2 Lý thuyết số Ramsey
2.3.2 Tồn tại tam giác cùng màu
Ví dụ 2.3.5. [IMO 1983] Cho ∆ABC đều. Gọi E là tập tất cả các điểm trên các đoạn thẳng AB,BC,CA. Chứng minh rằng, với 2-tô màu E, luôn tồn tại một tam giác vuông.
Bài giải: GọiC1.C2 là hai điểm chia đoạn AB thành 3 phần bằng nhau. Định nghĩa A1, A2, B1 và B2. Tương tự cho BC,CA. Khi đó, có ít nhất 2 trong số các điểmA1, B1, C1 có cùng màu. Không mất tính tổng quát, ta giả sửA1, B1 là đỏ. Bây giờ, ta giả sử không có tam giác vuông nào có các đỉnh cùng màu. Khi đó C và B2 phải là xanh. Do vậy, ta không thể tô màu cho C2. Nếu C2 là xanh, thì ta có ∆CB2C2 có các đỉnh xanh, và
nếu C2 là đỏ, thì ta có ∆A1B1C2 có các đỉnh đó. Vậy trong mọi trường hợp, luôn có một tam giác vuông với các đỉnh cùng màu tạo thành.
Ví dụ 2.3.6. Cho nk = k!(1 + 1 1! +
1
2! +· · ·+ 1
k!) + 1. Ta tô màu mỗi
cạnh củaKnk bằng một trong k màu. Chứng minh rằng, luôn tồn tại tam giác cùng màu.
Bài giải: Ta chứng minh theo qui nạp. Cơ sở qui nạp: Với k = 1, bài toán hiển nhiên đúng. Giả sử bài toán đã đúng với k, tức là dùng k màu để tô cho tất cả các cạnh của đồ thị Knk thì Knk có tam giác cùng màu. Ta chứng minh bài toán đúng với k+ 1. Lấy một đò thị đầy đủ Knk−1. với nk+1 đỉnh. Gọi V là một đỉnh bất kì thuộc Knk+1. Khi đó, V có bậc
Knk−1 −1, và ta dùng k + 1 màu để tô cho Knk−1 −1 cạnh nối tới V. Mà ta có (k+ 1)(nk−1) = nk+1−2 < nk+1−1. Do đó, theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất nk cạnh nối tới V được tô cùng màu, giả sử là màu đỏ. Đặt B là tập các đỉnh có cạnh đỏ nối tới V. Ta xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Nếu trong B có một cạnh đỏ nối 2 đỉnh X,Y nào đó, thì ta có tam giác VXY có các cạnh đỏ.
Trường hợp 2: Nếu không tồn tại 2 đỉnh X,Y nào như thế, thì tất cả các cạnh trong B được tô bởi k màu (trừ màu đỏ). Do đó, theo giả thiết qui nạp thì tồn tại tam giác cùng màu.
Ví dụ 2.3.7. Một công ty có 2008 công nhân từ 6 quốc gia khác nhau. Mỗi người có một thẻ nhận dạng (id) được đánh số từ 1 đến 2008. Chứng minh hoặc có một công nhân mà số id của anh ta bằng tổng 2 số id của 2 người đồng hương, hoặc có một công nhân mà số id bằng 2 lần số id
Bài giải: Lấy một đồ thị đầy đủ K2008 và tô màu các cạnh nối giã hai đỉnh i và đỉnh j, (i<j) màu k nếu người có số id (j-i) đến từ quốc gia thứ k (ở đây, các màu k = 1.2....6 được gán tương ứng với 6 quốc gia khác nhau trong bài toán). Điều này nghĩa là ta tô màu cạnh cho K2008
với 6 màu khác nhau. Giữ nguyên ký hiệu trong bài toán 2,n6 = 1956, do đó K2008 của ta luôn có tam giác cùng màu cạnh. Gọi các đỉnh của tam giác này là a < b < c, thì các công nhân mang số id: c−a.c−b và
b−a đều đến từ cùng một quốc gia. Vì (b−a)−(c−b) = c−a. xét hai trường hợp là b−a = c−bvb−a 6= c−b, suy ra yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2.3.8. Không tồn tại hình chữ nhật có độ dài cạnh a và b√ 3 các đỉnh của nó được tô bằng hai màu khác nhau và các cạnh có độ dài a có các đỉnh cùng màu.
Bài giải: Giả sử tồn tại một hình chữ nhật ABCD chư thế, giả sử A và B là đỏ, C và D là xanh. Xét các hình thoi AEDF và BGCH, các mặt phẳng chứa các hình thoi này vuông góc với mặt phẳng chứa ABCD, và các đường chéo ngắn có độ dài b, Nếu một trong 4 điểm E,F,G hoặc H được tô bằng màu đỏ hoặc xanh, thì ta có tam giác vuông hợp lệ (mâu thuẫn) . Do đó E, F, G và H phải màu vàng, điều này cũng mâu thuẫn vì 4 điểm này tạo thành hình chữ nhật chính tắc, và do đó có 4 tam giác vuông hợp lệ.
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày được những nội dung sau: (1) Một số khái niệm cơ bản về đồ thị.
(2) Bài toán tô màu. (3) Nguyên lý Dirichlet. (4) Lý thuyết Ramsey.
(5) Một vài ứng dụng của lý thuyết Ramsey.
[1] R. Merris,Combinatorics, PWS publishing company 20 Park Plaza, Boston, MA 02116-4324.
[2] K. H. Rosen (1994), Discrete Mathematics and Its Applications,
McGraw-Hill.
[3] K. H. Wehrhahn (1992), Combinatorics-An Introduction, Carslaw Publications.
[4] H. C. Thành (2011), Lý thuyết đồ thị, NXB ĐHQG Hà Nội. [5] Tuyển tập: The IMO Compendium 1959-2004.