2 Lý thuyết số Ramsey
2.2.2 Số Ramsey và số chặn
Định nghĩa 2.2.7. Xét hai đồ thị G = (V, E) và G0 = (V0, E0). Nếu
V0 ⊂ V và E0 ⊂ E thì đồ thị G0 được gọi là đồ thị con của đồ thị G.
Ký hiệu X(2) là tập tất cả các tập con 2 phần tử thuộc tập X. Nếu
E0 = E ∩ V0(2) thì G0 là đồ thị con của G được cảm sinh ra bởi V0 và viết G[V0] = G0. Đồ thị Gc = (V, V(2) \E) được gọi là phần bù của G.
độc lập là một tập không rỗng các đỉnh không nối với nhau.
Xét đồ thị hữu hạn G = (V, E) với V = {u1, u2, . . . , un}. Ký hiệu
Kn = (V, V(2)). Đây là đồ thị với tất cả n2 cạnh có thể được và Kn
được gọi là đồ thị đầy đủ với n đỉnh. Phần bù Knc của Kn là một đồ thị không có cạnh nào. Do vậy Knc là một đồ thị n thành phần, trong đó mỗi thành phần chỉ gồm 1 đỉnh. Tập con W 6= của V(G) là một bụi nếu và chỉ nếu W(2) ⊂ E(G) hay G[W] = (W, W(2)) là đồ thị con đầy đủ.
Xét việc tô màu đen hoặc trắng các cạnh K6. Giả sử G là đồ thị 6 đỉnh với cạnh tô màu đen. Khi đó có một "tam giác đen" trong K6 là một bụi trongG và một "tam giác trắng" là một tập độc lập cũng trong
G. Với mỗi cặp hai số tự nhiên p, q ta xét số tự nhiên n để mỗi đồ thị với n đỉnh luôn chứa một đồ thị con cảm sinh đẳng cấu với Kp hoặc đẳng cấu Kqc. Chúng ta quan tâm đến giá trị nhỏ nhất của n.
Định nghĩa 2.2.8. Giả sử p, q là hai só tự nhiên. Ký hiệu số N(p, q) là giá trị nhỏ nhất của số tự nhiênnđể mỗi đồ thị hữu hạn vớin= N(p, q)
đỉnh luôn chứaKp hoặc Kqc như là đồ thị con cảm sinh. SốN(p, q) được gọi là số Ramsey.
Dễ dàng kiểm tra N(1, q) = 1, N(2, q) = q với mọi q > 1 và N(p, q) =
N(q, p).
Ta xét một vài ví dụ và ta sẽ thấy cần nghiên cứu nguyên lý Dirichlet và số Ramsey khi dạy toán cho học sinh lớp chuyên hay lớp chọn.
Ví dụ 2.2.9. Có 6 điểm trong không gian, không có 3 điểm nào thẳng hàng và không có 4 điểm nào đồng phẳng. Với 15 đoạn thẳng được nối từ các điểm người ta tô màu xanh hoặc đỏ lên các đoạn thẳng đó. Chứng minh rằng, có những tam giác được tô cùng màu ở các cạnh.
Bài giải: Ta sẽ trình bày lời giải qua việc áp dụng nguyên lý Dirichlet. 6 điểm được nối thành 15 đoạn thẳng và 15 đoạn này được tô bằng một trong hai màu: đỏ hoặc xanh.
Xét đỉnh A. 5 đoạn thẳng chung đỉnh A là AB, AC, AE, AF được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Theo nguyên lý Dirichlet, một trong hai màu, giả sử xanh được tô cho ít nhất 3 cạnh. Do tính đối xứng, giả sử 3 cạnh đó là AB, AC, AC. Bây giờ ta xét 3 cạnh BC, BD, CD. Nếu một trong ba cạnh đó, chẳng hạn BC được tô màu xanh, thì chúng ta có "tam giác xanh" ABC. Nếu không có cạnh nào thỏa mãn điều kiện này, ta có "tam giác đỏ" BCD.
Ví dụ 2.2.10. Chứng minh rằng, trong 6 người bất kỳ, hoặc có 3 người quen nhau từng đôi một hoặc từng đôi một không quen nhau.
Bài giải: Coi 6 người như là 6 điểm A,B,C,D,E,F được biểu diễn như Hình 1. Với hai điểm X,Y bất kỳ, nối thành đoạn thẳng XY và tô màu xanh nếu hai người quen nhau, màu đỏ nếu hai người không quen nhau. Theo Ví dụ 2.2.9, tốn tại "tam giác xanh" hoặc "tam giác đỏ". Tương ứng, tồn tại 3 người quen nhau đôi một hoặc đôi một không quen biết nhau.
được thảo luận. Mỗi cuộc người trao đổi cho nhau về cùng một vấn đề.
Bài giải: Ta coi 17 người như 17 điểm A,B,C,... và với hai điểm bất kỳ, ta nối chúng thành một đoạn thẳng. Đoạn thẳng nối hai điểm X,Y được tô bởi một trong 3 màu: xanh, đỏ, vàng. Ta tô màu xanh đoạn XY nếu X,Y cùng trao đổi về vấn đề I; (tưong tự II,III). Xét đỉnh A. Có 16 cạnh nối đỉnh A được tô trong 3 màu xanh, đỏ, vàng. Do 16= 5.3+1 nên theo nguyên lí Dirichlet, một trong 3 màu, giả sử màu xanh, được tô ít nhất 5+1=6 (cạnh). Do tính chất đối xứng, giả sử AB, AC, AD, AF và AC được tô màu xanh. Chú ý đến 6 đỉnh còn lại, có 15 cạnh được nối từ 6 đỉnh này. Nếu trong các cạnh, giả sử BC được tô màu xanh thì ta có "tam giác xanh" ABC. Trong trường hợp không có cạnh nào được tô màu xanh, thì 15 cạnh đó phải được tô màu đỏ hoặc màu vàng. Theo Ví dụ 2.2.9, ta có được "tam giác đỏ" hoặc "tam giác vàng." Trong bất kỳ trường hợp nào, ta cũng có một tam giác với các cạnh được tô cùng màu. Điều đó có nghĩa là có ít nhất 3 người trao đổi cùng một vấn đề đôi một với nhau.
Bây giờ ta xem lại Ví dụ 2.2.9. Giả sử ta chỉ có 5 điểm (thay cho 6 điểm) trong bài toán. Kết luận của bài toán còn có hiệu lực hay không? Nhìn vào vấn đề, chú ý đến hình phẳng với 5 đỉnh và 10 đoạn thẳng được nối từ hai đỉnh bất kỳ. Nếu các cạnh AB, BC, CD, DE, EA được tô màu xanh trong khi các cạnh còn lại được tô màu đỏ, thì rõ ràng hình vẽ dưới không chứa tam giác xanh hoặc tam giác đỏ. Vậy phải cần có ít nhất 6 điểm để đảm bảo sự tồn tại của tam giác có các cạnh được tô
cùng màu, với điều kiện mỗi cạnh chỉ được tô một trong hai màu trên. Vấn đề này liên hệ chặt chẽ với khái niệm "số Ramsey" ở trên. Lúc đầu Ramsey xét bài toán chia tập hợp các cạnh của một đồ thị dầy đủ vào hai ngăn kéo bằng cách tô màu các cạnh đồ thị đầy đủ bởi hai màu đen và trắng và khẳng định rằng với mỗi cặp hai số tự nhiên p và q luôn tồn tại một số tự nhiên n sao cho với mọi cách tô màu các cạnh của đồ thị đầy đủ Kn bởi hai màu nói trên hoặc ta sẽ có một đồ thị đầy đủ Kp
màu đen hoặc một đồ thị đầy đủ Kq màu trắng. Số s = N(p, q) nhỏ nhất với tính chất đó không dễ dàng xác định được qua một công thức đóng.
Định lý 2.2.12. [Ramsey] Với tất cả các số tự nhiên p, q > 2, số
N(p, q) luôn tồn tại.
Sự xác định của giá trị đúng của N(p, q) khi p, q đủ lớn, vượt qua khả năng tìm kiếm của chúng ta. Tính đệ quy trên điều kiện củaN(p, q)
đạt được bởi hai nhà toán học người Hungari là Erdos và Szekeres.
Định lý 2.2.13. Nếu các số tự nhiên p, q > 2thì mỗi đồ thị với N(p, q− 1) + N(p − 1, q) đỉnh đều có tính chất Ramsey, có nghĩa: Tồn tại số
N(p, q) và N(p, q) 6 N(p−1, q) +N(p, q −1).
Chứng minh: Đặt n = N(p − 1, q) + N(p, q − 1). Số này tồn tại theo Định lý 2.2.12. Để chỉ ra N(p, q) 6 n ta cần chứng minh rằng, nếu mỗi cạnh của Kn được tô bởi một trong hai màu: xanh, đỏ, thì luôn tồn tại nhóm Kp xanh hoặc nhóm Kq đỏ. Vì vai trò p và q như nhau nên ta xét q = 1 và ta có N(p,1) = 1 = p+11−−12. Với q = 2 có
đúng cho mọi số k < p+q. Theo Định lý 2.2.13 ta có N(p, q) 6 N(p−1, q) +N(p, q −1) 6 p+ q−3 q −1 ! + p+q −3 q −2 ! .
Như vậy N(p, q) 6 p+q−q−12 và có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.2.14. Với mỗi cặp số tự nhiên p, q > 1 ta luôn có
N(p, q) 6 p+q −2
q −1
!
.
Chứng minh: Quy nạp theo k = p+q. Vì vai tròp và q như nhau nên ta xét q = 1 và ta có N(p,1) = 1 = p+11−−12. Với q = 2 có N(p,2) =
p= p+22−−12. Như vậy, ta chỉ cần xét p, q > 3. Giả sử kết luận đúng cho mọi số k < p+q. Theo Định lý 2.2.13 ta có N(p, q) 6 N(p−1, q) +N(p, q −1) 6 p+ q−3 q −1 ! + p+q −3 q −2 ! .
Như vậy N(p, q) 6 p+q−q−12 và có điều cần chứng minh.
Hệ quả 2.2.15. Với mọi số nguyên p > 2 ta luôn có N(p, p) 6 4p−1.
Định lý 2.2.16. Với các số nguyên p, q > 1 ta luôn có
N(p, q) > (p−1)(q −1) + 1.
Chứng minh: Đặt n = (p−1)(q−1). Ta sử dụng hai màu đen, trắng để tô các cạnh củaKn.Ta chỉ cần chỉ ra không cóKp đen và cũng không có Kq trắng. Hình dung các đỉnh của Kn sắp xếp lên một mảng (array) hình chữ nhật gồm p−1 hàng và q −1 cột. Nếu hai đỉnh u và v nằm
trong cùng một hàng của mảng thì cạnh {u, v} được tô màu trắng; còn nếu khác đi thì nó được tô màu đen. Theo nguyên lý Dirichlet, trong một tập bất kỳ p đỉnh phải có 2 đỉnh nào đó thuộc cùng một hàng. Do vậy, Kn không chứa một Kp đen. Nếu ta xóa tất cả các cạnh đen thì các thành phần liên thông của phần đồ thị còn lại tương ứng các hàng. Bởi vì mỗi hàng chỉ chứa q−1 đỉnh nên Kn không chứa Kq trắng. Như vậy
N(p, q) > (p−1)(q −1) + 1.
Chú ý rằng, từ các kết quả trên ta có ngay 76 N(3,4)6 10.
Định lý 2.2.17. Nếu tô màu các cạnh của đồ thị đầy đủ 6 đỉnh K6 với hai màu xanh hoặc đỏ thì luôn luôn tồn tại một đồ thị đầy đủ 3 đỉnh K3
là đồ thị con của đồ thị này và tất cả các cạnh của nó hoặc cùng màu đỏ hoặc cùng màu xanh.
Chứng minh: Ta chọn đỉnh a bất kỳ. Trong 5 cạnh phát xuất từ a có ít nhất 3 cạnh cùng màu, chăng hạn ab, ac, ad. Tất cả các cạnh nối các đỉnh b, c, d với nhau hoặc cùng màu xanh cả và ta có điều cần chứng minh, hoặc là trong các cạnh này có một cạnh màu đỏ và cạnh này cùng với hai cạnh ab, ac hoặc ad lập thành mọt đồ thị đầy đủ 3 đỉnh K3 với 3 cạnh màu đỏ.
Những kết quả như trên có thể mở rộng cho trường hơp tô nhiều màu. Chẳng hạn, ta có thể đặt câu hỏi về số nhỏ nhất N(G1, G2, . . . , Gr) sao cho khi tô màu các cạnh đồ thị đầy đủ có N(G1, G2, . . . , Gr) đỉnh bởi
k màu, ta luôn thu được ít nhất một đồ thị con Gi có các cạnh cùng màu. Kết quả dưới đây là một cận trên của số Ramsey N(G1, . . . , Gr)
Nr+1(3) 6 (r + 1)(Nr(3)−1) + 2.
Chứng minh: Ta chỉ cần chứng minh kết quả cho trường hợp n = (r+ 1)(Nr(3)−1) + 2. Ta chỉ ra rằng với mỗi cách tô màu các cạnh của đồ thị đầy đủ Kn với các màu 1,2, . . . , r + 1 ta luôn có ít nhất một đồ thị đầy đủ 3 đỉnh có các cạnh cùng màu i ∈ {1,2, . . . , r, r + 1}. Giả sử ta có đồ thị đầy đủ Gvới nđỉnh và một cách tô màu các cạnh của Gvới các màu1,2, . . . , r+1.Chọn một đỉnha tùy ý. Với(r+1)(Nr(3)−1)+1
cạnh xuất phát từ đỉnh a phải có ít nhất t > Nr(3) cạnh e1, e2, . . . , et
được tô bởi cùng một màu, chẳng hạn màu thứr+ 1.Các đỉnh kề với a,
được nối với đỉnh a bởi một cạnh màu thức (r + 1), lập len một đồ thị đầy đủ KNr(3) với Nk(3)đỉnh. Trong trường hợp trong đồ thị KNr(3) này có cạnhe được to bởi màu thức (r+ 1),thì cạnh này cùng với hai trong số các cạnh e1, e2, . . . , et môt đồ thị đầy đủ 3 đỉnh K3 mà các cạnh của chsng được tô bởi cùng một màu thứ (r + 1). Nếu trong đồ thị KNr(3)
không có cạnh nào được tô màu bởi màu thứ (r + 1) thì đồ thị đầy đủ
KNr(3) chỉ có các cạnh được tô bởi r màu 1,2, . . . , r. Theo định nghĩa của số Nr(3), trong đồ thị đầy đủ KNr(3) có một đồ thị đầy đủ K3 với 3 cạnh màu của nó chỉ được tô bởi một màu.
Ví dụ 2.2.19. Cứ hai ngưới bất kỳ trong số 17 nhà bác học viết thư trao đổi với nhau về một trong 3 đề tài. Chứng minh rằng có 3 người trong số họ viết thư trao đổi với nhau về cùng một đề tài.
Bài giải: Lấy một đồ thị K17 như trên, ta tiến hành tô màu cạnh của đồ thị này theo qui tắc sau: Cạnh nối giữa hai đỉnh A và B được tô màu
đỏ, hoặc xanh, hoặc vàng nếu hai nhà bác học A và B trao đổi tương ứng vấn đề thứ nhất, hoặc vấn đề thứ hai, hoặc vấn đề thứ ba. Ta cần chỉ ra rằng đồ thị này luôn có một tam giác cùng màu.
Chọn một đỉnh V bất kì thuộc đồ thị. Vì đỉnh V có bậc 16 nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ có một màu được tô cho 6 cạnh nối tới V. Giả sử đó là màu vàng. Đặt ζ là tập hợp gồm 6 đỉnh, khác V, có các cạnh màu vàng nối tới V. Ta xét hai trường hợp sau:
(a) Nếu trong G có một cạnh màu vàng, thì hai đỉnh của cạnh này cùng với V tạo thành tam giác có các cạnh cùng màu vàng.
(b) Nếu trong G không có bất kỳ cạnh vàng nào, thì tất cả các cạnh trong G đều được tô bằng hai màu đỏ và xanh. Tuy nhiên G luôn có ít nhất 6 đỉnh nên theo Ví dụ 2.2.9 thì G sẽ chứa hoặc một tam giác đỏ hoặc một tam giác xanh. Vậy với 3-tô màu cạnh của K17 thì ta luôn có tam giác cùng màu.