Các phép tính đối với các biểu diễn (1)

Các phép tính biểu diễn Các phép tính biểu diễn Bởi: Nguyễn Văn Hiệu Từ hai biểu diễn T(1) T(2) nhóm G, ta thiết lập biểu diễn gọi tích chúng ký hiệu T(1)⊗T(2) Từ biểu diễn T nhóm G ta có ~ thể thiết lập biểu diễn T gọi biểu diễn liên hợp với biểu diễn T Các biểu diễn có định nghĩa sau Định nghĩa tích hai biểu diễn Cho hai biểu diễn T(1) T(2) nhóm hữu hạn G không gian vectơ L1 (1) (1) (2) (2) (2) L2 với hệ vectơ sở e(1) , e2 , …, ed1 , e1 , e2 , …, ed2 , d1 d2 thứ nguyên L1 L2 Tích hai biểu diễn T(1) T(2) biểu diễn T không gian L1⊗L2 thứ nguyên d1d2 với hệ vectơ sở mà toán tử T( α) tương ứng với yếu tố α nhóm G xác định sau T(1)(a) T(2)(a) hai toán tử hai không gian L1 L2 tương ứng với yếu tố a nhóm G Ta viết T = T(1)⊗T(2) Để chứng minh toán tử T(a) tạo thành biểu diễn nhóm G, nghĩa thỏa mãn điều kiện bảo toàn phép nhân nhóm T(a) T(b) = T(ab), 1/7 Các phép tính biểu diễn ta cần dùng định nghĩa (12) tính chất bảo toàn phép nhân nhóm biểu diễn T(1) T(2), cụ thể T(α)(a) T(α)(b) = T(α)(ab), α = 1, Ký hiệu yếu tố ma trận toán tử T(1)(a) T(2)(a) hệ vectơ sở cho (1) (1) (2) (2) (2) e(1) , e2 , …, ed1 e1 , e2 , …, ed2 Tij(a) Tkl(a): (1) (1) T(1) (a) e(1) i = ej T(ji)( α) (2) (2) T(1)(a) e(2) k = el T(lk)( α) Ta có (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) T(a)f(ik) = T(a)( e(1) (a) e(1) (a) e(2) i ⊗ek ) = (T i ) ⊗(T k ) = ( ej ⊗el ) T(ji)( α) T(lk)( α) = (2) f(jl)T(1) (ji)( α) T(lk)( α) So sánh hai biểu thức T(a) f(ji), ta thu hệ thức diễn tả yếu tố ma trận toán tử T(a) qua yếu tố ma trân nhóm toán tử T(1)(a) T(2)(a) Cho hai biểu diễn (unita) tối giản T(α) T(β) nhóm G không gian L(α) L(β) với thử nhiệm d(α) d(β) Tích T = T (α ) ⊗ T ( β ) hai biểu diễn biểu diễn unita không gian L = L (α ) ⊗ L ( β ) Nếu T tối giản hoàn toàn khả quy phân tách thành tổng trực giao biểu diễn tối giản T(γ) không gian L(γ) thứ nguyên d(γ) Trong số biểu diễn tối giản T có biểu diễn tương đương với Không gian L thực biểu diễn T tổng trực giao không gian L(γ) thực biểu diễn tối giản T(γ) L = ∑γ ⊕L(γ) 2/7 Các phép tính biểu diễn Thứ nguyên L d = ∑γ d(γ) Mặt khác d = d(α)d(β) Vậy ta có hệ thức Ký hiệu hệ vectơ đơn vị sở không gian L(α), L(β), L(γ) , v.v… (α ) e(α) iα , ia = 1, 2, …, d (β ) e(β) iβ , ia = 1, 2, …, d (γ ) e(γ) iγ , ia = 1, 2, …, d v.v… Trong không gian L vectơ có dạng (β) e(α) iα ⊗ eiβ tạo thành vectơ sở trực giao chuẩn hóa Tập hợp tất vectơ e(γ) iγ , iy = 1, 2, …, d(γ), với số γ có mặt vế phải công thức (14) hệ vectơ cở sở trực giao chuẩn hóa khác không gian L Giữa vectơ đơn vị hai hệ ta có phép biến đổi unita sau Các hệ số Cγiαiγ βi phép biến đổi (15) (16) gọi hệ số Clebsh-Gordan α β 3/7 Các phép tính biểu diễn ~ Bây ta đưa vào khái niệm biểu diễn T liên hợp với biểu diễn T cho Giả sử T(a) toán tử tuyến tính biểu diễn T nhóm G không gian vectơ L Với yếu tố a nhóm G ta thiết lập toán tử sau Với yếu tố ma trận ~ Ta thử lại tương ứng yếu tố a nhóm G toán tử T(a) bảo toàn phép nhân nhóm Thực vậy, ta có ~ T(ab) = [T(ab) −1 T T T T ~ ~ )] = [T(b − 1)T(a − 1)] = [T(a − 1)] [T(b − 1)] = T(a) T(b) ~ Vậy toán tử T(a) tạo thành biểu thức biểu diễn nhóm G Ta có định nghĩa sau Định nghĩa biểu diễn liên hợp ~ ~ Cho hai biểu diễn T T nhóm G hai không gian vectơ L L Nếu ~ hai không gian L L ta chọn hai hệ vectơ sở cách thích hợp để ~ ~ yếu tố ma trận Tij(a) Tij(a) toán tử T(a) T(a) hai biến đổi liên hệ với công thức ~ Tij(a) = Tji(a-1), ~ ta gọi T T hai biểu diễn liên hợp với ~ Việc xét đồng thời hai biểu diễn liên hợp với T T cho phép ta thiết lập đại lượng bất biến phép biến đổi nhóm G Thực vậy, hai không gian L ~ ~ Lthực hai biểu diễn liên hợp với T T ta chọn hệ vectơ sở e1, ~ e2, …, edvà f1, f2, …., fd để co yếu tố ma trận toán tử T(a) T(a) thỏa mãn ~ hệ thức (18) Trong không gian vectơ d2 chiều L⊗L ta xét vectơ sau 4/7 ⊗ Các phép tính biểu diễn ~ ~ Ký hiệu tích hai biểu diễn T T T⊗T Các hoán tử biểu diễn tác dụng ~ lên vectơ sở không gian tích L⊗L sau ~ ~ ~ (T⊗T) (a) (ei⊗fj) = (T(a)ei) ⊗ ( T(a)fj) = (ek⊗fl) Tki(a) Tlj(a) Tác dụng hoán tử lên vectơ i xác định công thức (19) dùng hệ thức ~ (18) yếu tố ma trận hoán tử T(a) T(a), ta có (T ml ~ T ) (a) i = (T(a)e m ) ~ ( T (a)f m ) = e k f l T kl (e) = e k f k = i (a-1) = e k ~ f l T km (a) T lm (a) = e k f l T km (a)T Vậy ta có định lý sau Định lý Vectơ i = ∑dm = em⊗fm không gian L biến đổi (T ~ L thực biểu diễn T ~ T )(a) biểu diễn tích T ~ T nhóm G bất biến phép ~ T Do không gian chiều với vectơ đơn vị i thực biểu diễn tối gian chiều chứa biểu diễn T ~ ~ T ~ Hệ Biểu diễn T T, tích biểu diễn T biểu diễn T liên hợp với nó, chứa biểu diễn tối giản chiều Biểu diễn tối giản chiều thiết lập chứng minh định lý vừa trình bày thường diễn tả đại lượng vật lý biến đổi với phép biến đổi nhóm đối xứng Do toán vật lý ta thường sử dụng khái niệm biểu diễn liên hợp Tích hai biểu diễn nhóm Lie Cho hai biểu diễn T(1) T(2) nhóm Lie G hai không gian vectơ L1 L2, T tích hai biểu diễn Các toán tử T( α1,α2, ,αs) biểu diễn T có dạng 5/7 Các phép tính biểu diễn Ký hiệu vi tử biểu diễn T(1) T(2) X1j X2j , j = 1, 2, …, s biểu diễn T Xj, j = 1, 2, …, s Với thông số αjvô bé ta có I (1) I (2) toán tử đơn vị không gian L1 L2 Thay biểu thức (21) vào vế phải công thức (20) giữ lại số hạng cấp theo thông số αj, ta có (2) (1) (2) T( α1,α2, ,αs) = I - i∑sj = αj[X(1) j ⊗I + I ⊗Xj ], I = I (1)⊗ I (2) toán tử đơn vị không gian L = L(1)⊗L(2) So sánh với định nghĩa vi tử Xj , ta suy Để viết hệ thức dạng chứa tường minh yếu tố ma trận hai không gian L1 L2 ta chọn hai hệ vectơ sở e1m, m = 1, 2, …, d1 e2p, p = 1, 2, …, d2, sau ta lấy vectơ sau (2) e(mp) = e(1) m ⊗ep không gian L = L1⊗L2, m = 1, 2,…, d1, p = 1, 2, …, d2, làm hệ sở không (2) gian Ký hiệu yếu tố ma trận toán tử X(1) j , Xj Xj hệ sở (2) tương ứng nói vectơ ( X(1) j )mm’, ( Xj )pp’, ( Xj)(mp)(m’p’) Công thức (23) cho ta 6/7 Các phép tính biểu diễn ~ Cuối cùng, ta xét hai biểu diễn liên hợp với T T nhóm Lie G ký ~ hiệu toán tử hai biểu diễn T( α1,α2, ,αs) T( α1,α2, ,αs), ký hiệu vi tử ~ tương ứng với tham số thực độc lập αjlà Xj Xj Chú ý a yếu tố G với tham số vô bé αj phép gần cấp yếu tố với tham số - αj nghịch đảo a-1 a Do ta có công thức T(a-1) approx: args.T( − α1, − α2, , − αs) approx: args.I + i∑nj = αjXj Mặt khác Theo định nghĩa biểu diễn liên hợp với ta phải có ~ -1 T(a) = [T(a )] T ~ Thay vào biểu thức (26) (27), ta thu hệ thức liên hệ vi tử Xj Xj hai biểu diễn liên hợp với nhau: Nếu biết vi tử biểu diễn T đó, dùng hệ thức (28) ta thiết lập ~ vi tử biểu diễn T liên hợp với T 7/7 ... Clebsh-Gordan α β 3/7 Các phép tính biểu diễn ~ Bây ta đưa vào khái niệm biểu diễn T liên hợp với biểu diễn T cho Giả sử T(a) toán tử tuyến tính biểu diễn T nhóm G không gian vectơ L Với yếu tố a nhóm... biểu diễn T ~ T )(a) biểu diễn tích T ~ T nhóm G bất biến phép ~ T Do không gian chiều với vectơ đơn vị i thực biểu diễn tối gian chiều chứa biểu diễn T ~ ~ T ~ Hệ Biểu diễn T T, tích biểu diễn. .. α1,α2, ,αs) biểu diễn T có dạng 5/7 Các phép tính biểu diễn Ký hiệu vi tử biểu diễn T(1) T(2) X1j X2j , j = 1, 2, …, s biểu diễn T Xj, j = 1, 2, …, s Với thông số αjvô bé ta có I (1) I (2) toán