Những bài toán liên quan đến tô màu bản đồ đã dẫn đến rất nhiều kết quả trong lý thuyết đồ thị. Khi một bản đồ được tô màu, hai miền có chung biên giới được tô bằng hai màu tùy ý miễn là khác nhau. Để đảm bảo chắc chắn hai miền kề nhau không bao giờ có màu trùng nhau, chúng ta tô mỗi miền bằng một màu khác nhau. Tuy nhiên điều đó là không thực tế, vì có thể số màu ít hơn số miền. Nếu bản đồ có nhiều miền thì sẽ rất khó phân biệt những màu gần giống nhau. Do vậy người ta chỉ dùng một số màu cần thiết để tô một bản đồ. Một bài toán đặt ra là: xác định số màu tối thiểu cần có để tô một bản đồ sao cho các miền kề nhau không cùng một màu. Ví dụ, với bản đồ bên trái của hình 1.11 bốn màu là đủ, nhưng ba màu là không đủ. Trong bản đồ bên phải ba
màu là đủ (nhưng hai là không đủ).
Hình 1.11: Hai bản đồ.
Mỗi bản đồ trên mặt phẳng có thể biểu diễn bằng một đồ thị. Để lập sự tương ứng đó, mỗi miền của bản đồ được biểu diễn không được biểu diễn không được coi là kề nhau. Đồ thị nhận ra được bằng cách như vậy gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ đang xét. Rõ ràng mọi bản đồ trên mặt phẳng đều có đồ thị đối ngẫu phẳng. Hình 1.12 biểu diễn các đồ thị đối ngẫu với các bản đồ trên hình1.11.
Bài toán tô màu các miền của bản đồ là tương đương với bài toán tô màu các đỉnh của đồ thị đối ngẫu sao cho không có hai đỉnh liền kề nhau có cùng một màu. Chúng ta có định nghĩa sau.
Hình 1.12: Các đồ thị đối ngẫu của các bản đồ hình trên
Định nghĩa 1.3.1. Tô màu một đơn đồ thị là sự gán màu cho các đỉnh của nó sao cho không có hai đỉnh liền kề được gán cùng một màu.
Một đồ thị có thể được tô màu bằng cách gán các màu khác nhau cho mỗi đỉnh của nó. Tuy vậy, với hầu hết các đồ thị, ta có thể tô màu chúng với số màu ít hơn số định. Vậy số màu ít nhất cần thiết là bao nhiêu?
Định nghĩa 1.3.2. Số màu của một đồ thị là số tối thiểu các màu cần thiết để tô màu đồ thị này.
Chúng ta thấy rằng câu hỏi về số màu nhỏ nhất của các đồ thị phẳng chính là câu hỏi về số cực tiểu các màu cần thiết để tô đủ các bản đồ phẳng sao cho không có hai miền kề nhau được gán cùng một màu. Bài toán này đã được nghiên cứu từ hơn 100 năm nay. Câu trả lời chính là một trong các định lý nổi tiếng nhất trong toán học.