

dụ mọi i = 0, 1, 2, n − 1, và (vi, vi+1) là một cạnh của G Các cạnh

(vivi+1), i = 0, 1, 2, n − 1, cũng được gọi là các cạnh của hành trình

v0v1v2 vn Khi đó n được gọi là độ dài, v0 được gọi là đỉnh đầu, còn vn

gọi là đỉnh cuối của hành trình trên Một hành trình được gọi là khépkín nếu đỉnh đầu và đỉnh cuối của nó trùng nhau Một hành trình đượcgọi là một đường nếu các đỉnh của hành trình đó đều khác nhau Mộthành trình được gọi là vết nếu các cạnh của hành trình đó đều khácnhau Một hành trình khép kín được gọi là chu trình, nếu nó có độ dài

ít nhất là 3 và khi xóa đi đỉnh cuối thì trở thành đường Một hành trình

khép kín được gọi là mạch nếu mọi cạnh của nó đều khác nhau.

1.1.3 Tính liên thông

Nhiều bài toán có thể được mô hình với các đường đi dọc theo cáccạnh của đồ thị Nhưng cũng có mô hình mà tồn tại hai đỉnh không cóđường nối chúng Do vậy, chúng ta sẽ xét tới tính liên thông của đồ thị.Định nghĩa 1.1.8 Một đồ thị G = (V, E) được gọi là liên thông nếuvới hai đỉnh vi và vj khác nhau bất kỳ của G luôn luôn tồn tại mộtđường đi nối hai đỉnh ấy Trong trường hợp ngược lại, đồ thị được gọi

là không liên thông Đồ thị con liên thông G0 = (V0, E0) của đồ thị (cóhướng, vô hướng) G = (V, E) được gọi là một thành phần liên thôngcủa G nếu G0 = G[V0] và với mọi V00 ⊆ V, mà thực sự chứa V0, đồ thị

G[V00] là không liên thông

Hình 1.5: Đồ thị G với thành phần liên thông G1 và G2

Ví dụ 1.1.9 Đồ thị có hướngG = (V, E) cho trong hình là đồ thị khôngliên thông Nó có hai thành phần liên thông là G1 và G2.

Đối với đồ thị có hướng ngoài kiểu liên thông định nghĩa ở trên người

ta còn định nghĩa kiểu liên thông một chiều kiểu liên thông mạch nhưsau

Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông một chiều, nếuvới hai đỉnh khác nhau bất kỳvi và vj, tồn tại một hành trình có hướngvới đỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj hoặc một hành trình có hướng vớiđỉnh đầu là vj và đỉnh cuối là vi (hoặc cả hai hành trình đó)

Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thông mạch, nếu với haiđỉnh bất kỳ khác nhau vi và vj, luôn tồn tại cả hành trình có hướng vớiđỉnh đầu là vi và đỉnh cuối là vj, và hành trình có hướng với đỉnh đầu

Hình 1.6: Ví dụ một rừng gồm 4 cây.

Các đỉnh bậc 1 của cây được gọi là đỉnh lá hay đỉnh cuối, còn cácđỉnh bậc lớn hơn 1 của cây được gọi là cành hay đỉnh trong

Cấu trúc cây được mô tả bởi định lý sau đây

Định lý 1.1.11 (Định lý móc xích kiểu hoa cúc) Giả sử T =(V, E) là đồ thị vô hướng không có khuyên Khi đó các khẳng định sauđây là tương đương nhau:

(a) T là cây;

(b) T không chứa chu trình và |E| = |V | − 1;

(c) T liên thông và |E| = |V | − 1;

(d) T là đồ thị liên thông, nhưng nếu xóa đi một cạnh bất kỳ thì đồ thịnhận được là không liên thông;

(e) Hai đỉnh khác nhau bất kỳ của T được nối với nhau bởi đúng mộtđường;

không kề nhau trong T thì đồ thị nhận được có đúng một chu trình.

1.2 Một vài đồ thị đặc biệt

1.2.1 Đồ Thị Euler

Một vết trong đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là vết Euler nếu

nó chứa tất cả các cạnh của G Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi

là đồ thị nửa Euler nếu nó có một vết Euler

Hình 1.7: Ví dụ đồ thị không nửa Euler, nửa Euler và Euler.

Một mạch trong đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là mạch Eulernếu nó chứa tất cả các cạnh của đồ thị G Đồ thị vô hướng G = (V, E)

được gọi là đồ thị Euler nếu nó có một mạch Euler

Nếu một đồ thị vô hướng là đồ thị Euler thì hiển nhiên nó cũng là

đồ thị nửa Euler

Ví dụ 1.2.1 Trên hình đồ thị G1 không là đồ thị nửa Euler, đồ thị G2

là đồ thị nửa Euler nhưng không là Euler, còn đồ thị G3 là đồ thị Euler.Dưới đây ta sẽ gọi đồ thị vô hướng G là không tầm thường nếu

(a) Hiển nhiên rằng nếu đồ thị vô hướng liên thông không tầm thường

G = (V, E) là đồ thị Euler thì mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn Thậtvậy, chẳng hạn nếu x1x2 xnx1 là mạch Euler trong G và đỉnh x xuấthiện k lần trong mạch đó, thì số cạnh trong G liên thuộc với x là 2k vìvậy, deg(x) = 2k + 2 nếu {x, x} ∈ E Trong cả hai trường hợp deg(x)

chẵn

Ngược lại, giả sử mọi đỉnh của G = (V, E)đều có bậc chẵn Ta chứngminh rằng G là đồ thị Euler bằng qui nạp theo |E| Dễ kiểm tra thấyrằng nếu G là đồ thị thỏa mãn các điều kiện đã nêu với số cạnh |E| ítnhất, thì |E| = 3 và G là chu trình độ dài 3 Khi đó G hiển nhiên cũng

là đồ thị Euler Bây giờ giả sử G = (V, E) là một đồ thị vô hướng liênthông không tầm thường bất kỳ, trong đó mọi đỉnh đều có bậc chẵn Tacũng giả thiết rằng mọi đồ thị vô hướng liên thông không tầm thường

G0 = (V0, E0 trong đó mọi đỉnh đều có bậc chẵn và |E|0 < |E| đều đã

rằng G có chứa các mạch.

Giả sử C là mạch trong Gcó nhiều cạnh nhất Ta cũng giả thiết rằng

C không là mạch Euler Vì G liên thông, C chứa đỉnh x mà thuộc mộtthành phần liên thông không tầm thường H của G − E(C), ở đâyE(C)

là tập các cạnh của C Mỗi đỉnh của H đều có bậc chẵn trong H và sốcạnh của H nhỏ hơn số cạnh của G Theo giả thiết qui nạp, H có mộtmạch Euler D Các mạch C và D có các tập các cạnh rời nhau và cóđỉnhx là đỉnh chung Vì thế ta có thể ghép hai mạch đó lại với nhau tại

x để tạo ra một mạch F với số cạnh nhiều hơn số cạnh của C: ta cho

F xuất phát từ điểm x và đi theo các cạnh đến khi gặp lại x trong C;tiếp tục ta đi theo các cạnh của D và cuối cùng dừng lại tại x ở lần gặp

x cuối cùng trong D Ta nhận được mâu thuẫn với giả thiết rằng C làmạch có số cạnh nhiều nhất trong G Vậy C phải là mạch Euler

(b) Giả sử G = (V, E) là đồ thị vô hướng liên thông có vết Euler.Khi đó cũng như ở (a) ta có thể chứng minh được rằng mọi đỉnh z khácđỉnh đầu và đỉnh cuối của vết Euler đó đều có bậc chẵn Vì vậy, G cónhiều nhất hai đỉnh bậc lẻ Nếu G không có đỉnh bậc lẻ thì theo (a) G

có mạch Euler Do đó nó cũng có vết Euler Bây giờ giả sử G có haiđỉnh bậc lẻ là x và y Kí hiệu bằng G∗ đồ thị nhận được từ G bằng cáchthêm vào nó đỉnh u /∈ V và các cạnh {u, v}, {u, y} /∈ E Khi đó, mọiđỉnh củaG∗ đều có bậc chẵn Vì vậy theo (a),G∗ có mạch Euler Khi đó

dễ thấy rằng C∗ − u là vết Euler trong G

1.2.2 Đồ thị Hamilton

Một đường trong đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là đườngHamilton nếu nó chứa tất cả các đỉnh củaG Đồ thị vô hướngG = (V, E)

được gọi là đồ thị nửa Hamilton nếu nó có một đường Hamilton

Một chu trình trong đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi làmột chu trình Hamilton nếu nó chứa tất cả các đỉnh của G Đồ thị vôhướng G = (V, E) được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó có một chu trìnhHamilton

Hình 1.8: Đồ thị không nửa Hamilton, nửa Hamilton, và Hamilton.

Nếu một đồ thị vô hướng là đồ thị Hamilton thì hiển nhiên nó cũng

là đồ thị nửa Hamilton

Định lý 1.2.3 (Posa, 1962) Giả sử đồ thị vô hướng G = (V, E)

có n ≥ 3 đỉnh Nếu với mỗi k thỏa mãn 1 ≤ k ≤ (n − 1

2 ) , số các

đỉnh v thỏa mãn deg(v) ≤ k, nhỏ hơn k và với n lẻ số các đỉnh v với

Định lý 1.2.4 (Ore, 1960) Nếu đồ thị vô hướng G = (V, E) có cấp

n ≥ 3 và deg(u) + deg(v) ≥ n thỏa mãn cho mọi cặp đỉnh không kềnhau u và v của G, thì G là đồ thị Hamilton

Chứng minh: Giả sử định lý không đúng và G = (V, E) có cỡ cựcđại cấp n thỏa mãn các điều kiện của định lý, nhưng không là đồ thịHamilton Dễ thấy rằng thêm một cạnh bất kỳ vào một đồ thị có nhữngtính chất chỉ ra trong định lý 1.2.4 sẽ tạo ra một đồ thị cũng có tínhchất ấy Vì G là đồ thị không là Hamilton cấp n có cỡ cực đại thỏa mãncác điều kiện của định lý 1.2.4, nên đồ thị nhận được khi thêm vào G

một cạnh bất kì nối hai đỉnh không kề nhau trong G là đồ thị có chutrình Hamilton cạnh thêm đó Suy ra, hai đỉnh bất kỳ không kề nhautrong G được nối với nhau bằng một đường Hamilton

Vì G không là đồ thị Hamilton ≥ và đồ thị đầy đủ Kn với n ≥ 3

đỉnh là đồ thị Hamilton, nên G 6= Kn Do đó tồn tại hai đỉnh không kềnhau trong G, chẳng hạn v1 và vn Theo khẳng định vừa chứng minh

ở đoạn trên, tồn tại trong G đường Hamilton nối v1 với vn, chẳng hạn

v1v2 vn

Kí hiệu các đỉnh kề với v1 bằng vi1vi2, , vik ở đây k = deg(v1)

và 2 = i1 ≤ i2 ≤ ≤ ik Hiển nhiên là vn không thể kề với mộtđỉnh nào của G dạng vij−1 bởi vì khi đó G sẽ có chu trình Hamilton là

v1v2 vij−1vnvn−1 vijv1

Hình 1.9: Đồ thị phẳng và đồ thị không phẳng.

Do đó nếu kí hiệu N (v1) = {vij ∈ |V |j = 1, 2, , k}, N∗(vn) ={vi+1 ∈ V |vi 6= vn} và {vi, vn} ∈ E thì N (v1) ∩ N+(vn) = Φ

Vì thế,n ≤ deg(v1) + deg(vn) ≤ k + (n − 1 − k) = n − 1 (mâu thuẫn).Định lý 1.2.5 (Dirac 1952) Nếu đồ thị vô hướng G = (V, E) có cấp

n ≥ 3 và với mọi v ∈ V , deg(v) ≤ n

2 = n Suy ra, G thỏa mãn các điều kiện

của Định Lý 1.2.4 và vì thế nó có chu trình Hamilton theo Định lý này

1.2.3 Đồ thị phẳng

Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là đồ thị phẳng nếu như nó cóthể biểu diễn được ở trên mặt phẳng sao cho các đường cong biểu diễncác cạnh giao nhau chỉ ở các đỉnh chung Biểu diễn nói trên của đồ thị

diễn phẳng của nó.

Định lý 1.2.6 (Công thức Euler cho đồ thị phẳng) Nếu đồ thị phẳngliên thông G = (V, E) có v đỉnh, e cạnh và f miền, thì v − e + f = 2.Chứng minh Ta chứng minh định lí này theo qui nạp theo f Nếu

f = 1 thì G không chứa chu trình Suy ra, G là cây vì nó liên thông

Từ đó suy ra định lí trên cũng đúng trong trường hợp này

Bây giờ giả sử đồ thị phẳng liên thông G có số miền f > 1 vàgiả sử định lý trên đã được chứng minh là đúng cho mọi đồ thị phẳngliên thông có số miền nhỏ hơn f Vì f > 1, nên G chứa chu trình Giả

sử {u, v} là một cạnh của một chu trình G Vì mỗi chu trình tách mặtphẳng làm hai phần rời nhau, nên cạnh {u, v} thuộc biên của hai miền,chẳng hạn S và T Nếu xóa cạnh {u, v}, thì ta nhận được một đồ thịphẳng liên thông G0, mới, trong đó các miền S và T được nhập lại vớinhau tạo thành một miền mới, còn các miền khác giữa nguyên khôngđổi Như vậy là G0 có v đỉnh, e − 1 cạnh và f − 1 miền Theo giả thiếtqui nạp, v − (e − 1) + (f − 1) = 2 Nhưng đẳng thức này hiển nhiêntương đương với v − e + f = 2

Trước khi phát biểu và chứng minh một kết quả nữa về đồ thịphẳng liên thông, ta đưa ra các khái niệm mới là chu vi nhỏ nhất và chu

vi lớn nhất của đồ thị

Độ dài của chu trình ngắn nhất trong một đồ thị được gọi là chu

vi nhỏ nhất của đồ thị đó Chu vi nhỏ nhất của đồ thị G thường được

ký hiệu là g(G) − (g(G))

Tương tự, độ dài của chu trình dài nhất trong một đồ thị được gọi

là chu vi lớn nhất của đồ thị đó Chu vi lớn nhất của đồ thị G thườngđược ký hiệu là c(G) hay ngắn gọn là c nếu đồ thị G

Nếu như trong đồ thị vô hướng G không tồn tại chu trình, tức làkhi G là rừng, thì chu vi nhỏ nhất và chu vi lớn nhất của G được địnhnghĩa vông cùng

Định lý 1.2.7 (Bất đẳng thức cạnh đỉnh): Trong đồ thị phẳng liênthông G = (V, E) bất kỳ với chu kỳ nhỏ nhất g thỏa mãn 3 ≤ g ≤ ∞ taluôn có

độ chính xác tới các đỉnh bậc 2 với đồ thị K5 hoặc đồ thị K3,3

Ta thừa nhận định lý trên không chứng minh Pontragin cũng đãchứng minh kết quả này vào năm 1927 nhưng không công bố Do đó,định lý trên cũng gọi là Định lý Kuratowki - Pontragin

Hình 1.10: Ví dụ đồ thị đẳng cấu với độ chính xác tới các đỉnh bậc 2.

1.3 Bài toán tô màu

Những bài toán liên quan đến tô màu bản đồ đã dẫn đến rất nhiều kếtquả trong lý thuyết đồ thị Khi một bản đồ được tô màu, hai miền cóchung biên giới được tô bằng hai màu tùy ý miễn là khác nhau Đểđảm bảo chắc chắn hai miền kề nhau không bao giờ có màu trùng nhau,chúng ta tô mỗi miền bằng một màu khác nhau Tuy nhiên điều đó làkhông thực tế, vì có thể số màu ít hơn số miền Nếu bản đồ có nhiềumiền thì sẽ rất khó phân biệt những màu gần giống nhau Do vậy người

ta chỉ dùng một số màu cần thiết để tô một bản đồ Một bài toán đặt ralà: xác định số màu tối thiểu cần có để tô một bản đồ sao cho các miền

kề nhau không cùng một màu Ví dụ, với bản đồ bên trái của hình 1.11bốn màu là đủ, nhưng ba màu là không đủ Trong bản đồ bên phải ba

màu là đủ (nhưng hai là không đủ).

Hình 1.11: Hai bản đồ.

Mỗi bản đồ trên mặt phẳng có thể biểu diễn bằng một đồ thị Đểlập sự tương ứng đó, mỗi miền của bản đồ được biểu diễn không đượcbiểu diễn không được coi là kề nhau Đồ thị nhận ra được bằng cáchnhư vậy gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ đang xét Rõ ràng mọi bản

đồ trên mặt phẳng đều có đồ thị đối ngẫu phẳng Hình 1.12 biểu diễncác đồ thị đối ngẫu với các bản đồ trên hình1.11

Bài toán tô màu các miền của bản đồ là tương đương với bài toán

tô màu các đỉnh của đồ thị đối ngẫu sao cho không có hai đỉnh liền kềnhau có cùng một màu Chúng ta có định nghĩa sau

Hình 1.12: Các đồ thị đối ngẫu của các bản đồ hình trên

Định nghĩa 1.3.1 Tô màu một đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnhcủa nó sao cho không có hai đỉnh liền kề được gán cùng một màu.Một đồ thị có thể được tô màu bằng cách gán các màu khác nhaucho mỗi đỉnh của nó Tuy vậy, với hầu hết các đồ thị, ta có thể tô màuchúng với số màu ít hơn số định Vậy số màu ít nhất cần thiết là baonhiêu?

Định nghĩa 1.3.2 Số màu của một đồ thị là số tối thiểu các màu cầnthiết để tô màu đồ thị này

Chúng ta thấy rằng câu hỏi về số màu nhỏ nhất của các đồ thịphẳng chính là câu hỏi về số cực tiểu các màu cần thiết để tô đủ cácbản đồ phẳng sao cho không có hai miền kề nhau được gán cùng mộtmàu Bài toán này đã được nghiên cứu từ hơn 100 năm nay Câu trả lờichính là một trong các định lý nổi tiếng nhất trong toán học

và Wolfgang Haken chứng minh vào năm 1976 Trước năm 1976 cũng

có nhiều chứng minh sai, mà thông thường rất khó tìm thấy chỗ sai, đãđược công bố Hơn thế nữa, đã có nhiều cố gắng một cách vô ích để tìmphản ví dụ bằng cách cố vẽ bản đồ cần hơn bốn màu để tô nó

Có lẽ một chứng minh sai nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học làchứng minh sai bài toán bốn màu được công bố năm 1879 bởi luật sư,nhà toán học nghiệp dư người London tên là Alfred Kempe Các nhàtoán học chấp nhận cách chứng minh của ông ta cho tới năm 1890, khiPercy Heawood phát hiện ra sai lầm trong chứng minh của Kempe Tuynhiên, cách lập luận của Kempe là cơ sở cho chứng minh của Appel vàHaken Chứng minh của họ dựa trên sự phân tích từng trường hợp mộtcách cẩn thận nhờ máy tính Họ đã chứng minh rằng nếu bài toán bốnmàu là sai thì sẽ có một phản ví dụ thuộc một trong gần 2000 loại khácnhau và đã chứng minh không có loại nào dẫn tới phản ví dụ cả Trongchứng minh của mình, họ đã dùng hơn 1000 giờ máy Cách chứng minhnày đã gây ra nhiều cuộc tranh cãi vì máy tính đã đóng vai trò quantrọng biết bao Chẳng hạn, liệu có thể có sai lầm trong chương trình vàđiều đó dẫn đến kết quả sai không? Lí luận của họ có thực sự là chứngminh hay không, nếu nó phụ thuộc vào thông tin từ một máy tính không