Hàm đặc trưng của biểu diễn

Hàm đặc trưng biểu diễn Hàm đặc trưng biểu diễn Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Cho biểu diễn T nhóm G không gian vectơ L thứ nguyên d Trong không gian L chọn vectơ đơn vị sở e1, e2, …, ed ký hiệu yếu tố ma trận toán tử tuyến tính T(a), aG, hệ đơn vị sở Tij(a), i, j = 1, 2, …, d, Thực phép biến đổi tuyến tính X, ta chuyển hệ vectơ đơn vị sở cho e1, e2, …, edthành hệ vectơ e’1, e’2, …, e’d Đối với hệ toán tử tuyến tính T(a) có yếu tố ma trận T'ij(a), Hãy tìm mối liên hệ yếu tố ma trận Tij(a) T'ij(a) Ký hiệu yếu tố ma trận toán tử X hệ vectơ đơn vị sở e1, e2, …, ed Xij Ta có Thay biểu thức (31) e'ivào hai vế hệ thức (30), ta thu Dùng biểu thức (29) T(a) ej, ta viết lại công thức (32) sau e k Tkj(a) X ji = e k Tkj(a) T'ji(a) Vậy Nhân hai vế hệ thức (33) với (X-1)lk cộng theo k từ đến d, ta thiết lập hệ thức Tij(a) T'ij(a): 1/6 Hàm đặc trưng biểu diễn Vậy hai hệ vectơ đơn vị sở liên hệ với hệ thức (31), toán tử T(a) có yếu tố ma trận khác Tij(a) T'ij(a) liên hệ với công thức (34) Từ yếu tố ma trận khác Tij (a) T'ij(a) toán tử T(a) ta thiết lập đại lượng đặc trưng cho biểu diễn T mà không phụ thuộc lựa chọn hệ sở Thực vậy, đặt l = i hai vế hệ thức (34) cộng theo i từ đến d, ta có T'iI(a) = (X -1 ) ik T kj (a) X ji = T kj (a) X ji (X -1 ) tk = T kj (a) δ jk = T kk (a) Vậy vết ma trận phép biến đổi T(a) không phụ thuộc lựa chọn hệ vectơ đơn vị sở dùng làm đại lượng đặc trưng cho biểu diễn T mà ta xét Ta có định nghĩa sau Định nghĩa hàm đặc trưng biểu diễn Cho biểu diễn T nhóm G không gian vectơ L Vết ma trận phép biến đổi T(a) biểu diễn này, aG, không phụ thuộc lựa chọn hệ vectơ đơn vị sở không gian L gọi hàm đặc trưng χ(a)của biểu diễn T: Các mệnh đề hàm đặc trưng Từ định nghĩa hàm đặc trưng biểu diễn suy số mệnh đề Mệnh đề Các biểu diễn tương đương có hàm đặc trưng Chứng minh Giả sử có hai biểu diễn tương đương T(1) T(2) nhóm G hai không gian vectơ L1 L2 Khi có toán tử tuyến tính X chuyển vectơ không gian L1 thành cac vectơ không gian L2 cho Ký hiệu χ(i)(a) hàm đặc trưng hai biểu diễn cho (1) χ(1)(a) = Tr [T (a)], 2/6 Hàm đặc trưng biểu diễn (2) χ(2)(a) = Tr [T (a)] Tính vết ma trận toán tử hai vế hệ thức (36) vectơ đơn vị sở dùng tính chất sau vết tích hai toán tử A B Tr [AB] = Tr [BA], ta thu (2) (1) −1 −1 (1) (1) χ(2)(a) = Tr [T (a)] = Tr [XT (a)X ] = Tr [X XT (a)] = Tr [T (a)] = χ(1)(a) Vậy hàm đặc trưng χ(1)(a) χ(2)(a) hai biểu diễn tương đương T(1) T(2) Cho biểu diễn hoàn toàn khả quy T không L thứ nguyên d, tổng trực giao hai biểu diễn T(1) T(2) hai không gian bất biến L1 L2 thứ nguyên d1 d2, d = d1 + d2 Ký hiệu hàm đặc trưng biểu diễn T, T(1) T(2) χ(1)(a) χ(2)(a) Các hàm đặc trưng không phụ thuộc lựa chọn hệ vectơ đơn vị sở không gian vectơ L, L1 L2 Để thuận tiện thiết lập hàm đặc trưng chọn hệ vectơ đơn vị sở e1, e2, …, ed không gian L1 f1, f2, …, fd2trong không gian L2 chọn vectơ e1, e2, …, ed, f1, f2, …, fd2làm hệ đơn vị sở không gian L Đối với hệ ma trận phép biến đổi T(a) có dạng chéo theo ô sau Từ suy (1) (2) χ(a) = Tr [T(a)] = Tr [T (a)] + [T (a)] = χ(1)(a) + χ(2)(a) Mở rộng lập luận cho trường hợp biểu diễn T tổng trực tiếp biểu diễn tối giản không tương đương T(α) với α= 1, 2,…, mà biểu diễn tối giản T(α) chứa n αlần biểu diễn T, ta có mệnh đề sau 3/6 Hàm đặc trưng biểu diễn Mệnh đề Nếu biểu diễn hoàn toàn khả quy T tổng trực giao biểu diễn tối giản không tương đương T(α) với α= 1, 2, …, mà biểu diễn tối giản T(α) chứa nαlần biểu diễn T, hàm đặc trưng χ(α)(a) biểu diễn T(α) sau: χ(α) = ∑α nαχ(α)(a) Hàm đặc trưng χ(α) biểu diễn T hàm nhóm Xét giá trị hàm hai yếu tố liên hợp với a b a b -1, ta có mệnh đề sau Mệnh đề Trên hai yếu tố liên hợp với a b a b -1, a b hai yếu tố tùy ý nhóm G, hàm đặc trưng χ(α) biểu diễn T có giá trị, nghĩa χ(α) = χ(b a b -1), ∀ a ∈ G,∀ b ∈ G Chứng minh Theo định nghĩa hàm đặc trưng ta có χ(α) = Tr [T(a)], χ(b a b-1) = Tr [T(bab − 1)] = Tr [T(b)T(a)T(b − 1)] = Tr {T(b)T(a)[T(b − 1)]} = Tr {[T(b − 1)]T(b)T(a)} = Tr [T(a)] = χ(α) Vậy mệnh đề chứng minh Theo mệnh đề tất yếu tố lớp yếu tố liên hợp hàm đặc trưng có giá trị Vậy hàm đặc trưng xem tập hợp lớp Kα yếu tố liên hợp Kα= {bab −1 ∣ b ∈ G} Ta viết χ(α) = χ(Kα) Có định lý thường dùng hàm đặc trưng biểu diễn tối gian không tương đương nhóm hữu hạn Giả sử có nhóm hữu hạn G ký hiệu χ(α)(a) hàm đặc 4/6 Hàm đặc trưng biểu diễn trưng biểu diễn tối giản không tương đương T(α) Ta coi N giá trị χ(α)(a) N thành phần vectơ không gian Euclide phức N chiều định nghĩa tích vô hướng hai hàm đặc trưng χ(α) χ(β) tích vô hướng hai vectơ chia cho N Định lý tính trực giao chuẩn hóa hàm đặc trưng Các hàm đặc trưng biểu diễn tối giản không tương đương với T(α) nhóm hữu hạn G thỏa mãn điều kiện trực giao chuẩn hóa Định lý có số hệ thường sử dụng Giả sử có nhóm hữu hạn G ta biết tất hàm đặc trưng χ(α)(a) tất biểu diễn tối giản không tương đương với T(α) nhóm Cho biểu diễn T nhóm G giả sử ta biết hàm đặc trưng χ(α)(a) biễn T Khi ta xác định biểu diễn T có chứa biểu diễn tối giản T(α) hay không, có chứa tì chứa lần Thực vậy, theo Mệnh đề 2, T chứa T(α)nαlần, χ(a) = ∑a nαχ(α)(a) Lấy tích vô hướng hai vế hệ thức với hàm đặc trưng χ(β)(a) dùng công thức (37), ta thu (β) nβ = (χ ,χ) Hệ Cho χ(α) (a) hàm đặc trưng biểu diễn tối giản T(α) nhóm hữu hạn G, T biểu diễn với hàm đặc trưng χ(a) Biểu diễn T chứa biến diễn T ( α ) số lần (β) nα = (χ ,χ) Hãy xét tích vô hướng hàm đặc trưng χcủa biểu diễn tùy ý T với gọi đại lượng thu bình phương vô hướng hàm đặc trưng Từ Mệnh đề Định lý tính trực giao chuẩn hóa hàm hàm đặc trưng suy 5/6 Hàm đặc trưng biểu diễn (χ,χ) = (∑α nαχ(α),∑β nβχ(β)) = ∑α n2α Nếu T biểu diễn tối giản số số nguyên nαchỉ có số khác không Khi (χ,χ) = Còn T biểu diễn khả quy có hai số nα lớn Hệ Nếu biểu diễn nhóm hữu hạn G tối giản bình phương vô hướng hàm đặc trưng 1, biểu diễn khả quy bình phương vô hướng lớn 6/6 ... hàm đặc trưng χ(a )của biểu diễn T: Các mệnh đề hàm đặc trưng Từ định nghĩa hàm đặc trưng biểu diễn suy số mệnh đề Mệnh đề Các biểu diễn tương đương có hàm đặc trưng Chứng minh Giả sử có hai biểu. .. thức với hàm đặc trưng χ(β)(a) dùng công thức (37), ta thu (β) nβ = (χ ,χ) Hệ Cho χ(α) (a) hàm đặc trưng biểu diễn tối giản T(α) nhóm hữu hạn G, T biểu diễn với hàm đặc trưng χ(a) Biểu diễn T... tất hàm đặc trưng χ(α)(a) tất biểu diễn tối giản không tương đương với T(α) nhóm Cho biểu diễn T nhóm G giả sử ta biết hàm đặc trưng χ(α)(a) biễn T Khi ta xác định biểu diễn T có chứa biểu diễn