Luận văn thạc sĩ số ramsey

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯU NGỌC HOÀN SỐ RAMSEY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯU NGỌC HOÀN SỐ RAMSEY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - 2015 Mục lục Lý thyết đồ thị 1.1 1.2 1.3 Các khái niệm 1.1.1 Đồ thị có hướng-Đồ thị vô hướng 1.1.2 Hành trình, đường, chu trình, vết mạch 10 1.1.3 Tính liên thông 14 1.1.4 Cây 15 Một vài đồ thị đặc biệt 17 1.2.1 Đồ Thị Euler 17 1.2.2 Đồ thị Hamilton 20 1.2.3 Đồ thị phẳng 22 Bài toán tô màu 25 1.3.1 Định lý bốn màu 28 1.3.2 Tô màu đỉnh 29 1.3.3 Tô màu cạnh 30 1.3.4 Một vài toán vận dụng 30 Lý thuyết số Ramsey 2.1 33 Nguyên lý Dirichlet 33 2.1.1 33 Nguyên lý lồng-chim 2.1.2 2.2 2.3 Một vài ví dụ ứng dụng 34 Khái niệm số Ramsey 43 2.2.1 Bậc đỉnh đồ thị 43 2.2.2 Số Ramsey số chặn 44 Một vài vận dụng 52 2.3.1 Lý thuyết Ramsey Hình học 52 2.3.2 Tồn tam giác màu 55 Lời nói đầu Bài toán sử dụng k màu để tô dãy số nguyên dương từ đến n với n r−1 ui đủ lớn đạt dãy số màu u1 , u2 , , ur thỏa mãn ur = i=1 I Schur chứng minh vào năm 1916 Kết coi viên gạch để dẫn đến định lý tổng quát Frank Ramsey (19021930) chứng minh vào năm 1928 Kết F Ramsey với nhiều dạng mở rộng ứng dụng không tổ hợp, đồ thị mà nhiều lĩnh vực khác chẳng hạn Đại số, Hình học, Lý thuyết tập hợp,v.v Vậy, toán đặt F Ramsey gì? Ramsey xét toán chia tập hợp cạnh đồ thị đầy đủ vào hai ngăn kéo cách tô màu tất cạnh đồ thị hai màu đen trắng Ông khẳng định rằng, với cặp số nguyên dương p q tồn số nguyên dương n cho với cách tô cạnh đồ thị đầy đủ Kn hai màu nói ta đồ thị đầy đủ Kp màu đen đồ thị Kq màu trắng Số nguyên nhỏ n thường ký hiệu R(p, q) N (p, q) Chỉ trường hợp đặc biệt giá trị nhỏ số p, q ta xác định xác giá trị N (p, q) Trong phần lớn trường hợp khác ta đưa cận cận N (p, q) mà Vấn đề tìm hiểu số Ramsey vận dụng chúng công việc giảng dạy, dạy học sinh chuyên toán tự đào tạo cần thiết Do vậy, tập trung nghiên cứu lý thuyết đồ thị, nguyên lý Dirichlet lý thuyết Ramsey luận văn Luận văn chia làm chương Chương tập trung trình bày lý thuyết đồ thị gồm mục Mục 1.1 tập trung trình bày khái niệm lý thuyết đồ thị Mục 1.2 dành để trình bày đồ thị hay tính chất đặc biệt Đồ thị Euler, Đồ thị Hamilton Mục 1.3 dành để giới thiệu toán tô màu như: tô màu đỉnh, tô màu cạnh, tô màu đồ thị phẳng Chương tập trung trình bày nguyên lý Dirichlet lý thuyết Ramsey gồm mục Mục 2.1 tập trung trình bày nguyên lý Dirichlet vài ví dụ áp dụng Đây kỹ thuật để chứng minh vài kết lý thuyết Ramsey Mục 2.2 dành để trình bày lý thuyết Ramsey Chúng chứng minh vài số chặn chặn số N (p, q) Mục 2.3 dành để giới thiệu vài mở rộng xét toán Ramsey hình học Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn chân thành đến người thầy, người hướng dẫn khoa học PGS TS Đàm Văn Nhỉ giúp đỡ chu đáo, bảo tận tâm thầy suốt trình hoàn thành luận văn Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ thầy, cô giáo, cán nhân viên Phòng đào tạo sau đại học quan hệ quốc tế trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành cảm ơn tác giả Kỷ yếu hội thảo khoa học chuyên đề toán học bồi dưỡng học sinh giỏi khu vực duyên hải Nam Trung Tây nguyên Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán tổ hợp - rời rạc nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Thái Nguyên ngày 15 tháng 04 năm 2015 Lưu Ngọc Hoàn Chương Lý thyết đồ thị 1.1 Các khái niệm Lý thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những ý tưởng đưa từ kỷ IIXX nhà toán học Leonhard Euler, người Thụy sĩ Ông người sử dụng đồ thị để giải nhiều toán tiếng Đồ thị, Graph, cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính số cạnh nối cặp đỉnh đồ thị Nhiều toán thuộc lĩnh vực khác giải qua đồ thị Chẳng hạn, dùng đồ thị để biểu diễn cạnh tranh loài môi trường sinh thái, để biểu diễn có ảnh hưởng lên tổ chức đó, để biểu diễn kết cục thi đấu thể thao; dùng đồ thị để giải toán tính số tổ hợp khác chuyến bay hai thành phố mạng hàng không tìm số màu cần thiết để tô vùng khác đồ 1.1.1 Đồ thị có hướng-Đồ thị vô hướng Chúng ta bắt đầu lý thuyết đồ thị số khái niệm sau: Định nghĩa 1.1.1 Một đồ thị có hướng G, (digraph), cặp có thứ tự G = (V, E), V tập E tập tích Carte V × V , tức E quan hệ hai V Các phần tử thuộc V gọi đỉnh, phần tử thuộc E gọi cung đồ thị có hướng G Nếu (a, b) ∈ E (a, b) gọi cung G với đỉnh đầu a, đỉnh cuối b hướng từ a tới b Để có hình ảnh trực quan, người ta thường biểu diễn đồ thị có hướng G mặt phẳng sau: Các đỉnh G biểu diễn vòng tròn nhỏ, cung biểu diễn đường cong nối đỉnh đầu với đỉnh cuối có mũi tên hướng từ đỉnh đầu tới đỉnh cuối Ví dụ 1.1.2 Cho đồ thị G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e, f } E = {(a, a), (a, b), (b, d), (d, b), (e, a)} Khi G đồ thị có hướng Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng Nếu (a, b) ∈ E ta nói đỉnh a b liên thuộc với cung (a, b) Khi a b gọi kề Hai cung G gọi kề chúng có đỉnh chung Cùng dạng (a, a) với a ∈ V gọi khuyên Đỉnh không liên thuộc với cung gọi đỉnh độc lập G; Số đỉnh G, tức |V |, gọi cấp G Số cung G, tức |E|, gọi cỡ G Hình 1.1: Ví dụ đồ thị có hướng Định nghĩa 1.1.3 Một đồ thị vô hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập E tập với phần tử đa tập lực lượng V Các phần tử thuộc V gọi đỉnh, phần tử thuộc E gọi cạnh đồ thị vô hướng G Nếu e = {a, b} cạnh G a b gọi đỉnh đầu mút cạnh e hay đỉnh liên thuộc với e Đôi ta thường ký hiệu cạnh {a, b} ngắn gọn ab Người ta thường biểu diễn đồ thị vô hướng mặt phẳng tương tự ta biểu diễn đồ thị có hướng: đỉnh đồ thị biểu diễn vòng tròn nhỏ cạnh biểu diễn đường cong nối đỉnh cạnh Điểm khác biệt mũi tên hướng đường cong Ví dụ 1.1.4 Cho đồ thị G = (V, E) với V = {a, b, c, d} E = {(a, a), (a, b), (a, d), (b, c), (c, d)} Khi G đồ thị vô hướng 45 Một bụi (clique) tập không rỗng đỉnh nối với Một tập độc lập tập không rỗng đỉnh không nối với Xét đồ thị hữu hạn G = (V, E) với V = {u1 , u2 , , un } Ký hiệu Kn = (V, V (2) ) Đây đồ thị với tất n cạnh Kn gọi đồ thị đầy đủ với n đỉnh Phần bù Knc Kn đồ thị cạnh Do Knc đồ thị n thành phần, thành phần gồm đỉnh Tập W = V (G) bụi W (2) ⊂ E(G) hay G[W ] = (W, W (2) ) đồ thị đầy đủ Xét việc tô màu đen trắng cạnh K6 Giả sử G đồ thị đỉnh với cạnh tô màu đen Khi có "tam giác đen" K6 bụi G "tam giác trắng" tập độc lập G Với cặp hai số tự nhiên p, q ta xét số tự nhiên n để đồ thị với n đỉnh chứa đồ thị cảm sinh đẳng cấu với Kp đẳng cấu Kqc Chúng ta quan tâm đến giá trị nhỏ n Định nghĩa 2.2.8 Giả sử p, q hai só tự nhiên Ký hiệu số N (p, q) giá trị nhỏ số tự nhiên n để đồ thị hữu hạn với n = N (p, q) đỉnh chứa Kp Kqc đồ thị cảm sinh Số N (p, q) gọi số Ramsey Dễ dàng kiểm tra N (1, q) = 1, N (2, q) = q với q N (p, q) = N (q, p) Ta xét vài ví dụ ta thấy cần nghiên cứu nguyên lý Dirichlet số Ramsey dạy toán cho học sinh lớp chuyên hay lớp chọn 46 Ví dụ 2.2.9 Có điểm không gian, điểm thẳng hàng điểm đồng phẳng Với 15 đoạn thẳng nối từ điểm người ta tô màu xanh đỏ lên đoạn thẳng Chứng minh rằng, có tam giác tô màu cạnh Bài giải: Ta trình bày lời giải qua việc áp dụng nguyên lý Dirichlet điểm nối thành 15 đoạn thẳng 15 đoạn tô hai màu: đỏ xanh Xét đỉnh A đoạn thẳng chung đỉnh A AB, AC, AE, AF tô hai màu xanh đỏ Theo nguyên lý Dirichlet, hai màu, giả sử xanh tô cho cạnh Do tính đối xứng, giả sử cạnh AB, AC, AC Bây ta xét cạnh BC, BD, CD Nếu ba cạnh đó, chẳng hạn BC tô màu xanh, có "tam giác xanh" ABC Nếu cạnh thỏa mãn điều kiện này, ta có "tam giác đỏ" BCD Ví dụ 2.2.10 Chứng minh rằng, người bất kỳ, có người quen đôi đôi không quen Bài giải: Coi người điểm A,B,C,D,E,F biểu diễn Hình Với hai điểm X,Y bất kỳ, nối thành đoạn thẳng XY tô màu xanh hai người quen nhau, màu đỏ hai người không quen Theo Ví dụ 2.2.9, tốn "tam giác xanh" "tam giác đỏ" Tương ứng, tồn người quen đôi đôi không quen biết Ví dụ 2.2.11 [IMO 6] Có 17 người trao đổi với nhau, người trao 47 đổi tất người lại Trong trao đổi có vấn đề thảo luận Mỗi người trao đổi cho vấn đề Bài giải: Ta coi 17 người 17 điểm A,B,C, với hai điểm bất kỳ, ta nối chúng thành đoạn thẳng Đoạn thẳng nối hai điểm X,Y tô màu: xanh, đỏ, vàng Ta tô màu xanh đoạn XY X,Y trao đổi vấn đề I; (tưong tự II,III) Xét đỉnh A Có 16 cạnh nối đỉnh A tô màu xanh, đỏ, vàng Do 16= 5.3+1 nên theo nguyên lí Dirichlet, màu, giả sử màu xanh, tô 5+1=6 (cạnh) Do tính chất đối xứng, giả sử AB, AC, AD, AF AC tô màu xanh Chú ý đến đỉnh lại, có 15 cạnh nối từ đỉnh Nếu cạnh, giả sử BC tô màu xanh ta có "tam giác xanh" ABC Trong trường hợp cạnh tô màu xanh, 15 cạnh phải tô màu đỏ màu vàng Theo Ví dụ 2.2.9, ta có "tam giác đỏ" "tam giác vàng." Trong trường hợp nào, ta có tam giác với cạnh tô màu Điều có nghĩa có người trao đổi vấn đề đôi với Bây ta xem lại Ví dụ 2.2.9 Giả sử ta có điểm (thay cho điểm) toán Kết luận toán có hiệu lực hay không? Nhìn vào vấn đề, ý đến hình phẳng với đỉnh 10 đoạn thẳng nối từ hai đỉnh Nếu cạnh AB, BC, CD, DE, EA tô màu xanh cạnh lại tô màu đỏ, rõ ràng hình vẽ không chứa tam giác xanh tam giác đỏ Vậy phải cần có điểm để đảm bảo tồn tam giác có cạnh tô 48 màu, với điều kiện cạnh tô hai màu Vấn đề liên hệ chặt chẽ với khái niệm "số Ramsey" Lúc đầu Ramsey xét toán chia tập hợp cạnh đồ thị dầy đủ vào hai ngăn kéo cách tô màu cạnh đồ thị đầy đủ hai màu đen trắng khẳng định với cặp hai số tự nhiên p q tồn số tự nhiên n cho với cách tô màu cạnh đồ thị đầy đủ Kn hai màu nói ta có đồ thị đầy đủ Kp màu đen đồ thị đầy đủ Kq màu trắng Số s = N (p, q) nhỏ với tính chất không dễ dàng xác định qua công thức đóng Định lý 2.2.12 [Ramsey] Với tất số tự nhiên p, q 2, số N (p, q) tồn Sự xác định giá trị N (p, q) p, q đủ lớn, vượt qua khả tìm kiếm Tính đệ quy điều kiện N (p, q) đạt hai nhà toán học người Hungari Erdos Szekeres Định lý 2.2.13 Nếu số tự nhiên p, q đồ thị với N (p, q− 1) + N (p − 1, q) đỉnh có tính chất Ramsey, có nghĩa: Tồn số N (p, q) N (p, q) N (p − 1, q) + N (p, q − 1) Chứng minh: Đặt n = N (p − 1, q) + N (p, q − 1) Số tồn theo Định lý 2.2.12 Để N (p, q) n ta cần chứng minh rằng, cạnh Kn tô hai màu: xanh, đỏ, tồn nhóm Kp xanh nhóm Kq đỏ Vì vai trò p q nên ta xét q = ta có N (p, 1) = = p+1−2 1−1 Với q = có 49 N (p, 2) = p = p+2−2 2−1 Như vậy, ta cần xét p, q Giả sử kết luận cho số k < p + q Theo Định lý 2.2.13 ta có N (p, q) p+q−3 p+q−3 + q−1 q−2 N (p − 1, q) + N (p, q − 1) Như N (p, q) p+q−2 q−1 có điều cần chứng minh Hệ 2.2.14 Với cặp số tự nhiên p, q N (p, q) ta có p+q−2 q−1 Chứng minh: Quy nạp theo k = p + q Vì vai trò p q nên ta xét q = ta có N (p, 1) = = p= p+2−2 2−1 p+1−2 1−1 Như vậy, ta cần xét p, q Với q = có N (p, 2) = Giả sử kết luận cho số k < p + q Theo Định lý 2.2.13 ta có N (p, q) N (p − 1, q) + N (p, q − 1) Như N (p, q) p+q−2 q−1 p+q−3 p+q−3 + q−1 q−2 có điều cần chứng minh Hệ 2.2.15 Với số nguyên p Định lý 2.2.16 Với số nguyên p, q N (p, q) ta có N (p, p) 4p−1 ta có (p − 1)(q − 1) + Chứng minh: Đặt n = (p − 1)(q − 1) Ta sử dụng hai màu đen, trắng để tô cạnh Kn Ta cần Kp đen Kq trắng Hình dung đỉnh Kn xếp lên mảng (array) hình chữ nhật gồm p − hàng q − cột Nếu hai đỉnh u v nằm 50 hàng mảng cạnh {u, v} tô màu trắng; khác tô màu đen Theo nguyên lý Dirichlet, tập p đỉnh phải có đỉnh thuộc hàng Do vậy, Kn không chứa Kp đen Nếu ta xóa tất cạnh đen thành phần liên thông phần đồ thị lại tương ứng hàng Bởi hàng chứa q − đỉnh nên Kn không chứa Kq trắng Như N (p, q) (p − 1)(q − 1) + Chú ý rằng, từ kết ta có N (3, 4) 10 Định lý 2.2.17 Nếu tô màu cạnh đồ thị đầy đủ đỉnh K6 với hai màu xanh đỏ luôn tồn đồ thị đầy đủ đỉnh K3 đồ thị đồ thị tất cạnh màu đỏ màu xanh Chứng minh: Ta chọn đỉnh a Trong cạnh phát xuất từ a có cạnh màu, hạn ab, ac, ad Tất cạnh nối đỉnh b, c, d với màu xanh ta có điều cần chứng minh, cạnh có cạnh màu đỏ cạnh với hai cạnh ab, ac ad lập thành mọt đồ thị đầy đủ đỉnh K3 với cạnh màu đỏ Những kết mở rộng cho trường hơp tô nhiều màu Chẳng hạn, ta đặt câu hỏi số nhỏ N (G1 , G2 , , Gr ) cho tô màu cạnh đồ thị đầy đủ có N (G1 , G2 , , Gr ) đỉnh k màu, ta thu đồ thị Gi có cạnh màu Kết cận số Ramsey N (G1 , , Gr ) cho trường hợp Gi = K3 ký hiệu gọn Nr (3) = N (K3 , , K3 ) 51 Định lý 2.2.18 Với số tự hiên r ta có bất đẳng thức Nr+1 (3) (r + 1)(Nr (3) − 1) + Chứng minh: Ta cần chứng minh kết cho trường hợp n = (r + 1)(Nr (3) − 1) + Ta với cách tô màu cạnh đồ thị đầy đủ Kn với màu 1, 2, , r + ta có đồ thị đầy đủ đỉnh có cạnh màu i ∈ {1, 2, , r, r + 1} Giả sử ta có đồ thị đầy đủ G với n đỉnh cách tô màu cạnh G với màu 1, 2, , r +1 Chọn đỉnh a tùy ý Với (r +1)(Nr (3)−1)+1 cạnh xuất phát từ đỉnh a phải có t Nr (3) cạnh e1 , e2 , , et tô màu, chẳng hạn màu thứ r + Các đỉnh kề với a, nối với đỉnh a cạnh màu thức (r + 1), lập len đồ thị đầy đủ KNr (3) với Nk (3) đỉnh Trong trường hợp đồ thị KNr (3) có cạnh e to màu thức (r + 1), cạnh với hai số cạnh e1 , e2 , , et môt đồ thị đầy đủ đỉnh K3 mà cạnh chsng tô màu thứ (r + 1) Nếu đồ thị KNr (3) cạnh tô màu màu thứ (r + 1) đồ thị đầy đủ KNr (3) có cạnh tô r màu 1, 2, , r Theo định nghĩa số Nr (3), đồ thị đầy đủ KNr (3) có đồ thị đầy đủ K3 với cạnh màu tô màu Ví dụ 2.2.19 Cứ hai ngưới số 17 nhà bác học viết thư trao đổi với đề tài Chứng minh có người số họ viết thư trao đổi với đề tài Bài giải: Lấy đồ thị K17 trên, ta tiến hành tô màu cạnh đồ thị theo qui tắc sau: Cạnh nối hai đỉnh A B tô màu 52 đỏ, xanh, vàng hai nhà bác học A B trao đổi tương ứng vấn đề thứ nhất, vấn đề thứ hai, vấn đề thứ ba Ta cần đồ thị có tam giác màu Chọn đỉnh V thuộc đồ thị Vì đỉnh V có bậc 16 nên theo nguyên lý Dirichlet có màu tô cho cạnh nối tới V Giả sử màu vàng Đặt ζ tập hợp gồm đỉnh, khác V, có cạnh màu vàng nối tới V Ta xét hai trường hợp sau: (a) Nếu G có cạnh màu vàng, hai đỉnh cạnh với V tạo thành tam giác có cạnh màu vàng (b) Nếu G cạnh vàng nào, tất cạnh G tô hai màu đỏ xanh Tuy nhiên G có đỉnh nên theo Ví dụ 2.2.9 G chứa tam giác đỏ tam giác xanh Vậy với 3-tô màu cạnh K17 ta có tam giác màu 2.3 2.3.1 Một vài vận dụng Lý thuyết Ramsey Hình học Ví dụ 2.3.1 Mỗi điểm mặt phẳng tô màu: đỏ, xanh, vàng Chứng minh rằng, tồn đoạn thẳng đơn vị có hai đầu mút màu Bài giải: Lấy tam giác T với độ dài cạnh với đỉnh A,B,C Nếu tồn hai đỉnh màu ta có điều phải chứng minh Ngược lại, ta gép phía tam giác T có độ dài cạnh vào cạnh T, chẳng hạn cạnh BC Gọi D 53 đỉnh lại T Khi D phải có màu với A ngược lại √ ta có điều phải chứng minh Vậy đọan thẳng AD có độ dài có hai mút màu Chú ý rằng, ta không sử dụng tính chất đặc biệt T điều kiện tam giác với độ dài cạnh Do đó, ta lặp lại lý luận cho tam giác mặt phẳng theo cách tất đoạn thẳng có độ dài √ có hai đầu mút màu Ngược lại, tồn đoạn thẳng độ dài có hai đầu mút màu Cuối cùng, lấy đỉnh đỏ √ R kẻ đường tròn (k) có tâm R, bán kính Khi đó, tất điểm (k) màu đỏ Điều có nghĩa tồn đoạn thẳng có độ dài thỏa yêu cầu Ví dụ 2.3.2 Tô màu điểm không gian màu: đỏ, xanh, đen, trắng Chứng minh rằng, có đoạn thẳng độ dài đơn vị với hai đầu mút màu Bài giải: Đây mở rộng Ví dụ 2.3.1 lên không gian ba chiều Gia sử không tồn đoàn thẳng Lấy tứ diện ABCD với cạnh có độ dài đơn vị Nếu có hai đỉnh màu, ta có điều phải chứng minh Ngược lại, ta giả sử A đỏ ta ghép tứ diện có cạnh đơn vị BCDE khác vào ∆BCD E phải có màu đỏ, ngược lại màu với B C D Bởi vậy, m chiều cao tứ diện đều, tất đỉnh có khoảng cách chúng 2m có màu Nói riêng, mặt cầu tâm A bán kính 2m phải có màu đỏ Tuy nhiên, có cặp điểm mặt cầu mà khoảng cách chúng đơn vị, ta có điều phải chứng minh 54 Ví dụ 2.3.3 Mỗi điểm mặt phẳng tô π màu đỏ xanh Đặt T tam giác có góc bằng: , π π , cạnh huyền có độ dài đơn vị Chứng minh tồn tam giác có đỉnh màu T Bài giải: Trước tiên ta có nhận xét: tô màu điểm mặt phẳng hai màu đỏ xanh, tồn đoạn thẳng có độ dài đơn vị có hai đầu mút màu Thật vậy, lấy tam giác T có độ dài cạnh mặt phẳng Do điểm tô màu, nên theo nguyên lý Dirichlet T phải có hai đỉnh màu Theo nhận xét trên, với 2-tô màu mặt phẳng tồn đoạn thẳng có đầu mút màu Gọi đoạn thẳng s, không tính tổng quát, giả sử hai đầu mút đoạn thẳng A B có màu đỏ Kẻ đường tròn (c) với đường kính s điểm D1 , D2 , D3 , D4 cho A, B điểm chia đường tròn (c) thành phần Nếu Di với i = 1,2,3,4, có màu đỏ, ta có điều phải chứng minh Ngược lại, tất Di , i = 1, 2, 3, 4, màu xanh, chúng tạo thành tam giác xanh thỏa mãn yêu cầu Định lý 2.3.4 [Định lý Erdos-Szekeres] Cho n số nguyên dương Khi tồn số nguyên dương nhỏ ES(n) cho có N ES(n) điểm cho trước mặt phẳng, ba điểm thẳng hàng, ta chọn n điểm N điểm để n-giác lồi Chứng minh: Ta N3 (n, n) số nguyên dương 55 thỏa mãn yêu cầu (không thiết phải số nhỏ nhất) Lấy đồ thị đầy đủ với đỉnh N3 (n, n) điểm mặt phẳng Ta tô màu tam giác đỏ xanh theo qui tắc sau: đánh số điểm từ tới N3 (n, n) tô màu tam giác đỏ chu trình từ số nhỏ qua số đến số lớn chiều kim đồng hồ Ngược lại, ta tô màu xanh Vì đồ thị ta có N3 (n, n) đỉnh, nên có đồ thị Kn với tam giác màu Ta phải đỉnh đồ thị Kn tạo thành n-giác lồi Để chứng minh điều này, ta phải đỉnh đồ thị Kn mà đỉnh lại thuộc miền tam giác tạo đỉnh lại Hay ta cần hình vẽ không xảy Không tính tổng quát, giả sử ∠A ∠B ∠C tất tam giác K4 lúc đỏ Hiển nhiên ∆ADB đỏ suy ∠D ∠D 2.3.2 ∠A ∠A ∠B Tuy nhiên, ∠C ∆DAC xanh, dẫn đến mâu thuẫn Tồn tam giác màu Ví dụ 2.3.5 [IMO 1983] Cho ∆ABC Gọi E tập tất điểm đoạn thẳng AB,BC,CA Chứng minh rằng, với 2-tô màu E, tồn tam giác vuông Bài giải: Gọi C1 C2 hai điểm chia đoạn AB thành phần Định nghĩa A1 , A2 , B1 B2 Tương tự cho BC,CA Khi đó, có số điểm A1 , B1 , C1 có màu Không tính tổng quát, ta giả sử A1 , B1 đỏ Bây giờ, ta giả sử tam giác vuông có đỉnh màu Khi C B2 phải xanh Do vậy, ta tô màu cho C2 Nếu C2 xanh, ta có ∆CB2 C2 có đỉnh xanh, 56 C2 đỏ, ta có ∆A1 B1 C2 có đỉnh Vậy trường hợp, có tam giác vuông với đỉnh màu tạo thành 1 + + · · · + ) + Ta tô màu 1! 2! k! k màu Chứng minh rằng, tồn tam Ví dụ 2.3.6 Cho nk = k!(1 + cạnh Knk giác màu Bài giải: Ta chứng minh theo qui nạp Cơ sở qui nạp: Với k = 1, toán hiển nhiên Giả sử toán với k, tức dùng k màu để tô cho tất cạnh đồ thị Knk Knk có tam giác màu Ta chứng minh toán với k + Lấy đò thị đầy đủ Knk−1 với nk+1 đỉnh Gọi V đỉnh thuộc Knk+1 Khi đó, V có bậc Knk−1 − 1, ta dùng k + màu để tô cho Knk−1 − cạnh nối tới V Mà ta có (k + 1)(nk − 1) = nk+1 − < nk+1 − Do đó, theo nguyên lý Dirichlet có nk cạnh nối tới V tô màu, giả sử màu đỏ Đặt B tập đỉnh có cạnh đỏ nối tới V Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu B có cạnh đỏ nối đỉnh X,Y đó, ta có tam giác VXY có cạnh đỏ Trường hợp 2: Nếu không tồn đỉnh X,Y thế, tất cạnh B tô k màu (trừ màu đỏ) Do đó, theo giả thiết qui nạp tồn tam giác màu Ví dụ 2.3.7 Một công ty có 2008 công nhân từ quốc gia khác Mỗi người có thẻ nhận dạng (id) đánh số từ đến 2008 Chứng minh có công nhân mà số id tổng số id người đồng hương, có công nhân mà số id lần số id 57 người đồng hương Bài giải: Lấy đồ thị đầy đủ K2008 tô màu cạnh nối giã hai đỉnh i đỉnh j, (i[...]... cho mỗi đỉnh của nó Tuy vậy, với hầu hết các đồ thị, ta có thể tô màu chúng với số màu ít hơn số định Vậy số màu ít nhất cần thiết là bao nhiêu? Định nghĩa 1.3.2 Số màu của một đồ thị là số tối thiểu các màu cần thiết để tô màu đồ thị này Chúng ta thấy rằng câu hỏi về số màu nhỏ nhất của các đồ thị phẳng chính là câu hỏi về số cực tiểu các màu cần thiết để tô đủ các bản đồ phẳng sao cho không có hai miền... màu trùng nhau, chúng ta tô mỗi miền bằng một màu khác nhau Tuy nhiên điều đó là không thực tế, vì có thể số màu ít hơn số miền Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ rất khó phân biệt những màu gần giống nhau Do vậy người ta chỉ dùng một số màu cần thiết để tô một bản đồ Một bài toán đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô một bản đồ sao cho các miền kề nhau không cùng một màu Ví dụ, với bản đồ bên... ở đây E(C) là tập các cạnh của C Mỗi đỉnh của H đều có bậc chẵn trong H và số cạnh của H nhỏ hơn số cạnh của G Theo giả thiết qui nạp, H có một mạch Euler D Các mạch C và D có các tập các cạnh rời nhau và có đỉnh x là đỉnh chung Vì thế ta có thể ghép hai mạch đó lại với nhau tại x để tạo ra một mạch F với số cạnh nhiều hơn số cạnh của C : ta cho F xuất phát từ điểm x và đi theo các cạnh đến khi gặp... là các đường liên tục nối các đỉnh Ai với các Bj Bằng cách thiết lập mô hình, chúng ta đã thiết lập một đồ thị 6 đỉnh và 9 cạnh Chương 2 Lý thuyết số Ramsey 2.1 Nguyên lý Dirichlet Giả sử có một đàn chim bồ câu bay hết vào chuồng Nếu số chim nhiều hơn số ngăn chuồng thì ít nhất trong một ngăn có nhiều hơn một con chim Nguyên lý này có thể áp dụng cho nhiều loại đối tượng và được gọi là nguyên lý lồng-chim... ta được 105 + 1 giá trị khác nhau của 1983k − 1 Chia 105 + 1 số này cho 105 , ta có nhiều nhất là 105 số dư Theo Nguyên lý Drichlet phải có ít nhất 2 số cho cùng số dư khi chia cho 105 Giả sử đó là hai số 1983m − 1 và 1983n − 1, m > n Thế thì hiệu hai số này phải chia hết cho cho 105 : (1983m − 1) − (1983n − 1) = 1983n (1983m−n − 1)˙:105 Nhưng (1983, 105 ) = 1 nên phải có (1983m−n − 1)˙:105 Như vậy... một phép gán các màu cho các cạnh của đồ thị đó sao cho hai cạnh kề nhau bất kỳ có màu khác nhau Nếu số màu khác nhau, mà ta sử dụng trong một tô màu cạnh của đồ thị, nhỏ hơn hoặc bằng k, thì tô màu cạnh đó cũng được gọi là ktô màu cạnh Số tự nhiên k nhỏ nhất để đồ thị G có k -tô màu cạnh được gọi là sắc số cạnh của G và được ký hiệu là χ (G) Hiển nhiên là χ (G) ∆(G) Cận trên cho χ (G) được chứng minh... màu chỉ áp dụng cho các đồ thị phẳng Các đồ thị không phẳng có thể có số màu tùy ý Cần phải làm hai điều khi chứng minh số màu của đồ thị là n Trước tiên, chúng ta phải chứng tỏ rằng đồ thị có thể được tô bằng n màu Điều này có thể thực hiện bằng cách tô màu đồ thị đó Sau đó chúng ta phải chứng tỏ rằng không thể tô màu đồ thị với số màu ít hơn 1.3.2 Tô màu đỉnh Một tô màu đỉnh của một đồ thị, mà ta... hộp thì tồn tại một chỉ số i nào đó để hộp thứ i chứa ít nhất ki vật Chứng minh: Tương tự như đã chứng minh định lý trên 2.1.2 Một vài ví dụ ứng dụng Ví dụ 2.1.3 Tồn tại k ∈ N sao cho 1983k − 1 chia hết cho 105 Bài giải: Cho k lần lượt lấy 105 + 1 giá trị liên tiếp từ 1 trở đi ta được 105 + 1 giá trị khác nhau của 1983k − 1 Chia 105 + 1 số này cho 105 , ta có nhiều nhất là 105 số dư Theo Nguyên lý Drichlet... kỳ có màu khác nhau Nếu số màu khác nhau, mà ta dùng để tô trong một tô màu đồ thị, nhỏ hơn hoặc bằng k thì tô màu đó cũng được gọi là k-tô màu Tập tất cả các đỉnh được tô bởi cùng màu trong một tô màu của đồ thị được gọi là lớp đỉnh đồng màu của tô màu đó Như vậy, một ktô màu phân hoạch tập đỉnh của đồ thị thành k lớp đỉnh đồng màu Sắc số của một đồ thị G, ký hiệu là χ(G), là số thự nhiên k nhỏ nhất... không chứa chu trình Suy ra, G là cây vì nó liên thông Từ đó suy ra định lí trên cũng đúng trong trường hợp này Bây giờ giả sử đồ thị phẳng liên thông G có số miền f > 1 và giả sử định lý trên đã được chứng minh là đúng cho mọi đồ thị phẳng liên thông có số miền nhỏ hơn f Vì f > 1, nên G chứa chu trình Giả sử {u, v} là một cạnh của một chu trình G Vì mỗi chu trình tách mặt phẳng làm hai phần rời nhau, ... chúng với số màu số định Vậy số màu cần thiết bao nhiêu? Định nghĩa 1.3.2 Số màu đồ thị số tối thiểu màu cần thiết để tô màu đồ thị Chúng ta thấy câu hỏi số màu nhỏ đồ thị phẳng câu hỏi số cực tiểu... Cho số nguyên dương m không bội Chứng minh tìm số gồm toàn chữ số chia hết cho m Bài giải: Ta chứng tỏ số 1; 11; ; 11 có số m chia hết cho m Gọi r1 , r2 , , rm dư số cho m Nếu có số dư... khác 1983k − Chia 105 + số cho 105 , ta có nhiều 105 số dư Theo Nguyên lý Drichlet phải có số cho số dư chia cho 105 Giả sử hai số 1983m − 1983n − 1, m > n Thế hiệu hai số phải chia hết cho cho